Fundamentos de Fisica Classica – Prof. Ricardo
OBS: ESTAS APOSTILAS FORAM ESCRITAS, INICIALMENTE, NUM PC CUJO
TECLADO NÃO POSSUIA ACENTUAÇÃO GRÁFICA (TECLADO INGLES).
PORTANTO, MUITAS PALAVRAS PODEM ESTAR SEM ACENTOS. AO LONGO DO
TEMPO, FOMOS CONSERTANDO ESSAS FALHAS.
Algumas observações com relação ao conjunto de apostilas do curso de Fundamentos de Física
Clássica ministrado pelo professor Ricardo (DF/CCT/UFCG).
1) As apostilas refletem o que será exposto em sala de aula.
2) O uso de um livro didático é importante para um melhor aprendizado do assunto abordado.
3) Parâmetros vetoriais são escritos em negrito e sem vetor, ou normal com vetor, porem, em
itálico; por exemplo: E , nˆ ou E (ou E).
4) São apresentados alguns exercícios que serão resolvidos em sala de aula. O aluno deve
procurar ao máximo entender o exercício, e não decorá-lo. Lembre-se que o grande problema é
que o aluno não sabe resolver outros exercícios ligeiramente diferentes daqueles apresentados na
sala de aula, pois acredita ser mais fácil decorar a aprender. Em casa, procure formular questões
sobre o exercício, tipo, o que acontece se eu colocar uma carga positiva, ou o que acontece com
o campo próximo ou distante da fonte que produz este campo. Decorar é necessário sim, pois,
para racionar o ser humano tem que ter informações básicas em sua memória e assim resolver o
problema.
5) Copiar aula apresentada no quadro é desnecessário. O conteúdo apresentado em sala de aula
segue o da apostila, logo o aluno necessita apenas fazer determinadas observações caso ele ache
necessário. Se for exposto algo que não esteja na apostila, o aluno será comunicado.
6) Ao demonstrar uma determinada equação, é interessante que o aluno confira a unidade de seu
resultado. Se ele está determinando o campo elétrico, se sua equação, no final, não tem unidade
de campo elétrico, então, com certeza, ela está errada e o aluno deve refazer ou a demonstração,
ou o cálculo da unidade.
7) Ao resolver um problema, escreva a equação pertinente ao problema, coloque os valores dos
parâmetros físicos e feche com o resultado. Se o aluno apenas escrever a equação e colocar o
resultado do que foi pedido, a questão não será considerada.
8) NA PROVA NÃO SERÁ PERMITIDO O USO DE CELULARES TIPO SMARTPHONE,
NO MÁXIMO, SE NECESSÁRIO, O ALUNO PODERÁ FAZER USO DE UM CELULAR
EXTREMAMENTE SIMPLES. PORÉM, PARA EVITAR CONSTRAGIMENTOS, NÃO
ESQUECA DE TRAZER SUA CALCULADORA. NÃO TRAGA FILA (COLA) NA CAPA
DA CALCULADORA, DENTRO DO BOLSO DO CASACO, NA BOLSINHA DE CANETAS,
ETC. AS MULHERES NÃO PRECISAM DE BOLSA NO COLO PARA FAZER A PROVA.
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Lei de Coulomb
A carga elétrica tem a propriedade de exercer uma força sobre a
outra. Esta força foi estuda pelo francês Charles Coulomb (17361806). Para isso ele fez uso de uma balança de torção, inventada por
ele, que media a força elétrica entre dois objetos carregados
eletricamente.
A força (em newtons) que uma carga elétrica q1 exerce sobre outra q2
(F12) é a mesma, sendo de sentido contrário, que a força que q2
exerce sobre q1 (terceira Lei de Newton), e esta força é dada pela
seguinte equação:
C. A. Coulomb (1736-1806)
F12 = k
q1q2
qq
rˆ = k 1 32 r12
2 12
r12
r12
(1)
F12 = − F21
Representação e fotografia da balança de torção utilizada por Coulomb para a força elétrica
(http://www.jergym.hiedu.cz/~canovm/objevite/objev4/coua.htm)
r̂12 é o vetor unitário na direção r12 ( rˆ = r r ) , ou seja,
apontando de q1 para q2. O vetor r12 representa a diferença
entre o vetor r2 e o vetor r1 (r12 = r2 - r1); isto é valido
se desejarmos calcular a força da carga 1 sobre a carga 2.
Uma representação dos vetores associados com suas
respectivas cargas pode ser vista na figura ao lado. Os
sinais das cargas devem ser considerados na equação e a
expressão para o vetor r deve ser escrito corretamente
para que a força (lembre que força é um vetor) seja
calculada.
O parâmetro k, que é denominado de Constante Elétrica
ou Constante da Força de Coulomb, tem o valor
aproximado de 8,988 x 109 N.m2.C−2. Esta constante
também pode ser escrita da seguinte forma:
z
r12 = r2 – r1
r1
r2
y
x
Representação de duas cargas
elétricas no espaco. As forças não
estão representadas na figura.
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k=
1
4πε 0
= 8,988 × 10 9 N.m 2 /C 2 .
(2)
A constante ε0 ≈ 8,854 ×10−12 C2.N−1.m−2 é denominada de permissividade do vácuo. As figuras
abaixo mostram representações das forças elétricas atuando sobre duas cargas de sinais opostos
(acima) e sinais iguais (abaixo). No caso das cargas serem de sinais iguais, as forças serão
repulsivas, e se forem de sinais opostos, atrativas.
q1
F21
+
F12
q2
-
r12
q1
F21
q2
-
-
F12
r12
Forças elétricas devido às cargas de sinais opostos (acima) e iguais (abaixo).
Veja este link: http://www.colorado.edu/physics/2000/applets/nforcefield.html
Exemplo 1:
Três cargas puntiformes estão sobre o eixo dos x: q1 = -6,0µC em x = -3,0 m, q2 = 4,0µC em x =
0,0 m e q3 = -6,0µC em x = 3,0 m. Calcular a resultante das forcas sobre q1.
Solução
F31
F21
q1 = -6µC
F1 = F31 + F21 ⇒ F =
q2 = 4µC
q3 = -6µC
x (m)
k q3 q1
kq q
r31 + 23 1 r21.
3
r31
r21
r31 = r1 − r3 = −3 xˆ − 3 xˆ = − 6 xˆ ⇒ r31 = 6m
r21 = r1 − r2 = −3xˆ − 0 xˆ = − 3xˆ ⇒ r21 = 3m
(−6.10 −6 ) (−6.10 −6 )
F31 = k
(−6 xˆ ) = − 9.10 9.10 −12 xˆ = −9.10 −3 N xˆ
3
6
−6
(4.10 ) (−6.10 −6 )
F21 = k
(−3xˆ ) = 24.10 −3 xˆ = 24.10 −3 N xˆ
3
3
3
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Assim, a forçaa total sobre a carga q1 é: F1 = (−9 + 24).10 −3 xˆ = 15.10 −3 N xˆ
Calcular a força elétrica resultante sobre a carga 3 cujo valor é
2x10-4C devido às cargas 1 (1x10-4 C) e 2 (-2x10-4C). A
distribuição das cargas pode ser vista na figura abaixo. A força
elétrica total devido às cargas 1 e 2 sobre 3 é dada pelo
somatório das forças individualmente. A localização de cada
carga (em metros) é:
F =k
r13
3
r13 + k
q2q3
r23
3
F 13
q3
Carga 1 ----- r1 = 2 xˆ + 1yˆ ;
Carga 2 ----- r2 = 3xˆ + 5 yˆ ;
Carga 3 ----- r3 = 0 xˆ + 4 yˆ .
q1 q 3
(m)
Exemplo 2:
F
q2
F 23
r2
r3
q1
r23 ,
r1
(m)
onde r13 = r3 − r1 = (0 − 2) xˆ + (4 − 1) yˆ = −2 xˆ + 3 yˆ , cujo modulo é
r13 = (−2) 2 + (3) 2 = 3,6 metros e, de modo semelhante, temos que r23 = r3 − r2 = −3 xˆ − 1 yˆ ,
cujo módulo é igual a 3,2 m. Levando os valores na equação acima, obtemos:
 1 × 10 −4 × 2 × 10 −4

− 2 × 10 −4 × 2 × 10 −4
F = 8,988 × 10 
(−2 xˆ + 3 yˆ ) +
(−3 xˆ − 1yˆ )  = 25,2 xˆ + 22,6 yˆ N
3
3
3,6
3,2


9
_______
O valor de cada força, separadamente, é:
F13 = −7,7 xˆ + 11,6 yˆ ⇒ F13 = 13,9 N e
F23 = 32,7 xˆ + 10,9 yˆ ⇒ F23 = 34,5 N . Veja que, em
termos de intensidade, a força elétrica da carga 2 sobre a carga 3 é cerca de 2,5 vezes maior do
que da carga 1 sobre 3. Isto se deve aos valores das cargas e a proximidade entre elas.
_______
Principio da Superposição
Se mais de duas cargas estão envolvidas num sistema, então a forca sobre uma determinada
carga é simplesmente o somatorio de todas as forcas individuas sobre a carga em questão.
Dica: antes de resolver o exercício é de grande relevância fazer o desenho das distribuições de
cargas. Este desenho não precisa ser exato com o que está escrito no enunciado do problema,
ou seja, pode ser um esboço. Ele é útil para dar uma ideia do problema que deve ser resolvido.
Características das cargas (sinal, intensidade e distancia entre elas) devem ser levadas em
conta. O seu resultado deve ser coerente com o desenho inicialmente feito. Caso haja alguma
discordância entre estes, algo está errado, e o resultado deve ser revisto.
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Força Elétrica sobre uma Carga de Prova – Campo Elétrico
Carga de prova, por definição, deve ser pontual, positiva e ter uma intensidade muito pequena
para não perturbar o campo elétrico devido à(s) carga(s) principal(is). O vetor campo elétrico,
por definição, é dado por:
E=
F
.
q0
(2)
F
O vetor F, representa a força elétrica da carga
principal q sobre a carga de prova q0.
+
q0
Para a situação de mais de uma carga, a força
total sobre a carga de prova será o somatório de
todas as forças que atuam nesta carga. Como
força é um parâmetro físico vetorial, então o
somatório deverá ser vetorial também, ou seja:
F
kq q r
r
Ei = i 0 = 0 i i 03 = kqi i 03 .
q0
q0 ri 0
ri 0
Força elétrica devido a uma carga
elétrica q sobre uma carga de prova.
Neste caso, a força é sempre radial.
A soma total é então:
E = ∑ Ei
i
Exemplo 3:
Qual o campo elétrico devido a uma carga puntiforme q1?
Podemos utilizar a figura anterior como exemplo. Uma carga q1 exerce uma força sobre a carga
de prova a uma distancia r de acordo com a seguinte equação:
F10 = F = k
q1q0
rˆ .
r2
Lembre-se que, neste caso, r = r10 = r0 – r1 .
Assim, utilizando a equação (2), obtemos: E =
F
1 q1q 0 ⌢ kq1
=
k 2 r = 2 rˆ .
q0 q0
r
r
Veja neste exemplo que, se a carga q1 for positiva, o campo elétrico apontará da carga q1 para
fora (pois carga de prova é positiva) e se a carga q1 for negativa, o campo elétrico apontará para
o centro da carga q1. Isto poupa muito tempo de cálculo, pois, ao posicionar o vetor na direção
correta, você evita o cálculo da subtração vetorial dos vetores posição. Porém isto requer um
pouco de prática para evitar erros. No exemplo abaixo, vamos levar em conta esse “artifício”
físico/matemático.
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Exemplo 4
Calcule o campo elétrico devido à duas cargas de sinais opostos, separadas por uma distancia a
ao longo do eixo dos x. A situação do problema está representada na figura ao lado. Para grandes
distancias, comparada com a,
y
o campo elétrico sobre uma
x
carga de prova é cancelado.
E1
a
Considere inicialmente a E2
carga de prova localizada a
q0
q1 = -q
q2 = + q
x
esquerda da carga negativa
(veja figura ao lado).
Para x ∈ (− ∞, − a ) →
E=
kq
kq
xˆ −
xˆ . (Esta situação está representada na figura
2
( x − a)
( x) 2
acima)
Para x ∈ (− a, 0) → E = −
kq
kq
xˆ −
xˆ , e
2
(a − x)
( x) 2
para x ∈ (0, + ∞ ) → E = −
kq
kq
xˆ +
xˆ .
2
( x + a)
( x) 2
O que acontece se x > 0 e x >> a?
Rearranjando a última equação, obtemos:
 2ax + a 2

1
1 
ˆ
E = kq  −
+ 2  x = kq  2
2
2
(
x
+
a
)
x 

 x ( x + a)
 2ax(1 + a )


2x
 xˆ = kq 
4
)
 x (1 + a

2x



 xˆ.


Levando em conta que x >> a, então (a/2x) tende a zero. Assim, a equação acima fica:
E=
2kqa
2kqa
xˆ , ou que a componente x do vetor E é: E x = 3 .
3
x
x
Linhas de Campo Elétrico devido a uma carga elétrica.
As linhas de campo é uma
representação da direção e sentido do
campo elétrico devido à carga elétrica
ou conjunto destas. As linhas de
campo (também denominada de linhas
de força) de uma carga pontual
positiva e negativa,estão mostradas
nas figuras ao lado. As linhas de força,
portanto, representam a direção e
sentido da força elétrica que atua sobre
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uma carga de prova caso esta seja colocada dentro deste campo.
Representação das linhas de força devido a duas cargas de
sinais contrários e próximas uma da outra esta mostrada na
figura ao lado. Veja que o sentido das linhas não é mais radial,
como anteriormente, mas segue uma configuração particular
que depende da distância entre as cargas e suas respectivas
intensidades. Na realidade, a configuração é resultado da soma
vetorial dos dois campos num ponto.
A figura abaixo também mostra as linhas de campo de duas
cargas de sinais iguais, porém com valores diferentes.
http://www3.ltu.edu/~s_schneider/physlets/main/efield.shtml
Outras simulações podem ser encontradas nos sites abaixo.
http://www.mta.ca/faculty/science/physics/suren/FieldLines/FieldLines.html (é bom)
http://www.colorado.edu/physics/2000/applets/nforcefield.html
http://www.cco.caltech.edu/~phys1/java/phys1/EField/EField.html
http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/kap18/RR447app.htm
Exercícios:
1) Duas cargas de 3,0 x 10-6C estão no eixo y. Uma na origem (0, 0), outra em (0, 6). Uma
terceira carga, q3 = 2x10-6C está em (8, 0). Qual a força total sobre q3? Considere a distancia em
metros.
2) Retire a terceira carga do exercício anterior e calcule o campo elétrico em (8m, 0).
3) Calcule o valor e direção do campo elétrico necessário para manter uma bola de ping-pong
flutuando. Considere a bola com carga total igual a +0,01 x 10-6C e massa igual a 2,5g.
EXCELENTE AULA PODE SER ACESSADA NO WEB ATRAVÉS DO LINK
http://ensinoadistancia.pro.br/EaD/Licensa/Fisica-3.swf (Prof. Kleber Mundim)
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