Oficina CNI/EF
Material do MONITOR
Oficina – Geometria
Nesta oficina serão trabalhados alguns conceitos geométricos importantes:
 Ângulos
 Paralelismo e perpendicularidade
 Polígonos e circunferência
 Simetria
O material tem o objetivo de desenvolver as seguintes habilidades:
 H24 – Identificar as figuras geométricas planas ou espaciais a partir de suas características.
 H25 – Classificar um ângulo a partir de sua medida.
 H26 – Reconhecer a posição relativa entre duas retas.
A ênfase será dada na prática do DESENHO, que raramente é trabalhada nos currículos da EJA, mas
que tem um grande potencial pedagógico para facilitar a compreensão dos conceitos geométricos.
Para isso, deverão estar disponíveis para cada aluno os seguintes equipamentos: régua, transferidor,
esquadro e compasso, além de lápis (bem apontado), borracha e papel.
A oficina está estruturada em duas etapas. A primeira etapa tem como objetivo despertar um “olhar
geométrico” nos alunos. Para isso serão usadas diversas imagens, sendo, portanto, desejável que
esteja disponível um retroprojetor ou “datashow”. Caso não haja nenhum equipamento para
projetar imagens, elas poderão ser impressas em papel.
Na segunda etapa, serão propostas algumas atividades para trabalhar os conceitos listados acima,
com ênfase, como foi dito, na prática do desenho.
1ª etapa – “Despertando o olhar geométrico”
O objetivo desta etapa é, essencialmente, fazer com que os alunos comecem a reparar nas
características ligadas à forma dos objetos.
Iniciar perguntando aos alunos o que eles entendem por geometria. Dizer que a geometria é, em
termos simplificados, um ramo da Matemática que se preocupa em estudar o espaço. O estudo das
formas, tamanhos e posições, entre outros, faz parte da geometria.
Propor aos alunos que deem uma olhada nos objetos ao seu redor, prestando atenção aos seguintes
aspectos:
- forma: Mostrar que as formas não são “aleatórias”, isto é, elas seguem alguns padrões e
regularidades. Por exemplo, é muito mais comum observarmos formas como esta:
do que como esta:
(basta ver as portas, mesas, janelas, telas de computador etc!)
Discutir a importância da linha reta, isto é, sua presença na forma das coisas.
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- simetria: Mesmo algumas formas mais complexas, especialmente aquelas encontradas na natureza,
possuem regularidades. Introduzir o conceito de simetria, identificando-a nas imagens abaixo. Sobre
simetria, uma boa leitura encontra-se em
http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap21s3.html
- ângulos:
Mostrar as seguintes imagens e discutir com os alunos como caracterizamos a diferença entre as
duas formas de estacionar os carros, introduzindo o conceito de ângulo como uma medida da
abertura entre duas retas ou pedaços de retas.
Como segundo exemplo de situação envolvendo ângulos, perguntar aos alunos qual a diferença
entre o sol do meio-dia e o sol das 5 da tarde. Conduzir a discussão para o ângulo de incidência dos
raios solares sobre a superfície da Terra.
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Mostrar, na imagem acima, que o ângulo de incidência determina o tamanho da sombra de um
objeto. No início da manhã ou no final da tarde, quando o ângulo com a superfície horizontal da
Terra é menor, ou mais rasante, as sombras são maiores do que próximo ao meio-dia. Da mesma
forma, ao meio-dia os raios solares atravessam uma espessura menor na atmosfera e, assim, são
menos atenuados. Por isso o sol do meio-dia é “mais forte”. No início da manhã e final da tarde, os
raios solares são mais atenuados, porque atravessam uma distância maior de ar. Assim, ficam “mais
fracos”.
- perpendicularidade e paralelismo
Pedir para os alunos observarem as famosas torres abaixo:
Torre de Pisa (Itália)
Torre Eiffel (França)
Perguntar se eles percebem a diferença entre ambas. Questioná-los sobre como eles caracterizam,
com base no conceito de ângulo, essa diferença. Introduzir o conceito de ângulo reto e mostrar que
esse é um ângulo especial, que está presente em inúmeras situações – nas construções (exceto na
torre de Pisa!), nos retângulos, que já foram mencionados anteriormente (portas, janelas, folhas de
papel...) etc. Pedir para os alunos darem outros exemplos de objetos ou situações em que
observamos ângulos retos. Introduzir o conceito de perpendicularidade entre retas ou segmentos de
reta.
Mostrar as duas imagens abaixo e pedir que os alunos identifiquem nelas retas. Discutir o conceito
de paralelismo e concorrência, a partir da ideia de retas que se encontram ou não. Mostrar que em
um retângulo, temos sempre dois pares de lados paralelos.
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2ª etapa – Atividades de desenho
Apresentar aos alunos os instrumentos de desenho, explicando para que serve cada um.
Régua: traçar linhas retas e medir comprimentos em linha reta.
Compasso: traçar arcos de circunferência e marcar distâncias1
Esquadro: traçar retas perpendiculares
Transferidor: medir ângulos
Atividade 1 – Medir um ângulo
Propor o seguinte exercício para os alunos:
A figura abaixo mostra uma menina observando o céu.
Saturno
Lua
Linha do horizonte
Com um transferidor, meça o ângulo formado entre:
a) a linha do horizonte e a linha de visão da Lua.
b) a linha do horizonte e a linha de visão de Saturno.
c) a linha de visão da lua e a linha de visão de Saturno.
1
O uso do compasso para marcar distâncias talvez não seja familiar. Quando queremos marcar no papel uma
determinada distância a partir de um ponto dado, abrimos o compasso com o comprimento desejado, fixamos
a ponta seca no ponto dado e marcamos a distância com a outra ponta. Várias atividades a seguir farão uso
dessa função do compasso.
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Comentário/resolução: O objetivo dessa atividade é familiarizar os alunos com o uso do transferidor.
Atenção deve ser dada ao posicionamento do centro do transferidor, que deve ficar sobre o olho da
menina.
Lua
Saturno
Linha do horizonte
Horizonte – Lua: aproximadamente 23°
Horizonte – Saturno: aproximadamente 11,5°
Lua – Saturno: aproximadamente 11,5°
Atividade 2 – Traçar retas que formem um determinado ângulo
Pedir que os alunos, usando o transferidor, desenhem duas retas que formem entre si:
a) um ângulo de 45°
b) um ângulo de 135°
Comentário/Resolução: Novamente, o objetivo é familiarizar os alunos com o uso do transferidor. O
primeiro passo é traçar uma reta e escolher um ponto, que será o vértice do ângulo. Em seguida,
posiciona-se a origem do transferidor neste ponto e a linha de 0° ao longo da reta desenhada.
Marca-se o ângulo de 45° e liga-se este ponto ao vértice:
marcar 45°
marca de 45°
45°
V
V
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Atividade 3 – Traçar retas paralelas
Trace uma reta paralela à reta r abaixo, usando a técnica do “esquadro deslizante”
r
Comentário/Resolução: A técnica do “esquadro deslizante” está ilustrada abaixo. É interessante
discutir que pode-se traçar infinitas retas paralelas à reta dada inicialmente. Basta deslizar mais ou
menos o esquadro.
r
Explicar o conceito de ângulos correspondentes: quando duas retas paralelas são cortadas por uma
concorrente, os ângulos indicados na figura abaixo (a e b) são chamados de ângulos
correspondentes, e têm a mesma medida:
t
As retas r e s são paralelas, e t é concorrente a ambas
r
a
Os ângulos a e b formam um par de ângulos correspondentes.
É a mesma “ponta do esquadro” que se encaixa em ambos os
ângulos. Portanto, ângulos correspondentes são iguais.
s
b
Atividade 4 – Traçar retas perpendiculares
a) Trace, usando um esquadro, uma reta perpendicular à reta r que a intercepta no ponto P
P
r
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Resolução:
r
P
b) Traçar a mesma reta, porém usando somente a régua e o compasso
Comentário/Resolução: Neste problema, começamos de fato a usar as técnicas de construção
características do desenho geométrico. O procedimento é o seguinte:
- Abrir o compasso com qualquer comprimento (cerca de 3 cm está adequado). Com a ponta seca
sobre o ponto P, girar o compasso marcando as duas interceptações com a reta r (pontos A e B),
como mostra a figura:
A
P
B
r
Uma vez marcados os pontos A e B, abrir o compasso com qualquer abertura, desde que maior que a
anterior (cerca de 6 cm está adequado). Com a ponta seca em B, traçar dois arcos de circunferência
que passem por cima e por baixo de P, como mostra a figura abaixo:
A
P
B
r
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Mantendo a abertura do compasso, repetir o mesmo procedimento, porém com a ponta seca agora
em A, de forma que os arcos de circunferência se cruzem, conforme indicado na figura abaixo:
A
P
r
B
Ao final do processo teremos duas interceptações entre arcos de circunferência. A linha que passa
por esses dois pontos é chamada de mediatriz do segmento AB2. Ela tem a propriedade de ser
perpendicular a AB e dividi-lo ao meio, justamente no ponto P (que é chamado ponto médio de AB).
∙
A
P
r
B
Atividade 5 – Desenhar uma circunferência
Traçar uma circunferência de raio 5 cm centrada no ponto O indicado abaixo.
∙O
2
Sobre o conceito de mediatriz, ver http://pt.wikipedia.org/wiki/Mediatriz
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Comentário/Resolução: O exercício é bastante simples. O objetivo é familiarizar o aluno com o uso
do compasso. Deve-se abri-lo com 5 cm, fixar a ponta seca em O e girá-lo com uma volta completa,
traçando a circunferência.
Atividade 6 – Desenhar um triângulo
Problema: Traçar um triângulo de lados 5, 12 e 13.
Resolução/comentário: Deixar que os alunos tentem resolver o problema, que parece simples mas
não é. Se tentarmos desenhar o triângulo somente com a régua, traçando um lado de 5 cm e em
seguida outro de 12 cm, provavelmente o triângulo não “fechará” com o lado de 13 cm. Isso porque
os lados de 5 e 12 têm que formar um ângulo específico, que não sabemos de antemão.
A técnica para resolver esse problema é a seguinte: traçamos inicialmente qualquer um dos lados,
por exemplo o de 5 cm. Este será o lado AB do triângulo ABC. O problema agora é determinar o local
do ponto C. Uma vez determinado o ponto C, o problema estará resolvido.
Sabemos que o ponto C está a 12 cm de A e a 13 cm de B (ou o contrário, 13 cm de A e 12 cm de B,
mas nesse contexto isso é irrelevante). Assim, abrimos o compasso com 12 cm, colocamos a ponta
seca em A e traçamos um arco de circunferência. Em seguida, abrimos o compasso com 13 cm,
colocamos a ponta seca em B e traçamos um segundo arco de circunferência. A intersecção entre os
dois arcos é justamente o ponto C que procuramos. Por quê? Porque a intersecção é um ponto que
está simultaneamente a 12 cm de A (pois faz parte do primeiro arco) e TAMBÉM a 13 cm de B (pois
faz parte do segundo arco). Assim, é o ponto que fecha o triângulo de lados 5, 12 e 13 cm.
Os desenhos abaixo ilustram as etapas da resolução:
Este ponto de intersecção está simultaneamente a 12 cm de A e
a 13 cm de B. Ou seja, é o ponto C que fecha o triângulo ABC
Os pontos desse arco estão todos a 13 cm de B
Os pontos desse arco
estão todos a 12 cm de A
C
12 cm
A
B
1º passo
A
B
2º passo
A
B
A
13 cm
B
5 cm
3º passo
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Atividade 7 – Divisão da circunferência em arcos iguais / polígonos regulares
Desenhar 3 circunferências. Dividir a primeira em 3, a segunda em 4 e a terceira em 6 partes iguais.
Comentário/Resolução: Esse exercício é, talvez, o mais importante de todos, pois envolve vários
conceitos. O objetivo principal é fazer com que os alunos percebam, desenhando com as próprias
mãos, a simetria e algumas propriedades dos polígonos regulares.
A seguir está descrito o procedimento3 para a divisão em 3 partes.
Iniciamos marcando um ponto qualquer da circunferência, que chamaremos de ponto A (o ponto O é
o centro da circunferência).
O∙
A
Em seguida, usando o transferidor, marcamos, a partir de A, um ângulo de 120° 4 e determinamos, a
partir dele, o ponto B da circunferência. Veja na figura:
marca de 120°
marcar 120°
B
120°
O∙
A
O ∙
A
O arco AB, portanto, é um terço da circunferência. Discutir esta ideia muito importante com os
alunos: a proporcionalidade entre o comprimento do arco e o ângulo central.
3
Faremos a divisão usando o transferidor, embora existam métodos mais “elegantes” usando apenas a régua e
o compasso.
4
Por que 120°? Porque é justamente o resultado da divisão de 360° por 3, uma vez que a circunferência (360°)
será dividida em 3 partes iguais.
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A partir de agora, usaremos apenas o compasso. Primeiramente, fixamos sua abertura em um valor
igual à distância ̅̅̅̅
AB. Para isso, basta colocar a ponta seca em B e abrir o compasso até A (essa
1
abertura define o arco associado a um ângulo central de 3 da circunferência, ou 120°). Em seguida,
mantendo a ponta seca em B, traçamos um pequeno arco, de forma a interceptar a circunferência no
ponto que chamaremos de C. Isso conclui a divisão da circunferência em 3 partes iguais. Veja na
figura abaixo.
B
B
AB
O∙
C
O∙
A
A
C
Vejamos agora a divisão da circunferência em 6 partes. O procedimento é praticamente o mesmo.
Iniciamos novamente marcando um ponto qualquer, o ponto A. Marcamos com o transferidor, a
partir de A, um ângulo de 60° (veja que agora o ângulo que nos interessa é a divisão de 360° por 6,
ou seja, 60°) e determinamos o ponto B:
marcar 60°
marca de 60°
B
O∙
A
O ∙
60°
A
1
Em seguida, abrimos o compasso com o comprimento ̅̅̅̅
AB (essa abertura define 6 da circunferência -
60°). Com a ponta seca em B, traçamos um arco que intercepta a circunferência em C.
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B
C
O ∙
A
Mantendo a mesma abertura e colocando a ponta seca em C, determinamos o ponto D.
C
B
O ∙
D
A
1
Continuamos com esse procedimento, traçando 6 de circunferência de cada vez, até obter o ponto F
Ou seja, continuamos colocando a ponta seca em D e determinando E; em seguida, colocamos a
ponta seca em E e determinamos F. Ao final, teremos a circunferência dividida em 6 partes iguais:
C
B
O ∙
D
E
A
F
O procedimento para a divisão da circunferência em 4 partes é exatamente o mesmo, porém usando
um ângulo de 90° (que é o resultado da divisão de 360° por 4).
Uma vez que as três circunferências estiverem divididas, pedir para os alunos que tracem os
polígonos ABC, ABCD e ABCDEF, nas respectivas circunferências. Mostrar a eles o conceito de
polígonos regulares: polígonos que têm todos os lados e todos os ângulos internos com as mesmas
medidas.
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Os três polígonos regulares desenhados estão mostrados abaixo. Mostrar que os polígonos regulares
sempre podem ser inscritos em uma circunferência (inscrito = “colocado dentro, sem folgas”).
B
C
B
90°
60°
60°
A
C
120°
90°
90°
A
D
Triângulo regular
(triângulo eqüilátero)
120° A
120°
90°
D
Quadrilátero regular
(quadrado)
120°
120°
60°
C
B
E
120°
F
Hexágono regular
Chamar a atenção dos alunos para o fato de que os polígonos regulares são figuras especialmente
simétricas, no sentido de possuírem vários eixos de simetria. Mas o que é um eixo de simetria? É
uma reta que divide as figuras em duas partes “espelhadas”, perfeitamente correspondentes. Veja
abaixo os eixos de simetria dos três polígonos. Observe que todos passam pelo centro da
circunferência que originou os polígonos. Assim, os polígonos regulares também possuem um
“centro” – que é justamente o centro da circunferência em que eles estão inscritos.
centro do quadrado
centro do hexágono
centro do triângulo
Mostrar aos alunos um aspecto interessante dos polígonos regulares: o triângulo é um polígono de 3
lados e possui 3 eixos de simetria; o quadrado tem 4 lados e 4 eixos de simetria; e o hexágono tem 6
lados e 6 eixos de simetria!
Discutir que a circunferência é um caso limite de um polígono regular de infinitos lados. Isto é, se
fôssemos aumentando sucessivamente o número de lados do polígono, ele se tornaria cada vez mais
próximo da circunferência. Assim, a circunferência é a mais simétrica das figuras planas, pois possui
infinitos eixos de simetria (qualquer reta que passe pelo centro da circunferência é um eixo de
simetria).
Um último aspecto da simetria dos polígonos regulares que deve ser discutido com os alunos: sua
divisão em triângulos isósceles. Se ligarmos os vértices de um polígono regular ao seu centro,
formaremos triângulos isósceles, onde os dois lados iguais são raios da circunferência onde o
polígono está inscrito. Veja nas figuras abaixo.
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120° 120°
90°
90°
90°
120°
90°
60°
60°
60°
60°
60°
60°
As linhas tracejadas que ligam o centro aos vértices são raios da mesma circunferência. Portanto,
têm a mesma medida e formam triângulos isósceles. Veja-os abaixo.
120°
30°
60°
90°
30°
45°
60° 60°
45°
Os triângulos do hexágono regular são,
além de isósceles, equiláteros.
Atividade 8 – Desenhar uma flor
Desenhar, usando régua e compasso, a flor da figura abaixo.
Comentário/Resolução: Esta atividade foi extraída de:
http://www.slideshare.net/coelhoelectrico/geometria-divertida-5
As instruções “passo a passo” para fazer o desenho estão bem detalhadas no site, inclusive com
imagens.
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