UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
Área de uma Região Delimitada por Dois
Gráficos
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Área de uma Região Delimitada por Dois
Gráficos
1.Área de uma região delimitada por dois gráficos
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
Se os gráficos de f e g estão ambos acima
do eixo x, podemos interpretar a área da região
entre os dois gráficos como a área da região sob o
gráfico de g subtraída da área da região sob o
gráfico de f.
Embora a figura anterior apresente os
gráficos de f e g ambos acima do eixo x, isto não é
necessário; o mesmo integrando [f (x) – g (x)] pode
ser usado, desde que ambas as funções sejam
contínuas e g (x) ≤ f (x) em todo o intervalo [a, b].
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
Com
poucas
modificações,
podemos
generalizar o uso de integrais definidas do cálculo
da área sob um gráfico para o cálculo da área de
uma região delimitada por dois gráficos.
Para isto, consideremos a área da região
definida pelos gráficos de f, g, x = a e x = b,
conforme a figura a seguir.
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
Área de uma Região Delimitada por Dois Gráficos
Se f e g são contínuas em [a, b] e g (x) ≤ f (x) para
todo x no intervalo, então a área da região delimitada
pelos gráficos de f e g, x = a e x = b é dada por
A = ∫ [f ( x ) − g ( x )] dx
b
a
1
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
Exemplo 1: Calcule a área da região delimitada
pelos gráficos de y = x2 + 2 e y = x, para 0 ≤ x ≤ 1.
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
Área = ∫ [f ( x ) − g ( x )] dx
b
Área entre f e g
a
(
)
= ∫  x 2 + 2 − ( x )  dx

0
1
1
(
Substituindo f e g
)
= ∫ x 2 − x + 2 dx
0
1
 x3 x2

= −
+ 2x 
2
3
0
=
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
Inicialmente, tracemos os gráficos das duas
funções. Pela figura seguinte, vemos que x ≤ x2 + 2
para todo x em [0, 1]. Fazemos então f (x) = x2 + 2
e g (x) = x, e calculamos a área como a seguir.
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
11
6
unidades quadradas
Determinando a antiderivada
Aplicando o Teorema Fundamental
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
Exemplo 2: Calcule a área da região delimitada por
y = 2 - x2 e y = x.
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
Neste problema, não são dados os valores de
a e b; devemos calculá-los determinando os pontos
de interseção dos dois gráficos. Para isto,
igualemos as duas funções e resolvamos em relação
a x; obtendo x = -2 e x = 1. Pela figura a seguir
vemos que o gráfico de f (x) = 2 - x2 está acima do
gráfico de g (x) = x para todo x no intervalo [-2, 1].
2
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
Determinemos inicialmente os interceptos
do gráfico, igualando a zero a função e resolvendo
em relação a x.
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
b
Área entre f e g
a
(
)
= ∫  2 − x 2 − ( x ) dx

−2 
=∫
1
−2
(−x
2
Igualar a função a zero
( x − 4 )( x + 1) = 0
Fatorar
x = 4 e x = −1
Resolver em relação a x
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
Área = ∫ [f ( x ) − g ( x )] dx
1
x2 − 3x − 4 = 0
Substituindo f e g
Pela figura a seguir, vemos que x2 – 3x - 4 ≤ 0
para todo x no intervalo [-1, 4]. Podemos, pois,
fazer f (x) = 0 e g (x) = x2 – 3x – 4 e calcular a
área como a seguir.
)
− x + 2 dx
1
 x3 x2

= −
−
+ 2x 
3
2

 −2
=
9
2
unidades quadradas
Determinando a antiderivada
Aplicando o Teorema Fundamental
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
Exemplo 3: Calcule a área da região delimitada
pelo gráfico de y = x2 – 3x – 4 e o eixo x.
3
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
Área = ∫ [f ( x ) − g ( x )] dx
b
Área entre f e g
a
(
)
= ∫ ( 0 ) − x 2 − 3 x − 4  dx

−1 
4
=∫
4
−1
( −x
2
Substituir f e g
)
+ 3 x + 4 dx
Estes três pontos de interseção determinam
dois intervalos de integração: [-2, 0] e [0, 2]. Pela
figura seguinte, vemos que f (x) ≤ g (x) no intervalo
[0, 2]. Devemos, assim, utilizar duas integrais para
calcular a área da região delimitada pelos gráficos
de f e g – uma para o intervalo [-2, 0] e outra para
o intervalo [0, 2].
4
 x3 3x2

= −
+
+ 4x 
2
 3
 −1
=
125
6
unidades quadradas
Determinando a antiderivada
Aplicar o Teorema Fundamental
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
Exemplo 4: Calcule a área da região delimitada pelos
gráficos de f (x) = 3x3 – x2 – 10x e g (x) = – x2 + 2x.
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
f (x ) = g(x)
Igualar f (x) e g (x)
3 x 3 − x 2 − 10 x = − x 2 + 2 x
Substituir f (x) e g (x)
3 x − 12x = 0
3
(
0
Área = ∫
0
−2
−2
[f ( x ) − g ( x )] dx + ∫0 [g ( x ) − f ( x )] dx
2
(3x
3
)
2
(
)
− 12 x dx + ∫ −3 x 3 + 12 x dx
0
Escrever em forma padrão
0
2
 3x 4

 3x 4

=
− 6 x 2  + −
+ 6x 2 
 4
 −2  4
0
)
3x x − 4 = 0
2
Área = ∫
3 x ( x − 2 )( x + 2 ) = 0
Fatorar
= ( 0 − 0 ) − (12 − 24 )  + ( −12 + 24 ) − ( 0 − 0 ) 
x = 0, x = 2 e x = −2
Resolver em relação a x
= 24
unidades quadradas
4
1.
Área
de
uma
região
delimitada por dois gráficos
É fácil cometer um erro ao calcular áreas
como a do Exemplo 4. Para verificarmos que nossa
solução é aceitável, podemos fazer um gráfico
cuidadoso da região em papel milimetrado e obter
então uma aproximação da área com auxílio da
malha impressa.
5