geometria
e medidas
números
e funções
O experimento
Experimento
Polígonos e circunferência
Objetivos da unidade
1. Estudar função quadrática tendo como motivação um problema
geométrico de otimização de áreas;
2. Conhecer problemas que envolvem funções de domínio limitado.
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Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Governo Federal
O experimento
Polígonos e
circunferência
Sinopse
O problema proposto envolve a soma das áreas delimitadas por
duas figuras geométricas, um polígono regular e uma circunferência.
Os alunos obterão uma função quadrática de domínio limitado, cuja
solução solicitará análise e esboço do gráfico.

Conteúdos
Função Quadrática, Gráficos;
Geometria Plana, Área e Perímetro.
Objetivos
1. Estudar função quadrática tendo como motivação um problema
geométrico de otimização de áreas;
2. Conhecer problemas que envolvem funções de domínio limitado.
Duração
Uma aula dupla.

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Introdução
Quando dividimos um pedaço de fio em
duas partes e construímos com cada pedaço
um polígono regular e uma circunferência,
e então somamos as áreas delimitadas
por eles, qual divisão no pedaço de fio
permite obter a maior área total?
Para analisar esse problema, podemos
descrevê-lo com uma função quadrática
e analisar seu gráfico. A função, contudo,
demandará mais atenção no domínio
para desenhar o gráfico.
Polígonos e circunferência
Deste modo, os alunos aprenderão
a analisar funções de domínio limitado,
procurando por seus mínimos e máximos.
Com isso, este experimento se torna
um ótimo instrumento para as aulas de
matemática, por tratar de questões que
aparecem na modelagem de diversos
problemas concretos, mas que são pouco
exploradas nos livros didáticos.
Na análise final que será feita no
Fechamento, os dados obtidos no expe
rimento permitirão verificar que, com
um perímetro fixo, quanto maior for o número
de lados do polígono, maior será a soma
das áreas por eles delimitada. É interessante
pensar que a figura obtida quando aumen
tamos indefinidamente o número de lados
de um polígono é uma circunferência.
Com isso, os alunos poderão ser levados
a descobrir um resultado muito importante
da geometria plana.
O Experimento 2 / 11
E;nf[h_c[dje
Material necessário
Papel de folha A4;
Tesoura;
Compasso;
Régua;
Calculadora.
fig. 1
Feb]edei[Y_hYkd\[hdY_W
Problema
Considere um ﬁo de 30 cm de comprimento
cortado em duas partes. Uma das partes será
destinada para a construção de um polígono
regular (de 3, de 4 ou de 6 lados) e outra
parte será destinada para a construção de
uma circunferência. A partir dessas informações, o seguinte problema é proposto:
Problema
Como devemos cortar o ﬁo de forma que
a soma das áreas delimitadas pelas duas
ﬁguras geométricas construídas seja
máxima?
fig. 2
E;nf[h_c[dje
) % ''
Preparação
Divida a classe em grupos de quatro alunos
e entregue para cada grupo uma Folha
do Aluno, uma folha de papel A4 e os outros
materiais necessários para a realização
do experimento.
Antes de iniciar a atividade, explique
o problema a ser resolvido e destine para
o estudo de cada grupo um dos seguintes
polígonos: quadrado, triângulo equilátero
ou hexágono regular. É interessante manter a
variedade de polígonos entre os grupos para
a realização do Fechamento, ou seja, cada
grupo deve estudar um polígono diferente.
Construção das ﬁguras
geométricas
Nesta etapa, o grupo tentará solucionar
o problema proposto, totalizando quatro
soluções diferentes. Para isso, os alunos
deverão realizar os seguintes procedimentos:
1. Considerando um ﬁo de 30 cm, escolha
o comprimento do ﬁo que será destinado
para a construção da circunferência ();
com o restante, construa o polígono;
Feb]edei[Y_hYkd\[hdY_W
etapa
'
2. Com o auxílio da régua e do compasso,
desenhe a circunferência e o polígono
na folha de papel A4. Numere cada um
dos pares de soluções de 1 a 4;
Aproveite este momento
para relembrar algumas
construções com régua
e compasso.
fig. 3
3. Complete todas as informações da tabela 1:
Construções
Perímetro
Comprimento da
do Polígono (cm)
circunferência (cm)
1
15
15
2
20
10
3
12
18
4
4
26
tabela 1
E;nf[h_c[dje
* % ''
4. Recorte as formas geométricas desenhadas.
Logo que os alunos terminarem a construção das formas geométricas, eles deverão
manipulá-las para responder à seguinte
pergunta:
Questão para os alunos
Para qual construção vocês obtiveram
a maior soma das áreas? Será que essa é
a maior soma possível?
Os grupos poderão encontrar diferentes
formas de resposta. Incentive a turma a fazer
sobreposições e recortes para comparar as
somas das áreas. O importante desta etapa,
envolvendo as construções, é a percepção
visual que eles obterão do problema.
fig. 4
Feb]edei[Y_hYkd\[hdY_W
etapa
A soma máxima
(
Nesta etapa, os alunos deverão encontrar
a expressão que fornece a soma das áreas
delimitadas pelo polígono regular e pela
circunferência. Com ela, esperamos que
eles encontrem o valor da soma máxima
analiticamente.
Soma das áreas delimitadas pelo polígono
e pela circunferência
Representando por o comprimento da parte
do ﬁo que formará o polígono regular e por o comprimento da parte do ﬁo que formará
a circunferência, para todos os casos,
temos que:
.
Sabendo que o perímetro da circunferência
é igual a , o raio da circunferência é dado
por . Com isso, a área
delimitada pela circunferência será igual a:
!
Os alunos podem denotar
por o comprimento da
parte do ﬁo que formará
a circunferência ou o lado
do polígono construído.
Com isso, formularão
funções diferentes das
obtidas aqui, mas que
também estão corretas.
Deste modo, temos, para cada um
dos polígonos:
E;nf[h_c[dje
+ % ''
Triângulo equilátero:
A área do triângulo regular com perímetro
igual a é dada por:
!
A obtenção da fórmula
da área dos polígonos
regulares é simples e está
descrita em termos gerais
no Guia do Professor.
Dessa forma, é possível encontrar
a expressão que fornece a soma das
áreas delimitadas pelo triângulo e pela
circunferência:
Usando aproximações para os valores
irracionais presentes na equação, , e , , obtemos a seguinte expressão:
, , , .
Como podemos observar, a expressão
encontrada é uma função quadrática na
variável , para . Note que varia neste intervalo pois ele representa
Feb]edei[Y_hYkd\[hdY_W
o comprimento destinado para a construção
do triângulo e, por isso, não pode ser negativo e também não pode exceder 30 cm que
é o tamanho do ﬁo original. Deste modo,
o gráﬁco da função é:
70
!
Chame a atenção dos
alunos para o domínio
da função, pois isso os
ajudará em seus estudos.
60
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
fig. 5 Gráﬁco da função
25
30
35
40
45
50
.
Quadrado:
Sabendo que a área delimitada pelo
quadrado com perímetro igual a é dada
por:
,
podemos encontrar a expressão que fornece
a soma das áreas delimitadas pelo quadrado
e pela circunferência:
E;nf[h_c[dje
, % ''
Usando aproximações para os valores
irracionais presentes na equação, , e , , obtemos a seguinte expressão:
, , , .
Neste caso também temos uma função
quadrática na variável , para .
Deste modo, o gráﬁco da função
é:
70
60
50
40
30
20
10
0
0
5
10
fig. 6 Gráﬁco da função
15
20
25
30
35
40
.
Feb]edei[Y_hYkd\[hdY_W
45
50
Hexágono regular:
Sabendo que a área delimitada pelo hexágono regular com perímetro igual a é dada
por igual a:
conseguimos calcular a expressão que fornece
a soma das áreas delimitadas pelo quadrado e
pela circunferência:
Usando aproximações para os valores
irracionais presentes na equação, , e , , obtemos a seguinte expressão:
, , , .
Novamente, temos uma função quadrática
na variável x, para . Deste modo, o gráﬁco
da função é:
E;nf[h_c[dje
- % ''
70
60
50
40
30
20
10
0
0
5
10
fig. 7 Gráﬁco da função
15
20
25
30
35
40
45
50
.
As funções obtidas são quadráticas,
, com , e os seus
gráﬁcos são parábolas com concavidade para
cima, ou seja, o vértice determina um mínimo
da função. Portanto, máximo delas ocorrerá
nas extremidades do domínio e só poderemos determinar o máximo dessas funções
pois este domínio é limitado e fechado.
Com a função encontrada, será pedido
para que os alunos esbocem seu gráﬁco
em um eixo cartesiano, anexo da Folha do
Aluno. Com base neste gráﬁco, eles devem
responder:
No momento em que
os alunos forem construir
o gráﬁco da função,
reforce a questão sobre
seu domínio.
A construção dos gráﬁcos
não é simples, pois as
expressões obtidas são
complicadas. Lembre-se
de que queremos apenas
um esboço.
Feb]edei[Y_hYkd\[hdY_W
Questão para os alunos
a.
b.
Qual é o máximo da função obtida?
Para este valor de máximo, o que acontece
com as ﬁguras geométricas construídas?
Uma vez que usamos para denotar
o comprimento do ﬁo destinado para a
construção do polígono regular, podemos
observar pelas figuras 5, 6 e 7 que o valor
de para o qual obtemos a soma máxima
das áreas é . Deste modo, obtemos a área
máxima quando utilizamos todo o ﬁo para
a construção da circunferência.
<[Y^Wc[dje
No momento em que todos os grupos
terminarem as etapas descritas na Folha
do Aluno, antes de discutir o resultado de
cada grupo, proponha a seguinte pergunta:
Questão para os alunos
Se vocês fossem construir duas circunferências com um ﬁo de 30cm de comprimento, como vocês o cortariam para que
a soma da área delimitada pelas duas partes
seja máxima?
E;nf[h_c[dje
. % ''
Seguindo um raciocínio análogo ao da
Etapa 2, encontramos a expressão para
a função da soma da área das duas
circunferências, e :
, , , .
Então, desenhe o gráﬁco dessa função na
lousa, chamando atenção para seu domínio
que deve ser respeitado, assim como ﬁzemos
nas outras funções: .
fig. 8 Gráﬁco da função
.
Feb]edei[Y_hYkd\[hdY_W
Depois, mostre que existem dois valores
de x para os quais obtemos soma máxima:
cm e , ou seja, a soma das áreas
delimitadas pela ﬁgura é máxima quando não
cortamos o ﬁo e construímos apenas uma
circunferência.
Quando terminar a análise do gráﬁco
anterior, peça para que os alunos veriﬁquem
as contas e o gráﬁco feito envolvendo a área
delimitada pelos polígonos regulares.
A seguir, promova um discussão com a classe
retomando as seguintes perguntas:
Questão para os alunos
a.
b.
Qual é o máximo da função obtida?
Para qual valor de obtemos a soma
máxima? Para esse valor, o que acontece
com as ﬁguras geométricas construídas?
Com base na resposta dos alunos, observe
que a soma máxima obtida, independentemente da função encontrada, é a mesma.
Como anteriormente, ela acontece quando
não cortamos o ﬁo e construímos apenas
a circunferência.
Escreva na lousa um exemplo de cada
uma das expressões das funções da soma
das áreas delimitadas por cada um dos
polígonos regulares e da circunferência.
O exemplo que apresentamos usa para
denotar o comprimento do ﬁo destinado
para a construção do polígono regular.
Novamente, ressalte a importância do
E;nf[h_c[dje
/ % ''
domínio das funções, que é o mesmo para
todas, e desenhe todos os gráﬁcos na lousa
no mesmo eixo cartesiano que desenhou
o gráﬁco anterior.
fig. 8
Por ﬁm, ﬁxando um valor de , é interessante mostrar para os alunos que a soma
das áreas delimitadas aumenta à medida
que aumenta o número de lados do polígono
regular, sendo que a área delimitada pela
circunferência construída é a mesma para
todas as somas, já que o valor de é ﬁxado.
Com isso, podemos concluir que:
Feb]edei[Y_hYkd\[hdY_W
Quanto maior for o número de lados
dos polígonos regulares construídos com
o mesmo perímetro, maior será a área
que eles delimitam.
Esse resultado está relacionado com
o teorema isoperimétrico: dentre todas
as curvas fechadas de mesmo perímetro,
a circunferência é a que delimita a maior
área. Esse resultado não será demonstrado,
pois envolve uma série de sutilezas que
demandam um domínio matemático muito
maior do que o esperado no Ensino Médio.
Porém, atividades como as que foram
propostas neste experimento, podem sensibilizar os alunos em relação a essa questão.
No Guia do Professor, o problema discutido
é apresentado com mais profundidade,
utilizando limites para encontrar o resultado
destacado anteriormente.
E;nf[h_c[dje
'& % ''
Ficha técnica
Autor
Leonardo Barichello
Coordenação de redação
Rita Santos Guimarães
Projeto gráfico
e ilustrações técnicas
Preface Design
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
José Tadeu Jorge
Vice-Reitor
Fernando Ferreira da Costa
Redação
Thaisa Aluani
Grupo Gestor
de Projetos Educacionais
(ggpe – unicamp)
Coordenador
Fernando Arantes
Gerente Executiva
Miriam C. C. de Oliveira
Revisores
Matemática
Antônio Carlos Patrocínio
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
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