IST - DECivil
Departamento de
Engenharia Civil
ANÁLISE DE ESTRUTURAS I
Tabelas de Análise de Estruturas
Grupo de Análise de Estruturas
IST, 2002
IST - DECivil
Formulário de Lajes
Eq. de Lagrange:
∂ 4w
∂ 4w
∂4w q
+
2
+
=
∂x4
∂ x 2∂ y2 ∂ y4 D
Equação de equilíbrio:
2
∂ 2 mxy
∂ 2 mx ∂ m y
+
+ 2
= −q
∂x 2
∂y2
∂ x∂ y
 mx 
1


y  = D ν
m 
 0
 xy 
Relações constitutivas:  m
ν
1
0
0  χ x

0  χ y

1 − ν   χ xy


,


χx

χy
χ
 xy

1

 =
2
ν
(
1
−
)D


Rigidez de flexão da laje:
D = Eh 3 / 12 (1 − ν 2 )
Relação curvatura-deslocamento:
χ x = −∂ 2 w / ∂ x 2
 1
− ν

 0
−ν
1
0
0  m x

0  m y

1 + ν   m xy
χ y = −∂ 2 w / ∂ y 2
χ xy = − ∂ 2 w / ∂ x ∂ y
Esforço transverso:
Esforço transverso efectivo:
Condições de fronteira:
Grupo de Análise de Estruturas
∂ m xy 
 ∂mx

vx = 
+
∂y 
 ∂x
rx = v
x
+
∂m
xy
∂y
x=a
∂ m xy
 ∂m y
v y = 
+
∂
y
∂x

. ry = v
x=a
y
+
∂ m xy
∂x


 y=a
.
y=a
encastramento, w = w , θ n = θ n
apoio simples, w = w , mn = mn
bordo livre, rn = rn , mn = mn
1


,


IST - DECivil
Formulário
Elemento de barra (viga)
Esforços e deformações independentes
Mi 
 θi 
 
 
X =  M j  , u = θ j 
Nj 
e j 
 
 
Matriz de flexibilidade elementar
2 1



L
F=
1 2

6 EI 
6I 
A

Relações deformações-esforços
u = FX + u
Viga simplesmente apoiada
Deslocamentos transversais y (x ) e momentos flectores M (x )
M ( x) = 0
T1.1
x
δi
δj
y
y( x) = δ i +
L
x
L
T1.2
Mi
M ( x ) = Mi +
Mj
x
y
δ j −δ i
y( x) =
M j − Mi
L
x
3M i 2 Mi − M j 3 
L 
x +
x 
 2 Mi + M j x −
6 EI 
L
L2

(
)
L
Grupo de Análise de Estruturas
2
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T1.3
P
x
a
M (x =
b
L
y
Caso particular: a=b=L/2
y( x =
L
PL
)=
2
4
L
PL3
)=
2
48EI

b
0≤ x ≤a
 PLx
M ( x) =  
a 
 P a − x  a ≤ x ≤ L
L 
 

P
0≤ x ≤a
[ ab( 2b + a ) x − bx 3 ]

6
LEI
y( x) =  P

− a 3 ( b + a ) + a( 2b 2 + 4ab + 3a 2 ) x − 3a( b + a ) x 2 + ax 3 ] a ≤ x ≤ L
 6 LEI [
Caso particular: momento a meio-vão
T1.4
M
x
a
b


M  L2
x + x3 

−
6 LEI  4


y ( x) = 
3
2
 M − 3L + 11L x − 3Lx 2 + x 3 

 6 LEI  4
4

0≤x≤
L
≤x≤L
2
L
y

M
0≤ x≤a
 − L x
M ( x) = 
M
M −
x a≤x≤ L

L
M

(2b 2 − 2ba − a 2 )x + x 3

6
LEI
y( x) = 
M

− 3a 2 (a + b ) + (5a 2 + 2b 2 + 4ba )x − 3(a + b )x 2 + x 3
 6 LEI
[
[
Grupo de Análise de Estruturas
]
0≤ x≤a
]
L
2
a≤x≤L
3
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Caso particular: p uniforme
T1.5
pi
y
pj
p
(
Lx − x 2 )
2
p  L3
L
1 4
y( x ) =
x − x3 +
x

EI  24
12
24 
M ( x) =
x
L
L
5 pL4
y( x = ) =
2
384EI
 L
L
1
1 3
M ( x ) =  pi + p j  x − pi x 2 + pi − p j
x
6
2
6 L 
 3
(
y( x) =
)

1  8 L3
7 L3   L
L
1 4
1
+ pj
+ p j  x 3 + pi
x − pi − p j
x5 
 x −  pi
 pi
EI  360
360   18
36 
24
120 L 
(
)
Utilização das tabelas
Sendo válida a sobreposição é conveniente decompôr as acções (ou os seus
efeitos) em parcelas mais simples. Seja, por exemplo, a acção representada na
tabela anterior, Tabela 1.5.
Esta carga trapezoidal pode ser representada pela recta p = mx + b com
p j − pi
m=
e b = pi . É fácil observar que a mesma recta pode ser obtida pela
L
sobreposição de duas rectas particulares (que tomem o valor unitário numa das
extremidades e o valor nulo na outra) devidamente escaladas:
p j − pi
x + pi =
L
x
x
= (1 − ) pi + p j
L
L
p=
Nas tabelas seguintes recorrer-se-á a esta decomposição ou à decomposição
alternativa em que se separa o termo constante (o b no caso anterior) do termo
linear ( o mx no caso anterior).
Grupo de Análise de Estruturas
4
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Viga simplesmente apoiada sujeita a variações de temperatura
T1.6
Variações de Temperatura
Deve identificar-se claramente a:
• variação no vão;
• variação na (altura da) secção.
Os 3 casos de variação no vão que constam das tabelas são:
1. variação uniforme no vão o que significa que todas as secções da viga
têm a mesma variação de temperatura;
2. variação crescente no vão a qual varia linearmente desde um valor
zero até ao valor máximo na extremidade oposta;
3. variação decrescente no vão a qual varia linearmente desde um valor
máximo até ao valor zero na extremidade oposta.
Graficamente representam-se estes casos de variação no vão na forma seguinte:
(constante)
(crescente)
(decrescente)
A variação na secção deverá, quando necessário e para utilização da tabela, ser
decomposta em:
1. variação linear na altura da secção com valores idênticos (mas de sinal
contrário) para as temperaturas nas fibras inferior e superior; denota-se
esta variação de temperatura por θ L a qual se considera positiva
quando a variação de temperatura na fibra inferior for positiva.
2. variação uniforme em altura, a qual se denota por θU e se considera
positiva quando a variação de temperatura for positiva.
Graficamente representam-se estes casos de variação na secção na forma
seguinte:
(uniforme)
(linear)
Exemplo (de variação na secção com variação nula no vão, ou seja, θi = θ j ) :
Se a temperatura na fibra inferior é de 5ºC e a temperatura na fibra superior é de
15ºC então:
θ L = −5º C e θU = 10º C
Grupo de Análise de Estruturas
5
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Distribuição de temperatura linear na secção,
θL
:
M ( x) = 0
Caso de variação constante no vão:
αθ L
y ( x) =
Lx − x 2
h
Caso de variação crescente no vão:
αθ L  1
1 3
y ( x) =
x−
x

h 3
3L 
[
]
Caso de variação decrescente no vão:
αθ L  2 L
1 3
y ( x) =
x − x2 +
x

h  3
3L 
em que
α
é o coeficiente de dilatação térmica do material e h é a altura da secção
Distribuição de temperatura uniforme na secção,
θU :
N ( x) = 0
Caso de variação constante no vão:
u ( L) = αθ U L
Caso de variação crescente no vão:
L
u ( L) = αθ U
2
Caso de variação decrescente no vão:
L
u ( L) = αθ U
2
Grupo de Análise de Estruturas
6
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Viga simplesmente apoiada sujeita a cargas axiais
T1.7
Q
a
y
x
b
Q 0 ≤ x ≤ a
N ( x) = 
0 a ≤ x ≤ L
u ( x0 ) =
L
1 x0
ε ( x )dx
EA ∫0
T1.8
L
1 2

N ( x ) =  qi + q j
− qi x + qi − q j
x

2
2 L 
(
qi
qj
y
)
(
)
x
L
Grupo de Análise de Estruturas
7
IST - DECivil
T2 Deformações independentes em barras com cargas de vão - Termos
correctores
Carga de vão
θi
θj
ej
P
Pab( L + b)
6 LEI
Pab( L + a )
6 LEI
0
Caso particular a=L/2
PL2
16 EI
Caso particular a=L/2
PL2
16 EI
0
0
M (3b 2 − L2 )
6 LEI
M ( L2 − 3a 2 )
6LEI
Caso particular a=L/2
ML
−
24 EI
Caso particular a=L/2
ML
24 EI
1 
8 L3
7 L3 
p
+
p
i
j
EI 
360
360 
1  7 L3
8 L3 
p
p
+
i
j
EI  360
360 
Caso particular pi = p j
Caso particular pi = p j
p i L3
24 EI
p i L3
24 EI
0
0
2
qi L2 2 q j L
+
6 EA 6 EA
αθ L L
h
αθ L L
h
αθU L
αθ L L
3h
2αθ L L
3h
1
αθ U L
2
2αθ L L
3h
αθ L L
3h
1
αθ U L
2
x
a
b
L
y
Q
a
x
b
L
y
M
x
a
y
b
L
pi
pj
y
L
qi
qj
y
x
x
Qa
EA
0
0
L
Variação de
temperatura uniforme
no vão
Variação de
temperatura crescente
no vão
Variação de
temperatura
decrescente no vão
Grupo de Análise de Estruturas
8
IST - DECivil
T.3 Deformadas para deslocamentos impostos
Tipo de barra
Imposição de rotação à Imposição de deslocamento
esquerda
transversal
bi-encastrada
encastrada-rotulada
encastrada-enc desliz.
Deformada da barra sujeita apenas a esforço
normal
NOTA:
A
deformada
final
da
barra
é
sempre
obtida
considerando a sobreposição dos diversos efeitos
nomeadamente:
•
a(s) rotação(ões) independentes;
•
o
deslocamento
transversal
relativo
entre
extremidades;
•
•
Grupo de Análise de Estruturas
o deslocamento axial relativo entre extremidades;
o efeito das solicitações de vão.
9
IST - DECivil
Forças de fixação devidas a cargas de vão
na barra bi-encastrada
MA
PL
8
Pab 2
L2
MB
VA
VB
NA
PL
8
P
2
P
2
−
Q
2
−
Q
2
Pba 2
L2
Pb 2 (3a + b)
L3
Pa 2 (a + 3b)
L3
−
Qb
L
−
Qa
L
−
−
M
4
M
4
3M
2L
−
Mb(2a − b)
L2
Ma ( 2b − a )
L2
6 Mab
L3
−
3M
NB
0
0
0
0
2L
6 Mab
L3
pL2
12
−
pL2
12
pL
2
pL
2
−
qL
2
−
qL
2
pL2
30
−
pL2
20
3 pL
20
7 pL
20
−
qL
6
−
qL
3
pL2
20
−
pL2
30
7 pL
20
3 pL
20
−
qL
3
−
qL
6
0
m
−m
0
0
mL
12
m
2
−
m
2
0
0
0
mL
12
−
−
mL
12
mL
12
∆T
2αθ L EI
h
−
2αθ L EI
h
∆T
0
−
2αθ L EI
h
∆T
2αθ L EI
h
Grupo de Análise de Estruturas
0
m
2
m
2
0
0
0
0
αθ U EA
− αθ U EA
2αθ L EI
Lh
αθ U EA
2
−
αθ U EA
2
αθ U EA
2
−
αθ U EA
2
−
−
2αθ L EI
Lh
2αθ L EI
Lh
−
2αθ L EI
Lh
10
IST - DECivil
Forças de fixação devidas a cargas de vão
na barra encastrada-rotulada
MA
θB
VA
VB
NA
3PL
16
PL2
32 EI
11P
16
5P
16
−
Q
2
−
Q
2
Pab( L + b)
2 L2
Pba 2
4 EIL
Pb (3L2 − b 2 )
2 L3
Pa 2 (3L − a)
2 L3
−
Qb
L
−
Qa
L
M
8
M ( L2 − 3b 2 )
2 L2
∆T
∆T
9M
8L
−
Ma (2b − a )
4 EIL
3Ma ( L + b)
2 L3
9M
8L
0
0
3Ma ( L + b)
2 L3
0
0
−
−
pL2
8
pL3
48EI
5 pL
8
3 pL
8
−
qL
2
−
qL
2
7 pL2
120
pL3
80 EI
27 pL
120
33 pL
120
−
qL
6
−
qL
3
8 pL2
120
pL3
120 EI
48 pL
120
12 pL
120
−
qL
3
−
qL
6
0
0
m
−m
0
0
mL
8
mL2
48EI
5m
8
−
5m
8
0
0
3m
8
−
3m
8
0
0
−
∆T
ML
16 EI
−
NB
mL
8
−
mL2
48EI
3αθ L EI
h
αθ L L
αθ L EI
h
αθ L L
2αθ L EI
h
0
Grupo de Análise de Estruturas
2h
2h
3αθ L EI
Lh
−
3αθ L EI
Lh
αθ U EA
− αθ U EA
αθ L EI
Lh
−
αθ L EI
Lh
αθ U EA
2
−
αθ U EA
2
2 αθ L EI
Lh
αθ U EA
2
−
αθ U EA
2
2αθ L EI
Lh
−
11
IST - DECivil
Forças de fixação devidas a cargas de vão
na barra encastrada-encastrada deslizante
MA
MB
VA
δB
3PL
8
PL
8
P
PL3
24 EI
−
Q
2
−
Q
2
Pa(b + L)
2L
Pa 2
2L
P
Pa 2 (a + 3b)
12 EI
−
Qb
L
−
Qa
L
NA
NB
−
M
2
−
M
2
0
−
ML2
8EI
0
0
−
Mb
L
−
Ma
L
0
−
Mab
2 EI
0
0
pL2
3
pL2
6
pL
pL4
24 EI
−
qL
2
−
qL
2
5 pL2
24
3 pL2
24
pL
2
7 pL4
240 EI
−
qL
6
−
qL
3
3 pL2
24
pL2
24
pL
2
3 pL4
240 EI
−
qL
3
−
qL
6
−
mL
2
−
mL
2
0
−
mL3
12 EI
0
0
−
mL
6
−
mL
3
0
−
mL3
24 EI
0
0
−
mL
3
−
mL
6
0
−
mL3
24 EI
0
0
∆T
2αθ L EI
h
−
2αθ L EI
h
0
0
αθ U EA
− αθ U EA
∆T
αθ L EI
h
−
αθ L EI
h
0
αθ L L2
6h
αθ U EA
2
−
αθ U EA
2
∆T
αθ L EI
h
−
αθ L EI
h
0
αθ L L2
αθ U EA
2
−
αθ U EA
2
Grupo de Análise de Estruturas
−
6h
12
IST - DECivil
Elemento de barra - deslocamentos prescritos
Deslocamentos independentes a considerar em cada nó
•
rotação;
•
deslocamento transversal.
A deformada obtém-se por sobreposição das 4 deformadas, correspondentes a cada um dos 4
deslocamentos considerados:
4
y ( x) = ∑ δ iϕ i ( x)
i =1
Efeito de δ1=1, δi=0 ∀ i ≠ 1
T4.1
1
x
ϕ1 ( x) = −
L
y
Efeito de δ2=1, δi=0 ∀ i ≠ 2
T4.2
x
1
ϕ 2 ( x) = −
1
(
− Lx 2 + x 3 )
2
L
L
y
Efeito de δ3=1, δi=0 ∀ i ≠ 3
T4.3
ϕ 3 ( x) = −
1
x
1 3
(
L − 3Lx 2 + 2 x 3 )
3
L
L
y
Efeito de δ4=1, δi=0 ∀ i ≠ 4
T4.4
1
y
1 2
(
L x − 2 Lx 2 + x 3 )
2
L
ϕ 4 ( x) = −
x
1
(
3Lx 2 − 2 x 3 )
3
L
L
Existindo deformação axial também se devem considerar os modos de deformação associados aos
deslocamentos independentes axiais. Contudo, estes modos não alteram a função
y ( x ) , a distância
da corda à posição deformada em cada ponto, que é o que se designa por deformada.
Grupo de Análise de Estruturas
13
IST - DECivil
Deformadas e forças de fixação na barra bi-encastrada
T5.1
MA
MB
VA
x
VB
1
a
b
L
y
  2 L − 3a  2  2a − L  3
  L2  x +  L3  x
y( x) = 
a − x +  2 L − 3a  x 2 +  2a − L  x 3
 L2 
 L3 

0≤ x≤a
a≤x≤ L
T5.2
MB
VA
VB
a
b
L
y
6 EI
6 EI
MB = − 2
2
L
L
12 EI
12 EI
VA = − 3
VB = 3
L
L
x
 3 2 2 3
0≤ x≤a
 − L2 x + L3 x
y( x) = 
3
2
1 − 2 x 2 + 3 x 3 a ≤ x ≤ L
 L
L
MA = −
MA
1
2 EI
( a − 2b)
L2
2 EI
M B = 2 ( b − 2a )
L
6 EI
VA = 3 ( b − a)
L
6 EI
VB = 3 ( a − b)
L
MA = −
Forças de fixação para força e momento unitários
T5.4
T5.3
1
MA
MB
VA
MA
x
− L2 a + 2 La 2 − a 3
MA = −
L2
− La 2 + a 3
MB =
L2
L3 − 3 La 2 + 2a 3
3 La 2 − 2a 3
VA =
V
=
B
L3
L3
Grupo de Análise de Estruturas
y
x
VB
a
b
L
MB
VA
VB
a
y
1
b
L
− L2 + 4 La − 3a 2
L2
−2 La + 3a 2
MB =
L2
6 La − 6a 2
−6 La + 6a 2
VA =
VB =
L3
L3
MA = −
14
IST - DECivil
Deformadas e forças de fixação na barra encastrada-apoiada
T6.1
MA
x
VA
VB
1
a
b
 3L − 3b 
 L −b 3
 − 2 L  x +  2 L3  x + L − b a ≤ x ≤ L



y ( x) = 
3
b
−
L
L
−
b 3




0≤ x≤a

x +  3 x

 2L 
 2L 
Libertação em B:
MA =
3EI
b
L2
VA =
3EI
3EI
b VB = − 3 b
3
L
L
Libertação em A:
3EI
MB = 2 a
L
Notar que a (b) é a distância desde a extremidade inicial
3EI
VA = − 3 a
L
3EI
VB = 3 a
L
T6.2
MA
x
1
VA
VB
a
b
L
y
Libertação em B:
MA = −
3EI
L2
  3 L − 3a  2  a − L  3
0≤ x≤a
  2 L2  x +  2 L3  x
y ( x) = 
a − x +  3 L − 3a  x 2 +  a − L  x 3 a ≤ x ≤ L
 2 L2 
 2 L3 

Libertação em A:
L
y
Libertação em B:
VA = −
3EI
L3
VB =
3EI
L3
(final) à secção da descontinuidade.
Libertação em B:

3 2
1 3
0≤ x≤a
 − 2 L2 x + 2 L3 x
y( x) = 
3
1
1 − 2 x 2 + 3 x 3 a ≤ x ≤ L
 2L
2L
Libertação em A:
3
1 3

1 − 2 L x + 2 L3 x a ≤ x ≤ L
y ( x) = 
3
1
−
x + 3 x3 0 ≤ x ≤ a
 2L
2L
Libertação em A:
MB = −
3EI
L2
VA = −
3EI
L3
VB =
3EI
L3
Forças de fixação para força e momento unitários
T6.4
T6.3
1
MA
1
MA
x
x
VA
a
y
VA
VB
a
b
L
−2 L2 a + 3 La 2 − a 3
MA = −
2 L2
3
2
2 L − 3 La + a 3
3 La 2 − a 3
VA =
VB =
2 L3
2 L3
Grupo de Análise de Estruturas
VB
y
b
L
− 2 L2 + 6 La − 3a 2
MA =−
2 L2
6 La − 3a 2
−6 La + 3a 2
VA =
VB =
2 L3
2 L3
15
IST - DECivil
Deformadas e forças de fixação na barra encastrada-encastrada deslizante
Libertação em B:

1 2
x
0≤ x≤a

2L
y( x) = 
1 2
a − x +
x a≤x≤ L

2L
Libertação em A:
1 2
 L
a≤x≤L
 2 − x + 2L x
y ( x) = 
L
1 2
− + b +
x 0≤ x≤a
 2
2L
T7.1
MA
MB
VA
x
1
a
b
L
y
EI
MA =
L
MB = −
EI
L
VA = 0
T7.2
MB
MA
1
VA
a
Libertação em A:
− 1 0 ≤ x ≤ a
y ( x) = 
0 a≤x≤L
b
L
y
MA = 0
Libertação em B:
0 0 ≤ x ≤ a
x y( x) = 
1 a ≤ x ≤ L
MB = 0
VA = 0
Forças de fixação para força e momento unitários
T7.4
T7.3
1
MA
MB
1
MA
x
y
a
b
L
−2 La + a 2
MA = −
2L
a2
MB =
2L
VA = 1
Grupo de Análise de Estruturas
x
VA
VA
a
MB
y
b
L
L−a
L
a
MB =
L
VA = 0
MA =
16