Ângulo entre planos secantes I
Sejam π e τ dois planos secantes que se interceptam na
reta r.
MA620 - Aula 6 – p. 1/1
Ângulo entre planos secantes I
Sejam π e τ dois planos secantes que se interceptam na
reta r.
Seja ρ um plano perpendicular a r; ele cortará π e τ em
retas concorrentes sπ e sτ , respectivamente.
MA620 - Aula 6 – p. 1/1
Ângulo entre planos secantes I
Sejam π e τ dois planos secantes que se interceptam na
reta r.
Seja ρ um plano perpendicular a r; ele cortará π e τ em
retas concorrentes sπ e sτ , respectivamente.
A medida do ângulo entre π e τ é por definição igual a
medida do (menor) ângulo entre as retas sπ e sτ .
MA620 - Aula 6 – p. 1/1
Ângulo entre planos secantes I
Sejam π e τ dois planos secantes que se interceptam na
reta r.
Seja ρ um plano perpendicular a r; ele cortará π e τ em
retas concorrentes sπ e sτ , respectivamente.
A medida do ângulo entre π e τ é por definição igual a
medida do (menor) ângulo entre as retas sπ e sτ .
Este ângulo independe da escolha do plano perpendicular
a r: qualquer outro plano perpendicular a r será paralelo a
ρ, e cortará π e τ em retas paralelas asπ e sτ .
MA620 - Aula 6 – p. 1/1
Ângulo entre planos secantes I
Sejam π e τ dois planos secantes que se interceptam na
reta r.
Seja ρ um plano perpendicular a r; ele cortará π e τ em
retas concorrentes sπ e sτ , respectivamente.
A medida do ângulo entre π e τ é por definição igual a
medida do (menor) ângulo entre as retas sπ e sτ .
Este ângulo independe da escolha do plano perpendicular
a r: qualquer outro plano perpendicular a r será paralelo a
ρ, e cortará π e τ em retas paralelas asπ e sτ .
O ângulo entre planos paralelos ou coincidentes é por
definição nulo.
MA620 - Aula 6 – p. 1/1
Ângulo entre planos secantes II
Teorema: O ângulo formado por dois planos é igual ao
ângulo formado por duas retas concorrentes
respectivamente perpendiculares a estes planos.
MA620 - Aula 6 – p. 2/1
Ângulo entre reta e plano secantes I
Seja r uma reta que corta o plano π em um ponto P .
MA620 - Aula 6 – p. 3/1
Ângulo entre reta e plano secantes I
Seja r uma reta que corta o plano π em um ponto P .
Trace a única reta s que é perpendicular a π e passa pelo
ponto P .
MA620 - Aula 6 – p. 3/1
Ângulo entre reta e plano secantes I
Seja r uma reta que corta o plano π em um ponto P .
Trace a única reta s que é perpendicular a π e passa pelo
ponto P .
As retas r e s definem um plano que corta π em uma reta
r′ , chamada projeção ortogonal de r em π .
MA620 - Aula 6 – p. 3/1
Ângulo entre reta e plano secantes I
Seja r uma reta que corta o plano π em um ponto P .
Trace a única reta s que é perpendicular a π e passa pelo
ponto P .
As retas r e s definem um plano que corta π em uma reta
r′ , chamada projeção ortogonal de r em π .
O ângulo entre r e π é por definição igual ao ângulo entre r
e sua projeção ortogonal r′ .
MA620 - Aula 6 – p. 3/1
Ângulo entre reta e plano secantes II
Teorema: O ângulo entre uma reta r e um plano π é o
menor ângulo formado entre r e uma reta qualquer do
plano π .
MA620 - Aula 6 – p. 4/1
Ângulo entre retas reversas
Lembre que o ângulo formado por duas retas reversas r e s
é definido como sendo o ângulo formado pelas retas
concorrentes r e s′ tal que s′ é paralela a s.
MA620 - Aula 6 – p. 5/1
Exercícios I
Qual é o ângulo formado por faces adjacentes de um
tetraedro regular?
MA620 - Aula 6 – p. 6/1
Exercícios I
Qual é o ângulo formado por faces adjacentes de um
tetraedro regular?
Considere três retas mutuamente perpendiculares x, y , e z ,
concorrentes em um ponto O . Seja r uma reta passando
por O , formando ângulos α, β e γ com as retas x, y , e z ,
respectivamente.
É verdade que α + β + γ = 90o ?
Mostre que cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
MA620 - Aula 6 – p. 6/1
Esferas
A esfera E de centro O e raio R é o cunjunto de dos pontos
no espaço cuja distância a O é igual a R.
MA620 - Aula 6 – p. 7/1
Esferas
A esfera E de centro O e raio R é o cunjunto de dos pontos
no espaço cuja distância a O é igual a R.
Examinemos as possíveis posições relativas de uma esfera
E e um plano π :
MA620 - Aula 6 – p. 7/1
Esferas
A esfera E de centro O e raio R é o cunjunto de dos pontos
no espaço cuja distância a O é igual a R.
Examinemos as possíveis posições relativas de uma esfera
E e um plano π :
se a distância de π ao ponto O for maior que R, então E
e π não se interceptam.
MA620 - Aula 6 – p. 7/1
Esferas
A esfera E de centro O e raio R é o cunjunto de dos pontos
no espaço cuja distância a O é igual a R.
Examinemos as possíveis posições relativas de uma esfera
E e um plano π :
se a distância de π ao ponto O for maior que R, então E
e π não se interceptam.
se a distância de π ao ponto O for igual que R, então E
e π possuem um e apenas um ponto em comum.
MA620 - Aula 6 – p. 7/1
Esferas
A esfera E de centro O e raio R é o cunjunto de dos pontos
no espaço cuja distância a O é igual a R.
Examinemos as possíveis posições relativas de uma esfera
E e um plano π :
se a distância de π ao ponto O for maior que R, então E
e π não se interceptam.
se a distância de π ao ponto O for igual que R, então E
e π possuem um e apenas um ponto em comum.
se a distância de π ao ponto O for menor que R, então
E e π se cortam em um círculo.
MA620 - Aula 6 – p. 7/1
Plano tangente a uma esfera
Se um plano π em uma esfera E possuem um e apenas um
ponto P em comum, então π é dito tangente a E .
MA620 - Aula 6 – p. 8/1
Plano tangente a uma esfera
Se um plano π em uma esfera E possuem um e apenas um
ponto P em comum, então π é dito tangente a E .
A reta definida pelo centro da esfera O e o ponto P será
perpendicular a π .
MA620 - Aula 6 – p. 8/1
Plano secante a uma esfera
Se um plano π em uma esfera E possuem mais de um
ponto em comum, então π e E se cortam em um círculo.
MA620 - Aula 6 – p. 9/1
Plano secante a uma esfera
Se um plano π em uma esfera E possuem mais de um
ponto em comum, então π e E se cortam em um círculo.
Este círculo é centrado no ponto O ′ dado pela interseção
de π com a reta perpendicular a π passando por O .
MA620 - Aula 6 – p. 9/1
Plano secante a uma esfera
Se um plano π em uma esfera E possuem mais de um
ponto em comum, então π e E se cortam em um círculo.
Este círculo é centrado no ponto O ′ dado pela interseção
de π com a reta perpendicular a π passando por O .
Se o plano π contém o centro da esfera, então o círculo por
ele determinado é chamado de um círculo máximo.
MA620 - Aula 6 – p. 9/1
Exercícios II
Sejam P e Q dois pontos não diametralmente opostos de
uma esfera. Mstre que existe um e apenas um círculo
máximo passando por P e Q.
MA620 - Aula 6 – p. 10/1
Exercícios II
Sejam P e Q dois pontos não diametralmente opostos de
uma esfera. Mstre que existe um e apenas um círculo
máximo passando por P e Q.
Mostre que dois cículos máximos de uma esfera se
encontram em dois pontos diametralmente opostos.
MA620 - Aula 6 – p. 10/1
Exercícios II
Sejam P e Q dois pontos não diametralmente opostos de
uma esfera. Mstre que existe um e apenas um círculo
máximo passando por P e Q.
Mostre que dois cículos máximos de uma esfera se
encontram em dois pontos diametralmente opostos.
Sejam P e Q pontos do espaço. Qual é o lugar geométrico
dos pés das perpendiculares baixadas de P a retas
passando por Q?
MA620 - Aula 6 – p. 10/1
Exercícios II
Sejam P e Q dois pontos não diametralmente opostos de
uma esfera. Mstre que existe um e apenas um círculo
máximo passando por P e Q.
Mostre que dois cículos máximos de uma esfera se
encontram em dois pontos diametralmente opostos.
Sejam P e Q pontos do espaço. Qual é o lugar geométrico
dos pés das perpendiculares baixadas de P a retas
passando por Q?
Qual é o lugar geométrico dos pés das perpendiculares
baixadas de P a planos passando por Q?
MA620 - Aula 6 – p. 10/1