FUNÇÃO QUADRÁTICA: UMA POSSIBILIDADE DE ENSINO A PARTIR DE
UMA SITUAÇÃO PROBLEMA
Fernando Fabrin, [email protected]
Angélica Bohrer Schmalz, [email protected]
Palavras -chave: função quadrática; processo de ensino; planejamento de atividades
desencadeadoras de aprendizagem.
A presente escrita se configura como um relato reflexivo do planejamento de
atividades desencadeadoras de aprendizagem que consideram o conceito de função
quadrática. Este planejamento foi elaborado por bolsistas de iniciação à docência com a
intencionalidade de ser desenvolvido em uma turma de 1º ano do ensino médio em uma
das escolas parceiras do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência –
PIBID – da Universidade regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul.
O conceito de função surge, historicamente, relacionado com a Geometria e a
Álgebra – em especial, a partir do estudo de curvas representadas em gráficos cartesianos.
O estudo elementar das funções faz parte da Álgebra e o estudo mais avançado, onde
intervém a noção de infinitésimo, é feito na Análise Infinitesimal. Como mostra Bento
Caraça (2009), o grande desenvolvimento do conceito de função deve-se ao facto de
constituir uma poderosa ferramenta para o estudo dos mais diversos fenómenos naturais.
Refira-se, por exemplo, a queda dos corpos, o movimento dos planetas, as marés, a
propagação de ondas, o crescimento de populações… Mas também os fenómenos que
resultam da ação do homem são estudados com recurso a este conceito, que, hoje em dia,
é usado em todas as áreas da engenharia e da tecnologia, bem como no estudo da
economia, administração, gestão de empresas, etc.
Existem quatro modos principais de representar uma função:

através de enunciados verbais, usando a linguagem natural;

graficamente, usando esquemas, diagramas, gráficos cartesianos e outros
gráficos;

aritmeticamente, com recurso a números, tabelas ou pares ordenados; e

algebricamente, usando símbolos literais, fórmulas e correspondências.
Estes modos de representação podem ser usados em conjunto, sendo a
informação relativa a uma dada função apresentada muitas vezes
parcialmente numa representação e parcialmente noutras representações.
Como indicámos mais atrás, o estudo das funções constitui um dos
aspectos do pensamento algébrico que deve ser desenvolvido.
A partir de diferentes situações e considerando os diferentes registros, os alunos
devem compreender que uma função é uma correspondência entre dois conjuntos que
satisfaz uma certa condição. Isso é bem ilustrado pela representação em diagrama,
fazendo corresponder a cada elemento do domínio uma e uma só imagem. Esta
representação é também útil para exemplificar correspondências entre dois conjuntos que
são funções e correspondências entre dois conjuntos que não o são. No entanto, esta
representação apenas é utilizável nos casos em que o domínio e o conjunto onde a função
toma valores têm um número reduzido de elementos.
A variação é outro dos aspectos importantes do conceito de função. Quando
efetuamos medições ao longo do tempo, observamos mudanças –por exemplo, “hoje faz
mais calor do que ontem” (mudança qualitativa), ou “esta planta tem mais 15 cm do que
no mês passado” (mudança quantitativa). A análise do crescimento de plantas pode dar
origem a registos como “A minha planta não cresceu nas três primeiras semanas, depois
cresceu durante três semanas e ao fim desse tempo não voltou a crescer mais”. Muitos
fenômenos têm taxa de variação constante, isto é, para qualquer valor de x, a razão entre
o incremento na variável dependente y e o incremento na variável independente x é
constante. Todos estes fenómenos podem ser representados por uma função afim, linear
ou não linear. No entanto, os alunos devem contatar com fenómenos com outros tipos de
variação, como o caso da planta, para que não fiquem com a ideia errada que todos os
processos de mudança têm taxas de variação constantes. Assim abordamos o crescimento
e decrescimento, as condições de existência, o domínio e a imagem.
A matemática então auxilia na compreensão de fenômenos das ciências, uma
construção histórica, num contexto social e cultural.
Com base na atividade em questão, como a que se segue, é proposto aos alunos
uma situação problema. Esta solicita que definam a maior área possível de um retângulo
que possui um perímetro de 20 cm. É solicitado aos alunos que construam uma área
retangular com esse perímetro sobre uma base já quadriculada em centímetro quadrado.
Assim sendo, os alunos deverão representar com o barbante, utilizando o formato de um
retângulo ou quadro, o que lhe for mais viável para a construção de uma área melhor
aproveitável dos 20 cm de perímetro. Com isso então é solicitado que façam diferentes
formas, ou seja, diferentes tamanhos de retângulos. As características destas
representações deverão ser generalizadas, um dos lados do retângulo pode ter a
denominação de “x” e o outro lado então ser representado por “10 – x”. A partir desse
enunciado temos então a equação em que 2x + 2y = 20, em que x é a medida de um dos
lados do retângulo, e y a outra medida do outro lado. Então em uma tabela os dados serão
anotados
x + y = 10
y = 10 - x ( que representa um dos lados do triangulo)
Para a área temos então:
A = x (10 – x) (em que x será então um dos lados e 10 – x, vai ser o outro lado do
retângulo.)
Área = 10x - x²
A partir de uma série de procedimentos, os alunos deverão perceber as grandezas
envolvidas e a relação de dependência entre elas. Os dados obtidos e colocados na tabela
deverão ainda ser representados graficamente.
Dessa forma, acreditamos que os alunos podem ir elaborando várias ideias
constitutivas do conceito de função quadrática. A representação gráfica dos dados se faz
na forma de parábola voltada para baixo, tendo assim, um ponto de máximo. Este ponto
de máximo representará o valor do lado (x) do retângulo de maior área possível com o
perímetro igual a 20 cm.
A presente atividade tem por objetivo possibilitar que os alunos percebam as
grandezas envolvidas na situação, bem como a relação que se estabelece entre a medida
do lado e a área do retângulo a partir da definição do perímetro e da figura geométrica.
Com um pedaço de barbante com 20 cm de comprimento o aluno deverá, de forma prática
representar um retângulo ou quadrado com a maior área possível. Os dados obtidos a
partir desta representação deverão ser anotados em um quadro representado por colunas:
medida da largura, medida do comprimento, medida o perímetro e medida da área. Com
este quadro, temos o valor de Y que será o valor da área, e X o valor de um dos lados do
retângulo ou quadrado onde teremos uma parábola na formação do gráfico seja colocado
em uma coluna o valor de que seja elaborado uma função de 2º grau a partir das
configurações dos retângulos estabelecidos pelos alunos, como podemos ver na Figura 1.
A partir de processos de generalização considerando os diferentes procedimentos
propostos aos alunos estes deverão representar a função também na forma algébrica: y=
- x² + 10x.
Figura 1: representação gráfica da situação.
Assim, será proposto a introdução do estudo de função quadrática possibilitando
que o aluno perceba qual as medidas dos lados para se ter um aproveitamento maior de
área, através do perímetro dado.
Portanto, espera-se que com o desenvolvimento deste planejamento, os alunos
possam ter uma aprendizagem significativa a respeito de função quadrática possibilitando
dar o devido significado e que consiga estabelecer as relações entre o “aspecto” gráfico e
os coeficientes de sua expressão algébrica, evitando a simples memorização de regras.
Referências
CARAÇA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Gradiva: Lisboa, 2009.