GABARITO DO GE5 – ONDAS ESTACIONÁRIAS, BATIMENTOS E EFEITO
DOPPLER
5.10) Problemas
GE 5.10.1) Duas ondas harmônicas
y1 = A sen [kx - ωt + φ1] e y2 = A sen [kx + ωt + φ2]
combinam-se para formar uma onda estacionária. Mostre que, ajustando-se a origem das
coordenadas e o início do tempo, a onda estacionária resultante pode ser escrita como
y = 2A sen (kx´)cos(ωt´ )
Determine os valores de x´ e t´.
Vamos escrever y1e y2 como
y1 = A sen(kx + A)
y 2 = A sen( kx + B)
sendo
A = −ω.t + Φ 1
B = ω.t + Φ 2
utilizando a identidade
a+b a−b
sen a + sen b = 2 sen
 cos

 2   2 
podemos escrever
y = y1 + y 2 = A sen(kx + A) + A sen(kx + B )
 2kx + A + B   A − B 
y = 2 A sen
 cos

2

  2 
Φ + Φ2  
Φ − Φ2 

y = 2 A sen kx + 1
 cos − ω.t + 1

2
2

 

então
1
Φ + Φ2  
Φ − Φ2 

y = 2 A sen(kx`) cos(ω.t `) = 2 A sen kx + 1
 cos − ω.t + 1

2
2

 

Φ + Φ2
kx`= kx + 1
2
Φ + Φ2
x`= x + 1
2
e
Φ1 − Φ 2
2
Φ1 − Φ 2
t `= t +
2
ω.t `= −ω.t +
Critério de correção: 100% para uma justificativa correta.
GE 5.10.2) Um poço com paredes verticais e com água no fundo entra em ressonância a
7,20 Hz e em nenhuma outra freqüência inferior. O ar no poço tem uma massa específica
de 1,21kg/m3 e um módulo de compressibilidade de 1,41 x 105 Pa. Qual a profundidade
do poço?
Se não existe freqüência abaixo de 7,20 Hz significa que essa corresponde ao harmônico
fundamental. Neste caso o comprimento do poço é igual a ¼ do comprimento de onda da
onda estacionária gerada.
L=
1
λ
4
como
v = f .λ ⇒ λ =
v
f
L=
1 v
1
=
4 f 4f
B
L=
1
1,41x10 5 Pa
4 x(7,20 Hz ) 1,21Kg / m 3
ρ
portanto
L = 11,9.m
Critério de correção: 100% para uma justificativa correta. -5% para erros de cálculos, -5%
para falta de unidades.
2
GE 5.10.3) A largura dos degraus em um anfiteatro em Los Angeles indicada na figura é
36 in (= 0,914m). Em que tom e freqüência uma única palma, batida no centro do palco,
será refletida retornando a ele?
Quando a largura dos degraus do teatro forem iguais a um número inteiro de comprimento
de onda, háverá interferência construtiva e a palma poderá ser ouvida no palco. De modo
análogo, se a largura dos degraus forem iguais a um número semi-inteiro de comprimento
de onda haverá interferência destrutiva. Logo
d = n.λ ⇒ d = n
v
f
n = 1,2,3,...
f =n
v
d
Portanto as freqüências possíveis são
v
d
344.m / s
f =n
0,914m
f = n.376.Hz
f =n
Critério de correção: 100% para uma justificativa correta. -5% para erros de cálculos, -5%
para falta de unidades.
GE 5.10.4) Um túnel reto passando através de uma colina amplifica grandemente tons de
135 a 138Hz. Determine o menor comprimento possível para o túnel.
Geralmente tubos finos produzem harmônicos superiores, enquanto que tubos grossos
produzem basicamente o harmônico fundamental. Desse modo, para o túnel n = 1 e
L=
vs
2f
sendo v s a velocidade do som no ar. Então
3
L=
344m / s
344m / s
= 1,27m e L =
= 1,25m
2 x135 Hz
2 x138 Hz
Então o menor comprimento que o túnel pode ter é de 1,25 m.
Critério de correção: 100% para uma justificativa correta. -5% para erros de cálculos, -5%
para falta de unidades.
GE 5.10.5) Em uma experiência com ondas estacionárias, uma corda com 92,4 cm é
amarrada ao dente de um garfo eletrificado que vibra perpendicularmente ao comprimento
da corda com uma freqüência de 60,0 Hz. A massa da corda é de 44,2g. Que força deve
ser aplicada à corda (com pesos dependurados à outra extremidade) se desejamos que
ela vibre com quatro nós?
Para que existam 4 nós (observe a figura abaixo) o comprimento da corda deve ser igual
a 3/2 do comprimento de onda da onda estacionária.
L=
3
3 v
3
⇒L=
λ⇒L=
2
2 f
2f
F
µ
então
4 L2 f 2
µ
9
F = 65,3.
F=
Critério de correção: 100% para uma justificativa correta. -5% para erros de cálculos, -5%
para falta de unidades.
GE 5.10.6) Podemos produzir ondas estacionárias longitudinais em um sólido segurando
um ponto de uma barra sólida entre os dedos e golpeando-a com a outra mão. A barra
oscila formando ventres nas duas extremidades.
(a) Por que as extremidades são ventres e não nós?
4
A barra de aço possui ondas estacionárias de modo análogo a um tubo aberto em ambas
as extremidades, como indicado na Figura (20-15). O comprimento da barra deve conter
um número inteiro de meios comprimentos de onda, portanto
fn =
nv
.
2L
As extremidades da barra são ventres porque estas extremidades podem oscilar
livremente.
(b) A freqüência fundamental pode ser obtida golpeando-se a barra quando ela é mantida
fixa no seu centro. Explique a razão pela qual este é o único local para se fixar a barra de
modo a se obter o harmônico fundamental.
O harmônico fundamental pode ser produzido quando a barra é sustentada no seu centro
porque existe um nó neste ponto.
Critério de correção: 100% para uma justificativa correta (sendo 50% para cada item).
GE 5.10.7) Uma estatueta pesada de alumínio está pendurada em um fio de aço. A
freqüência fundamental das ondas estacionárias transversais no fio é igual a 200 Hz. A
seguir a estatueta é imersa na água de tal modo que um terço de seu volume fica
submerso.
a) Qual é a nova freqüência fundamental?
A nova tensão F′ no fio é
F′ = F − B = ω −
(1 / 3ω ) ρ água
ρ A1
 1 ρ água 

= ω 1 −
 3 ρ A1 
 (1.00 x103 kg / m3 ) 
 = (0.8765)ω = (0.8765) F .
= ω 1 −
3
3 
 3(2.7 x10 kg / m ) 
A freqüência deve ser proporcional à raiz quadrada da tensão, logo
f′= (200 Hz) 0.8765 = 187 Hz.
b) Por que é uma boa aproximação considerar o fio como se estivesse fixo nas duas
extremidades?
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A água quase não oferece resistência para as ondas transversais no fio, e portanto um nó
deve ser localizado no ponto no qual a estatueta está presa no fio e não na superfície da
água.
Critério de correção: 100% para uma justificativa correta (sendo 50% para cada item),-5%
para falta de unidades, -5% para erros de cálculos.
GE 5.10.8) Muitos aeroportos possuem normas para ruídos restringindo a intensidade
máxima de uma onda sonora que um avião pode produzir quando ele levanta vôo. Em um
aeroporto da Califórnia a intensidade máxima permitida é igual a 98,5dB medida por um
microfone no final de uma pista com 1740m de comprimento. Um certo avião produz uma
intensidade sonora de 100,0 dB medida no solo quando ele está voando a uma altura de
1000m. Na decolagem este avião percorre 1200m da pista antes de abandonar o solo, a
partir deste ponto ele sobe com ângulo de 15°. Este avião viola a norma que limita o
ruído? Despreze os efeitos produzidos pela reflexão das ondas sonoras no solo.
A 1000 m o nível de intensidade sonora é 100,0 db. Isso significa que a essa altura o
detector (microfone) acusará uma intensidade de 1,0 x 10-2 W/m2, pois
β

 ⇒ I = I o .(10 10 )

−12
I o = 10 W / m 2
 I
 Io
β = 10. log
I = (10
−12
2
W / m ) x(10
100
10
) = 0,01.W / m 2
Sabemos que a intensidade varia com o inverso do quadrado da distância, pois
I=
P
4π .r 2
Então a razão entre as intensidades é dada por
I 1  r2 
= 
I 2  r1 
2
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O avião estará acima do detector quando estiver a uma altura de 145 m do solo [=540 m x
tg(ô)]
Logo
2
r 
 1000.m 
I 1 = I 2  2  = (0,01.W / m 2 ) x

 145.m 
 r1 
I 1 = 0,475.W / m 2 = 117.dB
2
Portanto o avião viola a norma que limita o ruído.
Critério de correção: 100% para uma justificativa correta, -5% para falta de unidades, -5%
para erros de cálculos.
GE 5.10.9) A fonte sonora do sistema de sonar de um navio opera com uma freqüência
igual a 22,0 kHz. A velocidade do som na água (suposta uniforme a 20°C) é igual a
1482m/s.
a) Qual é o comprimento de onda das ondas emitidas pela fonte?
O comprimento de onda é determinado diretamente da equação
v
f
1492m / s
λ=
22 x10 3 Hz
λ = 6,74.cm
λ=
Então
 4.95m / s 
4
f = 1 +
2,20 x10 Hz
344m / s 

f = 2,21x10 4 Hz
b) Qual é a diferença entre a freqüência das ondas irradiadas diretamente e a
freqüência das ondas refletidas por uma baleia que se aproxima diretamente do navio
com velocidade de 4,95m/s? O navio está em repouso na água.
Sabemos que pelo Efeito Doppler

v
f = 1 +
 vs

 f s

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Então
 4.95m / s 
4
f = 1 +
2,20 x10 Hz
344m / s 

f = 2,21x10 4 Hz
A diferença será então
∆f = (20,1KHz ) − (20,0 KHz )
∆f = 0,1KHz = 100 Hz
GE 5.10.10) Mostre que o semi-ângulo do cone de uma onda de choque é dado por sen θ
= v/vs.
Observando a geometria da figura abaixo notamos que
senα =
v.t
v
=
v s .t v s
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