Matemática 3
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
1.
A1 = α . R
5π
A1 =
. 20, como π = 3, temos :
3
5π
A1 =
. 20 ⇒ A1 = 100
3
100
5,55 _____ 1s
⇒x =
≅ 18
5,55
100 _____ x
Módulo 3
PARA
SALA
Lembrando...
Se duas figuras são semelhantes, temos:
A
A
I. 1 = k; 1 = k 2 , em que R1 e R2 são medidas lineares
A2
A2
e A1 e A2 são as áreas.
IV.
Resposta correta: B
60m → 30°
10m → x
60x = 300
3.
Círculo I
x=
300
= 5°
60
→ sen55° =
A1 =
π
.R
3
0,8 =
x
8
x
8
x = 6,4
Círculo II
I. cos 3015° = cos 135° = –cos 45° = −
4.
2
2
m +1
2
=−
⇒ 2m + 2 = − 2m + 2 2 ⇒
m−2
2
⇒ 2m + 2m = 2 2 − 2 ⇒ m(2 +
A2 =
2π
.r
9
III. Como R1 = R2, então
⇒
II. = 2 2 − 2 ⇒ m =
R 2
=
r
3
π
2π
2r
.R =
.r ⇒R =
⇒
3
9 3
3
2)
=
2)
=
4 2 −4−4+2 2
6 2 −8
⇒m=
=
4−2
2
=
2(3 2 − 4)
⇒m=3 2 −4
2
Resposta correta: C
IV. Como r e R são lineares, então K =
2
. Assim,
3
5.
Da
A1
4
= k2 =
A2
9
expressão
⎛ π 2nπ ⎞
⎛ π 2nπ ⎞
Vn = cos ⎜ +
⎟ + sen ⎜ 3 + 3 ⎟ ,
3
3
⎝
⎠
⎝
⎠
temos que:
⎛π 2 . 0 . π⎞
⎛π 2 . 0 . π⎞
I. P / n = 0 ⇒ V0 = cos ⎜ +
⎟ + sen ⎜ 3 +
⎟
3
3
⎝3
⎠
⎝
⎠
Resposta correta: B
2.
2 2 − 2 (2 −
2 + 2 (2 −
2) =
I. O comprimento completo do círculo é
C = 2π ⇒ C = 2π . 20 ⇒ C = 40π m
II. V = 20 km/h ⇒ V = 5,55 m/s
III. Observe a figura
⇒ V0 = cos
π
π
1
3
+ sen = +
3
3 2
2
II. P/n = 2
⎛π 2 . 2 . π⎞
⎛π 2 . 2 . π⎞
⇒ V2 = cos ⎜ +
⎟ + sen ⎜ 3 +
⎟⇒
3
3
⎝3
⎠
⎝
⎠
⎛ π 4π ⎞
⎛ π 4π ⎞
⇒ V2 = cos ⎜ +
+ sen ⎜ +
⇒
3 ⎟⎠
3 ⎟⎠
⎝3
⎝3
5π
5π
⇒ V2 = cos
+ sen
⇒
3
3
1
3
⇒ V2 = −
2
2
A1
III. V0 + V2 =
1
3
3
1
+
−
+ =1
2
2
2
2
Resposta correta: C
PRÉ-VESTIBULAR
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 3
1
6.
30o
Encontrando a 1ª determinação positiva:
− 830o 360o
1080o − 3
38π
38.180°
= 2280°
rad =
3
3
II.
250o
o
o
sen(–830 ) = sen250
Reduzindo ao 1º quadrante:
2280o
360o
2160o
6
o
120
Desta maneira:
FG 38π IJ = sen30 + cos120
H3K
F 38π IJ = 1 − 1
sen(–2850 ) + cos G
H3K 2 2
F 38π IJ = 0
sen(–2850 ) + cos G
H3K
sen(–2850o) + cos
o
o
o
o
o
o
o
o
sen250 = –sen20 , como sen20 = cos70 , então
sen250o = –cos70o
Resposta correta: B
Resposta correta: B
3.
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1.
I.
Para a medida do ângulo central em radianos temos
que o comprimento do arco é dado por A = α . r .
Assim, temos:
II.
Observe que o raio de circunferência maior é 4 e o da
menor, 2.
A1 =
2π
. 4,5 ⇒ A1 = π
9
III.
A 2 = α2 . r2
π = α2 . 6 ⇒ α2 =
π
6
Resposta correta: B
O caminho percorrido é o equivalente a duas metades
do círculo menor e um quarto do círculo maior. Sendo A
o comprimento total, então:
4.
I.
De acordo com o enunciado, temos:
2πr 2πr 2πR
+
+
2
2
4
2π . 4
A = π . 2+π . 2
4
A = 6π
A=
5π
A = αr
5π
2
II. Distância percorrida pelo ponteiro:
2π _____ 1 h
5
; x = = 1,25h = 1h e 15 minutos
5π
4
_____ x
2
Resposta correta: D
2.
Deixando cada ângulo entre 0 e 360°:
I.
– 2850o
2880o
2
5π = α . 2 ⇒ α =
360o
–8
PRÉ-VESTIBULAR
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 3
A1 + A2 + A3 + A4 + A5 = 2π . 5x
Resposta correta: A
5.
αx + 2αx + 3αx + 4αx + 5αx = 10πx
15αx = 10πx
10 πx
α=
15x
2π
α=
Rad
3
2 . 180°
α=
3
α = 120°
Substituindo valores para n:
•
•
•
•
•
FG 1+ 1 πIJ = senπ = 0
H2 K
F 2 + 1 πIJ = sen 3π = –1
n = 2 ⇒ x = sen G
H 2 K
2
F 3 + 1 πIJ = sen2π = 0
n = 3 ⇒ x = sen G
H 2 K
F 4 + 1 πIJ = sen 5π =
n = 4 ⇒ x = sen G
H 2 K
2
n = 1 ⇒ x1 = sen
2
3
Resposta correta: A
4
7.
O raio do ciclo trigonométrico é 1:
π
⎛ 5π
⎞
– 2π ⎟ = sen = 1
= sen ⎜
2
⎝ 2
⎠
5+1
π = sen3π =
n = 5 ⇒ x5 = sen
2
= sen(3π – 2π) = senπ = 0
FG
H
IJ
K
...
Desta maneira, os valores de x são 0, –1, 0, 1, 0...
Resposta correta: D
6.
cos30° =
I.
Sendo x o raio do arco menor, então:
II. cos60° =
OB
⇒
1
3
3
= OB ⇒ OB =
2
2
OA
1
1
⇒
= OA ⇒ OA =
1
2
2
O produto OA . OB é
3
3
1
=
.
2
4
2
Resposta correta: E
8.
Usando a equação α =
I.
Dividindo o ângulo por 360o
A
, teremos:
r
A1
x
A1 = α . x
α=
2450o
360o
2160
6
290
Desta maneira, tg2450o = tg290o
A
II. α = 2
2x
A2 = 2αx
A3
3x
A3 = 3αx
III. α =
A4
4x
A4 = 4αx
IV. α =
Sendo assim, tg290o = – tg70o
Resposta correta: D
A
V. α = 5
5x
A5 = 5αx
9.
Dividindo-se 1200° por 360°
Como a soma dos comprimentos é igual ao comprimento da circunferência maior, então:
PRÉ-VESTIBULAR
|
VOLUME 1
1200
|
360o
MATEMÁTICA 3
3
(120o)
3
sen1200° = sen120°
sen1200° = sen(180° – 120°)
sen1200° = sen60°
sen1200° = cos30°
Resposta correta: C
Fig. II (Hexágono regular inscrito na circunferência)
10. I. Se a pizza tem oito fatias, então o ângulo central que
é 2π rad vai ser dividido em oito partes.
II.
A6 = R
A = α.r
π
. r ⇒ r = 20 cm
4
III. Se r = 20 ⇒ d = 40 cm
Note bem:
I.
5π =
Resposta correta: B
11. Os ângulos suplementares possuem cossenos opostos,
ou seja, cos178o = –cos2o, cos176o = –cos4o, e assim por
diante. Então:
x = cos2o + cos4o + cos6o + ... – cos6o – cos4o – cos2o +
cos180o
x = cos180o
x=–1
Sendo assim:
125 I
b0,125g = FGH 1000
JK
b0,125g = 1000
125
x
A = α .r
π
.5
3
A=
5π
, como são 12 arcos iguais ao arco OF, temos:
3
–1
x
5π
= 20π
3
II. Existe também o arco maior que é dado pelo comprimento da circunferência:
2πR
2π . 5 = 10π
12 .
(0,125)x = 8
Resposta correta: B
12. Calculando S:
π
2π
4π
5π
S = sen
+ sen
+ senπ + sen
+ sen
+
3
3
3
3
sen2π + ... + sen8π
S=
A=
Total 30π
Resposta correta: B
14.
3
3
3
3
+
+0–
–
+ 0 + ... + 0
2
2
2
2
Fig. I
Fig. II
Soma zero
Observe que a soma forma ciclos que são iguais a zero.
S=0
17S = 0
Resposta correta: 0
É importante observar que:
I. O arco da circunferência PA é o caminho percorrido
por Aimê.
13. Observe as figuras:
Fig. I
II. O comprimento de PA é dado por:
4
PRÉ-VESTIBULAR
|
VOLUME 1
|
MATEMÁTICA 3
Após 10 voltas, o 1º ciclista terá percorrido 25m a mais
que o 2º ciclista, ou simplesmente, 1 radiano.
A=α.R
Resposta correta: C
α em radianos
Analisando a figura II, temos:
No triângulo AOR, temos:
5
cos θ = 2
5
cos θ =
1
2
θ = 60o
Então α = 120° ou α =
2π
rad
3
Logo, o comprimento de PA é:
A=
∴
2π
10π
.5 =
3
3
Q
π
3 10π
.Q = .
= 10
3
π
3
Resposta correta: 10
15. Sabemos que 1 radiano é o ângulo correspondente a um
arco de comprimento igual ao raio, que é de 25m.
Para o primeiro ciclista percorrer um radiano a mais que
o segundo, é necessário que ande 25 metros a mais.
Sendo x, a distância percorrida pelo segundo ciclista a
cada volta, teremos:
Nº de
voltas
1
2
3
...
10
Distância percorrida
pelo 1º ciclista
x + 2,5
2x + 5
3x + 7,5
...
10x + 25
Distância percorrida
pelo 2º ciclista
x
2x
3x
...
10x
PRÉ-VESTIBULAR
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MATEMÁTICA 3
5