Controlabilidade exata para uma equação hiperbólica de segunda
ordem com termos de ordem baixa
Waldemar D. Bastos
Adalberto Spezamiglio
Depto de Matemática, IBILCE, UNESP
15054-000, São José do Rio Preto, SP
E-mail: [email protected]
1
Introdução
nos lados do setor Ω∞ e Γ1 o restante. Assim, Γo é
composta de segmentos de reta enquanto que Γ1 é a
parte curva da fronteira de Ω. Consideramos controle
no domı́nio assim descrito, com controle atuando somente na parte curva da fronteira. Mais precisamente
provamos o seguinte teorema:
Consideramos aqui a controlabilidade exata na
fronteira para uma equação hiperbólica nas variáveis
independentes (x, y, t) ∈ R2 + 1 com coeficientes
constantes. Mais precisamente, estudamos controlabilidade para a equação P (∂)u = 0 em domı́nios não
suaves do plano, onde
2
2
[email protected]
Teorema 2: Seja Ω um polı́gono curvo, contido no
setor ângular Ω∞ , como descrito no parágrafo acima.
Então existe T > 0 tal que, dados (u0 , u1 ) ∈ H 1 (Ω)×
L2 (Ω), com u0 = 0 em Γo existe controle g ∈ L2 (Γ1 ×
[0, T ]) de modo que a solução u ∈ H 1 (Ω × [0, T ]) do
problema de valor incial e fronteira
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
P (∂) = ∂t
2 − ∂x2 − ∂y 2 + a0 ∂t + a1 ∂x + a2 ∂y + b,
e a0 , a1 , a2 , b são números reais satisfazendo
1
b − {a20 − a21 − a22 } ≥ 0.
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P (∂)u = 0
em Ω × [0, T ]
Seja Ω ⊂ R2 um domı́nio limitado, simplesmente
u(0)
=
u
,
u
(0)
=
u
em
Ω
0
t
1
conexo e com fronteira ∂Ω suave por partes e sem
cúspides. Chamamos polı́gono curvo um domı́nio
u=0
em Γo × [0, T ]
com tais caracterı́sticas.
Denotamos ν o vetor
B(∂)u = g
em Γ1 × [0, T ]
unitário normal externo de ∂Ω, ∂u
∂ν = ∇u · ν e
2
2
1
B(∂)u = αu + β ∂u
∂ν onde α + β 6= 0. Sejam H ,
1
0
L2 (= H 0 ), Hloc
e L2loc (= Hloc
) os espaços de Sobolev satisfaz u(T ) = ut (T ) = 0 em Ω.¤
usuais. Provamos o seguinte teorema:
Este teorema transfere para a equação P (∂)u = 0
2
o
resultado
provado por Bastos e Spezamiglio em [2],
Teorema 1: Seja Ω ⊂ R um um polı́gono curvo.
1
para
a
equação
de onda. Ressaltamos que o Teorema
Então existe T > 0 tal que, dados (u0 , u1 ) ∈ H (Ω)×
2
2
2
não
pode
ser
demonstrado
usando o método HUM,
L (Ω), existe controle g ∈ L (∂Ω × [0, T ]) de modo
1
de
J.-L.
Lions
[3].
Aqui,
utilizamos
o mesmo método
que a solução u ∈ H (Ω×[0, T ]) do problema de valor
utilizado
em
[1]
e
[2].
incial e fronteira
P (∂)u = 0
u(0) = u0 , ut (0) = u1
B(∂)u = g
em Ω × [0, T ]
em Ω
em ∂Ω × [0, T ]
Referências
[1] Bastos, W. D.; Delgado, M.A.J. Boundary control
for the 2-D wave equation on curved polygons.
Rev. Mat. Est., São Paulo, v.22, n.3, p.103-111,
2004.
satisfaz u(T ) = ut (T ) = 0 em Ω. ¤
Um caso particular do resultado acima é aquele
provado por Bastos e Delgado em [1]. Lá considerou- [2] Bastos, W. D.; Spezamiglio, A. A note on the controllability for the wave equation on nonsmooth
se o caso em que a0 = a1 = a2 = b = 0.
plane domains. Systems & Control Letters, n.55,
Seja Ω∞ o setor ângular (aberto) com vértice na
π
2
p.17-20, 2006.
origem de R e ângulo central m , onde m é algum inteiro positivo. Seja Ω um polı́gono curvo contido no [3] Lions, J.-L. Exact Controllability, Stabilization
interior de Ω∞ , distante da origem e com alguns de
and Perturbations for Distributed Systems. SIAM
seus lados apoiados nos lados do setor ângular Ω∞ .
Review, v.30, n.1, p.1-68, 1988.
Denotaremos Γo a parte da fronteira de Ω apoiada
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