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Um guindaste, cujo peso é P g , tem um
vão D entre os trilhos no qual está apoiado. Uma
carga de peso P c encontra-se a uma distância
d de um dos trilhos. Determinar a força de reação
do guindaste nos trilhos ao levantar a carga com
uma aceleração a = g , onde g é também a
aceleração local da gravidade.
Dados do problema






peso do guindaste:
peso da carga:
distância entre os trilhos do guindaste:
distância da carga a um dos trilhos:
aceleração de subida da carga:
aceleração da gravidade:
Pg ;
Pc ;
D;
d;
g;
g.
Esquema do problema
⃗ c ) atua no cabo do guindaste com uma força de tração ( T
⃗ )
A força peso da carga ( P
esta é transmitida pelo cabo para o guindaste (figura 1-A).
figura 1
Este sistema é equivalente a uma barra apoiada nas extremidades, de peso igual ao
⃗ g ) concentrado no centro no ponto D , com a tração no cabo ( T
⃗ )
peso do guindaste ( P
2
⃗1
devido à carga atuando a uma distância d de uma das extremidades, As forças de reação F
⃗
e F 2 estão aplicadas nos pontos de apoio das extremidades. Adota-se o sentido anti-horário
de rotação do corpo como sendo positivo (figura 1-B).
⃗1.
Adota-se o sistema de referência no ponto onde está a força de reação F
Solução
Separando a carga do guindaste e estudando as forças que atuam
nela podemos aplicar a 2.a Lei de Newton
⃗ = m⃗
F
a
Adotando o sentido positivo para cima na figura 2, temos
figura 2
1
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T −P c = m a
(I)
onde m é a massa da carga, sendo a força peso devido a carga dada por
P c = ma
então a massa será
m=
Pc
a
(II)
substituindo a expressão (II) em (I), obtemos
Pc
a
a
T −P c = P c
T = P c+P c
T = 2 Pc
T −P c =
(III)
Para que a barra permaneça em equilíbrio devemos ter as seguintes condições
∑F
i
=0
e
i
∑M i= 0
(IV)
i
Desenhando as forças que agem na viga num sistema de eixos
coordenados (figura 3) e aplicando a primeira condição de (IV), temos
F 1 +F 2−F T−P g = 0
substituindo a expressão (III), obtemos
F 1 +F 2−2 P c −P g = 0
(V)
O momento de uma força é dado por
MF =Fd
(VI)
figura 3
⃗ 1 ):
Momento da força de reação ( F
⃗1 ) e
Aplicando a expressão (V), temos a força (F) representada pela força de reação ( F
a distância será nula ( d = 0 ), a força de reação está aplicada no mesmo ponto tomado como
referência, portanto o o momento será
•
MF =0
(VII)
1
Momento da força de tração que sustenta a carga:
Aplicando a expressão (V), temos a força
⃗ ) que está
(F) representada força de tração ( T
aplicada num ponto a uma distância d do ponto de
referência, como ela tende a fazer a barra girar
contra o sentido escolhido o momento será
negativo (figura 4)
•
M T =−T d
figura 4
(VIII)
substituindo a expressão (III) em (VIII), temos
M T = − 2P c d
2
(IX)
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Momento da força peso da barra:
⃗g)
Aplicando a expressão (V), temos a força (F) representada força peso da barra ( P
que está aplicada no ponto médio da barra, como ela tende a fazer a barra girar contra o
sentido escolhido o momento será negativo (figura 5)
•
M P = −P g
g
D
2
(X)
figura 5
figura 6
⃗ 2 ):
Momento da força de reação ( F
⃗2 ) e
Aplicando a expressão (V), temos a força (F) representada pela força de reação ( F
a distância será o comprimento da barra ( d = D ), como ela tende a fazer a barra girar no
sentido escolhido o momento será positivo (figura 6)
•
M F = F2 D
(XI)
2
Aplicando a segunda condição de (IV), temos
M F +M T +M P +M F = 0
1
g
2
substituindo as expressões de (VII), (IX), (XI) e (XI), obtemos
D
+F 2 D = 0
2
D
−2 P c d −P g +F 2 D = 0
2
0−2 P c d −P g
(XII)
As expressões (V) e (XII) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas
F
F
( 1 e 2)
∣
F 1 +F 2 −2 P c −P g = 0
D
−2 P c d −P g +F 2 D = 0
2
da segunda equação temos de imediato o valor de F 2
D
+F 2 D = 0
2
D
F 2 D = 2 P c d +P g
2
−2 P c d −P g
F2 =
1
D
(
2 P c d+P g
D
2
)
Substituindo este valor na primeira equação, obtemos
F1+
1
D
(
2 P c d +P g
3
)
D
−2P c −P g = 0
2
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(
)
1
D
2 P c d +P g
+2 P c+P g
D
2
1
1
D
F 1 = − 2 P c d− P g +2 P c+P g
D
D
2
Pc d
Pg
F 1 = −2
+2 P c − +P g
D
2
F1 = −
colocando em evidência 2 P c do primeiro e segundo termos do lado direito da igualdade, e
multiplicando e dividindo o quarto termo por 2, temos
(
(
Pg
d
2
+1 − +P g
D
2
2
2
P
P
d
g
1−
+
− g
D
2
2
)
)
F1 = 2 P c −
F 1 = 2 Pc
(
F 1 = 2 P c 1−
4
Pg
d
+
D
2
)