6a. Lista de Exercícios de Cálculo I
MTM 5183 - Engenharia Eletrônica, Turma 1235
Profa. Melissa Weber Mendonça∗
30 de junho de 2011
1
Cálculo de Áreas entre Curvas
• Esboçar a região, decidir quando integrar em relação a x ou y e calcular a área.
1. y = 5x − x2 , y = x
2. y = x + 1, y = 9 − x2 , x = −1, x = 2
3. y = sin x, y = e x , x = 0, x = π/2
4. y = x, y = x2
5. y = x2 , y = x4
6. y = 1/x, y = 1/x2 , x = 2
√
7. y = 1 + x, y = (3 + x)/3
8. y2 = x, x − 2y = 3
2
Trabalho
10
Newtons em um
(1 + x)2
ponto x metros da origem. Calcule o trabalho realizado ao mover a partícula até a distância de
9 metros.
1. Uma partícula é movida ao longo do eixo x por uma força que mede
2. Quando uma partícula está localizada a uma distância de x metros da origem, uma força de
cos(πx/3) Newtons atua sobre ela. Quanto trabalho é feito ao mover a partícula de x = 1 até
x = 2? Interprete sua resposta considerando o trabalho feito de x = 1 até x = 1, 5 e de x = 1, 5
até x = 2.
3. Uma força de 10 Newtons é necessária para manter uma mola esticada cada 4 metros além
do seu comprimento normal. Quando trabalho é realizado para esticá-la do seu comprimento
natural até 6 metros além do seu tamanho natural?
4. Uma mola tem comprimento natural de 20 cm. Se uma força de 25 Newtons é necessária para
mantê-la esticada a um comprimento de 30 cm, qual o trabalho necessário para esticá-la de
20cm a 25cm?
∗
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1
5. Suponha que um trabalho de 2 Joules é necessário para esticar uma mola de seu comprimento
natural de 30cm para 42cm. Quanto trabalho é necessário para esticá-la de 35cm para 40 cm?
6. Se um trabalho de 6 Joules é necessário para esticar uma mola de 10cm para 12cm e um
trabalho de 10 Joules é necessário para esticá-la de 12cm para 14cm, qual é o comprimento
natural da mola?
7. Um aquário de 2m de comprimento, 1m de largura e 1m de profundidade (retangular) está
cheio de água. Encontre o trabalho necessário para bombear metade da água para fora do
aquário (considere que a densidade da água é 1000kg/m3 ).
8. Um tanque cilíndrico reto de raio 1, 2m e altura 3m está cheio de água. Achar o trabalho
efetuado para esvaziar o tanque pela parte superior.
9. Um reservatório cheio de água é da forma de um paralelepípedo retângulo de 1, 4m de profundidade, 4m de largura e 8m de comprimento. Encontrar o trabalho necessário para bombear a
água do reservatório ao nível de 1m acima da superfície do mesmo.
10. Os tanques abaixo estão cheios de água. Encontre o trabalho necessário para bombear a água
por cima. Suponha que a densidade da água é, no primeiro caso, 1000kg/m3 , e no segundo,
62, 5lb/pé.
a)
b)
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Massa e Centro de massa
1. Encontrar a massa total e o centro de massa de uma barra de 12cm de comprimento, se a
densidade linear da barra num ponto P, que dista x cm da extremidade esquerda, é 5x+7kg/cm.
2. Encontrar a massa total e o centro de massa de uma barra de comprimento 3m, se a densidade
linear da barra num ponto situado a x m do extremo é 5x2 + 3kg/m.
2
3. Calcular a massa total e o centro de massa de uma barra de 5m de comprimento, sabendo que
a densidade linear num ponto é uma função de primeiro grau da distância total deste ponto ao
extremo direito da barra. A densidade linear no extremo direito é 5kg/m e no meio da barra é
2kg/m.
4. Uma barra horizontal mede 8m de comprimento. No seu ponto médio, a densidade linear é
0, 8kg/m e cresce proporcionalmente ao quadrado da distância até este ponto. Se em uma das
extremidades a densidade é 16, 8kg/m, determinar a massa e o centro de massa da barra.
5. Determinar a massa e o centro de massa de uma barra que está localizada sobre o eixo dos x
com extremos nos pontos x = 0 e x = 1. A densidade linear da barra é dada por ρ(x) = e x .
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