Universidade Federal da Bahia
Instituto de Fı́sica
Unidade IV – Potencial Elétrico
FIS123 – Fı́sica Geral e Experimental III - E - Turma: T07
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1. O campo elétrico no interior de uma esfera não-condutora de raio R, com carga distribuı́da
uniformemente em seu volume, possui direção radial e intensidade dada por
E(r) =
qr
.
4π0 R3
Nesta equação, q (positiva ou negativa) é a carga total dentro da esfera e r é a distância
medida a partir do centro da esfera. (a) Tomando V = 0 no centro da esfera, encontre o
potencial elétrico V (r) dentro da esfera. (b) Qual a diferença de potencial elétrico entre um
ponto na superfı́cie da esfera e o centro dela? (c) Se q for positiva, qual desses dois pontos
está no potencial mais elevado?
2. Uma carga q está distribuı́da uniformemente por todo um volume esférico de raio R.
(a) Fazendo V = 0 no infinito, mostre que o potencial a uma distância r do centro, onde
r < R, é dado por
V =
q(3R2 − r2 )
.
8π0 R3
(b) Por que este resultado difere do resultado do item (a) do Problema 1?
(c) Qual a diferença de potencial entre um ponto sobre a superfı́cie da esfera e o centro
dela?
(d) Por que este resultado não difere daquele do item (b) da pergunta do Problema 1?
3. Uma casca esférica espessa de carga Q e densidade volumétrica de carga ρ uniforme é limitada
pelos raios r1 e r2 , onde r2 > r1 . Com V = 0 no infinito, determine o potencial elétrico V
em função da distância r contada a partir do centro da distribuição, considerando as regiões
(a) r > r2 ,
(b) r2 > r > r1 e
(c) r < r1 .
(d) Estas soluções coincidem em r = r2 e r = r1 ?
4. Na Figura 1, o ponto P está no centro do retângulo. Com V = 0 no infinito, qual o potencial
resultante em P devido às seis partı́culas carregadas?
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Figura 1: Problema 4
5. A Figura 2 mostra três partı́culas carregadas localizadas sobre um eixo horizontal. Mostre
que para pontos (como por exemplo o ponto P ) sobre o eixo e com r d, o potencial elétrico
V (r) é dado por1
V =
1 q
4π0 r
1+
2d
r
.
Figura 2: Problema 5
6. Um disco plástico está carregado em um de seus lados com uma densidade superficial de
carga uniforme σ, e depois três quadrantes do disco são removidos. O quadrante que sobrou
é mostrado na Figura 3. Com V = 0 no infinito, qual o potencial devido ao quadrante que
sobrou no ponto P , que está sobre o eixo central a uma distância z do centro original?
1
Dica: A configuração de carga pode ser vista como a soma de uma carga isolada e um dipolo.
2
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Figura 3: Problema 6
7. A Figura 4 mostra uma barra de plástico de comprimento L e carga positiva uniforme Q
localizada sobre um eixo x. Com V = 0 no infinito, determine o potencial elétrico no ponto
P1 sobre o eixo, a uma distância d de uma das extremidades da barra.
Figura 4: Problemas 7 e 9
8. (a) Usando a equação
Z
V =
dV =
1
4π0
Z
dq
,
r
mostre que o potencial elétrico em um ponto sobre o eixo central de um anel fino de carga
com raio R e a uma distância z do anel é
V =
1
q
√
.
4π0 z 2 + R2
(b) A partir deste resultado, deduza uma expressão para E em pontos sobre o eixo do anel.
9. A barra de plástico de comprimento L da Figura 4 possui densidade linear de carga nãouniforme λ = cx, onde c é uma constante positiva. (a) Com V = 0 no infinito, determine o
potencial elétrico no ponto P2 sobre o eixo y a uma distância y de uma das extremidades da
barra. (b) A partir desse resultado, determine a componente Ey do campo elétrico em P2 .
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(c) Por que a componente Ex do campo em P2 não pode ser determinada usando o resultado
do intem (a)?
10. (a) Use o resultado do Problema 7 para determinar a componente Ex do campo elétrico
no ponto P1 da Figura 42 (b) Use a simetria para determinar a componente Ey do campo
elétrico em P1 .
11. O potencial produzido por uma carga puntiforme Q localizada na origem é dado por
V =
Q
Q
p
.
=
2
4π0 r
4π0 x + y 2 + z 2
(a) Calcule os componentes Ex , Ey e Ez . (b) Mostre que o resultado do item (a) está de
acordo com o campo elétrico de uma carga puntiforme.
12. Uma esfera metálica com raio igual a ra está apoiada sobre uma base isolado no centro de
uma casca esférica metálica com raio externo rb . Existe uma carga +q na esfera interna e
uma carga −q na esfera externa.
(a) Determine o potencial V (r)3 para as regiões i ) r < ra ; ii ) ra < r < rb ; iii ) r > rb .
Considere V (r → ∞) = 0.
(b) Mostre que o potencial da esfera interna em relação à esfera externa é dado por
Vab
q
=
4π0
1
1
−
ra
rb
.
(c) Use o resultado do item (a) para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre
as esferas possui módulo dado por
E(r) = Vab
.
1
1
−
r2
ra
rb
(d) Use o resultado do item (a) para calcular o campo elétrico em ponto fora da esfera maior
a uma distância r do centro, sendo r > rb .
(e) Suponha que a carga na esfera externa não seja igual a −q, mas sim uma outra carga
com módulo diferente, digamos −Q. Mostre que as respostas dos itens (b) e (c) não se
alteram, porém a resposta do item (d) torna-se diferente.
2
3
Dica: Substitua primeiramente a distância d pela variável x no resultado.
Dica: O potencial é dado pela soma dos potenciais de cada esfera.
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13. No modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, um único elétron gira em torno de um único
próton descrevendo uma órbita circular de raio r. Suponha que o próton permaneça em
repouso.
(a) Igualando a força elétrica com a massa do elétron vezes sua aceleração, deduza uma
relação para a velocidade do elétron.
(b) Deduza uma relação para a energia cinética do elétron e mostre que seu valor é igual à
metade da energia potencial elétrica.
(c) Deduza uma relação para a energia total e calcule seu valor usando r = 5, 29 × 10−11 m.
Forneça sua resposta numérica em elétron-volts e em joules.
14. Um “cristal” unidimensional. Embora os cristais reais possuam três dimensões, um
modelo mais simples em uma dimensão serve para facilitar muitos cálculos. Imaginando um
modelo unidimensional de um cristal como o cloreto de sódio (NaC`), considere uma sucessão
alternada ao longo do eixo Ox de um ı́on positivo com carga +e com um ı́on negativo com
carga −e, sendo d a distância uniforme entre esses ı́ons (Figura 5). Suponha que as cargas
se distribuam uniformemente até o infinito em ambos sentidos.
(a) Considere a energia potencial entre o ı́on que está no ponto x = 0 e todos os outros ı́ons.
Isso representa a energia potencial por ı́on nesse “cristal” unidimensional. Escreva uma
expressão para essa energia potencial (sua relação deve ser uma série infinita).
(b) Calcule a série do item (a) usando o desenvolvimento em série
ln(1 + z) = z −
z2
z3
z4
+
−
+ ...
2
3
4
válida para o caso |z| ≤ 1.
(c) A energia potencial por ı́on para um ı́on negativo possui o mesmo valor para um ı́on
negativo nesse “cristal”? Explique seu raciocı́nio.
(d) Em um cristal real de NaC` em três dimensões, a distância entre dois ı́ons adjacentes é
igual a 2, 82 × 10−10 m. Usando essa distância para o valor de d indicado na Figura 5,
calcule a energia potencial por ı́on para o cristal unidimensional.
(e) Para muitos cristais iônicos reais (em três dimensões), tais como o NaC`, a energia
potencial por ı́on é aproximadamente igual a −8 × 10−19 J/ı́on. Compare esse valor com
o resultado que você achou no item (d). O modelo do “cristal” unidimensional indicado
na Figura 5 pode ser considerado bom?
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Figura 5: Problema 14
15. O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por
V (x, y, z) = A(x2 − 3y 2 + z 2 ),
onde A é uma constante.
~ na região.
(a) Deduza uma expressão para o campo elétrico E
(b) O trabalho realizado pelo campo quando uma carga de teste igual a 1, 50µC é deslocada
do ponto (x, y, z) = (0, 0, 0, 250)m até a origem é igual a 6, 00 × 10−5 J. Calcule A.
(c) Determine o campo elétrico no ponto (0, 0, 0, 250)m.
(d) Mostre que em qualquer plano paralelo ao plano xz os contornos equipotenciais são
cı́rculos.
(e) Qual é o raio do contorno equipotencial correspondente a V = 1280V e y = 2, 00m?
16. Fissão nuclear. O núcleo instável de urânio 236 pode ser considerado uma esfera uniformemente carregada com carga Q = +92e e raio R = 7, 4 × 10−15 m. Em uma fissão nuclear, ele
pode se subdividir em dois núcleos menores, cada um deles com a metade da carga e metade
do volume do núcleo de urânio 236 original. Essa foi uma das reações que ocorreram durante
a explosão da bomba atômica em Hiroshima, no Japão, em agosto de 1945.
(a) Determine os raios dos dois núcleos “filhos”, cada um deles com carga +46e.
(b) Como modelo simples do processo de fissão, imaginamos que imediatamente após a
fissão os dois núcleos “filhos” estão em repouso e quase em contato, conforme mostra
a Figura 6. Calcule a energia cinética de cada núcleo “filho” quando a distância entre
eles é muito grande.
(c) Nesse modelo, a soma da energia cinética de cada núcleo “filho” calculada no item (b)
é a energia liberada pela fissão do núcleo de urânio 236. Calcule a energia liberada pela
fissão de 10,0kg de urânio 236. A massa atômica do urânio 236 é igual a 236u, onde 1u
= 1 unidade de massa atômica = 1, 66 × 10−27 kg. Expresse sua resposta em joules e em
quilotons de TNT (1 quiloton de TNT libera 4, 18 × 1012 J durante sua explosão).
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(d) Com base nesse modelo, discuta por que razão uma bomba atômica poderia também
ser chamada de “bomba elétrica”.
Figura 6: Problema 16
17. Em uma região existe uma distribuição de cargas esfericamente simétrica porém não uniforme.
Ou seja, a densidade volumétrica de cargas ρ(r) depende da distância r, mas não depende
dos ângulos das coordenadas esféricas θ e ϕ. O potencial elétrico V (r) dessa distribuição é
dado por

r 3 r 2
ρ a2

 0
+2
1−3
para r ≤ a,
180
a
a
V (r) =

0
para r ≥ a,
onde ρ0 é uma constante com unidades C/m3 e a é uma constante com unidade de metro.
~ para as regiões r ≤ a e r ≥ a. Explique por que E
~ possui
(a) Deduza uma expressão para E
apenas componente radial.
(b) Deduza uma expressão para ρ(r) nas duas regiões r ≤ a e r ≥ a4
(c) Mostre que a carga total contida no interior de uma esfera de raio a ou superior a é
nula.
5
O resultado obtido é consistente com o campo elétrico para r ≥ a que você
calculou no item (a)?
4
5
Dica: Use a lei de Gauss para duas superfı́cies esféricas, uma de raio r e a outra de raio r + dr. A carga contida
na casca esférica de espessura dr é dq = 4πr2 ρ(r)dr.
Dica: Integre a expressão deduzida na parte (b) para ρ(r) sobre um volume esférico de raio superior ou igual a a.
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RESPOSTAS
1. (a)
5. Mostre!
−
q r2
8πε0 R3
6.
q 1
8πε0 R
7.
σ p 2
R + z 2 − |z|
8ε0
(b)
−
λ
ln
4πε0
(c) Para q > 0, a diferença no item anterior é negativa, logo o centro tem
L+d
d
8. Mostre!
potencial maior.
9. (a)
2. (a) Mostre!
c p 2
L + y 2 − |y|
4πε0
(b) Responda!
(c) Responda!
(b)
(d) Responda!
cy
4πε0
3. (a)
1 Q
4πε0 r
1
1
−p
|y|
y 2 + L2
!
(c) Explique!
10. (a)
(b)
ρ
3ε0
3r22
r2
r3
−
− 1
2
2
r
Q
ı̂
4πε0 x(x + L)
3Q
com ρ =
4π(r23 − r13 )
(b) Explique e determine!
(c)
~ = −∇V
~ .
11. Aplique E
ρ
r22 − r12
2ε0
12. (a)
q
4πε0
(d) Responda!
4. Determine
VP =
i.
1
1
−
ra
rb
ii.
6
1 X qi
4πε0 i=1 ri
q
4πε0
8
1
1
−
r
rb
̂
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iii. Nulo.
(c) Explique!
(b) Mostre!
(d) −1, 13 × 10−18 J
(c) Mostre!
(e) Explique!
(d) Calcule!
15. Faça!
(e) Mostre!
16. (a) 5, 9 × 10−15 m
13. (a)
(b) 2, 07 × 10−11 J
s
(c) 253 quilotons de TNT
e2
4πε0 mr
(d) Explique!
(b) Mostre!
17. (a)
(c) −13,6 eV

r
ρ r

 0 1−
r̂ para r ≤ a
a
~
E(r)
= 3ε0

~0 para r ≥ a
14. (a)
∞
−
e2 X (−1)k−1
2πε0 d
k
(b)
k=1
 4r

ρ 0 1 −
para r ≤ a
3a
ρ(r) =

0 para r > a
(b)
−
e2
ln 2
2πε0
9