Aquecimento da Água: Análise do Efeito do
Material Utilizado (inox ou alumínio) do Sistema
de Aquecimento (recipiente aberto ou fechado) e da
Solução Utilizada (água pura, água com sal ou água
com açúcar), em seu Tempo de Ebulição
Graziela Cristina Chaves de Castro
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Universidade Federal de Minas Gerais
Av. Antônio Carlos, 6627 - Belo Horizonte
Email: [email protected]
Resumo—Este trabalho apresenta um planejamento experimental, descreve suas etapas e realiza uma análise estatística dos
dados obtidos para o experimento de aquecimento da água, com
o objetivo de testar a influência dos fatores material, sistema
de aquecimento e solução, no tempo de ebulição da água. Os
fatores material e sistema de aquecimento, apresentam dois
níveis cada, sendo eles: inox ou alumínio e recipiente aberto ou
recipiente fechado, respectivamente. O fator solução, apresenta
sete níveis: água pura, água 1cs sal, água 2cs sal, água 3cs sal,
água 1cs açúcar, água 2cs açúcar, água 3cs açúcar, em que “cs”
refere-se à medida do soluto utilizado, em colheres de sopa.
Utilizou-se um planejamento fatorial generalizado, pois o fator
solução apresentava sete níveis. Na análise estatística dos dados
foi utilizado o teste ANOVA, que permite que vários grupos sejam
comparados. O teste é paramétrico (a variável de interesse deve
ter distribuição normal) e os grupos têm que ser independentes.
Ao inferir sobre as características de uma população a partir da
informação contida na amostra coletada, propondo um modelo
para os dados coletados, houve a necessidade da execução de
testes para validar este modelo e para visualizar a influência dos
fatores e seus níveis na variável de resposta. Os resultados obtidos
permitem concluir, considerando-se um nível de significância
de 0.05, que somente os fatores “sistema” e “solução” podem
influenciar no tempo de ebulição da água.
I. I NTRODUÇÃO
Quando aquecemos um líquido em um recipiente aberto,
formam-se bolhas, geralmente no fundo, onde é aplicado calor.
As primeiras pequenas bolhas que vemos são ar, expelido da
solução pelo aumento de temperatura. A certa temperatura,
grandes bolhas de vapor formam-se em todo o líquido. Essas
bolhas de vapor sobem para a superfície e se quebram. Quando
isso ocorre, o líquido está em ebulição. A temperatura na qual
um líquido ferve depende da pressão exercida sobre ele. No
caso da água, o valor tabelado é igual a 100oC, à pressão
atmosférica de 1 atm, que é a pressão atmosférica ao nível do
mar. É a temperatura de um líquido na qual sua pressão de
vapor é igual à pressão aplicada.
Para se formar uma bolha de vapor, a pressão no interior
da bolha, Pb , deve ser ao menos igual à pressão acima dela,
Ps . Como Pb é simplesmente a pressão de vapor do líquido,
concluímos que um líquido entra em ebulição a uma temperatura na qual a pressão de vapor iguala-se à pressão exercida
sobre sua superfície. Se esta pressão é 1 atm, nos referimos à
essa temperatura como ponto de ebulição normal. O ponto de
ebulição de um líquido pode ser reduzido pelo abaixamento
da pressão exercida sobre ele (aplicando vácuo, por exemplo).
Em altas altitudes (pressão reduzida) a temperatura de ebulição
da água em um recipiente aberto é mais baixa.
Uma solução é uma mistura homogênea de um soluto
(substância sendo dissolvida) em um solvente (substância que
efetua a dissolução). As soluções mais familiares estão no
estado líquido, especialmente aquelas nas quais a água é o
solvente.
Uma solução de um soluto não volátil ferve a uma temperatura maior e congela a uma temperatura menor que o solvente
puro. A elevação do ponto de ebulição é um resultado direto
do abaixamento da pressão de vapor. A qualquer temperatura
dada, uma solução tem pressão de vapor menor que a do
solvente puro. Portanto, uma temperatura maior deve ser
atingida antes de a solução ferver, isto é, antes que sua pressão
de vapor se torne igual à pressão externa.
Na evaporação, o movimento molecular ocorre predominantemente em um sentido: as moléculas, aos poucos, deixam
o líquido e se difundem no ar. Em um recipiente fechado,
o movimento das moléculas ocorre essencialmente em um
sentido: de líquido para vapor. Nesse caso, as moléculas de
vapor não podem escapar do recipiente. Algumas colidem
com a superfície e retornam ao líquido. Com o passar do
tempo, a concentração de moléculas no vapor cresce, como
também a velocidade de condensação. Finalmente, ela se
iguala à velocidade de vaporização e o líquido e o vapor
estão em equilíbrio dinâmico. Uma vez atingido o equilíbrio,
a concentração de moléculas na fase de vapor não varia com o
tempo. Isto significa que a pressão exercida pelo vapor sobre o
líquido permanece constante. A pressão do vapor em equilíbrio
com o líquido é denominada pressão de vapor. A 100oC, a
pressão de vapor da água chega a 1 atm (760 mmHg).
O ponto de ebulição de um líquido é a temperatura na
qual são formadas bolhas cheias de vapor no seu interior e
depende da pressão exercida sobre o mesmo. O ponto de
ebulição normal é a temperatura na qual um líquido ferve
quando a pressão acima do líquido é 1 atm (760 mmHg). Para
um líquido puro, a temperatura permanece constante durante a
ebulição. Se o líquido é impuro, esperamos que a temperatura
cresça continuamente durante a ebulição.
A quantidade de calor absorvido no aumento de temperatura
de uma substância depende de três fatores:
•
•
•
da massa da substância: quanto maior a massa, maior o
calor absorvido.
da variação de temperatura: quanto maior a variação de
temperatura, maior o calor absorvido.
do calor específico
q = ce × m × ∆t = quantidade de calor absorvida pela
água, em joules (J)
∆t = t f inal − tinicial
cal = quantidade de calor necessária para elevar a
temperatura de 1g de água em 1oC(1cal = 4,184J)
ce = calor específico da água = 4,18J/gxoC
m = massa da água = 1l = 1kg = 1x103 g
•
•
•
•
•
•
•
•
Planejamento fatorial com análise de variância, para 03
(três) fatores (material, sistema e solução), sendo inox e
alumínio; sistema aberto e sistema fechado; água pura,
água com 1 colher de sopa de sal, água com 2 colheres
de sopa sal, água com 3 colheres de sopa sal, água com
1 colher de sopa açúcar, água com 2 colheres de sopa de
açúcar e água com 3 colheres de sopa açúcar, os diferentes
níveis de cada fator, respectivamente.
Para analisar o efeito individual de cada fator sobre o
tempo de ebulição da água e os efeitos de interação entre
eles, foram realizadas quatro replicações do experimento.
Plano do experimento:
Fatores: 3
Nível dos Fatores: 2, 2, 7
Classes: 28
Replicações: 4 por classe
Observações totais: 112
Ordem das observações: aleatorizada (Minitab, versão 16)
Temperatura ambiente e 0,89atm
A ebulição é medida após o rompimento da 1a bolha na
superfície da solução.
Em temperatura ambiente (25oC) é esperado que a água
ferva a 98oC.
Nível de significância 0,05(5%): a hipótese nula será
rejeitada se for detectada uma diferença significativa entre
as médias dos 4 sistemas propostos.
Variável de Resposta: tempo de ebulição da água
A. Materiais e Métodos
O abaixamento do ponto de congelamento, como a elevação
do ponto de ebulição, é um resultado direto do abaixamento
da pressão de vapor do solvente pelo soluto. O ponto de
ebulição ou congelamento da solução é a temperatura na qual
o solvente em solução tem a mesma pressão de vapor que a
do solvente (líquido ou sólido) puro. A elevação do ponto de
ebulição e o abaixamento do ponto de congelamento, como o
abaixamento da pressão de vapor são propriedades coligativas.
Elas são diretamente proporcionais à concentração de soluto,
geralmente expressa em molalidade (m). [4]
II. P LANEJAMENTO P RÉ -E XPERIMENTAL
O objetivo deste experimento é inferir sobre as características de uma população a partir da informação contida na
amostra obtida e propor um modelo para os dados coletados,
verificando se existe diferença significativa entre as variações
do tempo de ebulição da água, relativas aos diferentes fatores
do experimento e suas interações, e se existir, estimar esta
diferença.
Para garantir as condições de identidade e independência dos dados coletados e evitar erros sistemáticos, optouse pela aleatorização na obtenção dos pontos experimentais,
utilizando-se para este fim, o Minitab 16, que é uma ferramenta
de análise estatística de dados.
Este experimento foi realizado, tendo como base as seguintes considerações iniciais:
A relação do material utilizado está listada abaixo:
•
•
•
•
•
•
•
•
Recipiente graduado de 1000 ml
Cronômetro
Panelas de inox e de alumínio de mesmo tamanho
Água (1l): não é totalmente pura (cloro)
Açúcar (15g, 30g, 45g)
Sal (15g, 30g, 45g)
3 queimadores de fogão de mesmo diâmetro - chama alta
constante
Termômetro químico Incoterm (vidro com mercúrio)
– Escala: −10oC + 310oC
– Divisão: 1oC (com grau de incerteza de uma unidade no último
dígito)
– Limite de erro: até 210oC, ±1oC / acima de 210oC, ±2oC
1) Protocolo do experimento:
•
•
Colocar 1l de água à temperatura ambiente no recipiente
graduado
Medir a temperatura do sistema com um termômetro e
anotá-la
– O valor dessa temperatura corresponderá ao tempo inicial (zero
minuto)
– A leitura com o termômetro foi feita um pouco abaixo da
superfície do líquido (nunca com o termômetro encostado no
fundo do recipiente)
•
•
•
•
•
Colocar a água pura (ou uma das soluções) em uma das
panelas e iniciar o aquecimento acendendo o queimador
do fogão na temperatura mais alta e, ao mesmo tempo,
acionando o cronômetro
No caso das soluções, o sólido foi dissolvido por agitação
até que fosse formada uma solução homogênea
Quando a água ferver (entrar em ebulição), anotar a temperatura e o tempo indicados nos respectivos medidores
No caso do recipiente tampado, esperar a temperatura
alcançar 1 minuto a menos que a temperatura de ebulição
do recipiente aberto e, então, abrir a tampa em 1 cm, para
monitorar o tempo de ebulição
Colocar o recipiente e os queimadores utilizados ainda
quentes, em água fria, para o resfriamento dos mesmos
3)
4)
B. Fatores, Níveis, Variáveis de Resposta
Os fatores e os níveis definidos são detalhados na Tabela I.
5)
Tabela I
FATORES E N ÍVEIS D EFINIDOS
Fator
Material da Panela
Sistema Termodinâmico
Solução Aquosa
Nível 1
Inox
Aberto
Água Pura
Nível 2
Alumínio
Fechado
Água 1cs de sal
...
...
Nível 7
Água 3cs de açúcar
6)
C. Análise dos Resultados
O modelo de efeitos é representado pela equação abaixo:
yi jk = µ + τi + β j + γk + (τβ )i j + (τγ)ik +

 i = 1,...m
j = 1,..n
(β γ) jk + (τβ γ)i jk + εi jk

k = 1,...l
7)
(1)
Em que:
µ:
é a média geral;
τi :
é o efeito do nível i do fator A;
βj
é o efeito do nível j do fator B;
γj
é o efeito do nível k do fator C;
(τβ )i j é o efeito de interação entre os fatores A e B.
(τγ)ik é o efeito de interação entre os fatores A e C.
(β γ) jk é o efeito de interação entre os fatores B e C.
(τβ γ)i jk é o efeito de interação entre os fatores A, B e C.
εi jk : é o resíduo (erro aleatório com distribuição normal
de média zero e variância σ 2 );
m,n,l são os níveis dos fatores A, B e C, respectivamente.
D. Hipóteses
As hipóteses de teste são:
1) Testar a influência do fator Material no tempo de ebulição da água.
H0 = τi = 0 ∀i, significando que não existe influência
do fator A no valor da variável de resposta considerada.
H1 : ∃τi 6= 0, o que indica que existe influência deste
fator no tempo de ebulição da água.
2) Testar a influência do fator Sistema no tempo de ebulição
da água.
H0 = β j = 0 ∀ j, significando que não existe influência
do fator A no valor da variável de resposta considerada.
H1 : ∃β j 6= 0, o que indica que existe influencia deste
fator no tempo de ebulição da água.
Testar a influência do fator Solução no tempo de ebulição da água.
H0 = γk = 0 ∀k, significando que não existe influência
do fator A no valor da variável de resposta considerada.
H1 : ∃γk 6= 0, o que indica que existe influencia deste
fator no tempo de ebulição da água.
Testar a influência da interação entre os dois fatores
(Material e Sistema) no tempo de ebulição da água.
H0 = (τβ )i j = 0 ∀i, j, indicando a ausência de significância de interação entre esses fatores.
H1 : ∃(τβ )i j 6= 0, o que indica que existe influencia deste
fator no tempo de ebulição da água.
Testar a influência da interação entre os dois fatores
(Material e Solução) no tempo de ebulição da água.
H0 = (τγ)ik = 0 ∀i, j, indicando a ausência de significância de interação entre esses fatores.
H1 : ∃(τγ)ik 6= 0, o que indica que existe influencia deste
fator no tempo de ebulição da água.
Testar a influência da interação entre os dois fatores
(Sistema e Solução) no tempo de ebulição da água.
H0 = (β γ) jk = 0 ∀i, j, indicando a ausência de significância de interação entre esses fatores.
H1 : ∃(β γ) jk 6= 0, o que indica que existe influencia deste
fator no tempo de ebulição da água.
Testar a influência da interação entre os três fatores
(Material, Sistema e Solução) no tempo de ebulição da
água.
H0 = (τβ γ)i jk = 0 ∀i, j, indicando a ausência de significância de interação entre esses fatores.
H1 : ∃(τβ γ)i jk 6= 0, o que indica que existe influencia
deste fator no tempo de ebulição da água.
III. R ESULTADOS E D ISCUSSÃO
Tabela II
DADOS COLETADOS
StdOrder
50
2
63
35
73
105
87
107
78
66
59
44
32
67
7
99
RunOrder
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
PtType
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Blocks
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Material
ALUMÍNIO
INOX
INOX
INOX
ALUMÍNIO
ALUMÍNIO
INOX
ALUMÍNIO
ALUMÍNIO
INOX
INOX
ALUMÍNIO
INOX
INOX
INOX
ALUMÍNIO
Sistema
FECHADO
ABERTO
ABERTO
ABERTO
ABERTO
ABERTO
ABERTO
FECHADO
FECHADO
FECHADO
ABERTO
ABERTO
ABERTO
FECHADO
ABERTO
ABERTO
Solução
ÁGUA PURA
ÁGUA 1 SAL
ÁGUA 3 AÇÚCAR
ÁGUA 3 AÇÚCAR
ÁGUA 2 SAL
ÁGUA 3 AÇÚCAR
ÁGUA 2 SAL
ÁGUA 1 SAL
ÁGUA PURA
ÁGUA 2 SAL
ÁGUA 2 SAL
ÁGUA 1 SAL
ÁGUA 3 SAL
ÁGUA 3 SAL
ÁGUA 3 AÇÚCAR
ÁGUA PURA
Tempo de Fervura
588
605
635
626
603
637
613
565
546
576
636
619
642
554
636
621
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A. Análise de Variância
A análise de variância, também conhecida como ANOVA
(Analysis of Variance) é utilizada para comparar as médias de
dois ou mais grupos simultaneamente, comparando as diferenças entre os grupos com as diferenças entre os indivíduos.
Neste trabalho, como existem três fatores independentes e
identicamente distribuídos, foi utilizado o teste ANOVA, com
um nível de significância de α = 0.05.
A Tabela III apresenta os resultados obtidos pelo software de
análise estatística Minitab, versão 16. A primeira coluna indica
a fonte de variação; a coluna DF (Degrres of Freedom) indica
os graus de liberdade; a coluna SS (Sum os Squares) indica
a soma de quadrados, a coluna MS (Mean Square) indica os
quadrados médios, e F e P representam respectivamente o valor
do teste estatístico tipo F e o p valor associado.
O valor p é o menor nível de significância que levaria a
não aceitação da hipótese nula para os dados disponíveis. Pvalores < 0.5 indicam diferenças significativas entre as médias
analisadas. Os resultados indicados na Tabela III indicam
que existe diferença significativa entre os níveis dos fatores
Sistema e Solução (p = 0,000 e p = 0,003, respectivamente),
indicando que os resultados são influenciados diretamente por
estes fatores.
Figura 2.
Gráfico dos Efeitos dos Fatores Principais
Figura 3.
Gráfico dos Efeitos das Interações
Tabela III
R ESUMO DO TESTE DE HIPÓTESE REALIZADO
ANOVA para o tempo de fervura
Source
MATERIAL
SISTEMA
SOLUÇÃO
MATERIAL*SISTEMA
MATERIAL*SOLUÇÃO
SISTEMA*SOLUÇÃO
MATERIAL*SISTEMA*SOLUÇÃO
Error
Total
DF
1
1
6
1
6
6
6
84
111
Seq SS
135,1
125357,2
4122,8
182,6
1343,2
2370,6
2161,7
15950,2
151623,5
Adj SS
135,1
125357,2
4122,8
182,6
1343,2
2370,6
2161,7
15950,2
Adj MS
135,1
125357,2
687,1
182,6
223,9
395,1
360,3
189,9
F
0,71
660,18
3,62
0,96
1,18
2,08
1,90
Valor-p
P
0,401
0,000
0,003
0,330
0,325
0,064
0,091
As figuras abaixo fornecem uma análise mais detalhada dos
resultados obtidos.
A Figura 3 indica os fatores que mais tem efeito na resposta.
De acordo com a figura podemos ver que os fatores Sistema
e Solução apresentam efeitos significativos.
A Figura 1 indica que não existem distorções ou tendenciosidades na distribuição dos resíduos produzidos que invalidem
a premissa de probabilidade normal do modelo.
As Figuras 4 e 5 indicam respectivamente, a independência
do modelo e a premissa de igualdade de variância.
Figura 4.
Figura 5.
Figura 1.
Independência
Homoscedasticidade
Gráfico dos Resíduos
A Figura 6 apresenta o teste de homocedasticidade dos
fatores analisados. De acordo com a figura, pode-se ver que
as variâncias são homogêneas.
Figura 6.
Teste de homogeneidade de variâncias (homoscedasticidade)
IV. C ONCLUSÃO
Este trabalho descreveu um experimento com três fatores
para a investigação da influência desses fatores em alterações
no tempo de ebulição da água. Neste experimento foi utilizado
um planejamento fatorial generalizado e o teste utilizado foi o
ANOVA que utiliza internamente um teste estatístico do tipo
F.
Os resultados obtidos pela ANOVA, à uma taxa de significância de α = 0.05, confirmam que os fatores Sistema e
Solução podem ser considerados significativamente influentes
no tempo de ebulição da água.
R EFERÊNCIAS
[1] Campelo, F. Notas de aula da disciplina de planejamento e análise de
experimentos, 2012, Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica
- UFMG.
[2] MONTGOMERY, Douglas C. Design and analysis of experiments, John
Wiley & Sons Inc, 2009.
[3] MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C; CALADO, Verônica. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros, 4.ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2009.
[4] Masterton, Slowinski, Stanitski Princípios de Química, Sexta edição,
Editora Guanabara Koogan S.A. ? Rio de Janeiro .