Paralelismo
MA13 - Unidade 3
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:
A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT
Nomes tradicionais
A reta t corta as retas r e s. Dizemos que a reta t é uma
transversal de r e s.
t
c
b
r
b
d
a
b
s
Os ângulos a e b chamam-se alternos internos.
Os ângulos a e c chamam-se correspondentes.
Os ângulos a e d chamam-se colaterais internos.
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Teorema das paralelas
Recordação (teorema do ângulo externo)
Em um triângulo, um ângulo externo é maior que qualquer um dos
ângulos internos não adjacentes.
Teorema
Se a transversal t determina nas retas r e s ângulos alternos
internos iguais (congruentes) então r e s são paralelas.
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Demonstração
Sejam A e B os pontos de interseção de t com r e s,
respectivamente.
Se as retas r e s não fossem paralelas então teriam um ponto
comum. Seja C esse ponto. O triângulo ABC possui um
ângulo externo igual a um ângulo interno não adjacente, o
que não pode acontecer pelo teorema do ângulo externo.
t
A
b
r
b
b
B
s
C
Logo, o triângulo ABC não existe e as retas r e s são
paralelas.
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Outros teoremas
a) Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, dois
ângulos alternos internos são iguais.
b) Se em duas retas cortadas por uma transversal dois ângulos
correspondentes são iguais, essas retas são paralelas.
c) Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, dois
ângulos correspondentes são iguais.
d) Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, dois
ângulos colaterais internos são suplementares (somam 180o ).
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Teorema de Tales
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o .
A
b
Y
α
β
b
b
α′
β′
θ
b
B
C
b
X
Considere o triângulo ABC , o prolongamento CX de BC e trace
por C uma paralela CY a AB.
∠A + ∠B + ∠C = 180o
Consequência:
Um ângulo externo de um triângulo é a soma dos ângulos internos
não adjacentes. Na figura: ∠ACX = ∠A + ∠B.
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Problema
No quadrilátero convexo OABC os segmentos OA, OB e OC
possuem mesmo comprimento. Mostre que o ângulo AOB é o
dobro do ângulo ACB.
O
b
b
C
b
B
b
A
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