LISTA DE EXERCÍCIOS #5 - FÍSICA MODERNA 1
1. Considere os seguintes átomos de um elétron: H11 (um único próton no núcleo), H12 (um
próton e um nêutron, ou seja, um deutério), e He32 (um átomo de hélio ionizado, com um
nêutron e dois prótons no núcleo), onde a convenção para um átomo M de número atômico
Z e número de massa A é MA
Z.
(a) Supondo que as massas de nêutron e do próton sejam iguais, determine as massas
reduzidas µ para os três átomos acima. Considere, nos cálculos, que mp = 1840me ,
onde mp é a massa do próton e me é a massa do elétron. Em seguida, lembrando que
o raio de Bohr r0 é dado por
r0 =
4πǫ0 ~2
µe2
ache os raios de Bohr para os três átomos, e compare os valores.
(b) Determine os três primeiros nı́veis de energia (E1 , E2 e E3 ) para os três átomos acima.
(c) Determine as energias e frequências dos fótons emitidos considerando transições entre
os nı́veis de energia calculados acima para o H11 , identificando em que faixa do espectro
cada fóton aparece.
2. Verifique, por substituição direta na equação diferencial, que a autofunção ψ100 e a energia
E1 correspondente satisfazem a equação de Schroedinger independente do tempo.
3. Átomos de hidrogênio são excitados de um estado com n = 1 para um estado com n = 4.
(a) Os átomos absorvem ou emitem energia no processo? Qual o valor da energia?
(b) Determine as energias e frequências dos possı́veis fótons que poderiam ser emitidos
se os átomos voltassem ao estado com n = 1. Considere todas as possibilidades para
os decaimentos.
4. Considere átomos de hidrogênio em seus estados fundamentais, descritos pela autofunção
normalizada
1 1 32 − rr
e 0
ψ100 (r, θ, φ) = √
π r0
(a) Determine o valor esperado para a distância entre o elétron e o núcleo do átomo (hri)
em unidades do raio de Bohr r0 .
p
(b) Calcule hr 2 i e a incerteza ∆r = hr 2 i − hri2 em unidades de r0 .
(c) Determine o valor mı́nimo para a incerteza do momento linear radial a partir das
considerações sobre o princı́pio de incerteza radial, ∆r∆pr > ~/2.
5. Considere as funções de onda Ψnℓm do átomo de hidrogênio. Sabe-se que elas são autofunções dos operadores E, L2 e Lz com respectivos autovalores En , ℓ(ℓ + 1)~2 e m~.
1
(a) Verifique se o estado de superposição Ψ = αΨ211 + βΨ311 , com α e β constantes,
devidamente normalizado (α2 + β 2 = 1), é autofunção desses operadores. Se sim,
determine os respectivos autovalores associados.
(b) Que resultados são obtidos ao realizar uma medida de Lz ou L2 para esse estado?
6. Determine, para as autofunções com n = 3,
(a) O valor da energia total de cada autofunção, indicando se há degenerescência em
energia, e quantas são as autofunções degeneradas.
(b) O valor do módulo do momento angular orbital de cada autofunção, indicando se há
degenerescência no valor do momento angular orbital, e quantas são as autofunções
degeneradas em cada caso.
(c) O valor da projeção do momento angular no eixo z para cada autofunção.
(d) Desenhe um diagrama vetorial similar ao da apresentação (pág. 19) para ℓ = 3,
~ possı́veis para esse caso.
indicando os vetores L
~ e o eixo z é dado por
7. Mostre que o ângulo entre L
cos αℓm = p
m
ℓ(ℓ + 1)
Em seguida, obtenha os ângulos acima para ℓ = 2.
~ e o eixo z é dado por
8. Mostre que o menor ângulo entre L
cos αℓ =
r
ℓ
ℓ+1
~ situa-se no espaço?
e obtenha os limites ℓ → ∞ e ℓ → 0. Nesse último caso, como o vetor L
Em particular, como ele está no caso do estado fundamental ψ100 ?
9. Considerando a autofunção ψ100 para o átomo de hidrogênio
(a) Calcule o valor esperado (ou médio) da energia potencial U , ou seja, hU i, onde
U =−
(b) Mostre que, no estado fundamental, E1 =
Ze2
4πǫ0 r
hU i
2 .
(c) Considerando que E = U + K, onde K é a energia cinética, calcule hKi no estado
fundamental, e mostre que hKi = − hU2 i . Este resultado é válido para qualquer sistema
quântico ou clássico em que U ∝ 1r , e é conhecido como Teorema do Virial.
10. Um sistema de átomos de He42 (ionizado) está no estado onde n = 2, ℓ = 1, m = 1.
(a) Qual a autofunção ψ(r, θ, φ) correspondente? Qual a função de onda Ψ(r, θ, φ, t) correspondente?
(b) Escreva a densidade de probabilidade Ψ∗ Ψ para esse sistema.
2
(c) Se forem feitas medidas da energia total, módulo do momento angular orbital e valor
da componente z do momento angular, quais valores serão obtidos?
11. Considere os estados em que n = 2 e ℓ = 1 para átomos de hidrogênio.
(a) Determine a posição em que a densidade radial de probabilidade Pnℓ (r) é máxima.
(b) Determine o valor esperado hrnℓ i para esses estados. Discuta as diferenças entre os
dois valores.
12. Um sistema contendo átomos de H21 é preparado no estado
Ψ(r, θ, φ, t) =
√
1
3
Ψ210 + Ψ32−1
2
2
(a) Qual o valor esperado para a energia total hEi para esse estado?
(b) Qual o valor esperado para o módulo quadrado do momento angular orbital hL2 i para
esse estado?
(c) Qual o valor esperado para a componente Lz (hLz i) para esse estado?
13. As funções
Φm (φ) = cos(mφ)
Φm (φ) = sen(mφ)
são autofunções do operador Lz ? Se sim, com qual autovalor? E do operador L2z ? Se sim,
com qual autovalor? Lembre-se que o operador Lz vale
Lz = −i~
∂
∂φ
14. Considere a função de onda da partı́cula livre, dada por
Ψ(x, t) = ei(kx−ωt)
(a) Lembrando que o operador energia total é
E = i~
∂
∂t
verifique se Ψ(x, t) é autofunção do operador energia, e, em caso positivo, com qual
autovalor.
(b) Verifique se Ψ(x, t) é autofunção do operador momento linear, dado por
px = −i~
∂
∂x
Em caso positivo, qual o autovalor correspondente?
3