Arranjos e Combinações simples
Arranjos simples
Vamos introduzir o conceito de arranjos simples por meio do seguinte exemplo ilustrativo:
A partir das quatro pessoas A, B, C e D determinar quantas e quais são as possíveis filas de três pessoas.
Resolução:
Listando todas as filas obtemos
ABC, ACB, BAC, BAC, CAB, CBA,
ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, DCA,
ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, BDA,
BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB
Assim, vemos que são 24 filas.
Cada uma destas filas listadas representa o que chamamos de arranjo simples de 4 elementos tomados 3 a 3. O
número total de arranjos simples de 4 elementos tomados 3 a 3 é indicado por A4,3 = 24.
Este valor pode ser calculado diretamente pelo princípio multiplicativo:
1ª pos.
2ª pos.
3ª pos.
4
3
2
A4,3 = 4∙3∙2 = 24
O que acabamos de ver neste exemplo é que o número de arranjos simples contou o número de sequências
possíveis de 3 elementos formadas a partir de 4 elementos disponíveis.
Em geral, notamos que An,p = n(n – 1)(n – 2) ... (n – (p – 1)) que significa o produto de p fatores sucessivos
decrescentes a partir de n.
Pelo que foi visto, temos também, por exemplo,
A10,4 = 10∙9∙8∙7 = 5040
e
A9,6 = 9∙8∙7∙6∙5∙4 = 60480 .
Combinações simples
Agora, veremos o conceito de combinações simples com auxílio comparativo do problema anterior, mudando a
palavra fila por grupo. Assim, o problema será:
A partir das quatro pessoas A, B, C e D determinar quantos e quais são os possíveis grupos de três pessoas.
Resolução:
Para a contagem de grupos não é levada em consideração a ordem dos elementos. Portanto, temos 4 grupos
possíveis conforme a figura:
A
A
A
B
C
B
D
C
B
D
C
D
Cada um destes grupos listados representa o que chamamos de combinação simples de 4 elementos tomados 3
a 3. O número total de combinações simples de 4 elementos tomados 3 a 3 é indicado por C4,3 = 4.
Notando que cada grupo dá origem a 6 filas (sequências), decorrentes da permutação dos 3 elementos que
compõem o grupo, vemos que o número de combinações simples de 4 elementos tomados 3 a 3 pode ser
calculado por C 4,3 
A4,3 24

 4.
P3
6
Logo, em geral, o número de combinações simples de n elementos tomados p a p é dado por C n,p 
Outro exemplo: C8, 4 
A8, 4 8  7  6  5

 70 .
P4
4  3  2 1
An,p
.
Pp
Exercícios Resolvidos
ARRANJOS SIMPLES
01. Calcule: A6,4 + 2∙ A5,3 .
Resolução:
A6,4 + 2∙ A5,3 = (6∙5∙4∙3) + 2∙(5∙4∙3) = 360 + 2∙60 = 360 + 120 = 480
02. Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os
agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados?
Resolução:
Neste caso, o resultado da corrida é uma sequência indicando o 1º lugar, o 2º lugar e o 3º lugar. Já que
são 7 pessoas disputando a corrida, o total de resultados possíveis é A7,3 = 7∙6∙5 = 210 .
03. Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. Elas vão sendo
retiradas uma após a outra até a 6ª bola. Determine o número de possibilidades existentes num
sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos.
Resolução:
Este problema deixa claro que se deseja formar uma sequência de 6 elementos distintos. Logo, o
número de resultados possíveis para um sorteio é dado por A10,6 = 10∙9∙8∙7∙6∙5 = 151.200 .
04. Resolver a equação Ax, 2 = 42.
Resolução:
Desenvolvendo Ax, 2 , encontramos: Ax, 2 = x(x – 1) = x2 – x .
Então, temos a equação x2 – x = 42 que equivale a x2 – x – 42 = 0 . Esta última resolvida nos dá x’=7
e x”= –6.
Uma vez que, neste caso, o valor –6 não convém, a resposta é x=7.
COMBINAÇÕES SIMPLES
01. Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas?
Resolução:
Como não há uma ordenação na colocação das frutas na salada, queremos saber, então, quantos tipos
de saladas de 5 frutas podem ser feitas tendo 8 disponíveis.
A
87 65 4
Logo, esse total será C8,5  8,5 
 56 .
P5
5  4  3  2 1
02. De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos?
Resolução:
A
65
 15 modos.
A solução é C 6, 2  6, 2 
P2
2 1
03. Num plano são marcados 5 pontos distintos, não-alinhados. Quantos triângulos podemos formar
tendo sempre 3 deles como vértice?
Resolução:
O triângulo fica determinado por 3 pontos não-alinhados, não importando a ordem deles.
Veja no desenho que o triângulo ACD é determinado sem considerar a ordem deles (pode ser ADC,
CDA, ...).
Logo, o número total de triângulos possíveis é
A
5 43
C 5, 3  5, 3 
 10
P3
3  2 1
04. No congresso Nacional, uma comissão de 5 membros será formada a partir de 8 senadores e 6
deputados, sendo que pelo menos um deputado deverá pertencer à comissão. Calcule o número de
comissões que poderão ser formadas.
Resolução:
A comissão poderá ser formada por:
4 senadores e 1 deputado:
3 senadores e 2 deputados:
2 senadores e 3 deputados:
1 senador e 4 deputados:
5 deputados:
C8,4 . C6,1 = 70 . 6 = 420
C8,3 . C6,2 = 56 . 15 = 840
C8,2 . C6,3 = 28 . 20 = 560
C8,1 . C6,4 = 8 . 15 = 120
C6,5 =
6
______
total =
1.946
Logo, poderão ser formadas 1.946 comissões.
05. Uma prova consta de 6 questões, das quais o aluno deve resolver 3. De quantas formas ele poderá
escolher as 3 questões?
Resolução:
Perceba que a ordem em que os elementos aparecerão não será importante, uma vez que, ao
resolver a 1ª, a 2ª e a 3ª questão é o mesmo que resolver a 2ª , a 3º e a 1ª, portanto é um problema
de combinação.
A
65 4
C 6,3  6,3 
 20
P3
3  2 1
Logo, um aluno pode escolher suas 3 questões de 20 maneiras diferentes.
06. Resolver a equação Cx, 2 = 15.
Resolução:
A
x  ( x  1) x 2  x
Desenvolvendo Cx, 2 , encontramos: C x , 2  x , 2 

P2
2 1
2
2
Então, temos a equação x  x  15 que equivale a x2 – x – 30 = 0 . Esta última resolvida nos dá
2
x’=5 e x” = –6.
Uma vez que, neste caso, o valor –6 não convém, a resposta é x=5.
07. Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra no início do
jogo. Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1 levantador e 5 atacantes?
Resolução:
Dos 2 levantadores escolheremos 1, e dos 10 atacantes apenas 5 serão escolhidos. Como a ordem não
faz diferença, temos:
escolhas do levantador.
E, em seguida,
escolhas dos 5 atacantes.
Logo, teremos 2 · 252 = 504 formas de escolher o time.
08. Uma urna contém 5 bolas azuis e 4 bolas vermelhas. De quantas maneiras podemos selecionar:
a) 3 bolas?
Resolução:
Temos um total de 5+4=9 bolas. Portanto, são C9,3 = 84 maneiras.
b) 3 bolas azuis e 2 vermelhas?
Resolução:
De 5 bolas azuis disponíveis temos que selecionar 3.
Então, são C5,3 = 10 modos.
De 4 bolas vermelhas disponíveis temos que selecionar 2.
Então, são C4,2 = 6 modos.
Daí, o resultado será C5,3 ∙ C4,2 = 10∙6 = 60 maneiras.
09. Uma associação tem uma diretoria formada por 10 pessoas das quais, 6 são homens, e 4 são
mulheres. De quantas maneiras podemos formar uma comissão dessa diretoria que tenha 3 homens e
2 mulheres?
Resolução:
O total de comissões desse tipo é C6,3 ∙ C4,2 = 15∙6 = 90 .