ProbleMATizando XX Concurso Distrital de Resolução de Problemas de Matemática Resolução – 1ª Fase PROBLEMA 1 – Os vinhos de Estremoz O problema tem mais do que uma forma de distribuição das pipas pelas salas. Sabemos que, sendo 21 pipas, em cada sala ficarão 7 pipas. Por outro lado, o volume de vinho Especial Reserva Problematizando 2015 destinado a cada sala corresponde a 3,5 pipas. Assim, o número de pipas meias cheias em cada sala terá que ser impar, pois só desta forma conseguimos que o volume de vinho Especial Reserva Problematizando 2015 não corresponda a um número inteiro de pipas. Vejamos que depois de distribuídas as pipas meias, apenas é necessário distribuir as pipas cheias pelas salas, de forma a completar até 3,5 pipas o volume de vinho Especial Reserva Problematizando 2015 em cada sala. Finalmente, a distribuição de pipas vazias será efetuada de forma a completar até 7 pipas o número total de pipas em cada sala. Então, uma vez que são sete pipas meias poderemos ter: uma sala com uma pipa meia e as restantes duas salas com três pipas meias cada, que originará a seguinte distribuição: Sala 1 Sala 2 Sala 3 uma sala com cinco pipas meias e as restantes duas salas com uma pipa meia cada que originará a seguinte distribuição: Sala 1 Sala 2 Sala 3 Fevereiro 2015|pag. 1 ProbleMATizando XX Concurso Distrital de Resolução de Problemas de Matemática PROBLEMA 2 – Os jardins da Pousada Para encontrar a área do triângulo [NMC] poderemos decompor o quadrado [ABCD] em vários triângulos: A área do triângulo [ABC] é metade da área do quadrado [ABCD]: 𝐴[𝐴𝐵𝐶] = 8000 = 4000 𝑚2 2 A área do triângulo [ADC] é metade da área do quadrado [ABCD]: 𝐴[𝐴𝐷𝐶] = 8000 = 4000 𝑚2 2 A área do triângulo [DMC] é metade da área do triângulo [ACD]: 𝐴[𝐷𝑀𝐶] = 4000 = 2000 𝑚2 2 1 A área do triângulo [AMN] é 16 da área do quadrado [ABCD]: 𝐴[𝐴𝑀𝑁] = 8000 = 500 𝑚2 16 A área do triângulo [MNC] será então: 𝐴[𝑀𝑁𝐶] = 8000 − 4000 − 2000 − 500 = 1500 𝑚2 A área da zona sombreada é 1500 𝑚2. Fevereiro 2015|pag. 2 ProbleMATizando XX Concurso Distrital de Resolução de Problemas de Matemática PROBLEMA 3 – Os bonecos de Estremoz Para resolver o problema poderemos começar pela informação C e colocar a Mulher a Vender Castanhas e a Mondadeira num dos lados da vitrina. Da informação D deduzimos que nem a Vendedora de Criação nem o Moleiro podem ficar no lado da vitrina oposto àquele que já está ocupado. Assim, a informação B garante que eles ficam junto à Mondadeira e à Mulher a Vender Castanhas. Como a Vendedora de Criação não está ao lado da Mulher a Vender Castanhas (informação E) será o Moleiro a ficar ao pé da Mulher a Vender Castanhas. A Vendedora de Criação ficará ao pé da Mondadeira. De acordo com a informação A, a Primavera ficará ao lado do Moleiro. Pela informação B deduzimos que a Coqueira fica ao lado da Primavera. Fica então disponível uma esquina para colocar o Sapateiro e O Amor é Cego. Como a Vendedora de Criação não está ao lado do Amor é Cego (informação E), ficará o Sapateiro ao lado da Vendedora de Criação. O Amor é Cego ficará entre o Sapateiro e a Coqueira. Vendedora de Criação Sapateiro Mondadeira O Amor é Cego Mulher a vender Castanhas Coqueira Moleiro Primavera Ao lado da Coqueira ficam a Primavera e O Amor é Cego. De costas para a Coqueira fica a Mulher a Vender Castanhas. Fevereiro 2015|pag. 3 ProbleMATizando XX Concurso Distrital de Resolução de Problemas de Matemática PROBLEMA 4 – Os Quadros Sejam: m o valor da fotografia do Convento das Maltesas p o valor da fotografia do Pelourinho g o valor da fotografia do Lago do Gadanha c o valor da fotografia das Portas de Santa Catarina Relativamente ao primeiro quadro podemos escrever a seguinte equação: 𝑚 + 𝑚 + 𝑚 + 𝑚 = 280 ⟺ ⟺ 4𝑚 = 280 ⟺ 280 ⟺𝑚= 4 ⟺ ⟺ 𝑚 = 70 Relativamente ao terceiro quadro podemos escrever a seguinte equação: 𝑚 + 𝑚 + 𝑔 + 𝑔 = 300 70 + 70 + 𝑔 + 𝑔 = 300 ⟺ ⟺ 𝑔 + 𝑔 = 300 − 70 − 70 ⟺ ⟺ 2𝑔 = 160 ⟺ ⟺𝑔= 160 2 ⟺ ⟺ 𝑔 = 80 Resta-nos a informação referente a dois quadros, em que: 𝑚 + 𝑝 + 𝑔 + 𝑐 = 200 70 + 𝑝 + 80 + 𝑐 = 200 ⟺ ⟺ 𝑝 + 𝑐 = 200 − 70 − 80 ⟺ ⟺ 𝑝 + 𝑐 = 50 p + p + c + g = 160 p + p + c + 80 = 160 ⟺ ⟺ p + p + c = 160 − 80 ⟺ ⟺ p + p + 𝑐 = 80 Como 𝑝 + 𝑐 = 50 então 𝑝 + 50 = 80 ⟺ ⟺ 𝑝 = 80 − 50 ⟺ ⟺ 𝑝 = 30 Podemos finalmente calcular o valor do último quadro: 3𝑝 + 𝑐 = 2𝑝 + (𝑝 + 𝑐) = 2 × 30 + 50 = 60 + 50 = 110 O último quadro vale 110€. Fevereiro 2015|pag. 4