Lista de exercícios – Prisma e cilindro
1. Na figura a seguir, que representa um cubo, o
perímetro do quadrilátero ABCD mede 8(1 + Ë2) cm.
Calcule o volume do cubo em cm¤.
4. Em um tanque cilíndrico com raio de base R e altura H
contendo água é mergulhada uma esfera de aço de raio
r, fazendo com que o nível da água suba 1/6 R,
conforme mostra a figura.
2. A figura abaixo apresenta um prisma reto cujas bases
são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos
medem 5 cm cada um e a altura do prisma mede 10 cm.
a) Calcule o raio r da esfera em termos de R.
b) Assuma que a altura H do cilindro é 4R e que antes da
esfera ser mergulhada, a água ocupava 3/4 da altura do
cilindro. Calcule quantas esferas de aço idênticas à
citada podem ser colocadas dentro do cilindro, para que
a água atinja o topo do cilindro sem transbordar.
a) Calcule o volume do prisma.
b) Encontre a área da secção desse prisma pelo plano
que passa pelos pontos A, C e A'.
5. Um cilindro circular reto é cortado por um plano não
paralelo à sua base, resultando no sólido ilustrado na
figura a seguir. Calcule o volume desse sólido em
termos do raio da base r, da altura máxima AB = a e da
altura mínima CD = b. Justifique seu raciocínio.
3. Três bolas de tênis, idênticas, de diâmetro igual a 6
cm, encontram-se dentro de uma embalagem cilíndrica,
com tampa.
As bolas tangenciam a superfície interna da embalagem
nos pontos de contato, como ilustra a figura a seguir.
6. O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na figura,
tem arestas de comprimento a.
Calcule:
a) a área total, em cm£, da superfície da embalagem;
b) a fração do volume da embalagem ocupado pelas
bolas.
Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta AE, então
a distância do ponto M ao centro do quadrado ABCD é
igual a
a) (aË3)/5
b) (aË3)/3
c) (aË3)/2
d) aË3
e) 2aË3
7. Um engenheiro deseja projetar um bloco vazado cujo
orifício sirva para encaixar um pilar. O bloco, por motivos
estruturais, deve ter a forma de um cubo de lado igual a
80 cm e o orifício deve ter a forma de um prisma reto de
base quadrada e altura igual a 80 cm, conforme as
figuras seguintes. É exigido que o volume do bloco deva
ser igual ao volume do orifício.
É correto afirmar que o valor "L" do lado da base
quadrada do prisma reto corresponde a:
a) 20Ë2 cm
b) 40Ë2 cm
c) 50Ë2 cm
d) 60Ë2 cm
e) 80Ë2 cm
a) 45°
b) 30°
c) 60°
d) 15°
9. Observe a figura.
Um prisma reto de base pentagonal foi desdobrado
obtendo-se essa figura, na qual as linhas pontilhadas
indicam as dobras. O volume desse prisma é:
a) 6 + (9Ë3)/4
b) (45Ë3)/4
c) 30 + (9Ë3)/4
d) 30 + (45Ë3)/4
10. Observe o bloco retangular da figura 1, de vidro
totalmente fechado com água dentro. Virando-o, como
mostra a figura 2, podemos afirmar que o valor de x é
8. Um copo de base quadrada está com 80% de sua
capacidade com água. O maior ângulo possível que
esse copo pode ser inclinado, sem que a água se
derrame é
a) 12 cm.
b) 11 cm.
c) 10 cm.
d) 5 cm.
e) 6 cm.
11. Uma caixa de sapatos (com tampa) é confeccionada
com papelão e tem as medidas, em centímetros,
conforme a figura.
Sabendo-se que à área total da caixa são
acrescentados 2% para fazer as dobras de fixação, o
total de papelão empregado na confecção da caixa, em
cm£, é
a) 2406
b) 2744
c) 2856
d) 2800
e) 8000
12. As arestas do cubo ABCDEFGH, representado pela
figura, medem 1 cm.
Se M, N, P e Q são os pontos médios das arestas a que
pertencem, então o volume do prisma DMNCHPQG é
a) 0,625 cm¤.
b) 0,725 cm¤.
c) 0,745 cm¤.
d) 0,825 cm¤.
e) 0,845 cm¤.
13. Uma metalúrgica fabrica barris cilíndricos de dois
tipos, A e B, cujas superfícies laterais são moldadas a
partir de chapas metálicas retangulares de lados a e 2a,
soldando lados opostos dessas chapas, conforme
ilustrado a seguir.
Se VÛ e V½ indicam os volumes dos barris do tipo A e B,
respectivamente, tem-se:
a) VÛ = 2V½
b) V½ = 2VÛ
c) VÛ = V½
d) VÛ = 4V½
e) V½ = 4VÛ
14. Dois recipiente cilíndricos têm altura de 40 cm e
raios da base medindo 10 cm e 5 cm. O maior deles
contém água até 1/5 de sua capacidade.
Essa água é despejada no recipiente menor,
alcançando a altura h, de
a) 32 cm
b) 24 cm
c) 16 cm
d) 12 cm
e) 10 cm
15. Um recipiente cilíndrico de 60 cm de altura e base
com 20 cm de raio está sobre uma superfície plana
horizontal e contém água até a altura de 40 cm,
conforme indicado na figura.
lmergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente,
o nível da água sobe 25%. Considerando ™ igual a 3, a
medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água é
igual a:
a) 10Ë2
b) 10¤Ë2
c) 10Ë12
d) 10¤Ë12
16. Preparou-se gelatina que foi colocada, ainda em
estado líquido, em recipientes, como mostram as figuras
a seguir.
Sabendo que toda a quantidade de gelatina que foi
preparada coube em cinco recipientes cilíndricos e em
dois recipientes em forma de paralelepípedo, como
representado na figura acima, a quantidade preparada,
em litros, foi de
(Use ™ = 3,14)
a) 1,01
b) 1,19
c) 1,58
d) 1,64
e) 1,95
17. Num cilindro de 5 cm de altura, a área da base é
igual à área de uma seção por um plano que contém o
eixo do cilindro, tal como a seção ABCD na figura a
seguir.
O volume desse cilindro é de
a) 250/™ cm¤
b) 500/™ cm¤
c) 625/™ cm¤
d) 125/™ cm¤
18. Na figura a seguir os pontos A e B estão nos círculos
das bases de um cilindro, reto de raio da base 15/™ e
altura 12. Os pontos A e C pertencem a uma geratriz do
cilindro e o arco BC mede 60 graus. Qual a menor
distância entre A e B medida sobre a superfície do
cilindro?
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
19. Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3
cm, derretem dentro de um copo cilíndrico, inicialmente
vazio, com raio da base também igual a 3 cm.
Após o gelo derreter completamente, a altura do nível da
água no copo será de aproximadamente
a) 8,5 cm.
b) 8,0 cm.
c) 7,5 cm.
d) 9,0 cm.
Gabarito
1. 64
2. a) 375Ë3 cm¤
b) 50Ë3 cm£
3. a) 126™cm£
b) 2/3
4. a) r = R/2
b) 6 esferas.
5. V = ™r£ (a + b)/2
6. C
7. B
8. A
9. D
10. A
11. C
12. A
13. A
14. A
15. D
16. D
17. B
18. D
19. A