Grandezas da Cinemática
• Posição
• Deslocamento
• Velocidade média
• Velocidade instantânea
• Aceleração média
Física 1 – Unidade 03
Cinemá
Cinemática em 2 e 3 dimensões
Prof. Hamilton José
José Brumatto - DCET/UESC
• Aceleração instantânea
• Movimentos especiais: Movimento Circular
Uniforme e Lançamento oblíquo.
Posição Vetorial
Deslocamento Vetorial
z
z
zr
rf
zr
r
∆r
r
Oxyz
yr
Oxyz
y
xr
r
yr
y
xr
x
• r = rx xˆ + ry yˆ + rz zˆ,
ri
x
ou
r
r = ( xr , y r , z r )
r
r
r
• ∆r = rf − ri
1
Velocidade Média Vetorial
Velocidade Instantânea Vetorial
r
z
rf
zr
Queremos: v
vM
r
∆r
Oxyz
ri
=
r
∆r
no limite em que ∆t → 0
∆t
É possível uma derivada vetorial?
yr
y
xr
Sim!
r
r
r
r
dr
r (t + ∆ t ) − r (t )
= lim
v =
∆t→ 0
dt
∆t
r r r
∆r r f − ri
v
=
• vM =
∆t t f − ti
x
Velocidade Instantânea Vetorial
Aceleração Vetorial
z
r
rf
zr
Oxyz
ri
v
A velocidade vetorial
é tangente à trajetória
yr
xr
x
r
r
r
r dr
r (t + ∆t ) − r (t )
= lim
• v=
dt ∆t →0
∆t
y
Igualmente: aM =
r
∆v
∆t
A aceleração média é a variação da velocidade
no tempo
Também
r
r
r
r
dv
v (t + ∆ t ) − v (t )
a =
= lim
∆t→ 0
dt
∆t
A aceleração instantânea é a derivada da
velocidade em relação ao tempo
2
Aceleração Vetorial
•Não há uma vinculação direta da aceleração
com a trajetória.
•No entanto como a velocidade é tangente à
trajetória, podemos projetar a aceleração em
duas componentes, uma paralela à tangente e
outra perpendicular.
•A aceleração paralela à tangente é responsável
por variar o módulo da velocidade.
•A aceleração perpendicular varia a direção da
velocidade.
Aceleração Instantânea Vetorial
v
a
a
a
//
┴
•A aceleração decomposta em uma aceleração paralela à tangente à trajetória e outra
perpendicular a esta tangente.
Decomposição do Movimento
Decomposição do Movimento
•A notação vetorial nos permite decompor um
vetor na direção dos eixos perpendiculares do
referencial.
•A mesma decomposição pode ser feita para as
equações do movimento (são vetores):
•O mesmo se aplica para a equação da
velocidade e da aceleração:
r
r (t ) = rx (t ) xˆ + ry (t ) yˆ + rz (t ) zˆ
• Em cada direção utilizamos uma equação do
movimento independente.
r
v (t ) = vx (t ) xˆ + v y (t ) yˆ + v z (t ) zˆ
r
a (t ) = a x (t ) xˆ + a y (t ) yˆ + a z (t ) zˆ
• Estudamos cada movimento como cinemática
em uma direção e compomos o movimento
final.
3
Movimentos Especiais
• Como na cinemática unidimensional, alguns
movimentos especiais merecem nossa
atenção:
• Movimento Uniforme Vetorial: A velocidade é
constante mas escrita na forma vetorial. (MU)
• Movimento Uniformememente Variado:
• Aceleração constante (não necessariamente na
direção do movimento. (MUV)
• Aceleração com intensidade constante, mas
sempre perpendicular ao movimento (MCU)
Movimento Uniforme.
• Velocidade constante:
r r r
r = r0 + v .t
• A equação do movimento pode ser
decomposta como:
rx = r0 x + v x t
ry = r0 y + v y t
r
r
r
r = rx xˆ + ry yˆ + rz zˆ
rz = r0 z + v z t
Movimento Uniformemente
Variado
Movimento Uniformemente
Variado
• 1º Caso: Aceleração constante paralela a
um dos eixos: (lançamento oblíquo).
• 1º Caso: Aceleração constante paralela a
um dos eixos: (lançamento oblíquo).
• São dois movimentos (2 dimensões)
• Horizontal, na reta horizontal alinhada à
pontaria do canhão. Movimento que indica o
alcance horizontal.
• Vertical, perpendicular à horizontal.
Movimento que indica a altura do projétil.
4
Movimento Uniformemente
Variado
Movimento Uniformemente
Variado – Lançamento Horizontal
• Horizontal: Somente possui a velocidade
de início e não sofre nenhuma
aceleração. Logo é MU:
s x = s0 x + v x t
• Vertical: Possui a velocidade de início,
mas sofre a aceleração da gravidade:
2
MUV:
1
s y = s0 y + v0 y t −
2
gt
Movimento Uniformemente
Variado – Lançamento Horizontal
Movimento Circular Uniforme
• Também é um movimento acelerado.
• A intensidade da velocidade não varia,
no entanto sua direção varia
continuamente.
• Como a aceleração paralela à
velocidade é nula, somente temos a
aceleração perpendicular.
• Esta aceleração é radial em um MCU.
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Movimento Circular Uniforme
• A posição do objeto é sempre indicada
por um vetor radial no movimento
circular.
r
ry
r
r
θ
θ
r
rx
• Vamos deduzir a velocidade escalar: r
v
2
v = ω r (sin (ωt ) + cos (ωt ))
v = ωr
r
r
ry = r sin θ
r
r = rx xˆ + ry yˆ
2
θ = ωt
r
ry
• ω é a velocidade angular do movimento.
2 2
• Se o movimento é uniforme, o ângulo
varia linearmente com o tempo.
rx = r cos θ
Movimento Circular Uniforme
r = rx2 + ry2
r
r = r cos(ωt ) xˆ + r sin(ωt ) yˆ
r
r dr
v=
dt
r
)
v = −rω sin(ωt ) x + rω cos(ωt ) yˆ
Movimento Circular Uniforme
r
ry
r
r
θ
r
rx
rx = r cos(ωt )
ry = r sin(ωt )
r
rx
Movimento Circular Uniforme
• Podemos calcular a aceleração do
movimento: Aceleração Centrípeta
r
)
v = −rω sin(ωt ) x + rω cos(ωt ) yˆ
r
r dv
ac =
dt
r
ac = −rω 2 cos(ωt ) xˆ − rω 2 sin(ωt ) yˆ
ac = r 2ω 4 cos 2 (ωt ) + r 2ω 4 sin 2 (ωt )
r
v
r
ry
r r
a r
θ
r
rx
2
ac = ω r
v = ωr
ac =
v2
r
6
Medindo a Aceleração Centrípeta
Resultados Medidos
• Aceleração Centrípeta (dinamômetro):
5,0m/s2.
• Velocidade angular: 80rpm
• Raio: 6cm + 2,5cm = 8,5cm
80 ⋅ 2π
ω=
= 8 .4 rad / s
60
8 .5
a c = ω 2 r = (8 . 4 ) 2 ⋅
= 6 .0 m / s 2
100
Até a próxima!
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