- Escoamentos c/ Ausência de Parede ‘Free Shear Flows’
Caracterização (I)
JATO 2D - Taxa de Abertura Experimental: d/x  0.100 a 0.110
ESTEIRA 2D - Taxa de Abertura Experimental: d2/x  0.365
CORRENTES PARALELAS - Taxa de Abertura Experimental: d/x 
0.115
Caracterização (II)
Jato Axi-simétrico,
Re = 2300
Deve-se destacar:
• As grandes escalas;
Esteira Cilindro:
dist. origem 50 D & ReD=1770)
• As pequenas escalas;
• Estruturas coerentes;
• Proporção: largura x
tamanho grande escala;
Camada Mistura
• Taxa abertura das
camadas;
Similaridade (I)
•A
transformação de similaridade reduz: o número de variáveis
independentes do problema, a ordem da EDP, e o número de
condições de contorno.
• Nem todos os problemas permitem solução por similaridade,
aqueles que permitem satisfazem as três condições acima.
• Problemas 2D ou axi-simétricos pode-se buscar sol. similar
expressando a velocidade na direção principal do escoamento
por:
U  x, y 
'
 F  ;
U R x 
y

d x 
Similaridade (I)
• (x,y)
- direções paralela (principal) e ortogonal ao
escoamento
•U(x,y) - velocidade na direção principal
•UR(x) - velocidade de referência, varia ao longo da
direção principal
• d(x) - escala característica para direção transversal
ao escoamento
• (x,y) - variável similar
• F() - função similar a ser determinada
Similaridade (II)
•A
transformação de similaridade é aplicada com sucesso em
problemas parabólicos típicos em camada limite hidrodinâmica.
EDP Parabólica
U = U(x,y)
Satisfaz 3 C.C.
y
C. C.
(y )

Não
requer
C.C.
C. C.
Entrada
(x = xe)
C. C.
(y = 0)
C. C.
( )
U
x
• EDO: variável independente ()
• U = U() produz um único perfil de velocidades
similar. A velocidade em qualquer posição (x,y)
é mapeada por 
• Satisfaz 2 C.C. ( a 3a c.c. do problema
parabólica deve ser similar as 2 c.c. já
satisfeitas.
C. C.
( = 0)
5
y
4
3
2
1
x
Escalas Características ( Jatos 2D)
Velocidade linha de
 12
centro:
x
UC
 const
UC  x
UC  UC M, , x 
M
depende do fluxo de
momento,
Análise
Var. Vel.
Dimensional
Linha Centro
densidade e distância
da origem
T
 T dUC
u' v '


UC não depende da  du / dy     1
L
visc.
molecular desde
que:
1

2
2
2
2
U
 d  const .
Ausência de
M


U

x


d

x

F
'



d


M    U x, y dy

C
C
1

paredes causa
Transf.
um fluxo de
Similar
Ux, y 
y
Momento
 F ' ;

U C x 
dx 
dx
constante:
Escalas Características ( Esteiras 2D)
Déficite de Vel. linha de
 12
x
centro:
 const UC  x
UC  UC D, , x UC
D
depende do arrasto do
Análise
Var. Vel.
corpo,
Dimensional
Linha Centro
densidade e distância
da origem
UC não depende da  T u' v'  T dUC



 1
visc.
L du / dy


molecular desde que:
Ausência de

paredes causa D  UU0  Udy
um fluxo de
Momento
constante: U0  Ux, y   F' ;  
UC x 
1
D  U0 UC x   dx   F' d 
1
U  d  const.
C
Transf.
Similar
y
dx 
dx
1
2
Escalas Características ( Camadas de Misturas)
• A camada rápida induz velocidade na camada lenta por meio da
difusão turbulenta da quantidade de movimento.
• Não há propriedade integral a ser conservada (distintamente do
jato e esteira).
• Para os extremos, y , as vel. são constantes e iguais a de
cada camada!
• A velocidade referência é uma constante dada pela diferença de
velocidade entre camadas:
UC não depende
UR  U1  U0  UC  const.
da visc.
molecular desde
T
 T dUC
u' v '



 1
que:
L du / dy


Observações experimentais mostram que a razão entre a
espessura da camada limite e a distância da origem variam
é constante:
d
x
 const  d  x
Escalas Características
Quadro Resumo
Jato 2D
Esteira 2D
Camada Mistura
Jato Axisimétrico
Esteira Axisimétrica
Vel. Referência
UR
-1/2
UC  x
-1/2
UC  x
0
UC  x
-1
UC  x
–2/3
UC  x
Espessura C.L.
d
1
x
1/2
x
1
x
1
x
1/3
x
Taxa abertura
(experimental)
0.100 a 0.110
0.365
0.115
0.086 a 0.096
----
Taxa de abertura da C.L. é definida como sendo o arco
tangente da razão y/x onde y é:
Jato - a distância onde a vel. U é igual a 1/2 da velocidade da
linha de centro;
Esteira - a distância y onde o déficite de velocidade é igual 1/2
de seu máximo;
Camada Mistura - usualmente definida entre os valores de y/x
onde
(U-U1)2/(U0-U1)2 é 9/10 e 1/10, e U0 e U1 são as velocidades das
correntes.
Modelo de Comprimento de Mistura
• Para
escoamentos com ausência de parede, o comprimento de
mistura é proporcional a largura da região de mistura da camada
limite (Prandtl).
 x 
   const.
dx 
onde a é uma constante de
fechamento do modelo.
Jato 2D
Esteira 2D
Camada Mistura
Jato Axisimétrico
Esteira Axisimétrica
Const.

0.098
0.180
0.071
0.080
Comp. Mist.
l
1
x
1/2
x
1
x
1
x
1/3
x
Modelo de Comprimento de Mistura
valores da constante  foram obtidos por otimização
numérica do modelo contra dados experimentais.
• Os
• O modelo possui um único coeficiente para fechamento, no
caso a constante ,
•  varia para cada tipo de escoamento e constitui uma das
deficiências do modelo pois não tem universalidade, isto é, ela
varia de escoamento para escoamento!
Modelo de Viscosidade Turbulenta
• Para
escoamentos com ausência de parede, Prandtl propôs um
modelo de viscosidade turbulenta.
• Reconhecendo-se que T pode ser
2 dU
T  
expressa em função do comprimento de
dy
mistura:
• Estimando-se o gradiente de velocidade
dU UR

por meio da vel. de referência e da
dy
d
espessura da camada limite
• Chega-se ao modelo da visc. turbulenta.
Ele não contêm grad. vel. Associado mas,
 T  c  d  UR
somente o produto UR d
•O modelo possui um único coeficiente para fechamento, no caso
a constante c
• A velocidade de referência é dada pela diferença: UR = Umáx Umín
•Este modelo permite generalizar as soluções em regime laminar
e turbulento para escoamentos livres com pequenas
Equação Similar p/ Comprimento Mistura
U
• Equação
Movimento:
• Transformação
Similar:
• Modelo p/
tensão:
U
U
 
V

 
x
y
y   
Ux, y   UR x  * F' 
&
y d
U  F' ' UR  F' '

dU dU
2
 2

  2  d 2 x   R

  2  UR
F' '  F' '

dy dy
dx 
dx 
• Equação Transformada:
• Para haver transf. similar
dU'R

F' '  F' '  2  F' 2

 UR
C1
muita
álgebra
...

U d

 FF' '
'
R
2
 UR
C2
é necessário que os parâmetros C1
e C2 sejam constantes! Caso contrário não há redução do
número de variáveis (x,y)  
• Isto impõe restrições a variação de UR e d e somente alguns
escoamentos podem satisfazer.
• A transformação têm sucesso quando ela também é capaz de
reduzir o número de C.C.
Modelo de Comprimento de Mistura
• Para
escoamentos com ausência de parede, o comprimento de
mistura é proporcional a largura da região de mistura da camada
limite (Prandtl).
onde a é uma constante de
 x 
fechamento do modelo.
   const.
dx 
Jato 2D
Esteira 2D
Camada Mistura
Jato Axisimétrico
Esteira Axisimétrica
Const.

0.098
0.180
0.071
0.080
Comp. Mist.
l
1
x
1/2
x
1
x
1
x
1/3
x
valores da constante  foram obtidos por otimização
numérica do modelo contra dados experimentais.
• O modelo possui um único coeficiente para fechamento, no
caso a constante ,
•  varia para cada tipo de escoamento e constitui uma das
deficiências do modelo pois não tem universalidade, isto é, ela
varia de escoamento para escoamento!
• Os
Modelo de Viscosidade Turbulenta
• Para escoamentos com ausência de parede, Prandtl propôs um
modelo de viscosidade turbulenta.
• Reconhecendo-se que T pode ser expressa em
2 dU
T  
função do comprimento de mistura:
dy
• Estimando-se o gradiente de velocidade
por meio da vel. de referência e da espessura da
dU UR

camada limite
dy
d
• Chega-se ao modelo da visc. turbulenta.
Ele não contêm grad. vel. Associado mas, somente
 T  c  d  UR
o produto UR d
•O modelo possui um único coeficiente para fechamento, no caso
a constante c
• A velocidade de referência é dada pela diferença: UR = Umáx Umín
•Este modelo permite generalizar as soluções em regime laminar
e turbulento para escoamentos livres com pequenas
modificações.
Equação Similar p/ Comprimento Mistura
• Equação
Movimento:
• Transformação
Similar:
• Modelo p/ tensão:
• Equação
Transformada:
U
U
U    
V
  
x
y y   
Ux, y   UR x  * F'  &   y d
U  F' ' UR  F' '

dU dU
 2
   2  d 2 x   R

  2  UR2 F' '  F' '

dy dy
dx 
dx 
dU'R

F' '  F' '  2

 U
R
C
muita
álgebra
...

U d
 F' 
 FF' '
'
2
R
2
 UR
C
1
2
haver transf. similar é necessário que os
parâmetros
C1 e C2
sejam constantes! Caso contrário não há redução do número de
variáveis (x,y)  
• Para
• Isto impõe restrições a variação de UR e d e somente alguns
escoamentos podem satisfazer.
• A transformação têm sucesso quando ela também é capaz de
Jato Plano Livre I (comprimento mistura)
• A largura do jato e o comprimento de
dx   Ax
x   x
mistura são proporcionais às
• A velocidade na linha de
constantes A e , respectivamente
centro e sua derivada
são

U
d
'
M
1
1
M
2
   F' d  constan te
U 

& U'C  
  C determinadas
pelas
C
2 dx 
2d 2d
2d
0
expressões e
• A transf. Similar têm
êxito, parâmetros C1 e
C2 são constantes!
2F' ' F' ' '
A
2
F' 
2
2
A
2
2
 FF' '  0
C1 
dU' R

d
2
 2 UR
d'
A
C2  2  2



UC 1
d'
A

 2  2
2d UC
2
2
A equação da quantidade de
movimento transformada
dU UC

F' '  0
dy
d

F' '  F' '    F' ' 2  2F' ' F' ' '


F' '  F' ' 
 
u
Solução Similar Jato Plano Livre II (comprimento mistura)
Eq. Momento
Sujeita a satisfazer apenas 3 c.c.
Y=0  V=0 e U = máx  F(0)=0,
2F' ' F' ' ' 2 F '  2  FF' '  0 F’(0)=1 e F’’(0)=0
2
2
Y  U = 0 então F’() = 0
• Necessário encontrar  melhor ajusta-se aos dados
experimentais do perfil médio de velocidades.
A
2
A
• Como F(0) = F’’(0) = 0, então F’(0) = 0 para que seja satisfeita a
equação da quantidade de movimento. Isto implica em dizer que
a vel. na linha de centro do jato é nula!
• Isto sugere que o modelo de comp. mistura não pode atender a
todas as c.c. especificadas.
• Notando-se que a Eq. Momento pode ser integrada
analiticamente uma ordem reduzindo a EDO de 3a para 2a ordem:
d 
A

2

F
'
'



FF
'

0


2
d 

2
Solução Similar Jato Plano Livre III (comprimento mistura)
Eq. Momento
F' '2 
d
2

F

0
2 d
4
Sujeita a satisfazer apenas 2 c.c.
A
 = 0  F(0) = 0 e F’(0) = 1
•A
EDO não apresenta solução analítica. Ela é obtida por meio de
rotinas numéricas de integração (Runge-Kutta por exemplo).
• Comparação entre a solução de Reichardt e a do modelo de
comprimento de mistura
U
UC
Reichardt

Esteira 2D I (comprimento mistura)
U
• O déficite de velocidade é
definido como sendo a dif.
U

U

U

0
d

entre a vel. da corrente livre
e a do fluido na esteira:
• Para uma região
Ud
    suficientemente afastada da
U
  
x
y    origem, a eq. do momento
pode ser aproximada por:

U
Ud
U = Uinf-Ud. O termo inercial (Uinf-Ud)dUd/dx+VdUd/dy =
UinfdUd/dx -UddUd/dx+VdUd/dy,
mas Eq. massa -> V  Udd/L e para distâncias grandes Ud -> 0 e
os termos: UddUd/dx+VdUd/dy são da mesma ordem de
magnitude porém menores que UinfdUd/dx
•A
Eq. da quantidade de
movimento deve satisfazer as
C.C.:
y0

Ud
y
 0  F' ' 0  0 ponto de mínimo
y    Ud  0  F'  0 corrente liv re
x  x ref  Ud  v alorespecificado
Esteira 2D II (comprimento mistura)
Equação do
Momento
Transformada
 2  UC2 d 2
d'
U  U' C F' U  UC  F' ' 
 F' '  0
d  
dx
 
d



U
dud
dx
d 
 
dy   
Isolando-se o termo
de derivada superior




e após
d  2 U  d'
0
F' ' 

F
'
manipulações

d 
UC  2
algébricas, onde ‘a’


 



a
é uma constante.
Sujeita as C.C.:
F’’(0)=0
F’(1)=0
2
3

A Eq. da quantidade de
a
2

F
'

1


movimento apresenta a
9



solução analítica:
A constante ‘a’ e o déficite de velocidade na linha de
centro são determinados com o auxílio da integral do
arrasto. O parâmetro a deve ser determinado pelo melhor
ajuste aos dados experimentais.
5
a
U 

UC  U
D
x
Esteira 2D III (comprimento mistura)
Resultados do modelo: Tese de Doutorado do Schilichting (1930)
Largura da esteira: dx   10 CD  x ,   0.18 e A 0.247
Coeficiente de Arrasto:
Perfil de Velocidades:
Ud
U C
CD 
D
1
2
2
U
L
 
10 C D 
y
U d  x, y  

 1  dx 
18
x 
3
2


2
Comparação entre as soluções
similares obtidas resultantes do
modelo de comprimento de mistura,
(vermelha) e da viscosidade
turbulenta, (linha verde).
y/d
Camada de Mistura I (comprimento mistura)
Perfil de velocidades, velocidade
de referência e condições de
contono:
U R  U1  U 2  0
U1
yd
y  , u  U1 e  y  0  F' (1)  U1 U R e F' ' (1)  0
d
y  , u  U2 e  y  0  F' (1)  U2 UC e F' ' (-1) 0
xd
y  0, v  0  F0  0 simetria
U2
Camada de Mistura I (comprimento mistura)
C1 é nula, dU/dy > 0 logo | F’’| =
F’’ e a eq. transformada passa a
ser:
Reichardt
F' ' '
d'
2
2
F  0
Equação linear e têm solução
analítica porém sua forma é
complexa e envolve diversos
termos.
Mais conveniente buscar solução
numérica (Runge-Kutta).
Comparação da solução com o
ajuste proposto por
Reichardt aos dados experimentais
do perfil médio de velocidades
Equação Similar p/ Viscosidade Turbulenta
• Equação Movimento:
• Transformação
Similar:
• Modelo p/
tensão:
U
U    
U V
  
x
y y   
Ux, y   UR x  * F'  &   y d
U  F' '

dU
 cdU R 
 cdU R  R
 c  U 2R  F' '
  dy
dx 
T
• Equação
Transformada:
• Para
F' ' ' 
dU' R
cU R


 F' 2 FF' ' 
C1
muita
álgebra
...
d'
 FF' '
c
C2
haver transf. similar é necessário que os parâmetros C1
e C2 sejam constantes! Caso contrário não há redução do
número de variáveis (x,y)  
• Isto impõe restrições a variação de UR e d e somente alguns
escoamentos podem satisfazer.
• A transformação têm sucesso quando ela também é capaz de
reduzir o número de C.C.
Jato Plano Livre (mod. visc. turbulenta)
•A
velocidade na linha de centro e sua derivada são definidas
pelas escalas características.
• A Equação transformada da Q. Mov. apresenta um termo
isolado de derivada de terceira ordem enquanto que no modelo
de comprimento de mistura ele vem multiplicado pela derivada
de segunda ordem.
A
A
F' ' '
transf. Similar têm êxito,
parâmetros C1 e C2 são
constantes!
2c
F' 2 
2c
 FF' '  0
•A
C1 
dU' R
cU R

A
2c
&
C2 
d' A

c c
Jato Plano Livre (mod. visc. turbulenta)
As condições de contorno satisfeitas pela equação
transformada são:
F(0) = 0
(simetria com a linha de centro,
V = 0)
F’() = 0
(afastado da linha de centro a
velocidade decai p/ 0)
F’’(0) = 0
(velocidade é máxima na linha
de centro)
Na linha de centro o modelo. não apresenta a inconsistência física
do modelo de comprimento de mistura, isto é, F’(0)0. De fato p/,
=0, encontra-se que [F’(0)]2 = -2c/A.F’’’(0)
• O valor do parâmetro c ,
c  0.138
espessura C.L. e a solução
d  0.246 x
da EDO tem solução
U
M
analítica com perfil de
2  2 y 
 1.426
1  T anh 


velocidades no Jato plano
Uc
x 
 3 d 
Esteira 2D (mod. visc. turbulenta)
aproximação a equação da Q.
U  U 'C d
F'F' '  0
F' ' '
Mov. aplica-e para escoamentos
2
cU
C
distantes do corpo, L/x > 200 (L

a
dim. corpo) . Equação
transformada da Q. Mov. passa a
ser, onde o parâmetro ‘a’ é uma
constante.
As condições de contorno satisfeitas pela equação transformada
são:
F(0) = 0
(simetria com a linha de centro, V = 0)
F’(0) = 1
(vel. Na linha de centro, Ud=UC)
F’() = 0
(afastado da linha de centro a velocidade decai
p/ 0)
F’’(0) = 0
(velocidade é máxima na linha de centro)
•A
Sendo um diferencial perfeito a EDO pode ser
integrada sucessivamente até chegar-se aos
valores dos parâmetros e perfis que melhor
representam os dados médios experimentais
c  0.0 8 3 6
a  7 .7 6

Ud
y 2
 Ex p  3.8 8  



d
U c

Dx
d x   0.8 0 5

2
U 
U c
 1.3 8
U
D
x




Camada de Mistura (mod. visc. turbulenta)
•Equação transformada da Q. Mov.
d'
F
'
'
'


 FF' '
passa a ser:
c
•Sujeita às condições de contorno:
•
F(0) = 0
(simetria com a linha de centro,
V = 0)
F’(1) = U1/UC (vel. em y = d, U=U1)
F’(-1) = U2/UC (vel. em y = -d, U=U2)
•A
EDO não tem solução analítica conhecida requerendo
portanto integração numérica.
• Reichardt propôs uma aproximação à solução numérica
por meio do ajuste:
U
U max
 U mim  
y 

1  erf   

 x 
2

onde o parâmetro  que melhor se ajusta aos dados
experimentais é,  = 13.5.
Estimativas Grandezas Turbulentas I
Os modelos para viscosidade
turbulenta: comprimento de
mistura e Prandtl-Reichardt
T  2
dU
dy
 T  cdU max  U mim 
A tensão turbulenta é determinada, para ambos
os modelos, com o
auxílio da viscosidade turbulenta:
A energia cinética do escoamento também pode
ser estimada a partir da tensão turbulenta, onde a
constante de proporcionalidade vêm dos dados
experimentais,   0.09.

dU
u ' v'  T   T

dy
k  u' v'
A aproximação para k não é válida próx. linha de centro pois
u’v’=0 porém k0. Para y/d > 0.4
ela se constitui uma boa aproximação.
Estimativas Grandezas Turbulentas - Esteira 2D Mod. Comprimento de Mistura
medido
• O modelo não atende o
comportamento assintótico,
y+ u’v’ =0, nem tão pouco
da velocidade média
•A viscosidade turbulenta varia
somente na direção transversal
ao escoamento.
• Na direção paralela ela é
constante e independe da
distância da origem.
• Isto não representa
físicamente o que ocorre para
regiões muito afastadas da
origem pois espera-se que o
escoamento se relaminarize!
• O modelo dá T=0 p/ y=0,
porém é fato que T 0. Isto
gera problemas em
transferência de calor e massa.
Estimativas Grandezas Turbulentas II
• Estimativas
para um balanço dos mecanismos de
produção, dissipação, transporte e destruição de k.
• Para
regiões afastadas da origem, o termo convectivo da
equação de k pode ser aproximado por:
dk
dU
d 1
p' 
U
  u ' v'
   v'  k  

dx
dy
dy  2
• Aproximações (modelos) para cada termo da eq.
transporte de k:
(Conveção) U 
 
dk
d
d 
dU 
  T

 U 
u ' v'  U 
dx
dx
dx 
dy 
2
 dU 
dU

(Produção)   u ' v'
  T 
dy
 dy 
d  1
d 
dk 
p' 


(Difusão) 
v
'
k



2

T





dy 
dy 
 dy 
finalmente o termo de dissipação, , é estimado como a
diferença da soma algébrica dos demais termos.
Estimativas Grandezas Turbulentas - Esteira 2D Mod. Comprimento de Mistura
Representação qualitativa do balanço de energia cinética.
Linhas pontilhadas são baseadas em medidas exp.
D
Pk

C
• Na região central,
y/d< 0.6  dk/dx = P - e - (-D)
O valor de k atinge um máximo,
Produção e dissipação são
aproximadamente iguais e
intensas ; e a difusão
transporta k [-(-D)>0] para o
centro e para a periferia da
esteira. ‘C’ transporta paralelo
ao escoamento enquanto “D”
transversalmente
• Na região
y/d> 0.6  dk/dx = - (D) os
mecanismos ‘C’ e ‘D’ se
invertem. A difusão remove k
pq. a esteira se propaga num
ambiente de fluido não
perturbado.