Unidade I
MATEMÁTICA COMERCIAL
Profa. Gizele Munim
Objetivo do curso
Proporcionar ao aluno
desenvolvimento do raciocínio
matemático, ajudando na análise de
questões financeiras que envolvam
jjuros simples,
p , descontos e juros
j
compostos.
Apresentação do módulo i
Conceituação de Juros
ƒ Taxa de Juros
ƒ Juros Simples
ƒ Fluxo de Caixa
ƒ Valor Nominal e Valor Atual
O que são juros?
Rendimento obtido (ou pago) por um
indivíduo que tenha aplicado (ou tomado
emprestado) um determinado capital.
Em outros termos:
É o custo de um empréstimo
p
ou a
rentabilidade de uma aplicação.
O que são juros?
Quando falamos em juros estamos falando
em como corrigir o dinheiro ao longo do
tempo.
Taxa de juros
É a taxa de juros que indica qual será a
remuneração paga sobre o capital
emprestado (ou aplicado) por um
determinado período de tempo.
É a razão entre os juros recebidos (ou
pagos)) no fim
fi de
d determinado
d t
i d período
í d
de tempo e o capital inicialmente
empregado.
Taxa de juros
Representada pela letra i (do inglês
Interest, que significa juros). Expressa
normalmente na forma percentual (%).
OBS: Porém, para realização de cálculos
financeiros, deverá ser convertida para a
f
forma
decimal
d i l (dividindo
(di idi d a taxa
t
dada
d d
por 100).
Ex: 9% = 0,09
0,05% = 0,0005
11 3% = 0
11,3%
0,113
113
Taxa de juros
Via de regra deverá vir acompanhada da
especificação do tempo a que se refere.
ao dia – a.d.
ao mês – a.m.
ao trimestre – a.t.
at
ao ano – a.a.
Taxa de juros
Exemplo:
Joaquim solicita um empréstimo de R$
5.000,00 ao Banco W, pelo período de 6
meses, a taxa de 3%.
Veja
j que
q não há a especificação
p
ç do período
p
a que se refere esta taxa, se é por todo o
tempo do empréstimo, se é ao mês, ao
semestre, etc., logo o cálculo dos juros fica
incompleto!
Taxa de juros
Equivalência de unidades de tempo:
A taxa de juros e o período a que se refere
sempre devem ser proporcionais.
Por exemplo, se a taxa de juros dada é ao
mês e o p
período de capitalização
p
ç
é ao dia,,
um destes deve ser convertido, igualandose os períodos:
Taxa de juros
Ex: Carla aplicou um capital de R$
$ 500,00,
por 47 dias, à taxa de juros de 5% ao mês.
Podemos converter os 47 dias para mês,
igualando-se assim os períodos de
referência, veja:
Mês comercial= 30 dias, logo:
47 = 1,57 meses
30
Taxa de juros
Ex: Paulo tomou um empréstimo de R$
$
3.200,00, por 98 dias, à uma taxa de 10% ao
ano.
1. Converter o prazo de dias para ano:
98 = 0,27 ano
360
2. Converter a taxa de anual para diária:
10% = 0,03% ao dia
360
Taxa de juros
Fórmula:
i = JUROS
i(%) =
CAPITAL
JUROS X 100
CAPITAL
Ex:
Um Capital de R$ 100
100,00
00 aplicado por 12
meses gerou juros de R$ 11,00. Qual a taxa
de juros do período?
i = JUROS
CAPITA
=
11 = 0,11 x 100 = 11%
100
Taxa de juros
Tipos de Taxas:
ƒ Proporcional
ƒ Equivalente
ƒ Nominal / Aparente
ƒ Efetiva
Ef ti
ƒ Real
ƒ Over
Taxa de juros
Taxas proporcionais: São taxas de juros
fornecidas em unidades de tempo
diferentes que, ao serem aplicadas a
um mesmo capital, durante o mesmo
prazo geram um mesmo montante.
ƒ 12% ao ano é proporcional
i
l a 6% ao
semestre;
ƒ
1% ao mês é proporcional a 12% ao ano.
OBS: Utilizada no regime de juros simples.
Taxa de juros
Taxas equivalentes: São taxas de juros
fornecidas em unidades de tempo
diferentes que, ao serem aplicadas a um
mesmo capital, durante o mesmo prazo
geram um mesmo montante.
O conceito
it de
d taxas
t
equivalentes
i l t está
tá
diretamente ligado ao regime de juros
compostos.
Simples: 1% a.m. = 12% a.a
Composto:
p
1% a.m. = 12,68% a.a.
No sistema composto, há o efeito de “juros
sobre juros”.
Taxa de juros
Taxa nominal é a taxa de juros em que a
unidade referencial de seu tempo não
coincide com a unidade de tempo dos
períodos de capitalização.
ƒ 12% ao ano, capitalizados mensalmente;
ƒ 24% ao ano, capitalizados
semestralmente;
ƒ 10% ao ano, capitalizados trimestralmente;
ƒ 18% ao ano, capitalizados diariamente.
T bé chamada
Também
h
d de
d Taxa
T
Aparente.
A
t
Taxa de juros
Taxa efetiva é a taxa de juros em que a
unidade referencial de seu tempo coincide
com a unidade de tempo dos períodos de
capitalização.
2% ao mês, capitalizados mensalmente;
3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;
6% ao semestre, capitalizados
semestralmente;
10% ao ano, capitalizados anualmente.
Tendo em vista a coincidência nas unidades
de medida dos tempos da taxa de juros e
dos períodos de capitalização, costuma-se
simplesmente dizer: 2% ao mês, 3% ao
trimestre, 6% ao semestre e 10% ao ano.
Taxa de juros
A taxa real : É calculada a partir da taxa
efetiva, considerando-se os efeitos
inflacionários do período.
Na verdade, significa dizer que taxa real de
juros é o verdadeiro ganho financeiro.
Taxa de juros
A taxa over é uma taxa nominal mensal,
usada pelo mercado financeiro para
determinar a rentabilidade por dia útil.
Exemplo: Várias aplicações são efetuadas
tomando como base os dias úteis; entre
elas temos as operações de CDIs –
Certificados de Depósitos Interbancários.
Interatividade
Se a taxa nominal para um determinada
aplicação é de 15% ao ano, qual será a
taxa para uma aplicação que permanecerá
pelo prazo de 2 anos, 3 meses e 18 dias?
Pelo método de Juros Simples.
a)) 34
34,65%
65%
b) 33,75%
c) 34,50%
d) 33,20%
e)) 31
31,50%
50%
Juros simples
O regime de juros simples é aquele no
qual os juros incidem sempre o capital
inicial.
Os juros gerados a cada período serão
calculados sobre o capital originalmente
aplicado,
li d não
ã incidindo
i idi d portanto
t t sobre
b
os
juros já calculados em períodos anteriores.
Juros simples
Os juros podem ser calculados da seguinte
forma:
J=Cxixn
Onde:
J=J
Juros
C = Capital inicial
i = taxa da aplicação / taxa de
juros
n = tempo que durou a aplicação
Juros simples
Exemplo 1:
Quanto pagarei de juros por um
empréstimo de R$ 2.200,00, a uma taxa de
1,20% de juros ao mês, pelo período de 3
meses?
C = R$ 2.200,00
i = 1,20% ao mês (0,012)
n = 3 meses
J=Cxixn
J = R$
$ 2.200,00 x 0,012 x 3
J = R$ 79,20
Juros simples
Exemplo 2:
Um banco cobra de seus clientes 12% de
juros ao mês para saldos negativos em
contas especiais. Qual o valor do juros a
pagar por um cliente que deixou sua conta
negativa
ti em R$ 800
800,00
00 por 6 di
dias?
?
Equivalência de períodos:
12% ao mês = 12/30 = 0,40% ao dia (0,004)
J=Cxixn
J = 800 x 0
0,004
004 x 6
J = R$ 19,20
Juros simples
Exemplo 3:
O Capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a
taxa de 18% ao ano, produzindo juros de
R$ 330,00. Qual foi o prazo da Aplicação?
J = 330
C = 1.000
J=Cxixn
330 = 1.000 x 0,18 x n
330 = 180 n
n = 330 = 1,833 anos
180
Ou 1 ano e 10 meses.
i = 18% a.a.
Juros simples
Exemplo 4:
Um capital de R$ 2.500,00, aplicado durante
10 meses, rendeu juros de R$ 500,00. Qual
a taxa da aplicação?
J=Cxixn
500 = 2.500 x i x 10
500 = 25.000 x i
i =
500
25.000
= 0,02 ou 2% a.m.
Juros simples
MONTANTE (M):
É a soma do capital inicialmente aplicado
aos juros apurados ao final do período:
M = C (1 +( i x n))
M=C+J
i=.M.–1
C
Juros simples
Montante – Exemplo 01
Determine o montante acumulado após 14
meses de aplicação de um capital de R$
5.000,00, a uma taxa de 8% ao mês.
M = C ((1+ i x n))
M = 5.000,00 (1 + 0,08 x 14)
M = 5.000,00 (1 + 1,12)
M = 5.000,00 x 2,12
M = R$ 10.600,00
Juros simples
Montante – Exemplo 02
Pedro foi à uma agência bancária e pediu
um empréstimo de R$ 4.000,00, acordando
o prazo de 1 mês e 20 dias para
pagamento, com juros de 2,4% ao mês, à
j
juros
simples.
i l
Quanto Pedro terá que pagar ao banco ao
final da operação?
M = C (1+ i x n)
M = 4.000,00 ((1 + 0,024 x 1,66))
M = 4.000,00 (1 + 0,04)
M = 4.000,00 x 1,04
M = R$ 4.160,00
Juros simples
Montante – Exemplo 03
Um capital de R$ 100.000,00 aplicado a uma
taxa de 200% ao ano, gerou um montante
de R$ 134.444,44. Qual o período da
aplicação?
Juros simples
M = C (1+ i x n)
134.444,44 = 100.000 (1 + 2 x n)
134.444,44 = 100.000 (1 + 2 n)
134 444 44 = 100
134.444,44
100.000
000 + 100
100.000
000 x 2n
134.444,44 – 100.000 = 100.000 x 2n
34.444,44 = 100.000 x 2 n
34.444,44 = 2 n
100.000
n = 0,344444
2
0,344444 = 2 n
n = 0,1722 anos = 62 dias
Interatividade
Qual o valor que devemos aplicar hoje a
uma taxa de 20% ao semestre para
resgatarmos R$ 9.000,00 ao final de 2 anos?
a) R$ 7.200,00
b)) R$ 5.000,00
,
c) R$ 5.400,00
d) R$ 1.800,00
e) R$ 7.120,00
Fluxo de caixa
Denominamos fluxo de caixa o conjunto
de entradas e saídas de capital, em
determinados períodos de tempo, para um
indivíduo ou empresa.
As entradas de um fluxo de caixa
corresponderão
d ã aos recebimentos
bi
t
e as
saídas corresponderão aos pagamentos ou
desembolsos.
Fluxo de caixa
A fim de facilitar o entendimento de
questões envolvendo fluxo de caixa, é
utilizada a representação gráfica.
Esta representação é feita por meio do:
Diagrama
g
de Fluxo de Caixa (DFC),
(
),
conforme as seguintes convenções:
Fluxo de caixa
1. No eixo horizontal será marcada a escala
de tempo, subdividida em períodos
unitários (dia, mês, ano, etc..),
orientados da esquerda para a direita.
2. O ponto 0 será a data inicial ou datazero, a partir da qual, todas as demais
datas se encontrarão relacionadas.
0
Fluxo de caixa
3. Os recebimentos (entradas de caixa)
serão representados na parte superior
do eixo horizontal, indicados por setas
orientadas para cima.
0
4. Os pagamentos (saídas de caixa) serão
representados na parte inferior daquele
eixo, indicados por setas orientadas para
baixo.
0
Fluxo de caixa
Exemplo 01 - Representação Gráfica:
Um individuo solicitou ao Banco D um
empréstimo de R$ 1.000,00, acordando um
pagamento após 10 dias de R$ 500,00 e
saldo após 30 dias. Qual a DFC?
0
10
30
Fluxo de caixa
A representação gráfica do fluxo de caixa é
feita de acordo com os dados
apresentados, sendo orientadas de acordo
com a interpretação do enunciado do
problema.
Visão do Cliente:
0
10
30
Visão do Banco:
0
10
30
Fluxo de caixa
Exemplo 02 - Representação Gráfica:
Miguel resolve aplicar em um banco 5
parcelas iguais, mensais e consecutivas de
R$ 4.000,00, para resgate no 5º mês. Sabese que a primeira parcela será efetivada na
d t 0.
data
0 Qual
Q l a representação
t ã gráfica
áfi desta
d t
aplicação feita por Miguel?
Montante Acumulado
0
4.000
1
4.000
2
4.000
3
4.000
4
4.000
5
Fluxo de caixa
A Empresa W tem o seguinte fluxo mensal:
Recebimentos Previstos
DIA
VALOR (R$)
DIA
VALOR (R$)
5
100
6
80
12
170
9
120
17
280
12
140
25
90
28
200
100
0
Pagamentos Previstos
5 6
80
170
9
120
12
140
280
17
90
25
28
280
30
Fluxo de caixa
No universo da matemática financeira, o
Diagrama de Fluxo de Caixa é um grande
aliado na resolução de problemas, afinal,
através da representação gráfica, fica mais
claro e evidente o contexto que estamos
trabalhando e como resolvê-lo
resolvê-lo.
Identifique todas as entradas e saídas
relevantes ao problema;
Verificar as variáveis envolvidas, como juros.
Trace o DFC correspondente;
p
Fluxo de caixa
Ao confeccionar um DFC, ocorrendo
pagamentos e recebimentos no mesmo dia,
pode-se representar com apenas uma seta,
a que represente o resultado daquele dia.
Somente registrar a entrada ou saída do
valor
l no momento
t em que ele
l efetivamente
f ti
t
ocorrer. Ex.: Uma venda hoje realizada hoje
para recebimento em 30 dias, somente
deverá ser registrada no diagrama no
momento efetivo do recebimento do
dinheiro ou seja
dinheiro,
seja, daqui 1 mês.
mês
Fluxo de caixa
Tomar cuidado com receitas (ou despesas)
que não representam efetivas entradas (ou
saídas) de caixa, tais como depreciação,
provisões, reversões, entre outras.
Interatividade
Um indivíduo vai ao banco e pede um
empréstimo de R$ 1.000,00, para
pagamento após 30 dias. O gerente além
de cobrar-lhe juros antecipadamente de
R$ 100,00, o convence a manter um
CDB no valor de R$ 200
200,00,
00 remunerado a
5% durante o prazo da operação. Pensando
no Fluxo de Caixa do cliente, qual será o
valor lançado na data-zero?
A. R$ 1.000,00
B R$ 900
B.
900,00
00
C. R$ 800,00
D. R$ 700,00
E. R$ 1.200,00
Valor presente (present value)
Também chamado de principal, Valor Atual
ou Capital Inicial, corresponde ao valor do
dinheiro na data inicial do fluxo, ou seja, na
data-zero do Diagrama de Fluxo de Caixa.
O principal C é também conhecido como
V l Presente.
Valor
P
t
Valor futuro (future value)
Também chamado de Montante ou Capital
Acumulado, corresponderá ao valor do
dinheiro em uma data futura,ou seja,
apurado no final do fluxo, após o impacto
dos juros.
O montante apurado M é também pode ser
chamado de Valor Futuro.
Valor presente e valor futuro
No caso de uma aplicação
VALOR FUTURO
T
Taxa
= i%
VALOR PRESENTE
Prazo = n
Valor presente e valor futuro
Juros Simples:
FV = PV ( 1 + i x n)
Juros Compostos:
Valor Presente:
PV =
FV
.
(1 + i)n
Valor Futuro:
FV = PV (1 + i)n
Valor presente e valor futuro
Exemplo 01
Qual o valor futuro de uma aplicação de R$
200,00, remunerada a taxa de 5% ao mês
após 3 meses de aplicação?
Valor Futuro:
FV = PV (1 + i)n
FV = 200 (1 + 0,05)3
FV = 231,52
Valor presente e valor futuro
Exemplo 01
Qual o valor futuro de uma aplicação de R$
200,00, remunerada a taxa de 5% ao mês
após 3 meses de aplicação, a juros simples.
231 52
231,52
i = 5%
0
200,00
1
2
3
Valor nominal (n) e valor atual (v)
Valor Nominal (N): Valor dos títulos
apresentados (Valor de face), a vencer em
data futura.
Nota que este valor não é necessariamente
o valor pago ou recebido pelo título.
Valor nominal (n) e valor atual (v)
Valor Atual (V): Valor aplicado a juros
simples em data anterior até a data de
vencimento que proporcionará o Valor
Nominal.
Valor nominal (n) e valor atual (v)
Esquematicamente:
N = Valor Nominal
V = Valor Atual
0
V=
N
1+ixn
.
Valor nominal (n) e valor atual (v)
Exemplo: Consideremos uma pessoa que
tenha uma dívida de R$ 11.000,00 a ser
paga daqui 5 meses. Se ela puder aplicar
seu dinheiro hoje, a juros simples e à taxa
de 2% ao mês, quanto ela deverá aplicar
para poder pagar a dívida no seu
vencimento?
V=?
N = 11.000
V=
N
i = 0,02
n=5
.
1+ixn
V = 11.000
= 11.000
1 + 0,02 x 5
1,10
= 10.000,00
Valor nominal (n) e valor atual (v)
Exemplo: Determinar o valor atual de um
título cujo valor de resgate é de R$
500.00,00, sabendo-se que a taxa de juros é
de 3% ao mês e que faltam 07 meses para
seu vencimento.
V=?
N = 500.000
500 000
V=
N
i=0
0,03
03
n=7
.
1+ixn
V = 500.000
= 500.000
1+0
0,03
03 x 7
1
1,21
21
= 413.223,14
Valor nominal (n) e valor atual (v)
Exemplo: Paulo obtém R$
$ 40.000,00
emprestados de um credor, que lhe entrega
uma nota promissória de R$ 80.000,00,
com vencimento para 12 meses. Qual a
taxa de juros cobrada pelo credor?
N = R$ 80
80.000,00
000 00
V = R$ 40.000,00
n = 12
i = ????
Valor nominal (n) e valor atual (v)
V=
N
.
1+ixn
40.000 = 80.000
(1 + i x 12)
40.000 (1 + 12 i) = 80.000
1+ 12 i = 80.000
40.000
1 + 12 i = 2
12 i = 1
i = 1 . = 0,0833
12
8,33% ao mês
Interatividade
João tem em seu poder uma notapromissória de R$ 5.000,00, a vencer em 3
meses. Para saldar esta dívida no
vencimento, quanto ele deverá aplicar hoje,
a juros simples de 1% ao mês?
a)) R$ 4
4.953,15
953 15
b) R$ 4.855,10
c) R$ 4.850,00
d) R$ 4.950,00
e)) R$ 4
4.854,37
854 37
ATÉ A PRÓXIMA!