CPV O Cursinho que Mais Aprova na GV
FGV – Economia – 2a Fase – 07/dez/2014
MATEMÁTICA
01. Um investidor aplicou certa quantia, em reais, à taxa de juro composto de 1% ao mês. Neste problema, desprezando qualquer
tipo de correção monetária devida à inflação, responda as perguntas a seguir.
a) Neste investimento, após 2 meses, seria possível resgatar o valor aplicado com lucro de R$ 4.020,00. Calcule o valor
inicialmente aplicado.
b) No investimento indicado, é possível resgatar um montante de 4 vezes o capital inicialmente aplicado em 139,3 meses.
Caso o cálculo fosse feito adotando-se log 2 = 0,301 e log 202 = 2,305, que são logaritmos com apenas 3 casas decimais
de aproximação, seria obtido um valor aproximado de t anos. Chamando de E = t – 139,3 ao erro cometido no cálculo
devido ao uso de apenas 3 casas decimais de aproximação nos logaritmos indicados, calcule E.
Resolução:
a) Temos que m = c(1 + i)t portanto
c + 4020 = c(1 + 0,01)2
c + 4020 = c(1,01)2 Þ 4020 = c(1,01)2 – c
4020 = c(1,01)2 – c
4020 = 0,0201c
Resposta Valor inicial aplicado foi de R$ 200.000,00.
b) m = c(1 + i)t
c = 200000
Þ 4c = c(1,01)t
Logo 4 = (1,01)t
Então log22 = log(1,01)t
Mas log202 = log2 (101) = log2 + log101
Portanto 2(0,301) = t(2,004 – 2)
Logo E = 150,5 – 139, 3
Resposta: O Erro cometido foi de E = 11,2
CPV
FGVECONOV2014_2F
Þ log4 = log(1,01)t
Þ 2 log2 = tlog
Þ t=
( )
101
100
Þ 2(0,301) = t[log 101 – log 100]
Þ 2,305 = 0301 + log 101
0,602
0,04
Þ log 101 = 2,004
Þ t = 150,5
Þ E = 11,2
1
2
CPV
FGV-Economia
o
Cursinho
que
Mais A prova
na
GV
02. A tabela indica o horário do por do sol em uma cidade hipotética no dia primeiro de cada um dos doze meses de 2013.
O horário indicado na tabela (y) é dado em “minutos depois das 18 horas”. Por exemplo, em 1o de janeiro de 2013, o por
do sol se deu às 18h02.
Mês
Janeiro
Fevereiro
Horário (y)
2=2–0
1
1,5 = 2 –
2
Março
Mês
Julho
Agosto
Setembro
3
2
1=2–1
1,1 ≈ 2 –
Abril
Maio
3
2
3=2+1
2,9 ≈ 2 +
Outubro
Novembro
3
2
1
1,5 = 2 –
2
1,1 ≈ 2 –
Junho
Horário
2=2–0
1
2,5 = 2 +
2
3
2
1
2,5 = 2 +
2
2,9 ≈ 2 –
Dezembro
a) Usando a tabela a seguir para os valores de x, faça um esboço do gráfico de y em função de x no intervalo
Jan
Fev
Mar
Abr
Mai
Jun
Jul
Ago
Set
Out
Nov
Dez
π
π
π
2π
3
5π
6
π
7π
6
4π
3
3π
2
5π
3
11π
6
2π
6
3
2
π ≤ x ≤ 2π.
6
b) Determine uma função trigonométrica que forneça y em função de x, cujo gráfico passe por todos os pontos definidos pelas
π
tabelas anteriores. Em seguida, use essa função para prever o horário do por do Sol quando x = . (Use: 6 = 2,4 e 2 = 1,4)
4
Resolução:
a) Temos que y = 2 + sen
( )
π
– x 6
3
3
2
2
1
1
π π
6
3
π 2π 5π π 7π 4π 3π 5π 11π 2π
3
3
6
6
3
2
3
6
FGVECONOV2014_2F
3
3
x=
( )
π
–x
6
π 2π 5π π 7π 4π 3π 5π 11π 2π
π π
6
Para
CPV
b) Temos que y = 2 + sen
π
4
6
3
6
temos y = 2 + sen
π
. cos
π
2
3
3
( )
6
π
–
π
4
. cos
π
y = 2 + sen
y=2+
O por do Sol ocorrerá às 18 horas, 10 min e 45 segundos.
6
4
– sen
π
6
4
6
1
2
2
3
2
6
.
–
.
=2+
–
Þ y @ 1,75
2
2
2
2
4
4
CPV
o
C ursinho
que
Mais Aprova
na
GV
3
FGV-Economia
03. Uma companhia do setor químico fabrica um produto a partir de dois componentes químicos, A e B.
Cada quilograma de A contém 4 gramas da substância S1, 1 grama da substância S2, 1 grama da substância S3, e custa R$
30,00 para a companhia.
Cada quilograma de B contém 1 grama da substância S1, 2 gramas da substância S2, não contém a substância S3, e custa
R$ 20,00 para a companhia. O produto fabricado deve conter uma mistura de, pelo menos, 20 gramas da substância S1, 10
gramas da substância S2, e 2 gramas da substância S3.
Adote na resolução do problema a letra x para a quantidade do componente A (em quilogramas), y para a quantidade do
componente B (em quilogramas), e B para o custo total do produto fabricado, em reais.
a) Liste três pares ordenados (x, y), com x e y inteiros positivos, que atendam simultaneamente a todas as restrições do
problema. Em seguida, calcule o valor de C para cada um dos três pares (x, y) listados.
b) Determine o par ordenado (x, y), com x e y racionais, que atenda simultaneamente a todas as restrições do problema e
para o qual C atinja o menor valor possível. Em seguida, determine C, que também será um número racional, para o par
ordenado (x, y) solicitado.
Resolução:
a) Temos:
(4S1 + S2 + S3)x + (S1 + 2S2)y ≥ 20S1 + 10S2 + 2S3
(4x + y) . S1 + (x + 2y) . S2 + x . S3 ≥ 20S1 + 10S2 + 2S3
4x + y ≥ 20
Assim,
x + 2y ≥ 10, cuja representação gráfica é:
x≥2
b) Temos C = 30x + 20y Þ y = –
3
C
x+
2
20
3
,
2
devemos procurar aquela que possui o menor coeficiente linear.
Graficamente, observamos que isto ocorre na intersecção
entre as retas
Então, entre todas as retas com coeficiente angular igual a –
y
(
)
x + 2y = 10
30 20
, cuja solução é o ponto
;
.
7 7
4x + y = 20
y
20
20
5
5
2
5
x
10
x + 2y = 10
x=2
2
y=–
4x + y = 20
Então, três pontos que atendem o enunciado podem ser
(5;10), (10;10) e (20;20).
Para (5;10) Þ C = 30 . 5 + 20 . 10 = 350 reais
Para (10;10) Þ C = 30 . 10 + 20 . 10 = 500 reais
Para (20;20) Þ C = 30 . 20 + 20 . 10 = 800 reais
5
x=2
3
2
10
x+
c
x
x + 2y = 10
20
4x + y = 20
Logo o custo mínimo será
C = 30 .
30
20 1300
+ 20 .
=
@ 185,71 reais.
7
7
7
FGVECONOV2014_2F
CPV
4
FGV-Economia
CPV
o
Cursinho
que
Mais A prova
na
GV
04. Um sistema de código de barras tem extensão de 13 cm, e é composto por barras alternadas de cor branca ou preta, começando
e terminando sempre por uma barra preta. Cada barra (branca ou preta) mede 1 ou 2 cm. A figura indica uma possibilidade
de código nesse sistema. A leitura de código no sistema sempre é feita da esquerda para a direita.
a) Pinte, em cada um dos dois conjuntos de barras indicadas a seguir, um código desse sistema que atenda à condição
solicitada logo abaixo das barras. Código com exatamente 2 Código com o máximo de barras pretas barras pretas de 2 cm.
de 2 cm, e sem barras pretas de 1 cm.
b) Calcule o total de códigos diferentes que podem ser formados nesse sistema.
Resolução:
a)
1 cm
1 cm
Código com exatamente 2
barras pretas de 2 cm.
Código com o máximo de barras pretas
de 2 cm, e sem barras pretas de 1 cm
b) No diagrama, podemos observar as possibilidades de formação do código a partir da primeira barra:
A primeira barra é preta (P).
A segunda barra pode ser preta (P) ou branca (B), com possibilidades iguais.
A terceira barra pode ser preta (P) ou branca (B) caso a segunda seja branca ou, em caso contrário, deve ser branca (B).
Observamos que o número de possibilidades obedece à Série Fibonacci, a partir da terceira casa, em que qualquer termo é a soma dos
dois anteriores. Assim, temos a sequência:
1a barra: 1 ( 1 preta)
2a barra: 2 ( 1 preta e
1 branca)
3a barra: 3 ( 1 preta e
2 brancas)
4a barra: 5 ( 3 pretas e 2 brancas)
5a barra: 8 ( 4 pretas e 4 brancas)
6a barra: 13 ( 6 pretas e 5 brancas)
7a barra: 21 ( 11 pretas e 10 brancas)
8a barra: 34 ( 17 pretas e 17 brancas)
9a barra: 55 ( 27 pretas e 28 brancas)
10a barra: 89 ( 45 pretas e 44 brancas)
11a barra: 144 ( 72 pretas e 72 brancas)
12a barra: 233 (116 pretas e 117 brancas)
13a barra: 377 (189 pretas e 188 brancas)
CPV
Como na última barra devemos ter apenas a preta, podem ser formados nesse sistema 189 possibilidades de códigos diferentes.
FGVECONOV2014_2F