Matemática
Financeira
012G
MATEMÁTICA FINANCEIRA
3E
Desenvolvimento de conteúdo,
mediação pedagógica e
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3ª Edição - Abril/2005
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empresas responsáveis pela produção de cópias.
Índice
Apresentação............................................................................................................ 7
Lição 1 - O Valor do Dinheiro no Tempo
Introdução ................................................................................................................ 9
1. Valor Presente e Valor Futuro do Dinheiro ................................................ 10
2. Conceitos Financeiros .................................................................................. 10
3. Tipos de Juros ............................................................................................... 11
3.1 Juros Simples .......................................................................................... 11
3.2 Juros Compostos ..................................................................................... 14
4. Taxa Nominal e Taxa Efetiva de Juros ....................................................... 16
5. Inflação .......................................................................................................... 16
Exercícios Propostos ............................................................................................. 17
Lição 2 - Equivalência de Taxas e de Capitais
Introdução ..............................................................................................................
1. Equivalência de Taxas de Juros Simples ....................................................
2. Equivalência de Taxas de Juros Compostos ...............................................
3. Equivalência de Capitais com Juros Compostos ........................................
Exercícios Propostos .............................................................................................
21
21
21
21
25
Lição 3 - Séries Uniformes de Pagamentos e Recebimentos
Introdução .............................................................................................................. 27
1. Características das Séries Uniformes ......................................................... 27
Exercícios Propostos ............................................................................................. 29
Lição 4 – Sistemas de Amortização de Empréstimos
Introdução ..............................................................................................................
1. O que é Amortização ....................................................................................
2. Sistema de Amortização Constante ............................................................
3. Sistema Francês (ou Sistema Price) ............................................................
Exercícios Propostos .............................................................................................
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31
31
33
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Resolução dos Exercícios Propostos ..................................................................... 37
Bibliografia ............................................................................................................. 41
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012G/5
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Apresentação
Suponhamos que um jovem receba uma herança de 10 milhões de reais e
resolva aplicá-la no mercado financeiro. Um banco paga, para ter esse dinheiro,
juros de 5% ao ano. Assim, esse jovem vive a vida sem ter de se preocupar com
trabalho, já que recebe, por ano, 500 mil reais.
O banqueiro, por sua vez, recebe esse dinheiro e o empresta, a juros de 10%
ao ano, a uma empresa que ganha, na produção, 15% ao ano.
Parece tudo muito simples, já que todos lucram. Mas, e se todas as pessoas
que dispõem de recursos resolvessem parar de produzir e viver de juros? Se isso
acontecesse, o banqueiro teria muita oferta de dinheiro, e passaria a pagar cada
vez menos por ele. Nesse caso, as aplicações deixariam de ser interessantes, e as
pessoas tenderiam a voltar ao mercado produtivo.
Sabendo que os capitais existentes no país podem estar na área financeira ou
no setor produtivo, vale ressaltar que é importante um equilíbrio no direcionamento desses capitais, já que o setor produtivo é o responsável pela geração de
riquezas e, conseqüentemente, de empregos e melhor qualidade de vida para
maior parcela da população.
Essa situação serve para ilustrar o funcionamento do mercado de juros, que
pode variar muito em decorrência de fatores internos e externos de qualquer
sistema econômico. A Matemática Financeira nos auxilia a calcular os ganhos de
uma aplicação do nosso dinheiro, seja no mercado financeiro, seja numa empresa. Ela ajuda, também, a verificar os custos de um financiamento: tanto numa loja
(compras a prazo) quanto num banco (empréstimo de dinheiro).
Matemática Financeira é o conjunto de conceitos matemáticos utilizados para
a análise e operacionalização de transações financeiras. Seu objetivo é avaliar as
taxas de juros nas aplicações e nos empréstimos, já que, para fazermos uma
aplicação, o melhor é procurar a mais alta taxa de juros disponível; e, para um
empréstimo, o ideal é procurar a mais baixa taxa de juros disponível. Para chegar
a isso, é necessário conhecer conceitos matemáticos como taxa, capital, saber
calcular juros, período ideal de aplicação, etc.
Assim, vemos que essa disciplina é importante para a gestão de uma empresa
e no processo de tomada de decisão financeira, pois estimar o desgaste do dinheiro no tempo é fundamental para avaliar os custos financeiros de uma empresa.
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012G/7
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lição
1
O Valor do
Dinheiro no Tempo
Introdução
O valor do dinheiro muda ao longo do tempo, e a matemática
ajuda-nos a calcular essa transformação.
Podemos afirmar que R$ 1,00 hoje jamais é igual a R$ 1,00 em
qualquer outro momento.
Obs.: obviamente, as mercadorias e produtos não têm seus preços alterados diariamente, mas, periodicamente, sofrem reajustes de preços que visam repor as perdas verificadas em todo o
período em que não tiveram aumento.
R$ 1,00
≠
R$ 1,00
tempo
Hoje
30 dias
depois
Isso ocorre porque o dinheiro perde valor ao longo do tempo. O
que compramos com R$ 100,00 hoje dificilmente poderá ser comprado daqui a dois anos, pelos mesmos R$ 100,00. Isso significa que
o dinheiro perde poder aquisitivo. Existem vários motivos que levam à desvalorização do dinheiro; por exemplo, podemos citar a
inflação, nossa velha conhecida. Mas é importante saber que nem
sempre ela é a principal causadora da perda do poder aquisitivo do
dinheiro.
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012G/9
○
Instituto Monitor
prescindível. Veremos aqui, os mais importantes.
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Se o dinheiro necessariamente perde valor, o maior desafio para quem guardou parte
de sua renda e possui dinheiro poupado é
manter o valor dessa economia ou poupança;
ou seja, impedir que o dinheiro perca valor
com o passar do tempo.
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• Capital ou Principal: é a quantia de dinheiro transacionada1 numa operação, seja ela
de aplicação ou empréstimo. Quando alguém aplica na Caderneta de Poupança, o
valor investido é chamado de capital ou de
principal da aplicação. Contrariamente,
quando alguém vai ao banco e toma dinheiro
emprestado, o valor do recurso cedido pelo
banco é chamado de principal da dívida ou
capital do banco.
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Por outro lado, quem não tem poupança
e precisa de dinheiro emprestado terá que
compensar aquele que empresta, pois o pagamento do empréstimo será naturalmente
efetuado em data futura.
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Para todas essas questões, a Matemática
Financeira fornece métodos e técnicas que
permitem o cálculo das perdas e dos ganhos
do dinheiro ao longo do tempo.
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• Juros: é a remuneração do capital ou principal. Ao se tomar dinheiro emprestado,
remunera-se com juros quem cedeu o dinheiro (geralmente, o banco). Ao se aplicar um recurso, os juros representam a
remuneração da aplicação financeira (nesse caso, o banco remunera o investidor). Os
juros impedem que o dinheiro desvalorize
ao longo do tempo, compensando quem investe e quem empresta dinheiro.
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1. Valor Presente e
Valor Futuro do Dinheiro
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Se o dinheiro desvaloriza-se com o tempo, o primeiro fato a ser considerado é o de
que o valor do dinheiro hoje é diferente do
valor do dinheiro em qualquer data futura.
Sendo assim, o dinheiro tem um valor presente e um valor futuro.
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• Montante: é o valor composto pelo principal
acrescido de juros. Quando alguém aplica
na Caderneta de Poupança um determinado valor (principal) durante 6 meses, por
exemplo, o montante dessa operação será
composto do principal mais os juros acumulados ao longo desse tempo de aplicação.
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Valor presente é aquele que, na escala do
tempo, está localizado no momento atual (ou
na data de hoje), também chamado de datazero.
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Valor futuro é aquele que se encontra em
qualquer data após a data-zero; pode ser
aquele de um dia depois, um mês depois, um
ano depois, dez anos depois.
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• Taxa de Juros: é a remuneração do capital
expressa em porcentagem por unidade ou
período de tempo, que pode ser mensal, trimestral, anual, etc. Por exemplo, a Caderneta de Poupança remunera seus
aplicadores com juros de 6% ao ano. Em
termos relativos, 6% equivalem a 0,06 do
principal.
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Valor
Futuro
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Valor
Presente
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tempo
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Data
futura
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Data de
hoje
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2. Conceitos Financeiros
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1 Transacionada: aquilo que foi objeto de transação, que foi
negociado. No contexto acima, diz respeito à quantia de
dinheiro que foi empregada numa aplicação.
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Para quem estuda Matemática Financeira, o conhecimento de alguns conceitos é im○
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012G/10
Instituto Monitor
• Período de Capitalização: refere-se àquele período de tempo (mês,
ano, etc.) em que os juros serão efetivamente calculados e somados a uma dívida (no caso de empréstimos) ou aplicação (no caso
de investimentos).
3. Tipos de Juros
3.1 Juros Simples
Os juros simples são calculados pelo chamado regime de capitalização simples, o que significa dizer que não há incidência de
juros sobre juros. Ou seja, o juro é resultado da taxa de juros por
período (mês, ano, etc.) multiplicada somente pelo principal. Vejamos um exemplo.
O Sr. Martins aplicou R$ 1.000,00 em um banco pelo período de
três meses. Ao final do trimestre, ele receberá do banco os R$
1.000,00 que aplicou; além disso, ao final de cada mês, receberá 2%
de juros simples, que correspondem à remuneração do investimento
feito.
Ao final de cada mês, o banco terá de pagar ao Sr. Martins:
1º mês = R$ 1.000,00 × 0,02 = R$ 20,00
2º mês = R$ 1.000,00 × 0,02 = R$ 20,00
3º mês = R$ 1.000,00 × 0,02 = R$ 20,00
Depois de 3 meses, o banco deverá ter pago ao Sr. Martins R$
60,00 de juros, além de devolver os R$ 1.000,00 referentes ao principal do investimento. Podemos então dizer que:
J = Cin
Onde:
J: juros
C: capital
i: taxa de juros
n: número de períodos de investimento ou aplicação
E podemos também dizer que:
M = C(1+in)
Onde:
M: montante
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012G/11
Instituto Monitor
Assim, na aplicação do Sr. Martins:
J = 1.000 × 0,02 × 3 = R$ 60,00
M = 1.000 (1 + 0,02 × 3) = R$ 1.060,00
Se representarmos graficamente, através dos fluxos de caixa da
operação, a aplicação financeira realizada pelo Sr. Martins, teremos:
R$ 1.000,00
+
R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00
1º mês
3º mês
2º mês
tempo
R$ 1.000
Os fluxos de caixa de uma operação financeira representam
graficamente as entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo;
no caso acima, o gráfico foi elaborado tendo em vista as entradas e
saídas do investidor (Sr. Martins).
O gráfico deve ser lido assim: o eixo horizontal representa o
tempo dividido em períodos (no exemplo, cada período equivale
a um mês); as setas apontadas para baixo representam as saídas
de recursos ou aquilo que foi desembolsado pelo investidor; as
setas apontadas para cima representam entradas de recursos
ou reembolsos do investidor.
Vejamos mais um exemplo. O Sr. Pereira aplicou R$ 10.000,00
pelo período de um ano, e a remuneração anual dessa aplicação
financeira é de 30%. Vejamos como calcular os juros e o montante,
e como apresentar os fluxos de caixa.
J = Cin
J = 10.000 × 0,3 x 1
J = R$ 3.000,00
M = C(1+in)
M = 10.000 (1 + 0,3 × 1)
M = 13.000,00
Fluxos de caixa para o investidor (Sr. Pereira):
R$ 13.000
1 ano
tempo
R$ 10.000
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012G/12
Instituto Monitor
Um investidor aplicou R$ 100.000,00 durante seis meses, e a
remuneração foi de 4% ao mês (juros simples), paga ao final de
cada mês. Quanto recebeu de juros? Qual o montante da operação?
J = Cin
J = 100.000 × 0,04 × 6
J = R$ 24.000,00
M = C(1+in)
M = 100.000 (1 + 0,04 × 6)
M = R$ 124.000,00
Fluxos de caixa para o investidor:
4.000
1º mês
4.000
2º mês
4.000
4.000
3º mês
4º mês
4.000
5º mês
100.000
+
4.000
6º mês
100.000
Vejamos um caso em que se toma dinheiro emprestado. O Sr.
Mateus foi ao banco e tomou emprestado R$ 5.000,00 para serem
pagos ao final de três meses. Todavia, ao final de cada mês ele deve
pagar ao banco 5% de juros (simples) sobre o valor emprestado (R$
5.000,00). Quanto o Sr. Mateus pagará de juros? Qual o montante do
empréstimo? Como são os fluxos de caixa da operação?
J = Cin
J = 5.000 × 0,05 × 3
J = R$ 750,00
M = C(1 + in)
M = 5.000 (1 + 0,05 × 3)
M = R$ 5.750,00
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012G/13
Instituto Monitor
Vejamos um exemplo. O Sr. José investiu, pelo período de três meses, R$ 10.000,00
numa aplicação financeira que oferece juros
de 1% ao mês. Como ele não retirará os juros
ao final de cada mês, o banco irá pagá-los no
final do trimestre, quando também fará a
devolução do principal.
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Para o Sr. Mateus, os fluxos de caixa se-
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rão:
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5.000
3º mês
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2º mês
○
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1º mês
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250
+
5.000
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○
Assim, o investimento do Sr. José será
acrescido de juros a cada mês:
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250
○
○
250
1º mês = 10.000 × 1,01 = R$ 10.100,00
○
○
Na data-zero, o Sr. Mateus recebeu R$
5.000,00. Ao final de cada mês, ele pagou juros; ao final do 3º mês, também pagou ao banco, além dos juros daquele mês, o principal.
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○
○
2º mês = 10.100 × 1,01 = R$ 10.201,00
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3º mês = 10.201 × 1,01 = R$ 10.303,01
De outra forma:
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Juros simples não são comuns em operações financeiras de empréstimos e aplicações.
O que se pratica, de fato, é a capitalização
composta, ou juros compostos.
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R$ 10.000 × 1,01 × 1,01 × 1,01 = R$ 10.303,01
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○
Ou seja:
M = C (1 + i)n
○
○
○
3.2 Juros Compostos
M = 10.000 (1 + 0,01)³
○
○
Os juros compostos são calculados pelo
chamado regime de capitalização composta,
o que significa dizer que há incidência de juros sobre juros. Ou seja, os juros de cada período são somados ao principal, e sobre esse
total incidem novos juros no período seguinte; e assim sucessivamente.
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M = 10.303,01
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○
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Os juros a serem recebidos pelo Sr. José
ao final do trimestre:
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○
J=M-C
J = 10.303,01 - 10.000,00
○
○
O cálculo do montante de uma aplicação
com juros compostos é dado por:
○
○
○
J = 303,01
○
M = C (1 + i)n
○
Para o investidor, os fluxos de caixa se-
○
rão:
○
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Onde (1 + i)n representa o fator de acumulação de capital, que pode ser calculado
por máquinas calculadoras que possuem a
função exponencial ou ainda pode ser obtido
em tabelas prontas, procedimento bastante
comum em casas comerciais varejistas que
vendem a prazo.
○
○
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10.303,01
2º mês
3º mês
○
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○
○
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1º mês
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10.000,00
○
O cálculo dos juros pagos por essa aplicação é dado por:
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○
Mais um exemplo: a Caderneta de Poupança remunera seus investidores com juros
de 6% ao ano, capitalizando 0,5% de juros ao
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○
○
J=M–C
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012G/14
Instituto Monitor
mês. Um investidor aplica R$ 4.000,00 por um ano e não faz qualquer retirada durante esse período. Qual será o montante desse
investimento? Quanto o investidor receberá de juros?
M = 4.000 (1 + 0,005)12
M = 4.000 (1,005)12
M = 4.000 (1,061678)
M = 4.246,71
J=M-C
J = 4.246,71 - 4.000,00
J = R$ 246,71
Para esse investidor, os fluxos de caixa serão:
4.246,71
meses
4.000
A Sra. Luciana Alves pediu em um banco R$ 2.000,00 emprestados, e o pagamento total será feito depois de dois meses. Se o
banco cobra juros de 5% ao mês, qual será o montante dessa dívida? Quanto ela pagará de juros por esse empréstimo?
M = 2.000(1 + 0,05)²
M = 2.000(1,1025)
M = 2.205,00
J = 2.205,00 - 2.000,00
J = 205,00
Para a Sra. Luciana, os fluxos de caixa serão:
2.000
1º mês
2º mês
2.205,00
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012G/15
Instituto Monitor
4. Taxa Nominal e Taxa Efetiva de Juros
Taxas de Juros Nominais são aquelas taxas de juros cujos períodos de capitalização não coincidem com os períodos informados. A Caderneta de Poupança, por exemplo, informa que paga 6%
de juros ao ano, mas esse juro é capitalizado mensalmente.
Taxas de Juros Efetivas são aquelas taxas de juros cujos períodos de capitalização são idênticos aos períodos informados. Exemplo: um banco oferece empréstimo a uma taxa mensal de juros de
3,5%, com capitalização (pagamento dos juros) também mensal.
Em outras palavras, a taxa efetiva é aquela que efetivamente
remunerou um investimento ou onerou um empréstimo de dinheiro.
Vimos, anteriormente, que a Caderneta de Poupança oferece um
rendimento anual de 6%, que é a taxa nominal da aplicação financeira. Mas como os juros são capitalizados mensalmente? Qual seria
a taxa efetiva anual de remuneração da Caderneta de Poupança?
A taxa efetiva é dada por:
iefe = [(1 + i)n - 1]
iefe = [(1 + 0,005)12 - 1] = 0,0617
Ou seja, a taxa efetiva de remuneração da Caderneta de Poupança é de 6,17% ao ano.
5. Inflação
A inflação é um evento tipicamente monetário, consistindo num
aumento generalizado de preços que é decorrência da perda do
poder aquisitivo da moeda.
Mas, por que ocorre a inflação? A inflação pode iniciar-se devido ao aumento de custos ou de demanda, ou, ainda, pela combinação
dos dois fatores. Uma vez iniciada a inflação, ocorre um fenômeno
denominado de espiral de preços, onde todos os “atores” da economia (empresas, empregados, governo, etc.) praticam aumentos sistemáticos de preços.
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○
○
012G/16
Exercícios Propostos
1 – Por que o dinheiro perde valor ao longo do tempo?
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2 - Apresente o conceito de Montante.
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_____________________________________________________________________________
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_____________________________________________________________________________
3 – O que são juros?
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_____________________________________________________________________________
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_____________________________________________________________________________
4 - Um investidor aplicou R$ 100.000 durante três meses, e foi remunerado a 6% ao mês
(juros simples) ao final de cada mês. Quanto recebeu de juros? Qual o montante da
operação?
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○
○
○
012G/17
Instituto Monitor
5 - Uma pessoa tomou emprestado R$ 8.000,00 para serem pagos ao final de dois meses.
Ao final de cada mês, todavia, ela deve pagar ao banco 9% de juros (simples). Quanto essa pessoa pagará de juros? Qual o montante do empréstimo?
6 - Explique como são calculados os juros compostos.
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_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
7 - Você investiu, pelo período de três meses, R$ 12.000,00 numa aplicação financeira
que oferece juros de 1% ao mês. Quanto você receberá de volta após três meses?
8 - A Sra Adriana Silva tomou emprestado R$ 4.000,00 de seu banco, e deverá pagar o
total desse empréstimo ao final de seis meses. O banco cobra juros de 5% ao mês.
Qual será o montante dessa dívida? Quanto a Sra. Adriana pagará de juros por esse
empréstimo?
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○
○
○
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012G/18
Instituto Monitor
9 - A Caderneta de Poupança remunera seus investidores com 6% de juros ao ano,
capitalizando 0,5% de juros ao mês. Um investidor aplicou R$ 30.000,00 por um ano.
Durante esse período, não fez qualquer retirada de juros. Qual será o montante
desse investimento? Quanto o investidor receberá de juros?
10 – Como se diferenciam taxas de juros nominais e taxas de juros efetivas.
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_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
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○
○
○
○
012G/19
lição
2
Equivalência de
Taxas e de Capitais
Nesse exemplo, percebemos que, ao aplicar
determinada quantia de dinheiro por seis meses, a uma taxa de 5% ao trimestre ou de 20% ao
ano, o resultado (montante) será o mesmo.
○
○
○
○
Introdução
○
○
○
○
Nesta lição, verificamos quão relevante é
saber calcular a equivalência de taxas para
tomar decisões a respeito dos mais diferentes
investimentos. Com esses cálculos em mãos,
também podemos calcular o valor real de uma
mercadoria, que pode ter variação significativa de preço em uma ou outra loja.
○
○
○
○
○
○
2. Equivalência de
Taxas de Juros Compostos
○
○
○
O conceito de taxa equivalente para juros
compostos é o mesmo aplicado aos juros simples, considerando-se aqui a característica da
capitalização composta.
○
○
○
○
○
O cálculo da equivalência de capitais ou
de taxas nos permite a comparação, e é comparando que tomamos decisões de compra, de
investimento, de financiamento, etc.
○
○
Uma taxa mensal de 2% equivale a qual
taxa anual composta?
○
○
○
1. Equivalência de
Taxas de Juros Simples
○
○
ianual = [(1 + 0,02)12 - 1]
○
Qual a taxa anual equivalente à taxa mensal de 3% (juros simples)?
○
○
ianual = 0,2682 ou 26,82% ao ano
○
○
Duas taxas de juros simples são consideradas equivalentes quando a diferença entre
elas é devida exclusivamente ao fato de que
representam períodos diferentes de tempo.
Assim, uma taxa de juros simples de 5% ao mês
é equivalente a uma taxa de juros simples de
10% ao bimestre, 30% ao semestre ou 60% ao
ano.
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○
○
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Uma taxa anual composta de 40% equivale a qual taxa mensal?
○
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imensal = [(1 + 0,40)1/12 – 1]
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imensal = 0,0284 ou 2,84% ao mês
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○
○
3. Equivalência de Capitais
com Juros Compostos
○
O cálculo da equivalência entre capitais
permite tomar decisões mais adequadas no que
diz respeito a compras, investimentos, financiamentos, etc.
○
○
○
ianual = (0,03 x 12 meses) = 0,36 ou 36% ao ano
○
○
○
○
Qual a taxa trimestral equivalente à taxa
anual de 20% (juros simples)?
A uma taxa de juros compostos de 3% ao
mês, R$ 1.000,00 hoje equivalem a quanto daqui a três meses?
○
○
itrimestral = (0,20 ÷ 4 trimestres)
○
○
○
○
○
itrimestral = 0,05 ou 5% ao trimestre
○
○
○
○
○
012G/21
Instituto Monitor
Valor Presente (VP) = R$ 1.000,00
Valor Futuro (VF) = ?
VF = 1.000 (1 + 0,03)³
VF = 1.092,73
Ou seja, R$ 1.000,00 hoje equivalem a R$ 1.092,73 daqui a três
meses, considerando-se uma atualização mensal de 3%.
Vejamos um exemplo em que desejamos calcular o valor presente de uma determinada quantia, sabendo seu valor futuro. Se a
inflação mensal prevista é de 1% ao mês, R$ 1.000,00 daqui a seis
meses equivalem a que valor hoje?
VF = R$ 1.000,00
VP = ?
VP = 1.000 (1 + 0,01)-6
VP = 1.000 (0,942045)
VP = R$ 942,05
De outro modo:
VP =
1.000
(1 + 0,01)6
VP =
1.000
(1,061520)
VP = R$ 942,05
Dessa forma, “transportamos” o valor de R$ 1.000 (localizado
daqui a seis meses) para a data-zero, ou momento atual.
R$ 942,05
R$ 1.000,00
data-zero
6 meses depois
Vejamos como aplicar esse conhecimento a uma situação do
cotidiano. O Sr. Novais terá de pagar uma dívida de R$ 1.000,00
daqui a três meses. Quanto ele deverá investir hoje no banco para
ter o equivalente ao valor da dívida daqui a três meses, se ele obtiver, para o seu dinheiro, uma remuneração de 4% ao mês nas aplicações financeiras?
○
○
○
○
○
012G/22
Instituto Monitor
prestações mensais iguais de R$ 300,00 na loja
A e em 6 prestações mensais iguais de R$ 110,00
na loja B. Sabendo-se que ambas as lojas cobram juros mensais de 5%, em que loja deveria o Sr. Nogueira adquirir seu aparelho de
televisão?
○
○
○
○
○
○
○
○
R$ 1.000,00
○
○
○
○
?
○
○
○
1.000,00
(1,04)³
○
VP =
○
○
○
VP = 889,00
○
○
○
○
○
○
○
○
Se o Sr. Novais investir R$ 889,00 hoje, a
4% ao mês, ele terá exatamente R$ 1.000,00
daqui a três meses (dinheiro para quitar sua
dívida).
○
○
○
○
Uma loja vende uma geladeira por R$ 200,00
de entrada e mais duas prestações mensais de
R$ 300,00. Se a loja cobra juros de 8% ao mês,
qual seria o valor equivalente, à vista, dessa geladeira?
○
○
Na loja A, o preço à vista do aparelho será
○
○
○
○
de:
VP =
○
○
VP = 557,82
○
2º mês
○
1º mês
○
Na loja B, o preço à vista do aparelho será
○
○
de:
R$ 300,00
○
R$ 300,00
○
R$ 200,00
300 300
+
1,05 1,05²
○
○
○
Os fluxos de caixa na perspectiva do comprador:
110
110
110
110
110
110
+
+
+
+
+
1,05 1,052 1,053 1,054 1,055 1,056
○
○
○
VP =
○
Trazendo para valor presente todos os
valores futuros, e somando-os ao valor da
entrada, teremos:
○
○
○
○
VP = 104,76 + 99,77 + 95,02 + 90,50 + 86,19
+ 82,08
○
VP = R$ 558,32
○
○
300,00 300,00
VP = 200,00 +
+
1,08
1,08²
○
○
Levando-se os dois conjuntos de prestações para a mesma data, que é a data atual
(valor presente), verificamos que as duas
ofertas não são equivalentes, ou seja, na loja
A o aparelho de televisão é mais barato.
○
○
○
VP = 200,00 + 277,78 + 257,20
○
○
○
VP = 734,98
○
○
Ou seja, uma entrada de R$ 200,00 e mais
duas prestações mensais de R$ 300,00 equivalem a um valor à vista de R$ 734,98.
○
○
○
○
○
A loja de automóveis RT Veículos vende
um carro com entrada de R$ 6.000,00 e mais
duas prestações de R$ 4.500,00. A loja de automóveis GP Veículos vende um carro idêntico em três prestações de R$ 5.210,00. Sa-
○
○
○
○
O Sr. Nogueira gostaria de comprar um
aparelho de televisão que é vendido em duas
○
○
○
○
○
012G/23
Instituto Monitor
bendo-se que os juros de financiamento de veículo são de 3% ao
mês, qual das duas lojas vende mais barato?
Loja RT:
VP = 6.000 +
4.500 4.500
+
1,03 1,03²
VP = 6.000 + 4.368,93 + 4.241,68
VP = 14.610,61
Loja GP:
VP =
5.210 5.210 5.210
+
+
1,03 1,03² 1,033
VP = 5.058,25 + 4.910,92 + 4.767,89
VP = 14.737,07
A loja RT vende mais barato, pois seu preço à vista equivale a
um valor menor do que o preço à vista da loja GP.
○
○
○
○
○
012G/24
Exercícios Propostos
1 - Qual a taxa anual equivalente à taxa mensal de 6% (juros simples)?
2 - Qual a taxa trimestral equivalente à taxa anual de 40% (juros simples)?
3 - Uma taxa mensal de 4% equivale a qual taxa anual composta?
4 - Uma taxa anual composta de 30% equivale a qual taxa mensal?
○
○
○
○
○
012G/25
Instituto Monitor
5 - Se a inflação anual prevista é de 10% para os próximos 10 anos,
R$ 1.000,00 daqui a 10 anos equivalem a que valor hoje?
6 - Você gostaria de comprar um aparelho de televisão que é vendido em duas prestações mensais de R$ 250,00 na loja A e em
quatro prestações iguais de R$ 140,00 na loja B (ambas sem
entrada). Se ambas as lojas cobram juros mensais de 6%, em
que loja você deveria adquirir seu aparelho de televisão?
7 - Você terá que pagar uma dívida de R$ 3.000,00 daqui a oito
meses. Quanto você terá que investir hoje na Caderneta de Poupança para ter o equivalente ao valor da dívida daqui a oito
meses? A Caderneta de Poupança paga juros mensais de 0,5%
ao mês (vamos considerar somente os juros, sem correção monetária).
8 - Um terreno custa hoje R$ 10.000,00. Daqui a cinco anos esse
terreno poderá ser vendido por R$ 13.000,00. Considerando-se
uma inflação anual prevista de 6%, vale a pena adquirir esse
terreno para vendê-lo daqui a cinco anos?
○
○
○
○
○
012G/26
lição
3
Séries Uniformes de
Pagamentos e Recebimentos
Nesse gráfico, as prestações ocorrem ao
final de cada período (são chamadas de postecipadas), mas também podem ocorrer em início de período (antecipadas).
○
○
○
○
Introdução
○
○
○
○
As séries de fluxos de caixa ou de capital
referem-se a todo tipo de seqüência de pagamentos ou recebimentos que, por algum motivo, venham a ocorrer: prestações de dívidas,
retornos de investimentos, etc. Por isso a importância de saber calculá-las.
○
○
○
○
○
○
○
O valor de prestações idênticas pode ser
facilmente calculado através de calculadoras
financeiras. A fórmula de cálculo para uma
série de prestações iguais a serem pagas em
final de período é:
○
○
○
1. Características das Séries Uniformes
○
Considerando-se aqui somente a capitalização composta, as séries uniformes, que também
são chamadas de anuidades constantes, representam apenas um tipo de série de pagamentos
ou de recebimentos. Ou seja, são aquelas seqüências de pagamentos que se caracterizam por serem iguais, constantes ou uniformes.
P × i(1 + i)n
(1 + i)n - 1
○
○
○
○
R=
○
○
○
○
○
○
○
○
Onde:
R: valor da prestação uniforme
P: principal ou capital
i: taxa de juros
n: número de períodos de capitalização
○
○
Mas é importante frisar que, além da característica de uniformidade, as séries de pagamentos ou de recebimentos podem ainda ter
outras características, tais como crescimento
constante, progressão aritmética, progressão
geométrica, perpetuidade, etc.
○
○
○
○
○
○
○
○
Um comerciante pretende vender, em três
prestações iguais, sem entrada, bicicletas que
custam, à vista, R$ 450,00. E gostaria de cobrar
juros de 4% ao mês. Qual o valor das prestações?
450 × 0,04(1 + 0,04)3
(1 + 0,04)3 - 1
R=
450 × 0,044995
1,124864 - 1
R=
20,247750
0,124864
○
○
R=
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Uma série uniforme pode constituir-se, por
exemplo, em uma seqüência de diversas prestações iguais, que se sucedem em intervalos
constantes, correspondendo aos períodos de
capitalização.
○
○
○
○
R$ tomado emprestado
○
○
○
○
R = R$ 162,16
O comerciante deve vender as bicicletas
em 3 prestações iguais de R$ 162,16.
○
Prestação n
3ª
prestação
○
○
○
2ª
prestação
○
1ª
prestação
○
○
○
012G/27
Instituto Monitor
Para o comerciante, os fluxos de caixa seriam:
162,16
162,16
162,16
450,00 (valor à vista da bicicleta)
Em uma determinada loja, o Sr. Anselmo foi informado de
que um aparelho de som, cujo valor à vista é de R$ 900,00, pode
ser adquirido em 6 prestações iguais, sem entrada, considerando-se um juro composto de 3% ao mês. Qual seria o valor de cada
prestação?
R=
900 × 0,03(1,03)6
(1,03)6 - 1
R=
32,239412
0,194052
R = R$ 166,14
○
○
○
○
○
012G/28
Exercícios Propostos
2 – Uma loja vende em 10 prestações iguais
uma geladeira que custa R$ 400,00 à vista. Qual será o valor de cada prestação se
a loja cobrar juros mensais de 3%?
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
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○
○
○
○
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○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
1 – Você deseja tomar R$ 5.000,00 emprestados junto a um banco para pagar em 5
prestações iguais. Sabendo-se que o banco cobra 5% ao mês de juros, qual seria o
valor de cada prestação?
○
○
○
○
○
012G/29
lição
4
Sistemas de Amortização
de Empréstimos
Jt = i × St-1
St = (St-1) - At
○
○
○
○
Introdução
Onde:
Jt: juros a serem pagos no momento t
i: taxa de juros conforme contrato da dívida
St: saldo devedor no momento t (uma data
qualquer de vencimento da prestação)
St-1: saldo devedor no momento (t - 1), no
período anterior ou no vencimento anterior da prestação
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Quando alguém contrai um empréstimo
junto a um banco, por exemplo, terá que pagar
a ele o valor principal emprestado e os juros,
que representam a remuneração do banco pelo
dinheiro cedido.
○
○
○
○
○
Assim, seja pagando um empréstimo de
uma só vez ou em diversas prestações, o devedor terá sempre que pagar esses dois valores
ao credor: principal e juros. Vamos estudar,
nesta lição, o que significa amortizar o valor
de um empréstimo.
○
○
○
○
○
Período anterior ao momento t
○
○
tempo
○
(t -1)
t
○
○
1. O que é Amortização
○
○
No momento t:
• Pagam-se juros devidos do período anterior:
J = i × St-1
○
○
○
○
Geralmente, os principais componentes da
prestação de um empréstimo são uma parcela
do principal e os juros. Essa parcela do principal é chamada de amortização e pode ser assim representada:
○
○
○
○
○
• Amortiza-se uma parte do principal, gerando novo saldo devedor: St = (St-1) - At
A regra para a amortização de dívida depende do sistema de amortização adotado no
contrato do empréstimo.
○
○
○
○
Rt = At + Jt
○
○
○
Onde:
Rt: valor da prestação na data ou momento t
At: amortização (parcela do principal) no momento t
Jt: juros no momento t
○
○
○
○
○
Dentre os sistemas de amortização, apresentaremos os dois mais conhecidos: Sistema
de Amortização Constante e Sistema Francês
(ou Sistema Price).
○
○
○
Os juros de uma prestação incidem sempre sobre o principal devido. Mas, à medida
que o devedor vai pagando as prestações, ele
vai amortizando ou diminuindo o principal devido. Esse principal devido, ainda não pago, é
chamado de saldo devedor e pode ser calculado segundo as fórmulas:
○
○
○
2. Sistema de Amortização Constante
○
○
○
○
○
○
Largamente utilizado por bancos e financeiras, o Sistema de Amortização Constante (SAC),
como o próprio nome diz, caracteriza-se pelo
○
○
○
○
○
012G/31
Instituto Monitor
fato de que suas amortizações são constantes, e também pelo fato
de suas prestações serem decrescentes.
O valor da amortização em cada prestação da dívida é dado por:
At =
P
n
Onde:
At: valor da amortização da prestação no momento t
P: principal da dívida
n: número de prestações da dívida ou de períodos de capitalização
Vejamos um exemplo. O Sr. Azevedo tomou emprestado
R$ 3.000,00 em um banco, para serem pagos em três prestações
mensais, a juros de 5% ao mês e pelo Sistema de Amortização
Constante. Qual será o valor de cada prestação? Quanto o Sr.
Azevedo pagará de juros e de amortização em cada prestação?
At =
P
n
At =
3.000
3 meses
At = 1.000
n
St
At
Jt
Rt
0
3.000
0
0
0
1
2.000
1.000
(3.000 × 0,05) = 150,00
1.150,00
2
3
1.000
0
1.000
1.000
(2.000 × 0,05) = 100,00
(1.000 × 0,05) = 50,00
1.110,00
1.050,00
Para o Sr. Azevedo, os fluxos de caixa ficarão assim:
3.000
1º mês
2º mês
1.150
3º mês
1.100
(2ª prestação)
(1ª prestação)
1.050
(3ª prestação)
O Sr. Souza tomou emprestado, em um banco, R$ 12.000,00 para
serem pagos em quatro prestações mensais, com juros de 8% ao
mês e pelo Sistema de Amortização Constante. Qual será o valor
○
○
○
○
○
012G/32
Instituto Monitor
de cada prestação? Quanto o Sr. Azevedo pagará de juros e de amortização em cada prestação?
At =
P
n
At =
12.000
4 meses
At = 3.000
n
St
At
Jt
Rt
0
12.000
0
0
0
1
9.000
3.000
(12.000 × 0,08) = 960,00
3.960,00
2
3
6.000
3.000
3.000
3.000
(9.000 × 0,08) = 720,00
(6.000 × 0,08) = 480,00
3.720,00
3.480,00
4
0
3.000
(3.000 × 0,08) = 240,00
3.240,00
3. Sistema Francês (ou Sistema Price)
Nesse sistema, também conhecido como Tabela Price, as prestações são de mesmo valor, o que o caracteriza como uma série
uniforme (conforme visto na lição anterior).
No Sistema Price, deve-se primeiramente calcular o valor da
prestação. Em seguida, os juros devidos ao final do primeiro mês
(i × saldo devedor). Subtraindo-se os juros da prestação, teremos
o valor da amortização. E assim sucessivamente: se R = J + A então, A = R - J.
O Sr. Araújo tomou emprestado, em
um banco, R$ 3.000,00
para serem pagos em
três prestações mensais, a juros de 5% ao
mês e pelo Sistema
Price. Qual será o valor de cada prestação?
Quanto o Sr. Azevedo
pagará de juros e de
amortização em cada
prestação?
○
○
○
○
○
012G/33
Instituto Monitor
Valor da Prestação:
R=
P × i(1 + i)n
(1 + i) – 1n
R=
3.000 × 0,05(1,05)3
(1 ,05)3 - 1
R=
173,64375
0,157625
R = R$ 1.101,63
n
St
At
Jt
Rt
0
3.000
0
0
0
1
2.048,37
951,63
(3.000 × 0,05) = 150,00
1.101,63
2
3
1.049,16
0
999,21
1.049,16
(2.048,37 × 0,05) = 102,42
(1.049,16 × 0,05) = 52,46
1.101,63
1.101,63
O Sr. Souza tomou emprestado R$ 20.000,00 para serem pagos
em seis prestações mensais, a juros de 4% ao mês e pelo Sistema
Francês de Amortização. Qual será o valor de cada prestação?
Quanto o Sr. Souza pagará de juros e de amortização em cada prestação?
R=
P × i(1 + i)n
(1 + i)n – 1
R=
20.000 × 0,04(1 + 0,04)6
(1 + 0,04)6 - 1
R=
1.012,2552
0,265319
R = 3.815,24
n
St
At
Jt
Rt
0
20.000,00
0
0
0
1
16.984,76
3.015,00
800,00
3.815,24
2
3
13.848,91
10.587,63
3.135,85
3.261,28
679,39
553,96
3.815,24
3.815,24
4
7.195,90
3.391,73
423,51
3.815,24
5
3.668,50
3.527,40
287,84
3.815,24
6
0
3.668,50
146,74
3.815,24
○
○
○
○
○
012G/34
Exercícios Propostos
1 - Você tomou emprestado, junto a um banco, R$ 6.000,00. Esse valor será pago em três
prestações mensais, a juros de 4% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante.
Qual será o valor de cada prestação? Quanto você pagará de juros e de amortização
em cada prestação?
2 – Resolva, pelo Sistema Price, o problema exposto no exercício anterior.
○
○
○
○
○
012G/35
Resolução dos Exercícios Propostos
6 - Os juros compostos são calculados pelo chamado regime de capitalização composta, o
que significa dizer que há incidência de juros sobre juros. Ou seja, no regime de capitalização composta, os juros de cada período são somados ao principal, e sobre esse
total incide novos juros no período seguinte (e assim sucessivamente).
○
○
○
○
Lição 1
○
○
○
○
○
○
○
1 - Por causa da perda do poder aquisitivo ou
da capacidade de compra. A inflação, por
exemplo, é causadora dessa desvalorização
do dinheiro.
○
○
○
○
2 - É o valor composto pelo principal acrescido
de juros. Quando se faz uma aplicação por
um período fixo (seis meses, um ano, 15 meses, etc.), o montante dessa operação será
composto do principal mais os juros apurados ao longo desse tempo de aplicação.
○
○
7-
○
○
○
M = C (1 + i)n
○
○
M = 12.000 (1 + 0,01)³
M = 12.363,61
○
○
○
3 - É a remuneração do capital ou principal.
Ao se tomar dinheiro emprestado, remunera-se com juros quem cedeu emprestado. Ao se aplicar um recurso, os juros representam a remuneração da aplicação financeira. Na verdade, os juros “compensam” quem cedeu dinheiro emprestado,
impedindo que esse dinheiro desvalorizese ao longo do tempo, oferecendo ainda
uma remuneração para seu proprietário.
○
○
J=M-C
○
○
○
○
○
J = 12.363,61 - 12.000,00 = 363,61
○
○
○
8-
○
○
M = C (1 + i)n
○
○
○
M = 4.000 (1 + 0,05)6
M = 5.360,38
○
○
4-
J=M-C
○
○
J = Cin
○
J = 100.000 × 0,06 × 3 = R$ 18.000
○
○
J = 5.360,38 - 4.000,00 = 1.360,38
○
M = C(1+in)
○
9-
○
○
M = 100.000 (1 + 0,06 × 3) = R$ 118.000
○
M = 30.000 (1 + 0,005)12
○
5-
○
M = 30.000 (1,005)12
○
○
J = Cin
○
M = 31.850,33
○
J = 8.000 × 0,09 × 2 = R$ 1.440,00
○
J=M-C
○
○
M = C(1+in)
J = 31.850,33 - 30.000,00 = R$ 1.850,33
○
○
M = 8.000 (1 + 0,09 × 2 ) = R$ 9.440,00
○
○
○
○
○
012G/37
Instituto Monitor
O valor presente do aparelho na loja B é de:
○
○
○
10 - Taxas de juros nominais são aquelas taxas de juros cujos períodos de capitalização não coincidem com o período informado. Diferentemente, taxas de juros
efetivos são aquelas taxas cujos períodos de capitalização são idênticos aos
períodos informados.
140
140
140
140
+
+
+
1,06 1,062 1,063 1,064
○
○
○
○
VP =
○
○
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VP = 485,11
○
○
○
Resposta: O preço da loja A é mais baixo!
7-
○
○
○
Lição 2
○
VP =
3.000
1,0058
○
○
○
1ianual = (0,06 × 12 meses)
○
VP = R$ 2.882,66
○
○
ianual = 0,72 ou 72% ao ano.
○
8O valor presente de aquisição do terreno é
de R$ 10.000,00. O valor presente do preço de
venda do terreno é de:
○
○
2-
○
○
○
○
○
⎛
⎞
0,40
itrimestral = ⎜ 4 trimestres ⎟
⎝
⎠
VPvenda =
○
○
○
itrimestral = 0,10 ou 10% ao trimestre
○
3ianual = [(1 + 0,04)12 - 1]
13.000
1,065
○
○
○
VPvenda = 9.714,36
Não vale a pena adquirir o terreno, pois o
valor atual de venda do terreno é mais baixo
que o valor atual de compra.
○
○
○
○
ianual = 0,601032 ou 60,10% ao ano
○
○
4imensal = [(1 + 0,30)1/12 - 1
○
○
Lição 3
○
○
imensal = 0,022104 ou 2,21% ao mês
○
1-
○
5-
○
R=
5.000 × 0,05 (1,05)5
319,07
=
5
(1,05) – 1
0,27628
○
○
○
1.000
VP =
(1 + 0,10)10
○
R = 1.154,88
○
○
1.000
VP =
(2,593742)
○
○
2R=
400 × 0,03 (1,03)10 16,127
=
(1,03)10 – 1
0,34392
○
○
○
VP = R$ 385,54
○
6 - Para compararmos os preços, primeiramente devemos trazer todos os preços
para o momento atual:
○
○
○
○
○
○
R = 46,89
○
○
O valor presente do aparelho na loja A é de:
○
○
○
250
250
+
1,06 1,06²
○
VP =
○
○
○
○
VP = R$ 458,35
○
○
○
○
○
012G/38
Instituto Monitor
Lição 4
1At =
P
n
At =
6.000
3 meses
At = 2.000,00
n
St
At
Jt
Rt
0
6.000,00
0
1
4.000,00
2.000,00
240,00
0
2.240,00
0
2
3
2.000,00
0
2.000,00
2.000,00
160,00
80,00
2.160,00
2.080,00
Jt
Rt
2R=
6.000 × 0,04(1 + 0,04)3
(1 + 0,04)3 - 1
R = 2.162,09
n
St
At
0
6.000,00
0
1
4.077,91
1.922,09
240,00
2.162,09
2
3
2.078,94
0
1.998,97
2.078,94
163,12
83,16
2.162,09
2.162,09
0
○
○
○
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○
012G/39
0
Bibliografia
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau
Matemática Financeira, 4ª ed.
São Paulo: Atual, 1998
STEPHEN, A. Ross; WESTTERFIELD, Randolph W; JAFFE, Jeffrey F.
Administração Financeira: corporate finance, 1ª ed.
São Paulo: Atlas, 1995
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra
Matemática Financeira, 3ª ed.
São Paulo: Atlas, 1981
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012G/41
Pesquisa de Avaliação
012G - Matemática Financeira
Caro Aluno:
Queremos saber a sua opinião a respeito deste fascículo que você acaba de estudar.
Para que possamos aprimorar cada vez mais os nossos serviços, oferecendo um
material didático de qualidade e eficiente, é muito importante a sua avaliação.
Sua identificação não é obrigatória. Responda as perguntas a seguir assinalando
a alternativa que melhor corresponda à sua opinião (assinale apenas UMA
alternativa). Você também pode fazer sugestões e comentários por escrito no
verso desta folha.
Na próxima correspondência que enviar à Escola, lembre-se de juntar sua(s)
pesquisa(s) respondida(s).
O Instituto Monitor agradece a sua colaboração.
A Editora.
Nome (campo não obrigatório): _______________________________________________________________
No de matrícula (campo não obrigatório): _____________________
Curso Técnico em:
Eletrônica
Transações Imobiliárias
Contabilidade
Secretariado
Informática
Gestão de Negócios
Telecomunicações
QUANTO AO CONTEÚDO
1) A linguagem dos textos é:
a) sempre clara e precisa, facilitando muito a compreensão da matéria estudada.
b) na maioria das vezes clara e precisa, ajudando na compreensão da matéria estudada.
c) um pouco difícil, dificultando a compreensão da matéria estudada.
d) muito difícil, dificultando muito a compreensão da matéria estudada.
e) outros: ______________________________________________________
2) Os temas abordados nas lições são:
a) atuais e importantes para a formação do profissional.
b) atuais, mas sua importância nem sempre fica clara para o profissional.
c) atuais, mas sem importância para o profissional.
d) ultrapassados e sem nenhuma importância para o profissional.
e) outros: ______________________________________________________
3) As lições são:
a) muito extensas, dificultando a compreensão do conteúdo.
b) bem divididas, permitindo que o conteúdo seja assimilado pouco a pouco.
c) a divisão das lições não influencia Na compreensão do conteúdo.
d) muito curtas e pouco aprofundadas.
e) outros: ______________________________________________________
QUANTO AOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
4) Os exercícios propostos são:
a) muito simples, exigindo apenas que se decore o conteúdo.
b) bem elaborados, misturando assuntos simples e complexos.
c) um pouco difíceis, mas abordando o que se viu na lição.
d) muito difíceis, uma vez que não abordam o que foi visto na lição.
e) outros: ______________________________________________________
5) A linguagem dos exercícios propostos é:
a) bastante clara e precisa.
b) algumas vezes um pouco complexa, dificultando a resolução do problema proposto.
c) difícil, tornando mais difícil compreender a pergunta do que respondê-la.
d) muito complexa, nunca consigo resolver os exercícios.
e) outros: ______________________________________________________
QUANTO À APRESENTAÇÃO GRÁFICA
6) O material é:
a) bem cuidado, o texto e as imagens são de fácil leitura e visualização, tornando o estudo bastante agradável.
b) a letra é muito pequena, dificultando a visualização.
c) bem cuidado, mas a disposição das imagens e do texto dificulta a compreensão do mesmo.
d) confuso e mal distribuído, as informações não seguem uma seqüência lógica.
e) outros: ______________________________________________________
7) As ilustrações são:
a) bonitas e bem feitas, auxiliando na compreensão e fixação do texto.
b) bonitas, mas sem nenhuma utilidade para a compreensão do texto.
c) malfeitas, mas necessárias para a compreensão e fixação do texto.
d) malfeitas e totalmente inúteis.
e) outros: ______________________________________________________
Lembre-se: você pode fazer seus comentários e sugestões, bem como apontar
algum problema específico encontrado no fascículo. Sinta-se à vontade!
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Sugestões e comentários
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Instruções:
• Par
a os alunos matriculados nos cursos of
iciais (técnicos)
ara
oficiais
(técnicos), estes exercícios simulados são
opcionais. Caso deseje, eles podem ser enviados aos nossos professores de plantão, que
farão a correção e os devolverão com as devidas observações.
• Par
a os alunos matriculados nos cursos livr
es (não-of
iciais)
ara
livres
(não-oficiais)
iciais), estes exercícios simulados
oriament
eà
terão o valor de provas, realizadas a distância, e devem ser preenchidos obrigat
obrigatoriament
oriamente
caneta e enviados para correção.
• O endereço para envio dos exercícios simulados em ambos os casos é:
Caixa Postal 2722
01009-972 - São Paulo - SP
• Atenção: para questões de múltipla escolha, existe apenas UMA alternativa correta em cada uma.
012G – Matemática Financeira
Nome: .....................................................................................................................................................................................
Nº de Matrícula: .................................................................
Nota: .........................................
1 - O que significa dizer que o dinheiro perde valor ao longo do tempo
tempo?
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
2 - Conceitue Capital ou Principal.
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
3 - O que caracteriza o tipo de juros chamado de juros compostos?
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
○
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1/4
○
○
4 - O que significa espiral de preços?
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
5 - Qual é o período em que um capital de R$ 485.000,00, deve permanecer aplicado, a uma taxa de juros simples de 2,5% ao
mês, gerando um montante de R$ 654.750,00?
6 - Qual é o montante de uma aplicação de R$ 100.000,00, à taxa de juro composto de 3% ao mês, após 13 meses?
7 - Se possuo uma aplicação financeira de R$ 15.000,00, com rendimento médio de 2,5% a.m., qual será seu valor daqui a 90 dias?
8 - Uma pessoa presta um serviço e recebe, após 2 meses, um valor de R$ 3.000,00. Qual é o valor que corresponde hoje, se
a inflação mensal prevista para o período é de 1,6%?
○
○
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2/4
○
○
9 - Uma loja A vende um videocassete por R$ 200,00 de entrada e mais duas prestações de R$ 250,00. Na loja B, não é
cobrada entrada, mas as duas prestações mensais são de R$ 390,00. Qual é a melhor alternativa, se a taxa de juro de
ambas as operações for de 10% a.m.?
10 - Que valor preciso investir hoje para saldar uma dívida de R$ 2.000,00 daqui a 6 meses, se a taxa de juro de mercado for
de 2,5% a.m.?
11 - Um título que valerá R$ 2.500,00 daqui a 5 meses, é trocado por outro que valerá R$ 2.300,00 daqui a 3 meses. Sabendo
que a taxa de juros do mercado é de 3% a.m., pergunta-se: a troca é vantajosa?
12 - Qual será o valor ao qual corresponderá R$ 5.000,00 daqui a 9 meses, se a taxa de juros compostos for de 3,5% ao mês?
13 - Qual é a fórmula usada para cálculo de uma série de prestações iguais, a serem pagas em final de período?
○
○
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3/4
○
○
14 - Um automóvel tem seu preço de mercado de R$ 25.000,00. Ele é financiado em 24 vezes a uma taxa de 1,5% a.m. Qual
é o valor das prestações?
15 - O dono de uma concessionária decide vender uma moto de R$ 6.000,00 em 7 vezes iguais, cobrando juros de 2,95% ao
mês. Calcule o valor de cada prestação.
16 - Uma pessoa financia um terreno de R$ 8.000,00 numa instituição financeira. Ficou combinado que este financiamento
seria pago em 10 prestações mensais, pelo sistema de amortização price, a juros de 4% ao mês. Qual será o valor das
prestações, dos juros e a amortização?
n
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At
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