Produção Didático Pedagógica
Ficha catalográfica produção didático-pedagógica
Professor PDE 2010
Tìtulo: Unidade Didática com Utilização da Metodologia da Resolução de Problemas
Autor: Maria Madalena de Souza Delattre
Escola de Atuação: Escola Estadual João XXlll – Ensino Fundamental.
Município da escola: São Jerônimo da Serra.
Núcleo Regional de Educação: Cornélio Procópio.
Orientador: Professor Mario Sergio Benedeti Guilhem.
Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual do Norte do Paraná – Campus de
Cornélio Procópio.
Discíplina/ Área (entrada no PDE): Matemática.
Produção Didático–pedagógica: Unidade Didática
Público Alvo: Alunos da 8ª série do Ensino Fundamental
Localização: Escola Estadual João XXlll – Rua: Luíz Perusso Sobrinho nº.500
Apresentação: Com a necessidade de um redirecionamento que possa levar o aluno a
entender a disciplina como instrumento facilitador para interpretar e resolver situações de sua
vida escolar e cotidiana propõe-se um trabalho voltado a unidade didática com a metodologia
da Resolução de Problemas. O presente material é um conjunto de exercícios seletos de
diversas obras de atividades direcionadas aos alunos da educação básica. Será desenvolvido
com alunos de 8ª série do ensino fundamental da Escola Estadual João XXIII, durante o
segundo semestre do ano letivo de 2011. O objetivo da elaboração dessas atividades é fazer
com que os alunos, por meio da Resolução de Problemas, tomem gosto pela matemática,
correlacionando essa disciplina com sua prática de vida. Como são sugeridas, em diversos
momentos que as tarefas sejam feitas em grupo, procura-se com que dessa forma, os alunos
tenham oportunidades de trocar ideias e reflexões a cerca dos conteúdos tratados, e possam
em
consequência,
construírem
seus
conhecimentos
de
forma
significativa.
2- CARACTERIZAÇÃO DO OBJETO DE ESTUDO
Estudo da metodologia de Resoluções de Problemas com destaque na necessidade de
um redirecionamento que possa levar o aluno a entender a disciplina como instrumento
facilitador para interpretar e resolver situações de sua vida escolar e cotidiana.
3- TÍTULO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICO
Unidade Didática com utilização da metodologia de Resolução de Problemas
4- JUSTIFICATIVA DA PRODUÇÃO
Pensando-se em melhorar a aprendizagem dos alunos que enfrentam no seu cotidiano
dificuldades com cálculos matemáticos, e sabendo-se que com pequenas leituras e
interpretações de dados, tornam-se mais evidentes e consequentemente mais fáceis de serem
resolvidos. A Resolução de Problemas envolve mais do que aplicação de fórmulas e
procedimentos formal de cálculos ela deve desenvolver integralmente no aluno a capacidade
de analisar e interpretar informações que recebe, e, desta forma selecionar as que lhes serão
úteis.
Observando-se as dificuldades dos alunos quanto a cálculos matemáticos propõe-se
um trabalho voltado a Unidade Didática com a utilização da metodologia de Resolução de
Problemas.
5- OBJETIVOS DA PRODUÇÃO
O Objetivo da elaboração dessas atividades é fazer com que os estudantes, por meio da
Resolução de Problemas, tomem gosto pela Matemática, correlacionando essa disciplina com
sua prática de vida. Como são sugeridas, em diversos momentos, que as tarefas sejam feitas
em grupo, procura-se com que, dessa forma, os estudantes tenham oportunidades de trocar
idéias e reflexões a cerca dos conteúdos tratados, e possam, em conseqüência, construírem
seus conhecimentos, de forma significativa.
2
6- INTRODUÇÃO
O presente material é um conjunto de exercícios seletos de diversas obras de
atividades direcionadas aos alunos da educação básica. Será desenvolvido com alunos da 8ª
série do ensino fundamental da Escola Estadual João XXIII, durante o segundo semestre do
ano letivo de 2011.
Para a execução dessas atividades, procurou-se sempre partir da metodologia da
Resolução de Problemas considerando que, a mesma permite à todo momento, que o
professor desafie os estudantes a pensarem matematicamente, resgatando o gosto pela
descoberta dos resultados. A partir daí fazer os devidos questionamentos aos alunos,
provocando uma análise mais detalhada que permitam levantar dados, elaborar estratégias e
buscar a solução do problema.
Segundo
as
Diretrizes
Curriculares
de
Educação
Básica
do
Estado
do
Paraná, um dos desafios do ensino de Matemática é a abordagem de conteúdos para a
resolução de problemas, por se tratar de uma metodologia pela qual o estudante tem a
oportunidade de aplicar conhecimentos matemáticos adquiridos em novas situações, de modo
a resolver a questão proposta.
A resolução de problemas é vista como uma metodologia educacional em que o
professor propõe ao estudante situações problemas, caracterizado por investigação e
exploração de novos conceitos. Nessa metodologia, o estudante também pode formular
problemas, para que seus colegas os resolvam. A resolução e formulação de problemas fazem
parte das buscas que levam o aluno a ampliar seus conhecimentos e facilitar a sua vida.
A resolução de problemas é uma habilidade prática como, digamos, o é a natação.
Adquirimos qualquer habilitação por imitação e prática. Ao tentarmos nadar imitamos o
que os outros fazem (...), aprendemos a nadar com a prática da natação. Ao tentarmos
resolver problemas temos de observar e imitar o que fazem outras pessoas quando
resolvem os seus e, por fim, aprendemos a resolver problemas, resolvendo-os. (POLYA,
2006, p.4).
Polya, um dos pioneiros em pesquisa sobre resolução de problemas distingue quatro
fases de trabalho diante de um determinado problema. Para esse autor, os passos para resolver
um problema são:
3
1. Compreender o problema: perceber claramente o que é necessário. Para isso, ler o
enunciado é fundamental.
O enunciado verbal do problema deve ser bem entendido. O aluno precisa
compreender bem o problema. Ele deve também estar em condições de identificar as partes do
problema: a incógnita, os dados, as condições. O problema deve ser bem escolhido, nem
muito difícil, nem muito fácil, natural e interessante ao aluno.
2. Conceber um plano para resolvê-lo: ver como os diversos itens estão
inter-relacionados, para termos ideia da resolução.
O caminho que vai desde a compreensão do problema até o estabelecimento de um
plano, pode ser longo e demorado. Cabe ao professor propiciar ao aluno, através de
indagações e sugestões, uma idéia luminosa que o leve a estabelecer estratégias e,
posteriormente, um plano para resolver o problema.
3. Executar o plano escolhido.
Se o aluno houver realmente elaborado um plano, mesmo com alguma ajuda, o
professor terá um período de tranquilidade. O que não pode acontecer é de o aluno “copiar” a
ideia de um colega ou aceitar um plano por influência do
professor, nesse caso, ele terá grandes dificuldades em executar o plano e encontrar a solução.
4. Fazer um retrospecto da resolução completa, isto é, verificar se a solução encontrada
satisfaz as condições do problema.
O que se observa, na maioria das vezes, até mesmo nos bons alunos, é que, uma vez
chegada na solução do problema, eles passam para o próximo problema sem ao menos
discutir ou verificar a solução encontrada, perdendo assim, uma fase importante e instrutiva
do trabalho da resolução. Se fizerem um retrospecto da resolução completa, reconsiderando e
reexaminando o resultado final e o caminho que o levou até ele, eles poderão consolidar o seu
conhecimento e aperfeiçoar a sua capacidade de resolver problemas.
Problemas Convencionais e Problemas Não Convencionais ou Problemas fechados e
Problemas Abertos, Problemas sem Solução e Problemas de Lógica:
4
1. Problemas Fechados: Problemas usualmente trabalhados em sala de aula, também
conhecidos como problema-padrão ou problema clássico de matemática são colocados no
processo ensino/aprendizagem de uma forma que limita a criatividade do aluno, porque se
apresentam de forma fechado. São apresentados em frases curtas. Geralmente, o problema
vem sempre após a apresentação de determinado conteúdo ou algoritmo, onde todos os dados
necessários à resolução do problema se encontram no enunciado e, em geral, na ordem em
que serão utilizados, sendo que raramente se encontram dados inúteis. Os números e as
soluções são simples, única e numérica e em geral não têm nada a ver com a realidade
cotidiana. O objetivo do aluno é obter o resultado, superando os obstáculos inerentes a um
verdadeiro problema.
Exemplo: O perímetro de um quadrado é 30 metros. Quanto mede cada lado? Nesse caso,
basta dividir o perímetro por quatro, ou seja, cada lado mede 7,5 metros. Observe que esse
tipo de problema insere-se mais como um mero exercício de aplicação do conceito de
perímetro.
2. Problemas Abertos: Se caracterizam por não terem vínculo com os últimos conteúdos
estudados. Eles permitem que o aluno tenha condições de conquistar as primeiras ideias em
um novo estudo. Um problema aberto pode ter uma ou mais soluções. Além disso, eles podem
ser resolvidos em grupo, evitando eventuais desencorajamentos, diminuindo o medo de não
conseguir resolver. Esse tipo de Problema tem por objetivo permitir que o aluno desenvolva
um processo de resolução de problemas que podemos chamar de “processo científico”, onde
ele desenvolverá a capacidade de tentar, supor, testar e provar o que for proposto como
solução para o problema, implicando uma oposição aos problemas fechados. São apresentados
em textos mais elaborados, contendo personagens, provocando a imaginação do aluno e
sugerindo situações inusitadas. Convidam ao raciocínio, motivam e causam encantamento.
Exemplo1: Vovô disse que cresceu numa casa onde havia 12 pés e um rabo. Quem poderia
ter vivido com vovô? Observe como é preciso mobilizar vários conhecimentos para a
resolução. Se havia um rabo, supõe-se que havia um animal. Um cachorro, por exemplo, que
tem quatro pés. Os oito restantes poderiam pertencer a quatro pessoas, uma delas o próprio
vovô. Mas, e se o rabo fosse de um peixe no aquário? Ou se fosse um papagaio? Esse é um
exemplo de problema aberto com várias soluções.
5
Exemplo 2: Desenhe um canteiro de jardim em formato hexagonal cujo perímetro mede 39
m. Indique todas as suas dimensões. Observe que matematicamente esse problema apresenta
infinitas soluções, uma vez que não foi exigido que o hexágono fosse regular. Nesse caso,
cada aluno poderá apresentar como medida dos lados, valores diferentes.
3. Problemas sem Solução: Desenvolvem a habilidade de duvidar. Um fazendeiro possui 30
ovelhas e 45 cabeças de gado. Qual é a idade do fazendeiro? Alunos que estão acostumados a
resolver problemas convencionais, logo vão pensar: que conta devo fazer? É de mais ou de
menos. Nesse caso, apenas com os dados apresentados no problema, não é possível saber a
idade do fazendeiro.
4. Problemas de Lógica: Necessitam de raciocínio dedutivo. Para resolvê-lo o aluno deve se
mostrar hábil em prever e checar situações, levantar hipóteses, buscar suposições, analisar e
classificar dados.
Exemplo: Três homens querem atravessar um rio. O barco que possuem tem capacidade
máxima de 150 quilos. Eles pesam 50, 75 e 120 quilos cada um. Como podem atravessar sem
afundar o barco? Esse problema exige do aluno o raciocínio lógico. Ele deverá perceber, por
exemplo, que a pessoa que pesa 120 quilos deverá estar sempre sozinha no barco, pois com
qualquer outra pessoa o peso ultrapassa 150 quilos. Portanto, só poderão atravessar juntas as
pessoas de 50 e 75 quilos. Após algumas tentativas, o aluno deverá concluir que a
possibilidade é a seguinte: Primeiramente vão os dois mais leves. Lá chegando um desce e o
outro retorna e desembarca na margem de cá. Sobe então o mais pesado, atravessa o rio e
desce do outro lado. Novamente o mais leve que lá estava, volta para buscar aquele que havia
ficado na margem oposta do rio.
UNIDADE DIDÁTICA 1
1.
FIGURAS SUGESTIVAS
1.1
Objetivos
Elaborar problemas usando as quatro operações;
6
Criar problemas utilizando a sua própria linguagem a partir das experiências,
interesses do seu contexto social e cultural.
1.2
Conteúdos Abordados
As Quatro operações fundamentais: adição, subtração, divisão e multiplicação.
1.3
Metodologia
Resoluções de problemas.
1.4
Materiais
Figuras que sugerem situações de consumo e em seguida cálculos matemáticos.
1.5
Desenvolvimento da aula
A aula será iniciada com um pequeno questionamento sobre a Cesta Básica,e em
seguida será proposto aos alunos que criem problemas a partir da observação da figura. Ao
término da aula sobre Cesta Básica, será feito um sorteio de uma cesta entre os próprios
alunos.
Figura 1: Cesta Básica
Fonte: Autora, 2011
1.6
Considerações sobre a atividade
Segundo Programa de Formação Continuada de Professores dos Anos/Séries iniciais
do Ensino Fundamental (2008).
7
A elaboração de um problema permite:
- Que os alunos criem problemas utilizando sua própria linguagem a partir das experiências,
interesses, do seu contexto social e cultural;
- A compreensão dos conceitos matemáticos ao proporcionar uma revisão, quer do processo
para resolver o problema, quer dos conteúdos;
- Que percebam que é importante conter num problema, o contexto, os dados e a pergunta.
Além dessas contribuições, os alunos se sentem muito importantes, pois estão criando
os seus próprios problemas, e os colegas poderão ver o seu trabalho, pois, eles serão expostos
para a turma, e com isso poderão perceber que a matemática não é algo pronto e acabado.
1.7
Avaliação
A Avaliação poderá ser feita no decorrer da aula, através da observação do professor
quanto ao interesse, a participação e a criatividade de cada aluno.
Atividades sobre a Cesta Básica
1)
Conversando sobre cesta básica.
a)
Você sabe o que é uma cesta Básica?
Resposta:
b)
Quais os produtos que compõem uma cesta básica?
R:
c)
Quais os produtos que não compõem a cesta básica?
R:
d)
R:
Pesquise o valor dos produtos que compõem uma cesta básica.
8
2)
Examine a figura acima e formule problemas envolvendo as quatro operações. Seja
bem criativo.
R:
UNIDADE DIDÁTICA 2
2.
Matemática Financeira:
2.1
Objetivos
Resolver situações diversas com cálculos percentuais;
Relacionar as situações e suas estratégias de resoluções.
2.2
Conteúdo abordado.
Porcentagem
2.3
Metodologia.
As atividades serão dadas através da Resolução de Problemas.
2.4
Materiais Didáticos.
Calculadoras e noticias de jornais, propagandas e folhetos comerciais com
porcentagens e juros.
2.5
Desenvolvimento da aula.
1ª Etapa - Nesta primeira etapa será feita uma revisão sobre porcentagem, pois os alunos já
conhecem este conteúdo.Será dado o conceito de porcentagem e farei um breve comentário
sobre a origem da porcentagem.
2ª Etapa - Um Pouco de História.
Acredita-se que o uso da porcentagem, tenha começado com os romanos antigos, no
inicio da era Cristã. Tal suposição vem do grande número de registros romanos com as taxas
1/20, 1/25 e 1/100 na cobrança dos diversos impostos da época.
O costume se manteve na Europa Ocidental, mesmo depois da queda do Império
Romano, em 476 d.C. O mais interessante é que o uso de porcentagens pelos europeus é
anterior ao uso de sistema indo-arábico de numeração decimal que se estabeleceu apenas por
volta de 1300.
Hoje, o cálculo de porcentagens é empregado na resolução de vários problemas
cotidianos.
9
DEFINIÇÃO DE PORCENTAGEM
Porcentagem ou percentagem é a fração de um número inteiro expressa em
centésimos. Representa-se com o símbolo % (que se lê "por cento"). Os cálculos de
porcentagens são muito usados na indústria, finanças e no mundo científico para avaliar
resultados.
RESOLVENDO PROBLEMAS DE PORCENTAGEM.
Atividades usando porcentagem
1. Claudina saiu com uma amiga e resolveram comer uma pizza, que foi dividida em oito
pedaços.Cada uma comeu dois pedaços. A porcentagem de pizza comida por cada uma foi
de:
a)
25%
b)
50%
c)
60%
d)
75%
2. Para a estréia de um filme, foram colocados à venda 120 ingressos, que correspondem ao
número total de poltronas do cinema. Foram vendidos 50% desses ingressos. Quantas pessoas
assistiram ao filme?
a)
30
b)
40
c)
50
d)
60
10
3. A 8ª série da professora Madalena tem 36 alunos. Ela organizou um passeio onde todos os
alunos foram. Como em todo passeio deve- se levar lanche, a professora distribuiu da seguinte
maneira: 25% levaram refrigerantes, 25% levaram doces e 50% levaram salgados. A
porcentagem de alunos que levaram refrigerantes e salgados é de:
a)
25%
b)
50%
c)
75%
d)
100%
4. Alerta contra o fumo
Leia a reportagem da revista Veja de 05/07/2001 e responda as questões.
ALVO JOVEM
Os 38 milhões de fumantes brasileiros iniciaram o hábito
aos 13 anos, em média.
O risco de um jovem tornar-se dependente de nicotina é de 99%.
11
Em países como a Noruega e Finlândia,
onde os anúncios de cigarros estão proibidos a
mais de 20 anos, o numero de fumantes
adolescentes caiu cerca de 25%
a)
O que significa dizer que o risco de um jovem tornar-se dependente de nicotina é de
99%?
Resposta: 100% é certeza. Então, 99% é quase certeza.
b)
Pela Reportagem, proibir anúncios de cigarros na mídia diminui o número de
fumantes adolescentes?
R: Sim. No caso da Noruega e da Finlândia, diminuiu 25%.
c)
Considerando que a população brasileira em 2001 era de 180 milhões de habitantes,
aproximadamente, qual era a porcentagem de fumantes?
R: 21%.
5.
O preço de custo de uma mercadoria é de R$ 180,00. O comerciante quer ter um lucro
de 30% na venda dessa mercadoria. Por quanto ele deve vende-la?
R: R$ 234,00.
6.
Uma camiseta custa R$ 24,90. O desconto na promoção é de 20%. Qual é o preço dela
dentro do prazo da promoção?
R: R$ 19,92.
7.
Numa promoção o preço de um objeto foi reduzido de R$ 76,00 para R$57,00. De
quantos por cento foi a redução?
R: 25%.
8.
Dona Célia comprou um televisor de R$ 1200,00 e pagou assim: deu 30% de entrada e
o restante em quatro prestações iguais. Qual foi o valor de cada prestação?
12
R: R$ 210,00
9.
Quanto devo pagar por um terreno a prazo se comprando à vista ganho um desconto
de 6%, equivalente a R$ 1800,00?
R: R$30.000
10.
A coleção de CD e DVD de Washington estão em um armário, distribuídos conforme
representa a figura a seguir:
FILMES
MUSICAS
JOGOS
Que porcentagem da coleção de Washington correspondem aos jogos?
R: 25%.
Porcentagem com calculadora.
Os cálculos que você fez até aqui ficam simplificados se os fizer em uma calculadora.
No entanto, nem todas as calculadoras funcionam da mesma maneira. Dai ser muito
importante você conhecer e saber usar a calculadora que.
Primeiramente, verifique se sua calculadora está programada para fazer o seguinte
cálculo, digitando os botões na seqüência:
80 - 25% =
13
Se o resultado que aparecer no visor for 60, ótimo! Sua calculadora dá diretamente o
resultado de uma situação como esta: ”Um produto custava R$ 80,00 e teve um desconto de
25%.Qual o preço final do produto?”
Mas, se o resultado que aparecer no visor for diferente de 60, então você vai ter de
operar de modo diferente. Se o desconto dado ao produto é de 25%, então o preço com
desconto é de 100% -25% =75%, não é mesmo? Basta digitar em sua calculadora:
0,75 x 80 =
Você vai notar que agora o resultado é 60!
Atividades
Use a calculadora para resolver as atividades seguintes:
1)
Aumente cada valor abaixo de acordo com a porcentagem indicada
a)
R$ 54,00 mais 8%
Resposta: R$ 58,32.
b)
R$ 84,00 mais 30%
R: R$ 109,20.
c)
R$ 99,05 mais 40%
R: R$ 138,67.
d)
R$ 128,00 mais 60%
R: R$ 204,80.
e)
R$ 1,62 mais 33%
R: R$ 2,15.
2)
Reduza os valores abaixo em 20%, encontrando o valor reduzido
14
a)
R$ 30,00
R: R$ 24,00.
b)
R$ 10,50
R: R$ 8,40.
c)
R$ 17,60
R: R$ 14,08.
d)
R$ 45,00
R: R$ 36,00.
e)
R$ 12,99
R: R$ 10,39.
3)
O preço de uma casa, este ano, é de R$ 120.000,00. Se o seu valor aumenta 6% por
ano, determine o preço dessa casa:
a) Ano que vem.
R: R$ 127.200,00.
b) Daqui a 2 anos.
R: R$ 134.832,00
c) Daqui a 3 anos.
R: R$ 142.921,92
4)
Dentro de uma promoção o preço de um computador é de R$ 2.632,00. Terminada a
promoção este preço sofrerá um acréscimo de 21%. Qual será o preço do computador após a
promoção?
15
R: R$ 3.184,72
5)
Numa determinada cidade, foi feita uma pesquisa com 2000 alunos sobre o meio de
transporte utilizado para chegar á escola. Os resultados, em porcentagem foram os seguintes:
:-ônibus: 38%
-
automóvel: 17%
- bicicleta: 20%
- a pé: 25%
Dentre os entrevistados, quantos vão para a escola:
a)
De ônibus?
R: 760 alunos.
b)
De automóvel?
R: 340 alunos.
c)
De bicicleta?
R: 400 alunos.
d)
A pé?
R: 500 alunos.
6)
Os 7200 hectares de uma fazenda são utilizados do seguinte modo:
- 35% para o cultivo de arroz;
-20% para pastagem;
- 8% para o cultivo de milho;
- 25% para o cultivo de árvores frutíferas.
a) Qual é a área, em hectares, ocupada pela rizicultura?
R: 2.520 hectares.
b) Qual é a área, em hectares, de pastagens?
16
R: 1.440 hectares.
c) Quantos hectares da fazenda ainda podem ser destinados a outras finalidades?
R: 864 hectares.
UNIDADE DIDÁTICA 3
3
Juros Simples
3.1
Objetivos
Reconhecer juro como a compensação em dinheiro que se recebe ou se paga por uma
quantia depositada ou emprestada.
Aplicar os conhecimentos adquiridos para resolver problemas de juros simples e
quando o tempo é dado em anos, em meses ou em dias.
3.2- Conteúdos abordados.
Juros simples.
3.3- Metodologia.
As atividades serão dadas através da resolução de problemas.
3.4- Materiais didáticos.
Jornais, revistas, calculadoras, quadro de giz e livros.
3.5- Desenvolvimento da aula.
A aula será iniciada com um pequeno relato sobre juros, quando surgiu e porque
surgiu, com uma grande variedade de situações problemas sobre o tema. Faremos também
confecções de cartazes com recortes de jornais e revistas mostrando a aplicação de juros em
várias áreas e situações: economia, anúncios etc.
3.6- Avaliação.
17
A avaliação será feita através, da participação do aluno, do interesse e através da
correção dos exercícios propostos.
Um pouco de História
I)
Introdução:
É bastante antigo o conceito de juros, tendo sido amplamente divulgado e utilizado
ao longo da História. Esse conceito surgiu naturalmente quando o Homem percebeu existir
uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo. Processos de acumulação de capital e a
desvalorização da moeda levariam normalmente a idéia de juros, pois se realizavam
basicamente devido ao valor temporal do dinheiro.
Os juros e os impostos existem desde a época dos primeiros registros de civilizações
existentes na Terra. Um dos primeiros indícios apareceu na já na Babilônia no ano de 2000
aC. Nas citações mais antigas, os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outras
conveniências emprestadas; os juros eram pagos sob a forma de sementes ou de outros bens.
Muitas das práticas existentes originaram-se dos antigos costumes de empréstimo e devolução
de sementes e de outros produtos agrícolas.
A História também revela que a idéia se tinha tornado tão bem estabelecida que já
existia uma firma de banqueiros internacionais em 575 aC, com os escritórios centrais na
Babilônia. Sua renda era proveniente das altas taxas de juros cobradas pelo uso de seu
dinheiro para o financiamento do comércio internacional. O juro não é apenas uma das nossas
mais antigas aplicações da Matemática Financeira e Economia, mas também seus usos
sofreram poucas mudanças através dos tempos.
Como em todas as instruções que tem existido por milhares de anos, algumas das
práticas relativas a juros tem sido modificadas para satisfazerem às exigências atuais, mas
alguns dos antigos costumes ainda persistem de tal modo que o seu uso nos dias atuais ainda
envolve alguns procedimentos incômodos. Entretanto, devemos lembrar que todas as antigas
práticas que ainda persistem foram inteiramente lógicas no tempo de sua origem. Por
exemplo, quando as sementes eram emprestadas para a semeadura de uma certa área, era
lógico esperar o pagamento na próxima colheita - no prazo de um ano. Assim, o cálculo de
juros numa base anual era mais razoável; tão quanto o estabelecimento de juros compostos
para o financiamento das antigas viagens comerciais, que não poderiam ser concluídas em um
18
ano.Conforme a necessidade de cada época, foi se criando novas formas de se trabalhar com a
relação tempo-juros (juros semestral, bimestral, diário, etc).
Juros
Você sabe para que existe bancos?
Uma de suas funções, certamente, é guardar o dinheiro das pessoas. Mais importante
ainda é aquilo que os bancos costumam fazer com esse dinheiro:
- emprestá-lo aos setores produtivos ( indústria, comércio, agricultura ) para que invistam em
instalações e equipamentos, comprem matéria – prima etc. e, com isso, aumentem a produção;
- emprestá-lo às pessoas para que comprem bens, produtos e serviços gerados no setor
produtivo.
É claro que os bancos não emprestam dinheiro gratuitamente. Eles cobram juros,
uma espécie de aluguel pelo empréstimo. Quando o dinheiro é emprestado ao setor produtivo,
cabe ao devedor empregar corretamente o dinheiro. Assim ele aumentará sua produção de
bens ou serviços, terá mais lucro e conseguirá pagar o valor emprestado mais os juros.
Quando os bancos atuam dessa maneira, há incentivo da produção. Entretanto,
muitas vezes, eles especulam com o dinheiro que captam e cobram juros altíssimos, gerando
lucros enormes para si próprios, sem gerar produção.
Na linguagem das finanças, são usados os seguintes termos:
- Capital é o dinheiro que se empresta, é a quantia que se investe, é o valor que se deve;
-Juro é o aluguel que se paga pelo capital;
- Montante é a soma do capital com o juro.
O cálculo dos juros é um problema fundamental de matemática financeira. Se um
banco empresta R$ 7.000,00 a uma empresa, cobrando taxa de 5% de juro ao mês, e ela quer
saldar a dívida após 1 mês, é preciso calcular quanto a empresa deve ao banco.
19
A taxa de juros varia de um caso a outro e é expressa por uma porcentagem do
capital.
Conversando sobre o texto
a)
Explique com suas palavra: para que servem os bancos?
Resposta:
b)
Como os bancos conseguem ter lucro?
R:
c)
Você sabe se algum de seus familiares já fez empréstimos bancário para comprar casa,
carro ou outro bem qualquer? Em caso afirmativo, tem idéia do juro que essa pessoa pagou?
R:
d)
O que é capital? O que é montante?
R:
e)
Em que situações pagamos juros?
R:
f)
Quando uma pessoa atrasa o pagamento de uma prestação ou do aluguel, muitas vezes
se cobra dela uma multa, além dos juros. Na sua opinião, isso é justo? O que uma pessoa deve
fazer quando julgar que as taxas e multas que lhe estão sendo cobradas são abusivas?
R:
g)
No caso de juros simples, que contas fazemos para calcular os juros?
R:
h)
Invente um exemplo de cálculo de juros simples e escreva – o no caderno.
R:
Juros
Juros no nosso dia - a - dia.
Uma loja de eletrodoméstico está vendendo forno de microondas nas seguintes
condições:
R$ 549,00 à vista ou em 18 parcelas de R$ 44,40.
Assim, o preço do microondas , a prazo, sobe para R$ 799,20. Por que isso ocorre?
20
O preço à vista desse microondas é diferente do preço a prazo, porque estão sendo
cobrados Juros pelo parcelamento da divida.
Os juros são uma compensação em dinheiro que a loja cobra por estar parcelando a
divida ao comprador.
Neste exemplo, os juros cobrados pela loja para parcelar a dívida de R$549,00 em 18
meses foram de R$250,20 ( R$ 799,20 – R$ 549,00).
No caso das aplicações financeiras, o investidor é que empresta ao banco e, por esse
empréstimo, recebe uma quantia que indica os juros.
A dívida ou a quantia que uma pessoa investe chama - se capital.
A soma do capital com os juros é chamada de montante.
A taxa de porcentagem que se paga pelo empréstimo do dinheiro chama – se taxa de
juros.
No exemplo do microondas o capital é de R$ 549,00 e o montante e´de R$ 799,20
(R$ 549,00 +R$ 250,20. Calculando quanto por cento R$ 250,20 é de 549,00, encontramos
45,57%, que dividido por 18 ( são 18 parcelas) resulta 2,53% ao mês, que correspondem à
taxa de juros no sistema de juros simples.
Generalizando essa idéia, temos esta fórmula:
J=c.i.t
J: Juros simples
C: Capital
I: Taxa
T: Tempo
JUROS SIMPLES
21
Os juros simples são sempre calculados em relação ao capital inicial, período a
período. Assim, o valor dos juros é constante em cada período de tempo. Por exemplo:
Débora aplicou R$ 400,00 e recebeu 2% de juros simples ao mês. Qual será seu montante no
fim de 3 meses de aplicações?
Tabela 1.
Mês
Montante no Inicio
Juros do mês
de cada mês.
Montante no
final de cada
mês.
1º
400
2% de 400 = 8
408
2º
408
2% de 400 = 8
416
3º
416
2% de 400 = 8
424
Após três meses, Débora terá um montante de R$ 424,00.
ATIVIDADES SOBRE JUROS SIMPLES
1)
Vamos resolver os problemas de juros simples.
a)
Qual é o capital que produz R$ 780,00 de juros em três meses à taxa de juro simples
de 4% ao mês?
J = c. i. t
780 = c . 0,04 . 3
780 = 0,120 c
0,120 c = 780
C =780/0,120
C = R$ 6.500,00
22
b)
Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado durante 4 anos, á taxa de 12% ao ano. Quantos
reais o investidor terá no final desse tempo se o regime for de juros simples?
J = c.i. t
J = 2.000,00 .0,12 . 4
J =960,00
M =2.000,00 +960,00
M = 2960,00
c)
Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 5.000,00 empregado à taxa de 3%
ao ano, durante 2 anos.
J = c.i.t
J = 5.000,00 . 0,03 . 2
J = 300,00
d)
Determine o capital que produziu juro simples de R$ 392,00 à taxa de 3,5% ao mês,
durante 7 meses.
J = c.i.t
392,00 = c .0,035 .7
392,00 = 0,245 c
0,245c =392
C= 392/0,245
C = 1600,00
23
e)
Neuza fez uma aplicação de R$ 40.000,00, a juro simples de 1,8% ao mês, e obteve
um montante de R$ 43.600,00. Quanto tempo durou essa aplicação?
R = 5 meses
f)
Calcule o juro simples produzido por R$ 5000,00, à taxa de 48% ao ano , em 9 meses.
R = R$ 1.800,00
g)
Aplicado durante 8 meses, um capital de R$ 7.000,m00 dá um montante de R$
7.840,00. Determinar a taxa mensal de juro simples dessa operação.
A diferença entre o montante e o capital representa o juro em 8 meses:
7840 -7000 = 840
Em 1 mês, o juro corresponde a:
840 : 8 = 105
A taxa mensal de juro será dada pela razão:
105/7000 = 0,015 = 15/1000 = 1,5/100 = 1,5%
Logo, a taxa mensal dessas operação é 1,5% ao mês.
24
Referências:
BONJORNO, José Roberto – Matemática 7º ano: Fazendo a Diferença/ José Roberto
Bonjorno; Regina Azenha Bonjorno; Airton Olivares - São Paulo: FTD, 2006.
DANTE, Luiz Roberto Dante – Matemática – 6º série – Tudo é Matemática, 2ª edição, São
Paulo: Ática, 2007.
Secretaria de Estado da Educação – Departamento de Educação Básica – Caderno de
Atividades – Matemática – Anos iniciais do Ensino Fundamental – Prova Brasil 2009.
IMENES, Luiz Márcio – Matemática: 9º ano, Imenes e Lellis / Luiz Márcio Imenes, Marcelo
Lellis – São Paulo: Moderna, 2009.
GIOVANNI JÚNIOR, José Rui – A conquista da Matemática, 7º ano/ José Ruy Giovanni
Júnior, Benedicto Castrucci. – São Paulo: FTD, 2009.
BIANCHINI, Edwaldo – Matemática – 7º Ano – Edwaldo Bianchini – 6 ed – São Paulo:
Moderna, 2006.
DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo:
Ática, 2002.
______, Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo: Ática, 2003.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação –
SEED. Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado do Paraná (DC
E): Matemática, Curitiba, 2006.
POLYA, George, Universidade Stanford, tradução e adaptação Heitor Lisboa de Araújo.
UFRJ. A arte de Resolver Problemas, Um Novo Aspecto do Método Matemático, Rio de
Janeiro: Interciência, 2006.
Pró-Letramento: Programa de Formação Continuada de Professores dos Anos/Séries
Iniciais do Ensino Fundamental: matemática – Ed. Ver. E ampl. Incluindo SAEB / Prova
Brasil matriz de referência / Secretaria de Educação Básica – Brasília: Ministério da
Educação, Secretaria de Educação Básica, 2008. 308 p.
SMOLES, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Ler, escrever e resolver problemas:
habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed,1997.
______, Ler, escrever e resolver problemas. Porto Alegre: Artmed, 2001.
MATEMÁTICA: Enio Silveira e Cláudio Marques
Enciclopédia encarta.
25
Disponível em: <www.israbelo.hpg.ig.com.br> Acesso em: 02 jun 2011.
Disponível em: <www.athena.mat.ufrgs.br> acesso em: 02 jun 2011.
26
Anexo I
Montando uma Problemoteca.
Uma das maiores dificuldades que o professor encontra é localizar problemas nãoconvencionais. Portanto para trabalhar com essa diversidade de problemas, ele pode montar
uma problemoteca. A problemoteca é uma coleção organizada de problemas colocada em uma
caixa ou fichário, com fichas numeradas que contém um problema e que podem trazer a
resposta no verso, pois isso possibilita a autocorreção e favorece o trabalho independente.
Para que os alunos sintam-se desafiados a resolvê-los os problemas devem ser
variados e não-convencionais. Por isso a coleção de problemas deve ser avaliado
periodicamente, excluindo-se problemas muito difíceis ou fáceis demais e aqueles que não
motivam os alunos. Também é possível a inclusão de novos problemas alguns deles propostos
ou elaborados pelos próprios alunos.
A problemoteca pode ficar a disposição em um canto da classe e, sempre que houver
trabalho diversificado os alunos que desejarem poderão procurar problemas para resolver ou
utilizar os que o professor indicar anotando no caderno o número da ficha, os dados do
enunciado e a resolução.
Relembrando a importância da comunicação na sala de aula as fichas da
problemoteca podem ser resolvidas em dupla, em grupos ou mesmo individualmente. O que
se espera é que a medida que os alunos tiverem clareza de que o objetivo do trabalho
independente é favorecer sua autonomia eles irão desenvolver com a ajuda dos colegas,
possíveis dúvidas encontradas nas atividades propostas.
(Smoles, Kátia Stocco; Diniz, Maria Ignez.Ler, escrever e resolver problemas. Porto Alegre.
Artmed 2001)