ISSN 1984-8218
Sobre Probabilidades Fuzzy Intervalares∗
Jorge Braga Ribes
Graçaliz Pereira Dimuro
Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional, Programa de Pós-Graduação em Computação
Centro de Ciências Computacionais, Universidade Federal do Rio Grande, 96201-900, Rio Grande, RS
E-mail: [email protected], [email protected]
RESUMO
Conjuntos fuzzy foram originalmente definidos por funções de pertinência da forma µA : U → [0, 1],
onde o grau de pertinência de um elemento x do universo U a um subconjunto fuzzy A ⊆ U é um
número exato µA (x) ∈ [0, 1]. Entretanto, nem sempre se tem o conhecimento completo sobre a função
de pertinência ou os graus de pertinência que devem ser adotados em uma determinada aplicação. Para
lidar com a falta de informação sobre funções de pertinência, surgiram algumas extensões dos conjuntos
fuzzy, tais como os conjuntos fuzzy de tipo-n [8, 6]. Por exemplo, conjuntos fuzzy intervalares permitem
modelar não somente a informação vaga (falta de exatidão na determinação dos limites das fronteiras dos
conjuntos – graduações na noção de pertinência), como também a incerteza (falta de informação sobre a
função de pertinência), presente em diversas aplicações. [1, 5, 7]
Este trabalho adota a formalização para números fuzzy intervalares apresentada por Dimuro em [4]
para introduzir probabilidades fuzzy intervalares, com base na abordagem proposta por Buckley [2, 3]
para cálculo de probabilidades fuzzy, a qual não trabalha com a Teoria de Probabilidade Fuzzy.
Seja X = {x1 , . . . , xn } um conjunto finito e P : ℘(X) → [0; 1] uma função de probabilidade
definida
para todos os subconjuntos de X, tal que com P ({xi }) = φi , com 1 ≤ i ≤ n, 0 ≤ φi ≤ 1 e
Pn
i=1 φi = 1. Logo, (X, P ) caracteriza uma distribuição de probabilidades finita e discreta, representada
pelo conjunto Φ = {φ1 , . . . , φn }. No entanto, os elementos de Φ muitas vezes são valores obtidos
pela opinião de especialistas, e nem sempre representam valores precisos e de consenso. Para modelar
essa incerteza, podem-se utilizar números fuzzy intervalares, e, assim, todos os valores φi ∈ Φ são
substituídos por números fuzzy intervalares φ̃i , e esse novo conjunto será denotado por Φ̃, mesmo que
apenas alguns de seus elementos sejam imprecisos. Para os valores conhecidos e exatos, ainda se utilizará
a notação fuzzy intervalar mesmo que eles representem números crisp.
Para que (X, Φ̃) represente de fato uma distribuição finita e discreta de probabilidades fuzzy intervalares, é necessário que se faça uma restrição aritmética (em sintonia com o proposto por Buckley [2, 3]
para probabilidades fuzzy), pois a soma intervalar dos [α1 ; α2 ]-níveis de todos os φ̃i dificilmente resultará P
em 1. Então, para todo 0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ 1, escolhe-se de cada [α1 ; α2 ]-nível φ̃i [α1 ; α2 ] um ei tal
que ni=1 ei = 1. Ou seja, ao invés da soma intervalar dos [α1 ; α2 ]-níveis resultar em 1, basta que se
obtenha apenas um valor crisp ei para cada intervalo φ̃i [α1 ; α2 ] que somados resultem em 1.
Para definir formalmente essa restrição
aritmética, considera-se o conjunto
de vetores estocásticos:
(
)
n
X
E = (e1 , . . . , en ) ∈ [0; 1]n |
ei = 1
(1)
i=1
eo
[α ;α ]
conjunto AΦ̃ 1 2 formado pelo produto cartesiano dos [α1 ; α2 ]-níveis dos
[α ;α ]
AΦ̃ 1 2 = φ̃1 [α1 ; α2 ] × . . . × φ̃n [α1 ; α2 ] = (φ̃1 [α1 ] ∩ φ̃1 [α2 ]) × . . . ×
elementos de Φ̃:
(φ̃n [α1 ] ∩ φ̃n [α2 ]),
(2)
que, na verdade, é o produto de n intervalos fechados (isso porque um [α1 ; α2 ]-nível é dado como uma
intersecção de α-níveis (intervalos) que nunca é vazia [4]), produzindo um “retângulo” no espaço n
dimensional. Obtém-se então o conjunto
∗
Apoio financeiro do CNPq (Proc. 483257/09-5, 560118/10-4, 476234/2011-5), FAPERGS (Proc. 11/0872-3) e CAPES.
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[α ;α2 ]
SΦ̃ 1
[α ;α2 ]
= AΦ̃ 1
∩ E,
(3)
onde E é dado na Eq. (1), que será o domínio da função que caracterizará a restrição aritmética pretendida. Supondo Xk = {x1 , . . . , xk } ⊆ X, com 1 ≤ k < n, então define-se a função:
k
fΦ̃,[α
[α ;α2 ]
1 ;α2 ]
: SΦ̃ 1
→ [0; 1]
(e1 , . . . , en ) 7→
k
X
(4)
ei ,
i=1
[α ;α ]
onde 0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ 1 e SΦ̃ 1 2 é dado na Eq. (3). A probabilidade fuzzy intervalar de um subconjunto
Xk ⊆ X é obtida, através de seus [α1 ; α2 ]-níveis, como:
n
o
[α1 ;α2 ]
k
P̃ (Xk )[α1 ; α2 ] = fΦ̃,[α
(e)
|
e
=
(e
,
.
.
.
,
e
)
∈
S
,
(5)
1
n
;α ]
Φ̃
1
2
[α ;α ]
k
onde fΦ̃,[α
: SΦ̃ 1 2 → [0; 1] é a função de restrição aritmética definida na Eq. (4).
1 ;α2 ]
Observa-se que primeiro se escolhe uma distribuição de probabilidade discreta completa dos [α1 ; α2 ]níveis antes de se calcular uma probabilidade na Eq. (5). Observa-se também que P̃ (Xk )[α1 ; α2 ] não é
a soma dos intervalos φ̃i [α1 ; α2 ], com 1 ≤ i ≤ k, usando aritmética intervalar.
Proposition 1. P̃ (Xk ) é um número fuzzy intervalar.
k
Prova. É imediato que a função fΦ̃,[α
1 ;α2 ]
, definida na Eq. (4) para algum k = 1, . . . , n, é contínua, e
[α ;α ]
que seu domínio SΦ̃ 1 2 é formado por intervalos conexos, fechados e limitados, cuja interseção não
vazia também é formado por intervalos conexos, fechados e limitados, o que implica que a imagem de
[α ;α ]
k
k
, dada por fΦ̃,[α
(S 1 2 ) = P̄ (Xk )[α1 ; α2 ], é uma interseção de intervalos de números
fΦ̃,[α
;α ] Φ̃
;α ]
1
2
1
2
reais, fechados e limitados. Logo, P̃ (Xk )[α1 ; α2 ] representa os [α1 ; α2 ]-níveis de um conjunto fuzzy
[1;1]
[1;1]
k
intervalar P̃ (Xk ). Além disso, fΦ̃,[1;1]
(SΦ̃ ) = P̃ (Xk )[1; 1] 6= ∅, pois como (φ1 , . . . , φn ) ∈ SΦ̃ ,
então φ1 + . . . + φk ∈ P̃ (Xk )[1; 1], o que faz com que P̃ (Xk ) seja um número fuzzy intervalar.
Mesmo que P̃ (Xk ) denote uma probabilidade fuzzy intervalar, as seguintes propriedades da probabilidade clássica são mantidas: (a) 0 ≤ P̃ (Xk ) ≤ 1, ∀ Xk ; (b) P̃ (∅) = 0; (c) P̃ (X) = 1.
Uma abordagem análoga permite também definir outros conceitos importantes, tal como a média
fuzzy intervalar µ̃rΦ̄ ponderando as probabilidades fuzzy intervalares em Φ̃ = {φ˜1 , . . . , φ˜n } por valores
reais em r = (r1 , . . . , rn ) ∈ Rn , de modo a garantir que a restrição aritmética seja respeitada.
Palavras-chave: Conjuntos Fuzzy Intervalares, Números Fuzzy Intervalares, Probabilidades Fuzzy
Referências
[1] B.C. Bedregal, G.P. Dimuro, R.N. Santiago and R.S. Reiser, On interval fuzzy S-implications, Information Sciences, 180(8) (2010) 373-1389.
[2] J. J. Buckley, “Fuzzy Probabilities: New Approach and Applications”, Springer, Berlin, 2005.
[3] J.J. Buckley and E. Eslami, Uncertain probabilities I: the discrete case, Soft Computing - A Fusion
of Foundations, Methodologies and Applications, 7 (2003) 500–505.
[4] G.P. Dimuro, On interval fuzzy numbers, in “Workshop-School on Theoretical Computer Science”
(S.A. Costa et al., eds.) pp 3–8, IEEE, Los Alamitos, 2011.
[5] G.P. Dimuro, B.C. Bedregal, R.N. Santiago and R.S. Reiser, Interval additive generators of interval
t-norms and interval t-conorms, Information Sciences, 181(18) (2011) 3898 - 3916.
[6] I. Grattan-Guiness, Fuzzy membership mapped onto interval and many-valued quantities, Zeitschrift
für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 22(1) (1976) 149–160.
[7] W.A. Lodwick, Preface, Reliable Computing, 10(4) (2004) 247–248.
[8] L.A. Zadeh, The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning - I,
Information Sciences, 8(3) (1975), 199–249.
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