Aula n.o 04
Esfera e Sólidos Redondos
Área da Esfera
A área de uma esfera é a medida de sua superfície.
Podemos dizer que sua área é igual a quatro vezes a
área de um círculo máximo, ou seja:
eixo
pólo
paralelos
O
R
pólo
meridiano
02. Uma doceira vende seu “brigadeiro de colher” em
pequenos potes cilíndricos com 4 centímetros de
diâmetro e 2 centímetros de altura de dimensões
internas. Usando π = 3,1, podemos concluir que,
para produzir 100 desses potes por dia, ela precisará
preparar uma quantidade de brigadeiro aproximadamente igual a
a) 1 litro;
b) 1 litro e meio;
c) 2 litros;
d) 2 litros e meio;
e) 3 litros.
equador
St = 4πR2
Volume da Esfera
Calcular o volume de uma esfera é obter a medida
do espaço ocupado por ela. O volume é dado por
v=
4
. πR3
3
01. As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos diametralmente opostos no globo terrestre. Considerando o
raio da Terra igual a 6370 km, pode-se afirmar que
um avião saindo de Quito, voando em média
800 km/h, descontando as paradas de escala, chega
a Cingapura em aproximadamente
a) 16 horas;
b) 20 horas;
c) 25 horas;
d) 32 horas;
e) 36 horas.
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03. (PUCPR) – Um vaso cilíndrico de 6 cm de diâmetro e
3
16 cm de altura contém água até de sua altura.
4
Despejando-se no vaso uma quantidade de água
equivalente ao volume de uma esfera de 6 cm de
diâmetro, de quanto aumentará o nível de água no
vaso?
a) 4cm
b) 5 cm
4
c) cm
3
d) 6 cm
e) 5,33... cm
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04. (UFPR) – Duas esferas metálicas maciças, uma com
raio igual a 4 cm e a outra com raio de 8 cm, são fundidas e moldadas em forma de um cilindro circular
reto com altura igual a 12 cm. Determine, em cm, o
raio do cilindro.
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 12
06. (PUC – PR) – O boiler é um aquecedor constituído de
uma parte cilíndrica e de duas semiesferas nas
extremidades, conforme a figura. Se o boiler tem as
dimensões abaixo, qual o número de litros mais próximo de sua capacidade?
0,30 m
1,00 m
a) 200
b) 300
c) 400
d) 500
e) 600
05. Considere um depósito para combustível na forma
de um cilindro, como mostra a figura a seguir:
C
A
B
A função v(x) = 80 (x – sen x), para valores de x no
intervalo [0,2 π], permite calcular o volume, em
metros cúbicos, do combustível existente no depósito cilíndrico, em razão da amplitude do arco ABC
(igual à amplitude do ângulo x mostrado na figura)
A
x
C
B
A capacidade total de um depósito com essas características é, em m3, aproximadamente igual a:
Atenção: aproxime o resultado para uma casa decimal e use π = 3,1416
a) 350
b) 496,9
c) 502,5
d) 601
e) 632,3
07. Quer-se mergulhar uma esfera metálica em um tubo
em forma de cilindro circular reto que contém óleo
até a altura de 5 cm e cujo raio é de 8 cm. Se a altura
do cilindro é 7 cm, então, o raio R máximo que a
esfera pode ter para que não haja transbordamento
de óleo é, em centímetros, tal que:
a) R = 1
b) 1 < R < 2
c) 2 < R < 3
d) 3 < R < 4
e) 4 < R < 5
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08. Os três recipientes da figura têm formas diferentes, a
mesma altura e o mesmo diâmetro da boca. Neles
são colocados líquido até a metade de sua altura,
conforme indicado nas figuras.
V1
V2
V3
Sendo a altura igual ao diâmetro e representada por
V1, V2 e V3 o volume de líquido em cada um dos recipientes tem-se
a) V1 = V2 = V3
b) V1 < V3 < V2
c) V1 = V3 < V2
d) V3 < V1 < V2
e) V1 < V2 = V3
O principal fato matemático que pode explicar o raciocínio feito por Tales é dado por:
a) propriedades de ângulos retos;
b) propriedades de triângulos;
c) semelhança de triângulos;
d) simetria entre os objetos e suas sombras;
e) relações trigonométricas nos triângulos.
10. Numa reforma, planejou-se substituir por tacos as
162 tábuas corridas do assoalho de três salas. Cada
tábua tem 3 m de comprimento por 15 cm de largura,
e cada taco, 20 cm por 7,5 cm.
Sabendo-se que o número de tacos necessários
para reformar cada sala é diretamente proporcional
aos números 3, 4 e 5, quantos tacos serão utilizados
na sala maior?
a) 1215
b) 1620
c) 2025
d) 2100
e) 2120
09. Um faraó solicitou ao sábio grego Tales de Mileto,
em sua visita ao Egito, que calculasse a altura de
uma pirâmide. Esse fato ocorreu em torno do ano
600 a.C, quando esse feito ainda não havia sido
registrado por ninguém. Tales, próximo da pirâmide
em questão, enterrou parcial e verticalmente um
bastão no chão. Observando a posição da sombra,
colocou o bastão deitado no chão, a partir do ponto
em que foi enterrado, e marcou na areia o tamanho
do seu comprimento. Feito isso, tornou a colocar o
bastão na posição vertical. Quando a sombra do
bastão ficou do seu comprimento, Tales mediu a
sombra da pirâmide e acrescentou ao resultado a
metade da medida do lado da base da pirâmide.
Explicou, então, aos matemáticos que o acompanhavam que essa soma era a medida da altura da
pirâmide.
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Gabarito
01. c
06. c
O sólido que representa o boiler pode ser entendido
como a junção de um cilindro e uma esfera. Então,
VB ≅ VCIL + VESF.
Considerando que 1 litro 1 dm3, podemos transformar os comprimentos em dm. Assim:
Cingapura
Quito
R = 3 dm
Como as cidades são diametralmente opostas, a
distância entre elas equivale a meia circunferência.
1
d = 2 πR = π . 6370 km
2
Supondo π = 3,1, d 19.747 km
19.747 km
Logo, tp =
24,68 ou tp
800 km / h
25 horas
02. d
Volume de cada pote
VCIL = π22 . 2 = 8π
Para π = 3,1 ⇒ VCIL
R=2
24,8 cm3
Como são 100 potes VT = 100 x 24,8 = 2480 cm3
Considerando que
temos Q =
2480
1000
1 litro
VB πR2 . H +
4
4
π R3 = π 32 . 10 + π 33 = 126 π
3
3
Adotando π = 3,14
VB 126 x 3,14 = 395,64 dm3 400 dm3 ou VB
litros
400
07. e
VCIL = πR2 . H
H=2
H = 10 dm
08. b
Supondo que, no recipiente do meio, o líquido preencha uma semiesfera, do enunciado temos a figura:
1000 cm3
2,48 litros ou Q
2,5 litros
03. a
04. d
+
=
H = 12
r ... medida do raio da boca de cada recipiente
1 

 r’ = r 

2 
h ... medida da altura de cada recipiente.
R1 = 4
R2 = 8
R=?
Temos:
Fusão é sempre volume!
4
4
Então π R13 + π R23 = πR2 . H
3
3
4 3 4 3
. 4 + 8 = R2 . 12 3
3
3
64 512
576
= 3 . R2 ⇒ R2 =
= 64
+
3
3
3.3
ou R = 8 cm
2
1
1
πr 3
1 
• V1 = . π . (r’)2 . r ∴ V1 = . π .  . r  . r ∴ V1 =
(I)
2 
3
3
12
1 4
2πr 3
• V2 = . . π . r3 ∴ V2 =
(II)
2 3
3
1
πr 3
• V3 = . π . r2 . r ∴ V3 =
(III)
3
3
Logo, de (I), (II) e (III) podemos concluir que V1 < V3 < V2.
09. c
05. b
10. c
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ANOTAÇÕES
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