Escola Secundária de Aljustrel
Material de apoio para o 10.o Ano
Ano Lectivo 2002/2003
Um Resumo sobre as Caracterı́sticas
de uma Função
José Paulo Coelho
Março de 2003
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Zeros (ou raı́zes) de uma função. Sinal de uma função.
3
2 Monotonia de uma função
2.1 Função crescente num intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Função decrescente num intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
6
3 Extremos de uma função e respectivo Quadro de Variação.
3.1 Extremos relativos e absolutos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Tabela de variação de uma função. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
4 Função injectiva.
4.1 Quando é que uma função é injectiva? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Interpretação gráfica do conceito de injectividade. . . . . . . . . . . . . .
9
9
10
5 Paridade de uma função.
10
5.1 Funções pares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2 Funções ı́mpares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.3 Funções que não são pares nem ı́mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1 Zeros (ou raı́zes) de uma função. Sinal de uma função.
1 Zeros (ou raı́zes) de uma função. Sinal de uma
função.
Definição 1.1 (Zero de uma função) Se f é uma função real de variável real, a uma
solução da equação
f (x) = 0
damos o nome de raiz ou zero de f . Por outras palavras, zero de uma função (real de
variável real) é todo o objecto que tem imagem nula.
Por exemplo, seja f : [−3, 10[→ R representada graficamente
y
y = f (x)
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 x
−2
−3
A observação do gráfico acima permite-nos identificar os zeros da função nele representada: f (−3) = 0, f (3) = 0 e f (6) = 0. Logo, os zeros de f são −3, 3 e 6. Note-se que
10 não pertence ao domı́nio da função (10 ∈
/ [−3, 10[) e por isso não pode ser um zero
de f . O ponto (10, 0) não faz parte do gráfico da função f .
Graficamente, os zeros de f são as abcissas dos pontos de intersecção do gráfico da
função com o eixo dos xx.
Dado um objecto qualquer x, a sua imagem f (x) ou é zero, ou é um número positivo,
ou é um número negativo. Portanto, os objectos que não são zeros da função ou têm
imagens positivas, ou têm imagens negativas.
Definição 1.2 (Função positiva / negativa) Dizemos que uma função real de variável
real é positiva num subconjunto do seu domı́nio quando, nesse subconjunto, todos os objectos têm imagem positiva.
Analogamente, a função é negativa num subconjunto do seu domı́nio se qualquer objecto
desse subconjunto tiver imagem negativa.
Por exemplo, na função representada atrás, temos:
• f (x) > 0 ⇔ −3 < x < 3 ∨ 6 < x < 10, ou seja, f é positiva em ] − 3, 3[∪]6, 10[;
• f (x) < 0 ⇔ 3 < x < 6, isto é, f é negativa no intervalo ]3, 6[.
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2 Monotonia de uma função
2 Monotonia de uma função
Comecemos por observar os gráficos de duas funções f, g : [u, v] → R
y
y
f (v)
g(u)
y = f (x)
f (u)
u
v
y = g(x)
g(v)
u
x
v
x
Intuitivamente, somos levados a dizer que f é crescente no intervalo [u, v], enquanto
que g é decrescente nesse mesmo intervalo. O gráfico de f parece “ir a subir” e o de
g parece “ir a descer”. Embora correctas, estas intuições necessitam de ser traduzidas
para linguagem matemática, pois são pouco rigorosas. É isso que faremos já a seguir.
2.1 Função crescente num intervalo
Definição 2.1 (Função crescente) Seja f : Df ⊂ R → R uma função e E ⊂ Df um
intervalo de números reais. A função f é crescente no intervalo E se, quaisquer que
forem os objectos a, b ∈ E, se a < b então f (a) ≤ f (b). Em linguagem simbólica:
∀a, b ∈ E : a < b ⇒ f (a) ≤ f (b)
É igualmente importante a definição de função estritamente crescente num intervalo.
Definição 2.2 (Função estritamente crescente) Seja f : Df ⊂ R → R uma função
e E ⊂ Df um intervalo de números reais. A função f é estritamente crescente no
intervalo E se, quaisquer que forem os objectos a, b ∈ E, se a < b então f (a) < f (b).
Em linguagem simbólica:
∀a, b ∈ E : a < b ⇒ f (a) < f (b)
Vamos precisar melhor a distinção entre estas duas definições através de um exemplo.
Antes, porém, convém ver que a diferença entre as definições reside apenas num sinal
de desigualdade, pois enquanto na primeira se admite que as imagens podem ser iguais
(f (a) ≤ f (b)), na segunda essa igualdade já não é admitida (f (a) < f (b)).
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2 Monotonia de uma função
y
f (v) = f (t)
y = f (x)
f (u)
u
t
v
x
A função f é:
• crescente no intervalo [u, v];
• estritamente crescente no intervalo [u, t].
De facto, se a, b ∈ [u, v] e a < b, podem acontecer três situações:
• a ∈ [u, t] e b ∈ [u, t];
• a ∈ [u, t] e b ∈ [t, v];
• a ∈ [t, v] e b ∈ [t, v].
A relação respectiva entre as imagens será:
• f (a) < f (b);
• f (a) < f (b);
• f (a) = f (b).
Daqui se deduz que f só é estritamente crescente no intervalo [u, t], pois se a, b ∈ [u, v]
poderia acontecer que a, b ∈ [t, v], o que faria com que f (a) = f (b) - e a igualdade
entre as imagens de objectos distintos não pode ocorrer quando a função é estritamente
crescente.
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2 Monotonia de uma função
2.2 Função decrescente num intervalo
Definição 2.3 (Função decrescente) Seja f : Df ⊂ R → R uma função e E ⊂ Df
um intervalo de números reais. A função f é decrescente no intervalo E se, quaisquer
que forem os objectos a, b ∈ E, se a < b então f (a) ≥ f (b). Em linguagem simbólica:
∀a, b ∈ E : a < b ⇒ f (a) ≥ f (b)
À semelhança do que fizemos na secção anterior, apresentamos também a definição de
função estritamente decrescente num intervalo.
Definição 2.4 (Função estritamente decrescente) Seja f : Df ⊂ R → R uma
função e E ⊂ Df um intervalo de números reais. A função f é estritamente decrescente no intervalo E se, quaisquer que forem os objectos a, b ∈ E, se a < b então
f (a) > f (b). Em linguagem simbólica:
∀a, b ∈ E : a < b ⇒ f (a) > f (b)
Convém notar que a diferença entre as definições reside apenas num sinal de desigualdade: enquanto na primeira se admite que as imagens podem ser iguais (f (a) ≥ f (b)),
na segunda essa igualdade já não é admitida (f (a) > f (b)).
y
h(x1 ) = h(x2 )
h(x4 ) = h(x5 )
y = h(x)
h(x3 )
x1
x2
x3
x4
x5
x
A função h é:
• crescente nos intervalos [x1 , x2 ] e [x3 , x5 ];
• estritamente crescente no intervalo [x3 , x4 ];
• decrescente nos intervalos [x1 , x3 ] e [x4 , x5 ];
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3 Extremos de uma função e respectivo Quadro de Variação.
• estritamente decrescente no intervalo [x2 , x3 ].
É de ressaltar o facto de que uma função constante num intervalo é crescente e decrescente nesse mesmo intervalo, embora não seja nem estritamente crescente, nem estritamente decrescente.
3 Extremos de uma função e respectivo Quadro de
Variação.
3.1 Extremos relativos e absolutos.
Considere a função f : [−5, 11] → R representada graficamente por
y
4
2
−6
−4
−2
2
4
6
8
10
x
Nas proximidades do objecto x = −5, f (−5) = 5 é a maior imagem. Nas proximidades de x = −2, f (−2) é a menor imagem. Nas proximidades do intervalo [2, 5], a
imagem dos objectos deste intervalo (4) é maior ou igual que as obtidas com objectos nas
proximidades dos objectos do referido intervalo. Nas proximidades de x = 9, f (9) = 0
é a menor imagem. Finalmente, nas proximidades de x = 11, f (11) = 3 é a maior
imagem. Note-se mesmo que f (−5) = 5 é a maior imagem de todas as obtidas através
desta função e que f (9) = 0 é a menor imagem de todas.
Dizemos então que:
• as imagens 5, 4 e 3 são máximos relativos da função, enquanto que 5 é também
máximo absoluto da função (é o maior dos máximos relativos).
• analogamente, 0, 1 e 4 são mı́nimos relativos da função e 0 é o mı́nimo absoluto
de f (é o menor dos mı́nimos relativos);
• 4 é máximo e mı́nimo relativo;
• −5, [2, 5] e 11 são maximizantes de f (objectos para os quais a função apresenta
imagens que são máximos relativos);
• −2, [2, 5] e 9 são minimizantes de f (objectos para os quais a função apresenta
imagens que são mı́nimos relativos).
Passamos agora a apresentar as definições dos conceitos que introduzimos.
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3 Extremos de uma função e respectivo Quadro de Variação.
Definição 3.1 (Extremos Absolutos) Seja f : Df ⊂ R → R de domı́nio Df .
1. f (a) é o máximo absoluto de f se f (a) é maior ou igual do que qualquer outra
imagem de f :
∀x ∈ Df : f (a) ≥ f (x).
2. f (a) é o mı́nimo absoluto de f se f (a) é menor ou igual do que qualquer outra
imagem de f :
∀x ∈ Df : f (a) ≤ f (x).
Definição 3.2 (Extremos Relativos) Seja f : Df ⊂ R → R de domı́nio Df .
1. f (a) é o máximo relativo de f se existir um intervalo aberto E, com a ∈ E, tal
que:
∀x ∈ E ∩ Df : f (a) ≥ f (x).
2. f (a) é o mı́nimo relativo de f se existir um intervalo aberto E, com a ∈ E, tal
que:
∀x ∈ E ∩ Df : f (a) ≤ f (x).
3.2 Tabela de variação de uma função.
Consideremos a função h : [0, 360] → R representada graficamente por
1.0 y
y = h(x)
0.5
90
180
270
360
x
−0.5
−1.0
Facilmente identificamos os extremos relativos e extremantes, assim como os intervalos
de monotonia:
• h é crescente em [0, 90] e em [270, 360], sendo mesmo estritamente crescente nestes
intervalos;
• h é estritamente decrescente no intervalo [90, 270];
• 1 e 0 são máximos relativos de h, sendo os maximizantes respectivos 90 e 360:
h(90) = 1 e h(360) = 0;
• −1 e 0 são mı́nimos relativos de h, de minimizantes respectivos 270 e 0: h(0) = 0
e h(270) = −1;
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4 Função injectiva.
• 1 é o máximo absoluto de h e −1 é o seu mı́nimo absoluto.
Para sintetizar esta informação costuma-se apresentar o chamado quadro de variação
da função. Na primeira linha deste quadro representam-se os extremos do domı́nio e
os extremantes (minimizantes e maximizantes); na segunda linha procura-se descrever a
variação da função. Em relação à função h acima representada terı́amos:
x
h(x)
0
Min.
%
h(0) = 0
90
Max.
&
h(90) = 1
270
360
Min.
%
Max.
h(270) = −1
h(360) = 0
4 Função injectiva.
4.1 Quando é que uma função é injectiva?
Definição 4.1 Uma função f : Df → R é injectiva num intervalo E ⊂ Df se, para dois
valores quaisquer de E, x1 e x2 , se x1 6= x2 , então f (x1 ) 6= f (x2 ), ou seja, se a objectos
diferentes correspondem imagens respectivas também diferentes:
∀x1 , x2 ∈ E ⊂ Df : x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ).
Uma função f não é injectiva se existem pelo menos dois objectos distintos com a mesma
imagem.
y
y
f (v)
g(u) = g(v)
g(a) = g(b)
y = f (x)
f (u)
u
v
y = g(x)
u
x
a
c
b
v
x
Dos gráficos acima, concluimos que:
1. f é injectiva no seu domı́nio, [u, v];
2. g não é injectiva em [u, v] porque, por exemplo, a, b ∈ [u, v], a 6= b, mas f (a) = f (b).
Assim, os objectos a e b são diferentes e têm a mesma imagem. g não é injectiva
em qualquer intervalo que contenha a e b simultaneamente.
3. g é injectiva no intervalo [c, v] e também é injectiva no intervalo [u, c].
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5 Paridade de uma função.
4.2 Interpretação gráfica do conceito de injectividade.
Quando dispomos do gráfico de uma função é muito fácil ver se a função é, ou não,
injectiva. De facto, em termos do gráfico podemos dizer que
Uma função é injectiva (no seu domı́nio) se todas as rectas horizontais - que intersectarem
o gráfico da função - o intersectarem uma e uma só vez.
No gráfico da função g verificamos que a recta de equação y = g(a) intersecta o
gráfico da função em dois pontos, a saber: (a, g(a)) e (b, g(b)). Logo, g não é injectiva
no intervalo [u, v].
5 Paridade de uma função.
5.1 Funções pares.
Observemos o gráfico da função f : R → R definida por f (x) = x2 .
y
8
6
4
2
−5−4−3−2−1
y = x2
1 2 3 4
x
Pelo gráfico da função facilmente se vê que:
• f (−1) = f (1) = 1;
• f (−2) = f (2) = 4;
• f (−3) = f (3) = 9;
• ...
• Regra geral: f (−x) = f (x) = x2 .
Além disso, é fácil ver que o gráfico é simétrico em relação ao eixo dos yy. Sempre que
isto acontecer, dizemos que a função em causa é par.
Definição 5.1 (Função par) Uma função f : Df ⊂ R → R diz-se par quando, qualquer que seja o número x pertencente a Df , o número −x também pertence a Df e
f (−x) = f (x):
∀x ∈ Df : −x ∈ Df ∧ f (−x) = f (x).
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5 Paridade de uma função.
Uma função é par se sempre que o ponto (x, y) está no gráfico de f, o ponto (−x, y)
também está.
5.2 Funções ı́mpares.
Seja agora o gráfico da função f : R → R cuja expressão analı́tica é f (x) = x3 .
y
8
6
4
2
−3−2−1
−2
y = x3
1 2
x
−4
−6
−8
−10
Pelo gráfico da função facilmente se vê que:
• f (−1) = −f (1);
• f (−2) = −f (2);
• ...
• Regra geral: f (−x) = −f (x).
Além disso, é fácil ver que o gráfico é simétrico em relação à origem. Sempre que isto
acontecer, dizemos que a função em causa é ı́mpar.
Uma função é ı́mpar se sempre que o ponto (x, y) está no gráfico de f, o ponto (−x, −y)
também está.
Definição 5.2 (Função ı́mpar) Uma função f : Df ⊂ R → R diz-se par quando,
qualquer que seja x ∈ R pertencente a Df , o número −x também pertence a Df e
f (−x) = −f (x):
∀x ∈ Df : −x ∈ Df ∧ f (−x) = −f (x).
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5 Paridade de uma função.
5.3 Funções que não são pares nem ı́mpares
É de notar que existem funções que não são pares nem ı́mpares. Por exemplo, a função
g : R → R definida por g(x) = (x − 1)2
y
8
6
4
y = (x − 1)2
2
−5−4−3−2−1
1 2 3 4
x
Facilmente se vê que g(−2) = 9 e g(2) = 1, pelo que:
• g(−2) 6= g(2), o que implica que g não é par;
• g(−2) 6= −g(2), o que mostra que g não é ı́mpar.
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