Derivação Implicita de Funções Reais de Variável Real
14 de novembro de 2011
1. Seja uma função real f : R → R. Sabemos que, os elementos da imagem da f são da forma f (x), onde
x ∈ Dom(f ). Se definimos a variável y como
y = f (x)
entao podemos escrever essa igualdade da seguinte forma
y − f (x) = 0
e temos uma equação nas variáveis x e y. Por exemplo, se as funções f e g estão definidas como
f (x) = x3 − 4x + 7 , g(x) = sen x − 5x.
(1)
então as equações associadas serão
y − x3 + 4x − 7 = 0 ; y − sen x + 5x = 0.
(2)
0
O nosso objetivo aqui é calcular a derivada da função f , i.e., f (x) (que pode se escrever também como
df
dx
ou
dy
dx ).
Nesta parte escreveremos
dy
dx
para indicar que estamos derivando com respeito a variável x.
Agora, como em (2) desejamos obter a derivada
dy
dx ,
primeiro deixamos em evidência a variável y, e
depois derivamos com respeito a x. Assim, no primeiro caso teremos
y − x3 + 4x − 7 = 0 ⇒ y = x3 − 4x + 7 ⇒
dy
= 3x2 − 4
dx
e no segundo caso
y − sen x + 5x = 0 ⇒ y = sen x − 5x ⇒
dy
= cos x − 5.
dx
Agora, vamos supor que temos uma equação nas variáveis x e y, definida como
x6 − 2x = 3y 6 + y 5 − y 2 .
(3)
Quando neste caso é aplicada a mesma idéia dos casos anteriores, i.e., tentar colocar em evidência a
variável y, e depois derivar em função de x, o problema aparece no inı́cio: não é claro como podemos
1
isolar a variável y através de algum processo, e depois derivar com respeito a x. Nestes casos, a idéia
é derivar a equação diretamente usando, quando for necessário, a Regra da Cadeia. Por exemplo, na
equação (3) derivamos os dois membros da equação com respeito a x:
d 6
d
[x − 2x] =
[3y 6 + y 5 − y 2 ]
dx
dx
e obtemos
6x5 − 2 = 3
dy 6
dy 5
dy 2
+
−
.
dx
dx
dx
(4)
No lado direito da equação aparecem potências de y, e elas podem ser derivadas com respeito a x,
usando a Regra da Cadeia, da seguinte forma
dy 6
dy
= 6y 5
dx
dx
dy
dy 5
= 5y 4
dx
dx
dy 2
dy
= 2y
dx
dx
(5)
O motivo dessa forma de derivar é o seguinte: seja a função u definida como h(u) = u6 , então podemos
escrever a função y 6 como
y 6 = h(y)
Aplicando a Regra da Cadeia para derivar essa composição de duas funções com respeito a x, obtemos
dy 6
dh(y)
dh(y) dy
=
=
dx
dx
dy dx
e como
dh(y)
dy 6
=
= 6y 5
dy
dy
então
dh(y)
dy
= 6y 5 .
dx
dx
Colocando (5) em (4) temos que
6x5 − 2 = 18y 5
Deixando em evidência
dy
dx
dy
dy
dy
+ 5y 4
− 2y .
dx
dx
dx
no segundo membro da equação temos
6x5 − 2 =
dy 18y 5 + 5y 4 − 2y .
dx
Assim, finalmente
dy
6x5 − 2
.
=
5
dx
18y + 5y 4 − 2y
2
2. Exemplos
2.1. Ache uma equação da reta normal à curva 9x3 − y 3 = 1 no ponto (1, 2).
Sabemos que a equação da reta normal tem a forma
y = mx + b
onde o coeficiente angular m está em relação com o coeficiente angular
dy
dx
da reta tangente através da
fórmula
m.
dy
= −1
dx
Da equação
9x3 − y 3 − 1 = 0
obtemos
dy
dx
usando derivação implicita:
27x2 − 3y 2
dy
=0
dx
de onde
dy
27x2
9x2
=
=
dx
3y 2
y2
e como queremos saber o valor no ponto (1, 2), então
9
dy
= .
dx
4
Usando a relação (6) obtemos o valor de m:
−1 = m.
dy
9
4
= m. ⇒ m = − .
dx
4
9
Assim, temos que a equação da reta normal fica da seguinte forma
4
y =− x+b
9
e como o ponto (1, 2) pertence à reta normal, então temos
4
2 = − .1 + b
9
de onde
b=
22
.
9
Então uma equação da reta que satisfaz as condições do problema é
4
22
y =− x+ .
9
9
3
(6)
2.2. Em que ponto da curva x +
√
xy + y = 1 a reta tangente é paralela ao eixo x?
Sabemos que o eixo x tem a equação
y = 0,
então o seu coeficiente angular é m = 0. Também, usando a derivação implicita, sabemos que
√ √
d
[x + x y + y − 1] = 0
dx
1 1 1
1 1 1 dy
dy
1 + x− 2 y 2 + x 2 y − 2
+
=0
2
2
dx
dx
r
r
1 x dy
dy
1 y
+
+
=0
1+
2 x 2 y dx dx
r
r
1 y
1 x
dy
1+
+
+1
=0
2 x
2 y
dx
o que implica
p 1 + 12 xy
dy
q
=−
dx
1 + 12 xy
e como a reta tangente à curva deve ser paralela ao eixo x, então, devem ter o mesmo coeficiente
angular, de onde
dy
=0
dx
i.e.
1+
1+
y
1
2
qx
1
x
2
y
p =0
de onde
1
1+
2
r
y
=0
x
então
1
2
r
y
= −1 ⇒
x
r
y
= −2
x
mas uma raiz quadrada sempre é não negativa (i.e., maior ou igual do que zero). Assim, as retas tangentes à curva nunca são paralelas ao eixo x (se existisse uma, ela deveria verificar a última igualdade,
que é um absurdo).
3. As funções trigonométricas estão entre as mais importantes funções reais. As duas que dão origem as
outras são a função seno e a função coseno. Ambas funções, nos seus dominios respectivos, não são 1-1,
e como consequencia não tem inversas. Porém, se restringirmos o dominio das funções seno e coseno,
ambas são 1-1 (no dominio restrito), e tem inversas nesse dominio (do gráfico de ambas funções, é claro
quando elas deixam de ser 1-1, é só traçar uma reta horizontal, se esta reta intersecta o gráfico em
mais de um ponto, a função não é 1-1).
4
a. A inversa da função seno
A função f (x) = sen x tem como dominio todos os números reais. Pode-se restringir esta função ao
intervalo [− π2 , π2 ], e teremos uam nova função
π π
f /[− π2 , π2 ] : [− , ] → R
2 2
Estritamente falando, esta nova função não é a função seno original, já que tem dominios diferentes,
porém vamos denotar esta função também como sen x. Neste intervalo dita função é 1-1, e tem uma
função inversa, chamada de arco-seno e usamos a notação: arcsen x ou sen−1 x. Por definição, a função
arco seno está definida como
y = sen−1 x ⇔ sen y = x
b. A inversa da função coseno
A função f (x) = cos x tem como dominio todos os números reais. Pode-se restringir esta função ao
intervalo [0, π], e teremos uam nova função
f /[0,π] : [0, π] → R
Estritamente falando, esta nova função não é a função coseno original, já que tem dominios diferentes,
porém vamos denotar esta função também como cos x. Neste intervalo dita função é 1-1, e tem uma
função inversa, chamada de arco-coseno e usamos a notação: arc cos x ou cos−1 x. Por definição, a
função arco coseno está definida como
y = cos−1 x ⇔ cos y = x.
4. É possivel aplicar a diferenciação implicita para obter as derivadas das funções trigonométricas inversas.
a. A função sen−1 x
Sabemos que a função
y = sen−1 x
está definida quando y ∈ [− π2 , π2 ], e nesse caso temos
y = sen−1 x ⇔ sen y = x
Derivando implicitamente a ultima equação com respeito a x, quando y ∈ (− π2 , π2 ) temos
d
d
dy
sen y =
x ⇒ cos y
=1
dx
dx
dx
i.e.
dy
1
=
dx
cos y
5
(7)
Como y ∈ (− π2 , π2 ), temos que cos y > 0, de onde
cos y =
p
1 − sen2 y
(8)
e lembremos que sen y = x, então em (8) temos
cos y =
p
1 − x2
e, escrevendo a ultima igualdade em (7) obtemos
dy
1
=√
dx
1 − x2
i.e.
d
1
sen−1 x = √
.
dx
1 − x2
b. A função cos−1 x
Sabemos que a função
y = cos−1 x
está definida quando y ∈ [0, π], e nesse caso temos
y = cos−1 x ⇔ cos y = x
Derivando implicitamente a ultima equação com respeito a x, quando y ∈ (0, π) temos
d
d
dy
cos y =
x ⇒ −sen y
=1
dx
dx
dx
i.e.
dy
1
=−
dx
sen y
(9)
Como y ∈ (0, π), temos que sen y > 0, de onde
sen y =
p
1 − cos2 y
e lembremos que cos y = x, então em (10) temos
sen y =
p
1 − x2
e, escrevendo a ultima igualdade em (9) obtemos
dy
1
= −√
dx
1 − x2
i.e.
d
1
cos−1 x = − √
.
dx
1 − x2
6
(10)
c. A função tg −1 x
Sabemos que a função
y = tg −1 x
está definida quando y ∈ (− π2 , π2 ), e nesse caso temos
y = tg −1 x ⇔ tg y = x
Derivando implicitamente a ultima equação com respeito a x, quando y ∈ (− π2 , π2 ) temos
d
d
dy
tg y =
x ⇒ sec2 y
=1
dx
dx
dx
i.e.
dy
1
=
dx
sec2 y
(11)
Observe que
sec2 y =
sen2 y + cos2 y
sen2 y cos2 y
sen2 y
1
=
=
+
=
+1
cos2 y
cos2 y
cos2 y
cos2 y
cos2 y
i.e.
sec2 y = 1 + tg 2 y
(12)
Assim, em (11) temos
1
dy
=
dx
1 + tg 2 y
e como tg y = x, então
dy
1
=
dx
1 + x2
de onde
d −1
1
tg x =
.
dx
1 + x2
É possivel fazer a mesma análise para as derivadas das outras funções trigonométricas. Dos exêmplos
feitos até agora, poderia-se pensar que sempre que tenhamos uma equação em duas variáveis, é possı́vel
derivar implicitamente a equação e obter a derivada da função y em relação a x, porém, isso nem sempre
é possı́vel. Existe um resultado conhecido como o Teorema da Função Implicita que da as condições
necessárias à equação para saber se é possivel obter uma função y que seja derivável.
43.pdf)
Figura 1: Estrela de Escher
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