Instituto Politécnico de Leiria
Escola Superior de Tecnologia e Gestão
Análise Matemática
Ano letivo 2015/2016
EI (D+PL)
Ficha 2 - Cálculo diferencial em R
1. Na figura seguinte encontram-se representados o gráfico de uma função f, real de uma variável real,
contı́nua e diferenciável em R e a reta tangente ao gráfico de f no ponto (1, 6).
Determine o valor de f ′ (1) .
2. Considere que a reta tangente ao gráfico de uma função f , real de variável real, no ponto (4, 3) passa
pelo ponto (0, 2) e que f é diferenciável em R. Indique, justificando, os valores de f (4) e f ′ (4).
3. Seja f uma função, real de variável real, contı́nua em todo o R, representada na seguinte figura.
Sabendo que a reta t, que passa pelos pontos (0, −4) e (5, 7), é tangente ao gráfico da funçao f no
ponto de abcissa 3, indique, justificando, quais são os valores de f (3) e de f ′ (3).
1
{
4. Seja g a função real de variável real definida por g (x) =
−x2 + 2 , se x ≤ 1
.
x
, se x > 1
(a) Represente graficamente g. Pela análise do gráfico, diga justificando, se existe g ′ (1) .
(b) Confirme, analiticamente, a conclusão a que chegou na alı́nea (a) .
5. Determine a função derivada de cada uma das seguintes funções:
√
4−x
(a) y =
(b) y = 3 − 5x
3+x
x
(d) y = √
(e) y = x sen x
9 − 4x
( )
(g) y = e−3 cos x
(h) y = x2 sen x2
(
)
√
(j) y = log3 x2 − sen2 x
(k) y = cotg x
2
(m) y = ex sen x
(n) y = 3 x cos2 x + 1
(p) y = arccos(k x − 3) , k ∈ R
(q) y =
(c) y =
√
1
3
x+
x
(f) y = sen2 x
( )
1
(i) y = x ln
x
(
)
(l) y = arctg x2 + 2
(o) y = e2x tg x
(
)
(r) y = ln arctg(x + 1)
2
3 arcsen x
6. Calcule as derivadas até à 3.a ordem da função real de variável real
f (x) = x2 ln x,
x > 0.
7. Determine uma equação da reta tangente à curva, no ponto dado:
x
, P = (2, 1);
−2
(π √ )
(b) y = tg x , P =
, 3 ;
3
√
√
(c) y = x 1 + x2 , P = (1, 2).
(a) y =
x2
x
, determine as constantes a e b de modo que a reta de equação
b−x
y − x − 2 = 0 seja tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x = 0.
8. Dada a função f (x) = a + ax −
9. Considere a função g definida por:
π
g(x) = − arccos
2
(
x−1
2
)
.
Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa zero.
10. Considere a função g, real de variável real, definida por
g(x) =
x2 − 4
.
1 − x2
Sabendo que a reta tangente ao gráfico de g no ponto A é uma reta horizontal, determine as coordenadas do ponto A.
2
11. Sejam f, g : R → R funções diferenciáveis tais que :
f ′ = g;
g′ = f ;
f (0) = 0;
g (0) = 1 .
e seja h : R → R a função definida por h(x) = g 2 (x) − f 2 (x) .
(a) Determine o valor da derivada da função h em cada ponto x ∈ R.
(b) Qual das igualdades seguintes é correta para todo x ∈ R?
(A) h (x) = 1;
(B) h (x) = x + 1;
(C) h (x) = 0;
(D) h (x) = g (x) .
12. Considere a função real de variável real y =
sen x
com x ̸= 0. Mostre que x y ′′ + 2 y ′ + x y = 0.
x
13. Considere a função, real de variável real, definida por f (x) =
√
3
x.
(a) Usando regras de derivação, calcule a função derivada de f e indique o domı́nio de f e da sua
derivada.
(b) Usando a definição de derivada, estude a diferenciabilidade de f em x = 0.
14. Calcule os seguintes limites utilizando a Regra de Cauchy:
ex − 1
sen x
;
(b) lim
;
(a) lim
x→0
x→0 x
x
e−x − 1
;
x→0 tg x
(d) lim
(g) limπ
x→ 2
6 cotg x
π ;
x
2 − 4
1 + sen x
;
x→0 x − 1
(j) lim
cos x − 1
;
x3
(c) lim x ln x;
x→0+
(f) lim
3 sen x
;
ln(x + 1)
(h) lim
(i) lim
ln x
;
cosec x
(k) lim x (π − 2 arctg x);
(l) lim
(e) lim
x→0
x→0
ln(x2 + 1)
;
x→0
x ex
x→0+
x→+∞
π − arccos x
.
x→−1
x+1
15. Considere a função, real de variável real, definida por
f (x) =

1 + ln(x + 1)


, se 0 ≤ x ≤ 1;

x+1


 1 sen(πx) ,
π
x
.
se x ∈ R\[0, 1]
(a) Estude a continuidade de f nos pontos x = 0 e x = 1.
(b) A função não é diferenciável em x = 1. Porquê?
16. Considere a função, real de variável real, definida por

(√ )
π
−
3
arctg
3x



,
2−x
x
g(x) =
( )


 ex−1 + sen π ,
2
x>1
.
x≤1
(a) Averigue se a função g é contı́nua em x = 1.
(b) Indique, justificando, o que pode concluir sobre a diferenciabilidade da função g em x = 1.
3
17. Considere a função f , real de variável real, definida por
(√
)


3
(x
−
1)
 2π − arccotg
,
3
f (x) =


k x,
x>2
, k ∈ R.
x≤2
(a) Determine k de modo que f seja uma função contı́nua.
(b) Usando o valor de k obtido na alı́nea anterior, averigue se a função f é diferenciável em x = 2.
18. Sejam f e g as funções definidas por f (x) = 2π − 3 arccos
(x)
derivada da função composta, calcule (g ◦ f )′ (0).
2
e g(x) = x2 . Utilizando a regra da
19. Seja f a função real de variável real definida por
)
(
4
3
f (x) = π − arctg 1 +
.
3
x
(a) Determine o domı́nio de f .
(b) Sabendo que a função real de variável real dada por g (x) = 1 +
Dg′ = R\ {1}, diga qual o contradomı́nio de f .
3
tem contradomı́nio
x
(c) Indique o valor lógico da afirmação:“a função f não tem zeros”.
(d) Utilizando o teorema da derivada da função inversa, mostre que
(arctgy)′ =
1
.
1 + y2
20. De uma função h, real de variável real, invertı́vel sabe-se que
h−1 (−π) = 3
−4
.
− 2x + 5
(
)′
Utilize o teorema da derivada da função inversa para calcular h−1 (−π).
e que
h′ (x) =
x2
21. Considere a função real de variável real h(x) = e
(a) Resolva a equação h ′ (x) −
x2 +1
x
.
3
h(x) = 0.
x2
h(x)
.
x→+∞ ex
(b) Calcule lim
22. Sabendo que uma função f real de variável real y = f (x) :
• possui um extremo relativo em x = 1;
• possui um ponto singular no intervalo [0, 4];
• tem função derivada f ′ estritamente decrescente em [2, 3];
indique qual dos seguintes gráficos poderá representar a função f .
4
(A)
(B)
(C)
(D)
(
23. Considere a seguinte função real de variável real h(x) = ln
1
1+x2
)
.
h(x)
.
x→0 x2
(b) Determine os extremos relativos da função h.
(a) Calcule lim
24. Seja f uma função real de variável real definida por
f (x) = 2x − tg x
Determine os extremos locais de f em [0, 2π].
25. Estude, quanto à existência de extremos relativos, cada uma das seguintes funções:
(a) f (x) =
x2 − 7x + 10
;
x−6
(
)
(b) f (x) = ln x2 − 2x + 2 ;
(c) f (x) =
1
+ 1;
1 + e−x
(d) f (x) =
2 −2x
(e) f (x) = ex
{
(g) f (x) =
;
(f) f (x) =
x2 − 2x se x < 2
2x + 1
se x ≥ 2
;
(h) f (x) =
5
√
x2 + x + 1;
sen(x)
, x ∈ [0, 2π] ;
ex
 √

 10 − x , |x| ≥ 6
x2 − 2x


12
, |x| < 6
.
26. Considere as funções f e g, reais de variável real, definidas por:

 arctg x, se x ≤ 0
f (x) =
,
g(x) = arccos(x2 ).

x − 1,
se x > 0
Para cada uma das funções, determine o domı́nio, os extremos relativos e o contradomı́nio.
27. Considere a função real de variável real f definida por:
 π

+ arctgx,
x ≤ −1


 2
3x − 6
f (x) =
,
−1 < x < 2 .


2


ln (x − 1) ,
x≥2
(a) Estude a continuidade de f no ponto x = −1.
(b) A função f é diferenciável em x = −1? Justifique.
(c) Determine a função derivada de f .
(d) Defina ponto crı́tico e ponto singular. Determine, caso existam, os pontos crı́ticos e singulares
da função f .
(e) Determine, caso existam, os extremos relativos da função f .
28. Duas povoações, A e B, distanciadas 8 km uma da outra, estão a igual distância de uma fonte de
abastecimento de água, localizada em F.
Pretende-se construir uma canalização ligando a fonte às duas povoações, como se indica na figura
abaixo. A canalização é formada por três canos: um que vai da fonte F até um ponto P e dois que
partem de P, um para A e outro para B. O ponto P está a igual distância de A e de B. Tem-se ainda
que:
• o ponto M, ponto médio de [AB], dista 4 km de F;
(
[ π])
• x é a amplitude do ângulo PAM x ∈ 0,
.
4
F
•
P
A
•
x
M
8 km
4 km
•B
(a) Tomando para unidade o quilómetro, mostre que o comprimento total da canalização é dado por
g(x) = 4 +
8 − 4 sen x
.
cos x
(b) Calcule g(0) e interprete o resultado obtido, referindo a forma da canalização e consequente
comprimento.
(c) Determine o valor de x para o qual o comprimento total da canalização é mı́nimo.
6
29. Um canal de drenagem deve ser feito de modo que a secção transversal seja um trapézio com os lados
(B + b) h
igualmente inclinados. Sabe-se que a área de um trapézio é dada por AT =
, em que B é a
2
base maior, b a base menor e h a altura. Pretende-se construir um canal em que os lados e a base têm
5 metros de comprimento, conforme mostra a figura:
(a) Mostre que a área do trapézio é dada por A (θ) = 25 (cos θ + 1) sin θ.
π
(b) Calcule a área da secção para θ = .
4
(c) Determine a inclinação θ de forma que a área da secção seja máxima.
30. Uma tipografia pretende elaborar um panfleto que deverá ter 18 cm2 de texto impresso. As margens
superior e inferior deverão ter 2 cm cada uma e as margens laterais 1 cm cada, como mostra a figura.
(
(a) Mostre que a área do panfleto pode ser dada por A(x) = x
)
18
+ 4 onde x é sua largura.
x−2
(b) Determine as dimensões do panfleto de modo que a quantidade de papel utilizado seja mı́nima.
7
Soluções
1. f ′ (1) = −1
1
2. f (4) = 3 e f ′ (4) = .
4
3. f (3) =
4.
13
11
e f ′ (3) = .
5
5
(a) O gráfico será:
Não existe g ′ (1) pois, em x = 1, g tem um ponto anguloso.
(b) lim
x→1−
5.
(a) y ′ =
(d) y ′ =
g (x) − g (1)
g (x) − g (1)
= −2 e lim
= 1.
+
x−1
x−1
x→1
−7
(3 + x)2
9 − 2x
3
2
(9 − 4x)
(g) y ′ = 3 sen x e−3 cos x
(j) y ′ =
2x − sen(2x)
ln 3 (x2 − sen2 x)
(m) y ′ = ex (2x sen x + cos x)
2
(p) y ′ = √
−k
1 − (k x − 3)2
6. f ′ (x) = 2x ln x + x;
7.
−5
(b) y ′ = √
2 3 − 5x
1
1
(c) y ′ = √
− 2
3
2
x
3 x
(e) y ′ = sen x + x cos x
( )
( )
(h) y ′ = 2x sen x2 + 2 x3 cos x2
(f) y ′ = sen(2x)
(k) y ′ =
− cosec2 x
√
2 cotg x
(l) y ′ =
(n) y ′ = 3 cos2 (x) − 3 x sin (2x)
(q) y ′ =
−2
√
2
3 1 − x (arcsen x)2
f ′′ (x) = 2 ln x + 3;
f ′′′ (x) =
3
(a) y = − x + 4;
2
√
4
(b) y = 4x − π + 3;
3
√
√
3 2
2
(c) y =
x−
.
2
2
8. a = 2, b = 1.
8
(i) y ′ = − ln x − 1
2
.
x
2x
1 + (x2 + 2)2
(o) y ′ = e2x (2 tg x + sec2 x)
(r) y ′ =
arctg−1 (x + 1)
(x2 + 2 x + 2)
√
3
π
9. y =
x−
3
6
10. As coordenadas do ponto A são (0, −4) .
11.
(a) h′ (x) = 0.
(b) A.
12. —
13.
14.
1
(a) Df = R, f ′ (x) = √
, Df ′ = R \ {0}.
3
3 x2
f (x) − f (0)
= +∞
(b) f não é diferenciável em x = 0 pois lim
x→0
x−0
sen x
= 1;
x→0 x
(a) lim
ex − 1
= 1;
x→0
x
(b) lim
(c) lim x ln x = lim
x→0+
x→0+
ln x
= 0;
1
x
e−x − 1
= −1;
x→0 tg x
(d) lim
(e) Nada se pode concluir pela Regra de Cauchy porque, após 2 aplicações da Regra de Cauchy, o
limite não está definido;
(f) lim
x→0
3 sen x
=3;
ln(x + 1)
(g) limπ
x→ 2
6 cotg x
x
π = −12;
2 − 4
ln(x2 + 1)
= 0;
x→0
xex
(h) lim
(i) lim
x→0+
ln x
= 0;
cosec x
(j) Não se pode aplicar a Regra de Cauchy, pois não temos indeterminação do tipo
sai diretamente;
(k)
lim x (π − 2 arctg x) = lim
x→+∞
(l) lim
x→−1
x→+∞
(π − 2 arctg x)
= 2;
1
x
π − arccos x
= +∞.
x+1
9
0
0
ou
∞
∞.
O limite
15.
(a) A função f é contı́nua em x = 0 mas não é contı́nua em x = 1.
(b) A função f não é diferenciável em x = 1 porque não é contı́nua em x = 1.
16.
(a) A função não é contı́nua em x = 1.
(b) Como a função não é contı́nua em x = 1 (alı́nea (a)), então não é diferenciável em x = 1.
17.
18.
19.
5π
.
6
(b) A função não é diferenciável em x = 2, pois f ′ (2− ) ̸= f ′ (2+ ).
(a) k =
3π
.
2
(a) Df = R\{0}.
]
[ {
}
5π 11π
13π
′
(b) Df =
,
\
.
6
6
12
(c) A afirmação é verdadeira.
(d) Ver sebenta.
20. −2.
21.
(a) C.S. = {−2, 2} ;
(b) 1.
22. C
23.
(a) −1
(b) A função h atinge um máximo relativo para x = 0, ou seja, h(0) = 0 é um máximo relativo.
24. Máximos relativos: f
(π )
4
(
Mı́nimos relativos: f
25.
3π
4
=
)
π
− 1; f
2
(
3π
=
+ 1; f
2
5π
4
(
)
=
7π
4
5π
− 1; f (2π) = 4π.
2
)
=
7π
+ 1; f (0) = 0.
2
(a) Máximo em x = 4, mı́nimo em x = 8;
(b) Mı́nimo em x = 1;
(c) Não tem extremos, é sempre crescente;
1
(d) Mı́nimo em x = ;
2
(e) Mı́nimo em x = 1;
5π
π
e x = 0;
(f) Máximos relativos em x = e x = 2π; mı́nimos relativos em x =
4
4
(g) Mı́nimo relativo relativo em x = 1;
(h) Mı́nimos relativos relativos em x = 1 e em x = 10; máximo relativo em x = 6.
10
] π
[
Df′ = − , +∞ ,
2
f tem um máximo relativo igual a 0 para x = 0.
[ π]
Dg = [−1, 1], Dg′ = 0,
,
2
26. Df = R,
g tem um mı́nimo igual a 0 para x = −1 e para x = 1 e um máximo igual a
27.
π
para x = 0.
2
(a) A função não é contı́nua no ponto x = −1.
(b) Não é diferenciável em x = −1 porque não é contı́nua neste ponto.
(c)

1


,


1
+
x2





3
f (x) =
,

2






1


,
x−1
x < −1
−1 < x < 2 .
x>2
(d) A função não tem pontos crı́ticos. Os pontos x = −1 e x = 2 são pontos singulares.
π
(e) A função atinge um máximo relativo igual a f (−1) = .
4
28.
(a) —
(b) g(0) = 12
Interpretação: quando x = 0, a canalização tem a forma ⊥, pelo que o seu comprimento
29.
30.
(sendo FM + AB) é 12 km.
π
(c)
6
(
√ )
(π )
1+ 2
(b) A
= 25
.
4
2
(c)
(a) —
(b) largura = 5 cm e comprimento = 10 cm.
11
A função A atinge o valor máximo quando θ =
π
.
3