PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA
MÉTODO SIMPLEX
Professor: D.Sc. Dalessandro Soares Vianna
[email protected]
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[email protected]
Agradecimentos
O material apresentado durante este curso é baseado nas notas de
aula dos professores:
 Edwin Benito Mitacc Meza e
 Fermín Alfredo Tang Montané,
professores do programa de Mestrado em Pesquisa Operacional e
Inteligência Computacional da Universidade Candido Mendes Campos.
Pesquisa Operacional A
2
Solução de Modelos de PL
Método Gráfico
Método Simplex
Método Simplex Dual
Método Simplex
Método Simplex
É um procedimento iterativo que permite ir melhorando a solução
de um PPL a cada passo. O processo termina quando não é possível
seguir melhorando uma determinada solução.
Pesquisa Operacional A
5
Método Simplex
É um procedimento iterativo que permite ir melhorando a solução
de um PPL a cada passo. O processo termina quando não é possível
seguir melhorando uma determinada solução.
x2
Caminha pelos vértices até encontrar
uma solução que não possua soluções
vizinhas melhores que ela
R 3 : x1  4
(0,9)
(2, 6)
(4, 6)
R 2 : 2 x2  12
(0, 6)
(4,3)
Parte do valor da F.O. de um
vértice qualquer que pertença a
o espaço de soluções viáveis.
R1 : 3x1  2 x2  18
(0, 0)
Pesquisa Operacional A
x1
(4, 0)
(6, 0)
6
Método Simplex
A solução ótima pode não existir:
 Quando não há uma solução viável (restrições incompatíveis);
 Quando não há um valor máximo (ou mínimo) da F.O. (1 ou mais
variáveis tendem ao infinito e as restrições continuarem sendo
satisfeitas).
Pesquisa Operacional A
7
Fundamentos
O modelo de um PPL pode ser resolvido pela solução de um
sistema de equações lineares
Transformação de um PPL em um sistema de equações equivalentes
FORMA CANÔNICA
FORMA PADRÃO
MAX Z  3x1  5 x2
MAX Z  3 x1  5 x2
sujeito a :
sujeito a :
x1
4
 f1
x1
2 x2  12
2 x2
3x1  2 x2  18
3 x1  2 x2
x1 , x2  0
4
 f2
 12
 f 3  18
x1 , x2 , f1 , f 2 , f 3  0
Pesquisa Operacional A
8
Procedimentos (forma canônicaforma padrão)
Minimizar Z  3 x1  2 x2
Minimizar Z  3x1  2 x2
sujeito a:
5x1  4 x2  14
sujeito a:
5x1  4 x2  f1
 14
3x1  4x2
 f2  8
x1 , x2 , f1 , f2  0
3 x1  4 x2  8
x1 , x2  0
3x1  4 x2
14
8
f2
f1
5x1  4 x2
Para restrições de desigualdade “”:
“”:
A conversão é feita subtraindo
adicionandoà equação
à equaçãouma
umavariável
variávelartificial
artificialf j 0.
f j 0.
Pesquisa Operacional A
9
Procedimentos (forma canônicaforma padrão)
FORMA CANÔNICA
FORMA PADRÃO
MAX Z  3x1  5 x2
MAX Z  3 x1  5 x2
sujeito a :
sujeito a :
x1
4
 f1
x1
2 x2  12
2 x2
3x1  2 x2  18
3 x1  2 x2
4
 f2
 12
 f 3  18
x1 , x2 , f1 , f 2 , f 3  0
x1 , x2  0
O problema se transformou em encontrar
uma solução de um sistema de equações
lineares que maximize a F.O.
Variáveis:
n=5
Restrições: m=3
n>m
Pesquisa Operacional A
10
Método de Enumeração das Soluções Básicas
MAX Z  3 x1  5 x2
sujeito a :
 f1
x1
2 x2
Analisando, podemos dizer que
atribuir zero a uma variável
significa não produzir um dos
produtos ou utilizar toda a
disponibilidade de recursos.
4
 f2
3 x1  2 x2
 12
 f 3  18
x1 , x2 , f1 , f 2 , f 3  0
(n-m) variáveis iguais a zero  solução básica
O número de
soluções básicas
possíveis
n
n!
C  
 m  m! n  m!
n
m
 5
5!
C  
 10 soluções
 3  3! 2 !
básicas
5
3
possíveis
Pesquisa Operacional A
11
Método de Enumeração das Soluções Básicas
MAX Z  3x1  5 x2
sujeito a :
 f1
x1
2 x2
4
 f2
3x1  2 x2
 12
 f3  18
x1 , x2 , f1 , f 2 , f3  0
Variáveis não básicas: São as variáveis
zeradas, igual a (n-m) variáveis.
Variáveis básicas: São as variáveis cujos
valores são calculados pelo sistema de equações.
1ª Combinação:
Variáveis Não Básicas: ( x1, x2 )  (0,0)
Variáveis Básicas:
( f1, f2 , f3 )  (4,12,18)
Solução Básica: ( x1, x2 , f1, f2 , f3 )  (0,0, 4,12,18) Solução Viável !!! Z  0
Pesquisa Operacional A
12
Método de Enumeração das Soluções Básicas
2ª Combinação:
Variáveis Não Básicas: ( x1 , f1 )  (0,0)
Variáveis Básicas:
( x2 , f 2 , f3 )  Não existe Base Associada !!!!
Solução Básica:
Não existe !!!
3ª Combinação:
Variáveis Não Básicas: ( x1, f2 )  (0,0)
Variáveis Básicas:
Solução Básica:
( x2 , f1, f3 )  (6, 4,6)
( x1, x2 , f1 , f 2 , f3 )  (0,6, 4,0,6) Solução Viável !!! Z  30
4ª Combinação:
Variáveis Não Básicas: ( x1, f3 )  (0,0)
Variáveis Básicas:
( x2 , f1 , f 2 )  (9, 4, 6)
Solução Básica: ( x1 , x2 , f1 , f 2 , f3 )  (0,9, 4, 6,0) Solução Inviável !!!
Continuar .......
Pesquisa Operacional A
13
Método de Enumeração das Soluções Básicas
Solução Básica
(x1, x2, f1, f2, f3)
F.O.
Observação
1
(0,0,4,12,8)
0
Viável
2
----
----
Não existe
3
(0,6,4,0,6)
30
Viável
4
(0,9,4,-6,0)
----
Inviável
5
(4,0,0,12,6)
12
Viável
6
----
----
Não existe
7
(6,0,-2,12,0)
----
Inviável
8
(4,6,0,0,-6)
----
Inviável
9
(4,3,0,6,0)
27
Viável
10
(2,6,2,0,0)
36
Viável
Pesquisa Operacional A
14
Método de Enumeração das Soluções Básicas
Solução Básica
(x1, x2, f1, f2, f3)
F.O.
Observação
1
(0,0,4,12,8)
0
Viável
2
----
----
Não existe
3
(0,6,4,0,6)
30
Viável
4
(0,9,4,-6,0)
----
Inviável
5
(4,0,0,12,6)
12
Viável
6
----
----
Não existe
7
(6,0,-2,12,0)
----
Inviável
8
(4,6,0,0,-6)
----
Inviável
9
(4,3,0,6,0)
27
Viável
x2
(2, 6)
(2,6,2,0,0)
36
(4, 6)
R 2 : 2 x2  12
(0, 6)
(4,3)
R1 : 3x1  2 x2  18
(0, 0)
10
R 3 : x1  4
(0,9)
Viável
Pesquisa Operacional A
x1
(4, 0)
(6, 0)
15
Método de Enumeração das Soluções Básicas
No problema vimos que n=5 (número de variáveis) e m=3
(número de restrições) tem
 5
5!
C  
 10 soluções básicas possíveis
 3  3! 2 !
5
3
No caso de n=10 e m=5 teremos:
No caso de n=20 e m=10 teremos:
10 
10!
C10


 252
 
5
 5  5! 5!
 20 
20!
C  
 184.756
 10  10!10!
20
10
Problemas de grande porte
Pesquisa Operacional A
16
Desenvolvimento do Método Simplex
Método gráfico
e enumeração
Problemas Reais
Sistemática?
Simplex!!!
Inviável
 Qual o sistema de equações que deve ser
resolvido;
 Qual é o próximo sistema a ser resolvido que
fornecerá uma solução melhor que os
anteriores;
 Como identificar uma solução ótima, uma vez
que tenhamos encontrado.
Pesquisa Operacional A
17
Método Simplex - Passo 1
Transformar o PPL da sua forma Canônica para sua forma Padrão.
FORMA CANÔNICA
FORMA PADRÃO
MAX Z  3x1  5 x2
MAX Z  3 x1  5 x2
sujeito a :
sujeito a :
x1
4
 f1
x1
2 x2  12
2 x2
3x1  2 x2  18
3 x1  2 x2
4
 f2
 12
 f 3  18
x1 , x2 , f1 , f 2 , f 3  0
x1 , x2  0
Pesquisa Operacional A
18
Método Simplex - Passo 2
Montar um quadro para ordenarmos as operações, colocando neles apenas os
coeficientes das variáveis.
MAX Z  3 x1  5 x2
MAX Z  3x1  5x2  0
x1
 f1
4
2 x2
 f2
 12
3 x1  2 x2
 f 3  18
s.a.
A solução inicial será
sempre obtida fazendo
as variáveis originais
x1 , x2 , f1 , f 2 , f 3  0
do modelo iguais a
zero e achando o valor
das demais.
Quadro Inicial
Variáveis
na Solução
f1
f2
f3
Z
x1
1
0
3
-3
Variáveis de Decisão
x2
f1
f2
0
1
0
2
0
1
2
0
0
-5
0
0
Pesquisa Operacional A
f3
0
0
1
0
Valores da
Solução
4
12
18
0
19
Método Simplex - Passo 3
Quadro Inicial
Variáveis
na Solução
f1
f2
f3
Z
x1
1
0
3
-3
Variáveis de Decisão
x2
f1
f2
0
1
0
2
0
1
2
0
0
-5
0
0
f3
0
0
1
0
Valores da
Solução
4
4/0=
12
12/2=6
18
18/2=9
0
 Das variáveis não básicas na primeira solução, qual deve-se tornar positiva ?
Deve
Entra:ser
x2a variável que MAIS CONTRIBUI para o lucro
 Das 3 variáveis básicas na primeira solução, qual deverá ser anulado?
Sai: f2aquela associada à linha que tiver o menor quociente entre o
Será
elemento da última coluna e o correspondente elemento da coluna
de entrada.
Pesquisa Operacional A
20
Método Simplex - Passo 3
Quadro Inicial
Equação
Pivô
Variáveis
na Solução
f1
f2
f3
Z
x1
1
0
3
-3
Variáveis de Decisão
x2
f1
f2
0
1
0
2
0
1
2
0
0
-5
0
0
f3
0
0
1
0
Valores da
Solução
4
12
18
0
Pivô
Para a mudança da base (na busca por outra solução) emprega-se 2 operações de cálculo:
1. Na equação do Pivô:
Nova Equação do Pivô =
Equação do Pivô
Pivô
2. Nas demais equações incluindo Z:
Gera uma nova
solução básica
 Coeficiente da   Nova Equação 
Nova Equação = Equação anterior  


Coluna
de
Entrada
do Pivô 

 
Pesquisa Operacional A
21
Método Simplex - Passo 3
Variáveis
na Solução
f1
f2
f3
Z
Variáveis
na Solução
f1
x2
f3
Z
x1
1
0
3
-3
Variáveis de Decisão
x2
f1
f2
0
1
0
2
0
1
2
0
0
-5
0
0
f3
0
0
1
0
Valores da
Solução
4
12
18
0
x1
Variáveis de Decisão
x2
f1
f2
f3
Valores da
Solução
0
1
0
6
0
1/2
Pesquisa Operacional A
22
Método Simplex - Passo 3
Variáveis
na Solução
f1
f2
f3
Z
Variáveis
na Solução
f1
x2
f3
Z
x1
1
0
3
-3
Variáveis de Decisão
x2
f1
f2
0
1
0
2
0
1
2
0
0
-5
0
0
x1
1
0
Variáveis de Decisão
x2
f1
f2
0
1
0
1
0
1/2
Pesquisa Operacional A
f3
0
0
1
0
Valores da
Solução
4
12
18
0
f3
0
0
Valores da
Solução
4
6
23
Método Simplex - Passo 3
Variáveis
na Solução
f1
f2
f3
Z
Variáveis
na Solução
f1
x2
f3
Z
x1
1
0
3
-3
Variáveis de Decisão
x2
f1
f2
0
1
0
2
0
1
2
0
0
-5
0
0
x1
1
0
3
Variáveis de Decisão
x2
f1
f2
0
1
0
1
0
1/2
0
0
-1
Pesquisa Operacional A
f3
0
0
1
0
Valores da
Solução
4
12
18
0
f3
0
0
1
Valores da
Solução
4
6
6
24
Método Simplex - Passo 3
Variáveis
na Solução
f1
f2
f3
Z
Variáveis
na Solução
f1
x2
f3
Z
x1
1
0
3
-3
Variáveis de Decisão
x2
f1
f2
0
1
0
2
0
1
2
0
0
-5
0
0
x1
1
0
3
-3
Variáveis de Decisão
x2
f1
f2
0
1
0
1
0
1/2
0
0
-1
0
0
5/2
Pesquisa Operacional A
f3
0
0
1
0
Valores da
Solução
4
12
18
0
f3
0
0
1
0
Valores da
Solução
4
6
6
30
25
Método Simplex - Passo 3
Quadro I
Variáveis
na Solução
f1
x2
f3
Z
x1
1
0
3
-3
Variáveis de Decisão
x2
f1
f2
0
1
0
1
0
1/2
0
0
-1
0
0
5/2
f3
0
0
1
0
Valores da
Solução
4
6
6
30
Como nos elementos da ÚLTIMA LINHA (Equação do Z) existe ainda um
NÚMERO NEGATIVO, significa que NÃO CHEGAMOS AINDA À
SOLUÇÃO ÓTIMA do PPL. Temos que REPETIR o processo.
Pesquisa Operacional A
26
Método Simplex - Passo 3
Quadro I
Variáveis
na Solução
f1
x2
f3
Z
x1
1
0
3
-3
Variáveis de Decisão
x2
f1
f2
0
1
0
1
0
1/2
0
0
-1
0
0
5/2
f3
0
0
1
0
Valores da
Solução
4
6
6
30
f3
-1/3
0
1/3
1
Valores da
Solução
2
6
2
36
4/1=4
6/0=
6/3=2
Quadro II
Variáveis
na Solução
f1
x2
x1
Z
x1
0
0
1
0
Variáveis de Decisão
x2
f1
f2
0
1
1/3
1
0
1/2
0
0
-1/3
0
0
3/2
Pesquisa Operacional A
27
Método Simplex - Passo 3
Quadro II
Variáveis
na Solução
f1
x2
x1
Z
x1
0
0
1
0
Variáveis de Decisão
x2
f1
f2
0
1
1/3
1
0
1/2
0
0
-1/3
0
0
3/2
f3
-1/3
0
1/3
1
Valores da
Solução
2
6
2
36
Como todas as VARIÁVEIS NA ÚLTIMA LINHA tem COEFICIENTES
POSITIVOS foi encontrado a SOLUÇÃO ÓTIMA.
SOLUÇÃO
ÓTIMA
x1  2
x2  6
Pesquisa Operacional A
Z  36
28