Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 2
CAPÍTULO 16 – GRAVITAÇÂO
68. A órbita da Terra em torno do Sol é quase circular. As distâncias maior e menor são 1,47 × 108
km e 1,52 × 108 km, respectivamente. Determine as variações máximas (a) na energia potencial,
(b) na energia cinética, (c) na energia total, e (d) na velocidade orbital resultantes da variação na
distância Terra-Sol, no curso de um ano. (Sugestão: Aplique a conservação da energia e do
momento angular.)
(Pág. 56)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
rp
ra
rp
vp
ra
va
Sol
a
(a) Seja Up a energia potencial do sistema Terra-Sol no periélio (ponto de maior proximidade entre
Sol e Terra) e Ua a energia potencial no afélio (ponto de maior afastamento). A variação da energia
potencial entre o periélio e o afélio (∆U) vale:
∆U =U a − U p =−
GM T M S  GM T M S
−−

ra
rp




1 1
=
∆U GM T M S  − 
r r 
 p a
∆U
=
( 6, 67 ×10
−11
N.m 2 /kg 2 )( 5,98 ×1024 kg )(1,99 ×1030 kg ) ×


1
1
=
×
−
1, 776 × 1032 J
11
11
 (1, 47 ×10 m ) (1,52 ×10 m ) 
∆U ≈ 1, 78 ×1032 J
(b) Num sistema conservativo, como o sistema Terra-Sol, vale a seguinte relação:
∆K + ∆U =0
∆K = −∆U
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Cap. 16 – Gravitação
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∆K ≈ −1, 78 ×1032 J
(c) A energia mecânica do sistema Terra-Sol vale:
GM S M T
E= −
2a
Nesta expressão, a é o comprimento do semi-eixo maior da trajetória elíptica. Como o sistema
Terra-Sol é conservativo, não há variação em sua energia mecânica.
∆E =
0
(d) No periélio, a Terra apresenta sua maior velocidade orbital devido à proximidade máxima do
Sol. No afélio ocorre o inverso, com a Terra em sua menor velocidade orbital. A variação na
velocidade orbital entre o periélio e o afélio vale:
(1)
∆v = va − v p
Para determinar va e vp vamos utilizar a variação da energia cinética:
1
1
∆K = K a − K p =
M T va2 − M T v 2p
2
2
2∆K
va2 − v 2p =
MT
(2)
Agora vamos aplicar o princípio da conservação do momento angular:
La = L p
ra × p a =rp × p p
ra pa sen
π
= rp p p sen
2
ra M T va = rp M T v p
va =
π
2
rp v p
(3)
ra
Substituindo-se (3) em (2):
2
 rp v p 
2∆K
2

 − vp =
MT
 ra 
 rp2  2 2∆K
 2 − 1 v p =
MT
 ra

 r 2  2∆K
vp =  2 a 2 
r −r  M
 p a  T
vp
2

 2 ( −1, 776 ×1032 J )
1,52 ×1011 m )
(


=
30.299, 25 m/s
 (1, 47 ×1011 m )2 − (1,52 ×1011 m )2  ( 5,98 ×1024 kg )


Substituindo-se o valor de vp em (3):
1, 47 ×10 m ) ( 30.299, 25 m/s )
(=
(1,52 ×10 m )
11
va
11
29.302,571 m/s
Agora podemos resolver (1):
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∆v =( 29.302,571 m/s ) − ( 30.299, 25 m/s ) =−996, 6861 m/s
∆v ≈ −996 m/s
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