FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
81
O NÚMERO Φ *
Marcos Antônio da Câmara†
Melissa da Silva Rodrigues
Universidade Federal de Uberlândia
Av. João Naves de Ávila, 2121
Campus Santa Mônica
38408-100 – Uberlândia – MG
Faculdade de Matemática
VIII Curso de Especialização em Matemática
RESUMO
1+ 5
= 1,6180339887... , suas
2
propriedades e exemplos de onde podemos encontrá-lo. Conhecido como número de ouro,
teve a sua origem através da divisão de um segmento proposto por Euclides, o qual estaria
dividido na “razão extrema e média”. A divisão de um todo em partes desiguais de acordo
com a “razão extrema e média” parece produzir um equilíbrio na desigualdade,
proporcionando uma harmonia de forma geral. Esta era a opinião de Leonardo da Vinci e da
maior parte dos artistas e sábios do Renascimento. Os pitagóricos estudaram as relações entre
os segmentos de um pentagrama e descobriram que este número tem muita importância na sua
geometria. Em arquitetura é útil para entender a escala de medidas utilizadas em ergonomia
que foi idealizada pelo arquiteto Le Corbusier em seus projetos. Até mesmo na natureza
podemos encontrar esta harmonia, como na disposição das pétalas das rosas, no crescimento
das conchas do nautilus, nas obras de grandes pintores e até mesmo na música. Em termos
gerais, a Razão Áurea foi usada para que trouxesse a beleza visual ou auditiva.
Neste trabalho apresentaremos o número Φ , em que Φ =
Palavras Chave: Razão áurea, número phi, Fibonacci
* Monografia apresentada por Melissa da Silva Rodrigues à Faculdade de Matemática em 09 de Abril de 2008,
como requisito parcial para a obtenção do título de Especialista em Matemática.
† Professor orientador (Tutor do PETMAT): [email protected]
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FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
INTRODUÇÃO
Este trabalho tem o objetivo de mostrar que a matemática está presente em nosso meio
através de uma simples razão, e faremos isto por meio de um número conhecido como o
número de ouro, o número Φ (phi).
Este é muito querido pelos matemáticos, astrônomos, físicos, biólogos, artistas que há
anos o estudam, e ficam fascinados com cada descoberta, e a sua influência na arte, na
arquitetura, na música, na geometria, na natureza e outros.
Apresentaremos além do número de ouro, a seqüência de Fibonacci que interage
plenamente com o número Φ , e suas propriedades e aplicações.
Analisando a concha do náutilo (nautilus pompilius), por sinal de magnífica beleza, a
disposição das folhas nos ramos das plantas, ou seja, a filotaxia, o pentagrama que aparece na
maioria das flores e até mesmo em frutos como a maçã se cortada pela sua circunferência, os
quadros como “A Mona Lisa” e “Sacramento da Última Ceia”, a procriação dos coelhos, na
harmonia das notas musicais, e muitos outros, podemos observar que existe algo em comum,
‘A Razão Áurea’.
Grandes matemáticos como Euclides e Pitágoras, na Grécia Antiga, Leonardo de Pisa
também conhecido como Fibonacci, o astrônomo Johannes Kepler, dentre outros estudiosos,
até mesmo o físico Roger Penrose, trabalharam intensamente com esta simples razão e suas
propriedades.
De fato, a Razão Áurea tem fascinado os estudiosos em todas as disciplinas e suas
áreas, e tem mostrado que esta propriedade, a proporção, traz harmonia, atração visual e
auditiva, ou seja, mostra a busca constante pela proporção ‘perfeita’, dando uma qualidade
estética agradável às obras dos artistas, ao som dos acordes dos músicos e à beleza da
natureza.
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
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CAPÍTULO I
O NÚMERO DE OURO
A razão áurea, também conhecida como o número de ouro, teve a sua primeira
definição, por volta de 300 a.C., dada por Euclides de Alexandria. Euclides definiu uma
proporção derivada da divisão de um segmento no que ele chamou de “razão extrema e
média”. Assim definiu: “Diz-se que uma linha reta é cortada na razão extrema e média
quando, assim como a linha toda está para o maior segmento, o maior segmento está para o
menor”.
De acordo com a figura acima, o segmento AB é maior que o segmento AC e ao
mesmo tempo o segmento AC é maior que o segmento CB. Usando a definição de razão
extrema e média, teremos que a razão dos comprimentos de AB por AC é igual a razão dos
AB AC
comprimentos de AC por CB, ou seja,
=
.
AC CB
O símbolo usado a princípio para essa razão era a letra grega τ (tau) que significa “o
corte”, entretanto, no início do século XX o matemático Mark Barr deu à razão o nome de Fi
( Φ ), devido a ser a primeira letra grega do nome de Fídias, um escultor grego que viveu entre
490 e 430 a.C, que realizou o “Partenon de Atenas” e “Zeus”, no templo de Olímpia.
Para encontrarmos o valor para Φ , tomaremos o segmento AC = x e CB = 1. Desta
forma, usando a definição de razão extrema e média, teremos:
x +1 x
=
⇒ x 2 − x −1 = 0
x
1
AC
= x = Φ , a solução da equação quadrática acima nos dará o valor
Observando que
BC
1+ 5
= 1,6180339887... e
para Φ . As duas soluções para a equação são x' =
2
1− 5
x' ' =
= −0,6180339887... . A solução positiva desta equação é a Razão Áurea,
2
denominada por Φ e a solução negativa será denominada por ϕ .
Elevando Φ ao quadrado teremos Φ 2 = 2,6180339887... e o seu inverso
1
1
= Φ −1 = 0,6180339887... , isto é,
= −ϕ .
Φ
Φ
A Razão Áurea tem as propriedades únicas de produzir seu quadrado simplesmente
somando 1 e o seu recíproco subtraindo 1. Além disso, temos que Φ = 1 + Φ −1 e Φ −1 = Φ − 1 .
Usando as propriedades das raízes da equação quadrática teremos o produto e a soma
1+ 5 1− 5 1− 5 − 4
das raízes, então, x'. x' ' =
.
=
=
= −1 , ou seja, Φ . ϕ = −1 . Daí, temos que
2
2
4
4
1+ 5 1− 5 2
− ϕ é o inverso de Φ e também que x'+ x' ' =
+
= = 1 , ou seja, Φ + ϕ = 1 .
2
2
2
O número Φ possui outras propriedades interessantes:
84
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a) Somar duas potências inteiras consecutivas de Φ resulta na próxima potência de Φ .
Já sabemos que Φ 2 = 1+ Φ . Então, segue que:
Φ + Φ 2 = Φ .(1+ Φ ) = Φ . Φ 2 = Φ 3;
Φ 2 + Φ 3 = Φ 2.(1+ Φ ) = Φ 2. Φ 2 = Φ 4;
Φ 3 + Φ 4 = Φ 3.(1+ Φ ) = Φ 3. Φ 2 = Φ 5; ... ;
Φ n + Φ n+1 = Φ n.(1+ Φ ) = Φ n. Φ 2 = Φ n+2.
Logo, Φ n + Φ n+1 = Φ n+2.
b) O mesmo acontece com potências de expoente inteiro negativo.
Já vimos que Φ =1+ Φ -1
Φ -2 + Φ -1 = Φ -1.(1+ Φ -1) = Φ -1. Φ = Φ 0;
Φ -3 + Φ -2 = Φ -2.(1+ Φ -1) = Φ -2. Φ = Φ -1;
Φ -4 + Φ -3 = Φ -3.(1+ Φ -1) = Φ -3. Φ = Φ -2; ... ;
Φ n + Φ n+1 = Φ n.(1+ Φ ) = Φ n. Φ 2 = Φ n+2. com n < 0.
Logo, Φ n + Φ n+1 = Φ n+2, com n < 0
c) A soma de todas as potências com expoentes inteiros negativos e base igual a Φ produz o
próprio Φ .
( Φ -1 + Φ -2) + ( Φ -3 + Φ -4) + ( Φ -5 + Φ -6) + ... =
= Φ 0 + Φ -2 + Φ -4 + Φ -6 + ... + Φ -2n ..., =
= 1 + Φ -2( Φ 0 + Φ -2 + Φ -4 + ...). Onde n ∈ Ν .
Considerando Φ 0 + Φ -2 + Φ -4 + ... = x.
x
x
1
Daí, x = 1 + Φ − 2 .x ⇒ x − 1 = 2 x ⇒
= Φ2 = Φ +1 ⇒
−1 = Φ ⇒
Φ
x −1
x −1
x − x +1
1
1+ Φ Φ2
=Φ ⇒
=Φ⇒ x=
=
⇒ x=Φ.
x −1
x −1
Φ
Φ
Sendo Φ 0 + Φ -2 + Φ -4 + ... = x = Φ , teremos na expressão:
( Φ -1 + Φ -2) + ( Φ -3 + Φ -4) + ( Φ -5 + Φ -6) + ... =
= Φ 0 + Φ -2 + Φ -4 + Φ -6 + ... =
= 1 + Φ -2( Φ 0 + Φ -2 + Φ -4 + ...) =
= 1 + Φ -2 Φ =
= 1+ Φ -1 =
=Φ
Logo, Φ -1 + Φ -2 + Φ -3 + Φ -4 + Φ -5 + Φ -6 + ... = Φ
Além destas propriedades interessantes, podemos dividir um segmento na Secção
Áurea, utilizando régua e compasso, da seguinte maneira:
1º passo: Considere um segmento AB dado. Trace um segmento BD de modo que
BD seja a metade de AB .
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
85
2º passo: Trace o segmento AD . Com centro em D e raio de medida BD trace um
arco e marque o ponto de intersecção E com o segmento AD .
3º passo: Com centro em A e raio de medida AE, trace um arco cortando AB em C.
Desta maneira, o segmento AB está dividido na razão extrema e média, ou seja, na Razão
Áurea.
Podemos justificar esta construção supondo que AB mede uma unidade de
comprimento e, conseqüentemente, BD é a metade desta unidade.
Sabemos que AD é a hipotenusa deste triângulo retângulo ABD e usando o Teorema de
Pitágoras teremos a sua medida. Segue que AD 2 = AB 2 + BD 2 , ou seja,
1
5
AD 2 = 1 + ⇒ AD =
.
4
2
86
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
O ponto E na hipotenusa é marcado de forma que DE tenha o mesmo comprimento
1
5 1
5 −1
que o lado DB, isto é, DE = DB = , então, AE =
. Como AE = AC temos
− =
2
2 2
2
5 −1
5 −1 3 − 5
=
AC =
e, além disso, teremos que CB = 1 – AC, ou seja, CB = 1 −
.
2
2
2
AC
, teremos que
Substituindo os valores encontrados na razão
CB
5 −1
AC
5 −1 2 + 2 5 1 + 5
= 2 =
=
=
, que é exatamente o valor de Φ .
CB 3 − 5 3 − 5
4
2
2
Podemos encontrar a Razão Áurea de outras maneiras, por exemplo, ao determinar o
valor da expressão
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... . Para determinar o valor desta expressão
iremos considerar que o seu valor é igual a x.
Então, temos que x = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... , e elevando os dois termos desta
equação
ao
quadrado
1 + 1 + 1 + 1 + ...
encontramos
x 2 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... .
Substituindo
por x temos a equação x 2 = 1 + x ⇒ x 2 − x − 1 = 0 . Mas esta é
exatamente a equação que define a Razão Áurea, portanto, concluímos que como x > 1 , o
valor de x é igual a Φ .
Outra maneira de representar o número Φ , desta vez envolvendo fração, é através de
1
fração contínua. Considere a expressão 1 +
, e denotamos o seu valor por x.
1
1+
1
1+
1
1+
1
1+
1 + ...
1
Assim, x = 1 +
e podemos notar que o denominador da segunda
1
1+
1
1+
1
1+
1
1+
1 + ...
1
parcela é o próprio x, portanto, temos a equação x = 1 + . Multiplicando os dois lados por x
x
2
2
temos x = x + 1 ⇒ x − x − 1 = 0 . Novamente encontramos a equação que define a Razão
Áurea.
Logo, como a fração contínua é maior do que 1, ela é igual a Φ .
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CAPÍTULO II
A RAZÃO ÁUREA E FIBONACCI
Figura1: Fibonacci1
Leonardo de Pisa nasceu em Pisa na Toscânia por volta de 1170. Também era
conhecido por Leonardo Fibonacci (que significa filho de Bonaccio), e em alguns de seus
manuscritos ele também era chamado de Leonardo Bigollo (ou Leonardi Bigolli Pisani), em
que “Bigollo” significa ‘viajante’.
Pisa, no século XII, era um dos grandes centros comerciais italianos, tais como
Gênova e Veneza. Tinha vários entrepostos comerciais espalhados pelos portos do
Mediterrâneo, e por ali passavam mercadorias que vinham do interior e do ultramar, como as
especiarias do Extremo Oriente que circulavam a caminho da Europa Ocidental.
O pai de Leonardo ocupou o lugar de chefe de um desses entrepostos, no norte da
costa de África (Bugia, atualmente Bejaia na Argélia). Foi lá que Leonardo iniciou os seus
estudos de matemática com professores islâmicos. Mais tarde viajou pelo Mediterrâneo
(Egito, Síria, Grécia, Sicília, Provença), o que muito contribuiu para expandir seus
conhecimentos matemáticos, encontrando-se com estudiosos islâmicos em cada um dos locais
que visitava e adquirindo conhecimento matemático do mundo árabe, tendo a oportunidade de
estudar diferentes sistemas numéricos e métodos de operações aritméticas. E assim, dedicou
os seus estudos aos números indo-arábicos, que incluíam o princípio do valor de lugar, que
considerava um método superior a todos os outros. Isto depois de observar a grande
dificuldade de expressar e operar números em algarismos romanos ou através do ábaco.
A partir daí, publicou seu livro “Liber Abaci” escrito em 1202, que introduziria o uso
dos numerais indo-arábico, voltados para a vida comercial. Neste, Fibonacci explica a
tradução dos numerais romanos para o novo sistema, bem como suas operações aritméticas,
além de propor problemas comuns ao seu dia a dia. Também apresentou a sucessão de
números que dele herdou o nome seqüência de Fibonacci, na qual cada termo resulta da
adição dos dois termos que o antecedem originando assim os números 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13;
21; ..., os quais falaremos em seguida.
Após esta obra, Fibonacci ficou famoso e teve um grande reconhecimento até mesmo
do imperador romano Frederico II, conhecido como ‘Maravilha do Mundo’, por patrocinar a
matemática e a ciência, e foi convidado a comparecer diante do imperador em Pisa e
solucionar alguns problemas que até então eram considerados difíceis pelos matemáticos da
corte. Leonardo de Pisa resolveu todos os problemas propostos e mais tarde escolheu dois
destes problemas e descreveu-os em um livro chamado Flos.
1
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/fibonacc.htm
88
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Em um livro sobre a geometria, Practica Geometriae, Fibonacci apresenta cálculos
para a diagonal e a área de um pentágono, para os lados do decágono e outros que
indiretamente interagem com a Razão Áurea, apresentando domínio sobre a geometria
euclidiana e expandindo o uso das propriedades da Razão Áurea e de suas aplicações. Num
destes estudos propôs um problema bastante conhecido, a procriação de coelhos.
Problema: Suponha que um casal de coelhos recém-nascidos é colocado numa ilha, e
que eles não produzem descendentes até completarem dois meses de idade. Uma vez atingida
esta idade, cada casal de coelhos produz exatamente um outro casal de coelhos por mês. Qual
seria a população de coelhos na ilha após doze meses, supondo que nenhum dos coelhos tenha
morrido e não haja migração neste período?
Modelagem do Problema:
Indicando um casal de coelhos pelo símbolo ( ♂,♀ ) e a respectiva idade (0 = recémnascidos, 1 = um mês de idade, * = pelo menos dois meses) acima e à direita do símbolo e n o
número de meses transcorridos, podemos representar a evolução da população pela seguinte
tabela:
n População
1 (♂,♀)0
2 (♂,♀)1
3 (♂,♀)* (♂,♀)0
4 (♂,♀)*(♂,♀)1 (♂,♀)0
5 (♂,♀)* (♂,♀)* (♂,♀)1(♂,♀)0(♂,♀)0
6 (♂,♀)*(♂,♀)*(♂,♀)*(♂,♀)1(♂,♀)1(♂,♀)0(♂,♀)0(♂,♀)0
7 (♂,♀)*(♂,♀)*(♂,♀)*(♂,♀)*(♂,♀)*(♂,♀)1(♂,♀)1(♂,♀)1(♂,♀)0(♂,♀)0(♂,♀)0(♂,♀)0(♂,♀)0
Tabela 1: representação dos casais de coelhos por mês
Como calcular a população no início do 6º mês? Como não há mortes, podemos
inicialmente contar com a população do 5º mês, e o próximo passo seria somar com o número
de recém-nascidos. Este é exatamente o número de casais com pelo menos um mês no 5º mês,
que é a população total do 4º mês. Denotando por Fn a população no n − ésimo mês, o
argumento acima produz a equação F6 = F5 + F4 . Mas o raciocínio se aplica a qualquer mês,
ou seja, toda a discussão pode ser refeita substituindo-se 6º por n − ésimo , 5º por
(n − 1) − ésimo e 4º por (n − 2) − ésimo . Então podemos escrever a equação: Fn = Fn −1 + Fn − 2
para n ≥ 3 . Ao contarmos o número de casais, teremos que F1 = F2 = 1 .
Logo, temos uma equação de recorrência na sua forma completa: F1 = 1 , F2 = 1 ,
Fn = Fn −1 + Fn − 2 para n ≥ 3 .
Perceba que podemos definir F0 a partir de F2 = F1 + F0 e condições iniciais, obtendo
F0 = F2 − F1 = 1 − 1 = 0 . Deste modo, podemos redefinir a relação de recorrência do seguinte
modo: F0 = 0 , F1 = 1 , Fn = Fn −1 + Fn − 2 para n ≥ 2 .
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
89
Resolução por Modelos Especiais:
Veja que a seqüência de Fibonacci F1 , F2 , F3 , K é uma seqüência tal que
Fn = Fn −1 + Fn − 2 para n ∈ N e n ≥ 2 onde F0 = 0 e F1 = 1 . Seqüências deste tipo são
chamadas de recorrentes e a equação acima de equação de recorrência.
Temos que a fórmula geral da equação de recorrência de uma relação de recorrência
com coeficientes Ci constantes em uma variável é:
f n = C n −1 f n −1 + C n − 2 f n − 2 + L + C n − k f n − k + g (n ) .
Observe que a equação de recorrência Fn = Fn −1 + Fn − 2 possui g (n ) = 0 , então, esta
relação de recorrência é homogênea e para podermos solucioná-la deveremos fazer a seguinte
associação:
Fn = α n ⇒ α n = α n −1 + α n − 2 .
(
)
α n − α n−1 − α n−2 = 0 ⇒ α n−2 α 2 − α − 1 = 0 ⇒ α 2 − α − 1 = 0 (equação característica).
1
2
Resolvendo a equação característica α − α − 1 = 0 , obtemos α1 =
1+ 5
2
e
1− 5
e, conseqüentemente, α n1 = α1n−1 + α1n−2 e α n 2 = α 2 n−1 + α 2 n−2 .
2
Mas, por outro lado, se uma função Fn = h(n ) satisfaz uma determinada equação de
recorrência linear homogênea, então qualquer múltiplo desta função também satisfaz esta
equação. Para A e B constantes reais, teremos:
n −1
n−2
n −1
n−2
Aα n 1 = Aα 1 + Aα 1
e Bα n 2 = Bα 2 + Bα 2
α2 =
n −1
n −1
n−2
n−2
Somando as igualdades temos: Aα n 1 + Bα n 2 = Aα 1 + Bα 2 + Aα 1 + Bα 2 .
Observe que Aα n 1 + Bα n 2 é uma solução da equação de recorrência Fn = Fn −1 + Fn − 2 ,
mas não necessariamente solução de uma relação de recorrência cuja parte da equação é
Fn = Fn −1 + Fn − 2 , pois para cada conjunto de valores para as constantes A e B temos uma
seqüência diferente. Por outro lado, espera-se que apenas uma única seqüência seja solução da
relação de recorrência, daí entram em cena as condições iniciais F0 = 0 e F1 = 1 , e então:
Para n = 0 ⇒ F0 = 0 e Aα 01 + Bα 0 2 = 0
Para n = 1 ⇒ F1 = 1 e Aα 11 + Bα 1 2 = 1
A + B = 0

1− 5 
Logo   1 + 5 




A
B
+
  2 
 2  =1



 
1
1
Cuja solução é A =
e B=−
5
5
Obtemos então a fórmula para Fn = Aα1n + Bα 2n , ou seja,
n
n
1 1+ 5 
1 1− 5 

 −

 para n ≥ 0 .
Fn =
5  2 
5  2 
Resolução por Funções Geradoras.
90
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Consideremos novamente a seguinte relação de recorrência: Fn = Fn −1 + Fn − 2 para
n ∈ N e n ≥ 2 , em que F0 = 0 e F1 = 1
Multiplicando Fn = Fn −1 + Fn − 2 por x n chegamos a x n Fn = x n Fn −1 + x n Fn − 2 .
Fazendo o somatório a partir de n ≥ 2 , teremos
∞
∑F x
n=2
n
n
∞
∞
∞
= ∑ Fn −1 x + ∑ Fn − 2 x = x∑ Fn −1 x
n
n=2
n
n=2
n −1
+x
n=2
2
∞
∑F
n=2
n−2
x n−2 .
Fazendo u = n − 1 e v = n − 2 , temos
∞
∞
∞
n=2
u =1
v =0
∑ Fn x n = x∑ Fu x u + x 2 ∑ Fv x v .
Fazendo f ( x ) =
∞
∑ Fn x n , temos: f (x ) − F
0
n=0
− F1 x = x( f ( x ) − F0 ) + x 2 f ( x ) .
Substituindo F0 = 0 e F1 = 1 , vem:
f ( x ) − 0 − 1x = x( f ( x ) − 0) + x 2 f ( x )
⇒ f ( x) − x = xf ( x) + x 2 f ( x)
⇒ (1 − x − x 2 ) f ( x ) = x
x
⇒ f (x ) =
(1 − x − x 2 )
1± 5
. Logo,
−2
1− 5
 1+ 5

= −
+ x  ⋅ 
+ x  =
 2
  2

Achando as raízes da equação − x 2 − x + 1 = 0 temos que x =
(
)
 −1+ 5  

 − 1 − 5  
  ⋅  x − 
 
− x 2 + x − 1 = −  x − 
2
2

 

 







x
x
1 +
=
= 1 −

− 1 + 5  1 + 5 





2
2 

2
1 −
 −1+ 5

2
x 1 −
 − 1 − 5
x
A
=
2
 1+ 5
1− x − x
1 −

2

 1− 5 
 1+ 5 
A1 −
x  + B1 −
x 
2
2


=
= 
 1 + 5  1 − 5 
1 −
x 1 −
x 

2
2



 1− 5
1+ 5 
−
A
B  x + ( A + B )
−

2
2


⇒
=
 1 + 5  1 − 5 
1 −
x 1 −
x 

2
2



Logo, f (x ) =

x 

+
  1 + 5  1 − 5 
x  = 1 −
x 1 −
x  .
2
2
 


B
 1− 5 
1 −
x 

2


(
) (
=
)
 −1 + 5
1+ 5
A−
B =1


2
2
A + B = 0 ⇒ B = −A

(I )
( II )
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De (I ), temos que
(− 1 + 5 ) A + (1 + 5 ) A ⇒ 2
2
2
De (II ), temos que B = −
Assim, f ( x ) =
1
5
2
A =1⇒ A =
1
5
1
5
1
5  1+ 5 
1 −
x 

2


n
−
1
1
5  1− 5 
1 −
x 

2


1 ∞ 1+ 5 
1 ∞ 1− 5 
∑ Fn x = ∑  2 x  − ∑  2 x 
5 n=0
5 n =0 
n=0


∞
91
e, consequentemente,
n
n
n
n
1 1+ 5 
1 1− 5 

 −

 , para n ≥ 0 .
⇒ Fn =


5 2 
5  2 
Esta expressão acima, é a fórmula redescoberta por Binet nos meados do século XIX,
já conhecida primeiramente no século XVIII, por Leonard Euler e Abraham de Moivre. Esta
permite encontrar o valor para qualquer número na seqüência de Fibonacci.
Voltando ao problema dos coelhos, observe a figura 2:
Figura 2: Distribuição dos casais de coelhos2
O número de casais de coelhos com o passar dos meses segue uma seqüência que é
exatamente a de Fibonacci, assim, o número de pares total de coelhos é a soma desses
números da seqüência até o mês desejado, conforme a figura 2.
A seqüência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ..., na qual cada termo (a
partir do terceiro) é igual à soma dos dois termos anteriores, foi chamada de Seqüência de
Fibonacci no século XIX pelo matemático francês Edouard Lucas.
Mas, esta seqüência não está limitada somente a este problema dos coelhos. Ela será
encontrada em diversos fenômenos, como na óptica dos raios de luz ou índice de refração de
luz (figura 3), a árvore genealógica de um zangão (figura 4), dentre outros.
2
Fonte: disponível em http://www.forumpcs.com.br/coluna.php?b=199020
92
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Figura 3: Refração da luz3
Figura 4: Árvore genealógica de um zangão4
Mas, o que mais chama a atenção é a relação da Seqüência de Fibonacci e a Razão
Áurea. À medida que aumentamos os números da seqüência de Fibonacci, a razão entre um
número e o seu antecessor, varia em torno da Razão Áurea, cada vez mais aproximando do
seu valor. Seja n a posição do número na seqüência, Fn o número de Fibonacci e Fn+1 o seu
F
sucessor, então a razão n+1 se aproxima de Φ quando n aumenta. Esta propriedade foi
Fn
descoberta por Johannes Kepler em 1611.
Observe o gráfico (figura 5):
Figura 5: Convergência da razão entre os termos sucessivos de Fibonacci5
As razões vão se aproximando de um valor particular, quando n tende a infinito, e o
seu limite é exatamente Φ , o número de ouro.
Para melhor entendermos esta propriedade, considere a fração contínua
1
1+
, mostrada anteriormente, cujo valor é igual a Φ .
1
1+
1
1+
1
1+
1
1+
1 + ...
3
Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 119.
4
Fonte: HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985, página 156.
Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib1.htm
5
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
93
Nesta expressão, poderíamos calcular o valor de Φ por uma série de aproximações
1 2
1
3
sucessivas, da seguinte maneira: 1 = 1,00000 , 1 + = = 2,00000 , 1 +
= = 1,50000 ,
1 1
1+1 2
1
5
13
1
8
1
1+
= = 1,66666 , 1 +
= = 1,60000 , 1 +
= = 1,62500 ,
1
1
1
3
8
5
1+
1+
1+
1
1
1+1
1+
1+
1
1+1
1+
1+1
1
34
21
1
=
= 1,61904 . E, assim por
1+
=
= 1,61538 , 1 +
1
1
21
13
1+
1+
1
1
1+
1+
1
1
1+
1+
1
1
1+
1+
1
1+1
1+
1+1
diante, cada vez mais se aproximando de Φ .
Estas aproximações sucessivas que encontramos para a Razão Áurea são exatamente
iguais às razões entre os números da seqüência de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,
1 2 3 5 8 13 21
610 987
89, 144, 233, ...,ou seja, 1, , , , , , , , ...,
= 1,618033, ... , e à medida que
,
1 1 2 3 5 8 13
377 610
avançamos para os termos maiores da seqüência, a razão tende para o valor de Φ .
94
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
CAPÍTULO III
O TRIÂNGULO ÁUREO, O PENTÁGONO E O PENTAGRAMA
Considere o pentágono regular abaixo, e a partir de um de seus vértices trace duas
diagonais de modo que se obtenha um triângulo em que a base deste seja um dos lados do
pentágono.
Figura 6: Triangulo áureo6
De acordo com a figura 6, temos três triângulos isósceles, ABC, ACD e ADE. Além
disso, os triângulos ABC e ADE são congruentes.
A soma dos ângulos internos de um polígono é dada por S = (n – 2)180°, em que n é o
número de lados do polígono. Usando isto, teremos que a soma dos ângulos internos de um
pentágono é igual a 540°, e por ser um pentágono regular todos os seus ângulos internos são
iguais, logo cada um será igual a 108°. Além disso, m( ADˆ E ) = m( EAˆ D) = 36° ,
m( ACˆ B) = m(CAˆ B) = 36° , m(CAˆ D) = 36° e m( ACˆ D) = m( ADˆ C ) = 72° , observe a figura 7.
Figura 7: Pentágono7
6
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
95
Traçando a bissetriz do ângulo D, teremos um triângulo como mostra a figura 8.
Figura 8: Traçando a bissetriz do ângulo D8
Seja F o ponto de intersecção dessa bissetriz com o lado AC do triângulo. Assim, DF é
o segmento de divide o ângulo D ao meio, de modo que m(CDˆ F ) = 36° ,
m(CFˆ D) = m( DCˆ F ) = 72° . Logo, o triângulo CDF é um triângulo isósceles e também é
semelhante ao triângulo DAC (figura 8).
Figura 9: Triângulos semelhantes 9
Usando as relações entre triângulos semelhantes quanto aos seus lados homólogos de
z y
acordo com os dados fornecidos na figura abaixo, temos que: = . Mas, podemos observar
y x
que sendo z = y + x a medida do segmento AC, y a medida do segmento AF e x a medida do
7
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
9
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
8
96
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
AC AF
, e desta forma dizemos que F divide o
=
AF FC
segmento AC na extrema e média razão, ou seja, a Razão Áurea. Por isto, chamamos este
triângulo de Triângulo Áureo.
segmento FC, teremos a seguinte razão:
Figura 10: Triângulos semelhantes10
Foi dito que o Triângulo Áureo tem ligação com o pentágono porque Euclides,
trezentos anos antes de Cristo, propunha em seus Elementos, II Livro, Teorema 11,
justamente o caminho inverso que dizia: construir um pentágono regular a partir de um
triângulo isósceles usando a razão áurea para determinar os lados do triângulo. Ou seja,
Euclides sabia, e tomava como fato natural, que os lados de um triângulo isósceles em que os
ângulos iguais medem o dobro do terceiro estão na razão Áurea.
Euclides propôs a construção do pentágono regular a partir do Triângulo Áureo. O
primeiro passo é construir uma circunferência que passe pelos três vértices do triângulo (e o
centro da circunferência fica no ponto de encontro das mediatrizes do triângulo), observe a
figura 11.
Figura 11: Construindo a circunferência11
10
11
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
97
Agora, tracemos não somente a bissetriz do ângulo esquerdo da base como também a
do direito. E vamos prolongá-las até que encontrem a circunferência. Com isto,
determinaremos mais dois pontos sobre esta circunferência que, somados aos três
correspondentes aos vértices de nosso triângulo, nos dá os cinco pontos exibidos na figura 12.
O arco AC é congruente ao arco AD, pois m( ADˆ C ) = m( ACˆ D) e também são o dobro
do arco CD, pois a m( ADˆ C ) = m( ACˆ D) = 2m(CAˆ D ) .
Figura 12: Construindo os vértices pentágono12
Podemos constatar que estes pontos dividem a circunferência em cinco arcos iguais,
pois a bissetriz de qualquer ângulo inscrito em uma circunferência divide o arco oposto pela
metade. Portanto, estes pontos são os vértices do pentágono, observe a figura 13.
Figura 13: Construindo o pentágono13
Na figura acima encontramos dois pentágonos regulares (um no centro da figura, outro
obtido unindo-se os vértices situados sobre a circunferência), diversos triângulos Áureos, um
12
13
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
98
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
vasto conjunto de segmentos que mantêm a proporção áurea e, o pentagrama, a estrela de
cinco pontas formada ao traçar as diagonais do pentágono.
Figura 14: Pentagrama14
O pentagrama é um dos símbolos mais antigos cultivados pela humanidade, muito
usada pelos pitagóricos para se identificar em suas seitas que muitas vezes eram secretas. Para
eles tinha o significado de “boa saúde” e também considerado como símbolo na astrologia,
misticismo e outras culturas, possuindo diversos significados.
Explorando o pentagrama, temos que EB = AD = x, x =y + z, y = z + w, de acordo
x y z
com a figura 15. Através da semelhança de triângulos, teremos = = .
y z w
Figura 15: Semelhança dos triângulos no pentagrama15
x y
= e, se provarmos que esta razão é a razão áurea, teremos
y z
então um triângulo áureo e, por conseqüência, o pentagrama também estará na mesma razão.
x
Seja t = , com x = z + y.
y
1
z+ y z
y
= +1 = +1 = +1.
Temos que t =
y
y
x
t
Na figura 15, temos
14
15
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
99
1
Resulta que: t = + 1 , ou seja, t 2 − t − 1 = 0 portanto:
t
1+ 5
t=
= 1,68... = Φ .
2
Logo, a razão t é chamada de razão áurea, assim o segmento AD está dividido em
média e extrema razão.
Assim, para y = 1, temos que x = Φ . Na figura 16 teremos que, DC = 1 e AD = Φ .
Φ
1
Φ
1
Deste modo, podemos obter sen 18° = 2 =
e sen 54° = 2 = , que serão usados
Φ 2Φ
1
2
adiante.
Figura 16: Pentágono e suas medidas 16
Quanto ao pentágono (cinza) no interior da figura 15, procedemos da mesma maneira
que no pentágono ABCDE (vermelho), e dentro dele há outro pentagrama e assim
sucessivamente.
Observe a figura abaixo.
Figura 17: Pentagramas17
16
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
100
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Traçando as diagonais do pentágono regular formado no centro do pentagrama, o
resultado é um novo pentagrama, mostrado em vermelho. Depois, desenhemos no triângulo
superior do pentagrama maior as bissetrizes de seus ângulos da base, as linhas verdes e
amarelas da figura 17. Em cada ponto de encontro da bissetriz com o lado externo,
desenhamos uma linha paralela ao lado do pentágono e assim sucessivamente traçam-se novas
bissetrizes, infinitamente.
Começando no pentagrama interno, vamos unir os pontos de cruzamento das
bissetrizes com as extremidades das paralelas ao lado do pentágono, as linhas mostradas na
cor rosa. Repetindo o procedimento ao longo de todo o pentagrama, linha por linha, nas
demais “pontas” da “estrela”, teremos um resultado que será parecido com a figura seguinte,
também conhecida por “Estrela Pitagórica”.
Figura 18: Interação entre pentagramas18
No pentagrama encontramos outros pentagramas, triângulos e pentágonos. O número
de cada um desses elementos que pode ser encontrado no interior de um pentagrama tende
para o infinito. Além disso, cada segmento de reta da figura 18 mantém uma relação Áurea
com algum outro segmento da mesma figura.
Segundo a B. Piropo, colunista do Fórum PCs, o pentagrama sob a forma de símbolo
místico vem sendo cultivado pela humanidade há séculos, e considerando que Euclides
atribuía um valor divino à razão Áurea, é fato que por conseqüência ele tenha sido adotado
como símbolo da comunidade pitagórica.
17
18
Fonte: Coluna do B.Piropo do Fórum PCs
Fonte: Coluna do B.Piropo do Fórum PCs
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
101
CAPÍTULO IV
PROPRIEDADES NO PENTÁGONO ÁUREO
O pentágono por ser farto em relação Áurea, possui diversas propriedades.
Para mostrar estas propriedades vamos observar o pentagrama seguinte, considerando
R e r como os raios das circunferências circunscritas aos pentágonos A’B’C’D’E’ e PQRST,
respectivamente, e PT com o comprimento igual a uma unidade.
Figura 19: Pentagrama ou triangulo triplo19
As propriedades são:
I) A' P = Φ
Já sabemos que cada ângulo interno do pentágono é igual a 108°.
Na figura 20, o triângulo A’AP é retângulo em A, A' Pˆ A = 72° e PAˆ ' A = 18° .
19
Fonte: HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985, página 39
102
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Φ
Φ
Figura 20: Propriedade I 20
Usando
a relação trigonométrica no triângulo retângulo temos que
1
.
sen18° =
=
A' P 2 A' P
1
, ver página 23, e substituindo na expressão acima, teremos
Dado que sen18° =
2Φ
1
1
=
⇒ A' P = Φ .
2 A' P 2Φ
Portanto, podemos afirmar que A' P = Φ .
1
2
II)
OA Φ
=
r
2
De acordo com a figura 21, temos que r = OP. Usaremos o triângulo POA para
relacionar OA e OP.
20
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Φ
103
Φ
Figura 21: Propriedade II 21
Φ
OA
, como sen54° = , ver página 23, e substituindo
OP
2
Φ OA
=
.
este resultado e também OP na igualdade acima, teremos
2
r
Portanto, a propriedade é válida.
Assim, teremos que sen54° =
III)
OA'
= Φ2
r
Observe que OA’ = R e Φ 2 = 2,6180339887 = Φ + 1 .
Considerando os triângulos A’OT e A’TS notamos que eles são semelhantes.
21
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
104
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Φ
Φ
Figura 22: Propriedade III 22
Daí, concluímos que
r
R
.
=
1 Φ +1
Substituindo nesta pelos dados acima teremos:
r OA'
OA'
= 2 ⇒ OA' = rΦ 2 ⇒
= Φ2 .
r
1 Φ
IV) Uma diagonal tal como QS tem comprimento igual a Φ .
As diagonais QS, SP, PR, RT e TQ são congruentes.
22
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Φ
105
Φ
Figura 23: Propriedade IV 23
Considere os triângulos PRT e RQZ do pentágono PQRST. Estes são semelhantes e por
isto, podemos afirmar que QRˆ Z = RZˆQ = 72° . Portanto, QR, PT e ST são congruentes, pois
são os lados do pentágono e pelo triângulo isósceles TSZ temos que ST é congruente a ZT.
RT ZT
Logo,
e isto mostra que Z corta o segmento RT na extrema e média razão.
=
ZT RZ
Iremos mostrar agora que RT é um segmento áureo.
Seja d a medida da diagonal RT e sabemos que ZT = 1.
1
RT ZT
d
Daí,
=
⇒
=
⇔ d 2 − d − 1 = 0 . Esta equação nos dá o valor de Φ .
ZT RZ
1 d −1
1+ 5
= Φ . Está provado que a diagonal RT tem o comprimento igual
Resultado, d =
2
a Φ . Logo, QS também tem o comprimento igual a Φ .
V)
OA'
= 2Φ
OA
Os triângulos AQS e AOB’ são semelhantes.
23
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
106
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Φ
Φ
Figura 24: Propriedade V 24
OB' OA
=
, e sabemos que OA’ = OB’ = R, QS = Φ (pela
QS QA
propriedade anterior) e QA é a metade de PQ.
OB' OA
, teremos que
Usando os dados fornecidos na relação
=
QS QA
OB' OA
OB'
OA'
=
⇔
= 2Φ , mas como OB’ = OA’, segue que
= 2Φ .
1
Φ
OA
OA
2
Daí, podemos afirmar que
VI) Se X é o ponto médio de intersecção de duas diagonais PR e QS, então:
SX
PX
B' X
= Φ,
=Φ e
=Φ.
XQ
XR
XT
Teremos que provar a veracidade das três razões.
Primeira razão:
SX
=Φ
XQ
É fato que SR = SX = 1, pois o triângulo SRX é isósceles.
24
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Φ
107
Φ
Figura 25: Propriedade VI (a) 25
Observe na figura 25 e note que os triângulos PRQ e QSR, e também PXQ e SXR são
congruentes, daí, PR = QS e PX = SX.
Φ
Φ
Figura 26: Propriedade VI (b) 26
25
26
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
108
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Além disso, na figura 26, os triângulos PSQ e XPQ são semelhantes, então:
QS PQ
Φ
1
PX
=
⇒
=
⇔
=Φ.
PX XQ
PX XQ
XQ
Como PX = XS, temos que
Φ
SX
=Φ.
XQ
Φ
Figura 27: Propriedade VI (c) 27
Segunda razão:
PX
=Φ
XR
Agora, considerando os triângulos PRQ e QRX da figura 27, vemos que eles são
semelhantes.
Portanto,
PQ PR
=
.
XR QR
Mas, PX = PQ.
Daí,
27
PX Φ
= =Φ.
XR 1
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Terceira razão:
109
B' X
=Φ
XT
Observe que os triângulos PTB’ e QXB’, na figura 28, são semelhantes.
Φ
Φ
Figura 28: Propriedade VI (d) 28
Então,
B' X XT
B' X B' Q
=
⇒
=
.
B' Q QP
XT
QP
Dado que B' Q = Φ e PQ = 1, teremos que:
B' X B' Q Φ
=
= =Φ
XT
QP 1
Portanto,
B' X
=Φ
XT
VII) Se SQ prolongado encontra A’B’ em V, então, uma vez que VS é paralelo a A’D’,
B'V B' Q B' X B' S
=
=
=
=Φ.
VA' QP
XT
SD'
28
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
110
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Os triângulos A’B’P e VB’Q, na figura 29, são isósceles. Portanto, A' B' = PB' = Φ + 1 e
VB' = QB' = Φ .
A' B' PB' A' P
=
=
.
Estes são triângulos áureos, daí,
VB' QB' VQ
Φ
Φ
Figura 29: Propriedade VII (a) 29
A' B' Φ + 1 Φ 2
PB' A' P
=
=
= Φ e implica que
=
=Φ
QB' VQ
VB'
Φ
Φ
Sendo A' B ' = A'V + VB ' = Φ + 1 e VB ' = Φ , temos que A'V = 1 .
B'V Φ
Podemos concluir que
= =Φ.
VA' 1
Segue que
Sabemos que B' Q = Φ e QP = 1.
B' Q Φ
Logo,
= =Φ.
QP 1
Os triângulos B’VQ e XPT, na figura 30, são triângulos semelhantes.
29
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
111
Φ
Φ
Figura 30: Propriedade VII (b) 30
Usando a relação de semelhança
B' X VX
=
e os dados PT = 1 e VX = Φ ,
XT
PT
concluímos que:
B' X Φ
= =Φ.
XT
1
Os triângulos TSD’ e VB’S, da figura 31, são semelhantes.
Portanto,
30
B' S B'V
B' S Φ
=
e como B'V = Φ e ST = 1, temos que
= =Φ.
SD' ST
SD' 1
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
112
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Φ
Φ
Figura 31: Propriedade VII (c) 31
Portanto, provamos que
B'V B' Q B' X B' S
=
=
=
=Φ.
VA' QP
XT
SD'
VIII) Os comprimentos dos seis segmentos, B’D’, B’S, B’R, RS, RX e XZ, estão em
progressão geométrica.
B' D' = Φ 3
B' R = Φ
RX = Φ −1
B' S = Φ 2
RS = 1
XZ = Φ −2
Observe na figura 32 que B' D' = B' R + RS + SD' .
31
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
113
Φ
Φ
Figura 32: Propriedade VIII (a) 32
Substituindo os valores que temos para B’R, RS e SD’, encontraremos o valor para
B’D’, então:
B ' D' = B' R + RS + SD'
B' D' = Φ + 1 + Φ
B ' D' = Φ 2 + Φ = Φ (Φ + 1)
B ' D' = Φ.Φ 2
B' D' = Φ 3
Para B’S temos que B ' S = BR + RS , então:
B ' S = B ' R + RS
B ' S = Φ +1
B' S = Φ 2
Para B’R temos que B' R = Φ , pois B’R é congruente a A’P e no pentagrama foi dado
que A' P = Φ .
Sabemos que PT = 1 (dado no pentagrama) e que RS é congruente a PT.
Portanto, RS = 1.
32
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
114
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Φ
Φ
Figura 33: Propriedade VIII (b) 33
Temos que os triângulos QRX e A’RP, na figura 33, são semelhantes. Daí, podemos
QR RX
=
. Note que A’RP é um triângulo isósceles, então A' P = RP = Φ ,
afirmar que
A' R RP
QR = 1, A' R = Φ + 1 = Φ 2 .
Substituindo estes dados na razão de semelhança temos:
QR RX
1
Φ
1
RX
=
⇒ 2 =
⇒ RX = 2 = = Φ −1
A' R RP
Φ
Φ
Φ
Φ
Portanto, RX = Φ −1
33
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Φ
115
Φ
Figura 34: Propriedade VIII (c) 34
RX XZ
=
. São dados
RP PT
RX XZ
Φ −1 XZ
Φ −1
os valores para RX, PT e RP, assim,
=
⇒
=
⇒ XZ =
= Φ −2 .
1
RP PT
Φ
Φ
−2
Portanto, XZ = Φ
B' D' = Φ 3
B' R = Φ
RX = Φ −1
Concluímos que:
.
B' S = Φ 2
RS = 1
XZ = Φ −2
De acordo com o que mostramos, a seqüência formada pelas medidas dos segmentos
B’D’, B’S, B’R, RS, RX e XZ, (Φ 3 , Φ 2 , Φ, 1, Φ −1 , Φ −2 ) , está em progressão geométrica de
razão q = Φ −1 .
IX) O comprimento de um lado do pentágono A’B’C’D’E’ é Φ 2
Os triângulos RXZ e RPT, na figura 34, são semelhantes, logo
De fato, temos que no triângulo A’B’P, A’B’ é o lado de pentágono A’B’C’D’E’, e
A' B' A' P
=
.
mais, sabemos que A’B’P é semelhante ao triângulo PA’Q, daí,
PA' PQ
34
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
116
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Φ
Φ
Figura 35: Propriedade IX 35
As medidas dadas são A' P = Φ e PQ = 1.
A' B' A' P
A' B' Φ
Daí,
=
⇒
=
⇒ A' B ' = Φ 2
PA' PQ
Φ
1
Como A' B ' = Φ 2 e A’B’ é um dos lados do pentágono, podemos afirmar que o
comprimento do lado do pentágono A’B’C’D’E’ é igual a Φ 2 .
X)
R
= Φ2 .
r
No pentagrama abaixo, os triângulos A’SD’ e E’TO são semelhantes.
35
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Φ
117
Φ
Figura 36: Propriedade X 36
Daí,
A' D' SD'
=
. Já sabemos que A' D' = 2Φ + 1 = Φ 3 , SD' = Φ , E’O = R e TO = r.
E ' O TO
Portanto,
A' D' SD'
Φ3 Φ
R Φ3
=
⇒
=
⇒ =
= Φ2 .
E ' O TO
R
r
r
Φ
OH
=2
OA
Dobrando-se o triângulo A’PQ na linha PQ e dando-se tratamento similar aos outros
triângulos correspondentes de modo que A’,B’,C’,D’ e E’ encontrem-se em H, obtém-se uma
pirâmide de altura OH (figura 37).
XI)
Figura 37: Pentagrama dobrado 37
36
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
118
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Planificando a pirâmide teremos o pentagrama, figura 38.
Figura 38: Propriedade XI 38
Usaremos as seguintes propriedades que foram mostradas anteriormente.
OA Φ
=
r
2
OA'
= Φ2
r
OA'
= 2Φ
OA
Observe que a medida AH da pirâmide é igual a AA’ no pentagrama, e que OA’ = R.
Considerando as propriedades anteriores e o pentagrama na figura 38, temos que:
OA + AA' = OA' ⇒ OA + AA' = R ⇒ AA' = R − OA .
Dividindo a equação por OA e fazendo as substituições necessárias temos que:
AA' R OA
AA' R
AA'
=
−
⇒
=
−1 ⇒
= 2Φ − 1 .
OA OA OA
OA OA
OA
Na pirâmide (figura 37) temos o triângulo retângulo AHO. Aplicando o Teorema de
Pitágoras, segue que AH 2 = OH 2 + OA2 . Dividindo a equação por OA2 teremos:
2
2
AH 2 OH 2 OA2
AH 2 OH 2
OH 2 AH 2
 OH   AH 
=
+
⇒
=
+
1
⇒
=
−1 ⇒ 
 =
 −1.
2
2
2
2
2
2
2
OA
OA
OA
OA
OA
OA
OA
 OA   OA 
A razão
37
38
OH
AH
é o que procuramos e
foi calculado acima, daí:
OA
OA
Fonte: HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985, página 40.
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
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2
2
2
119
2
 OH   AH 
 OH 
 OH 
2
2

 =
 −1 ⇒ 
 = (2Φ − 1) − 1 ⇒ 
 = 4Φ − 4Φ + 1 − 1 ⇒
 OA   OA 
 OA 
 OA 
2
2
2
 OH 
 OH 
 OH 
2

 = 4Φ − 4Φ ⇒ 
 = 4(Φ + 1) − 4Φ ⇒ 
 = 4Φ + 4 − 4Φ ⇒
 OA 
 OA 
 OA 
2
OH
 OH 
= 2.

 =4 ⇒
OA
 OA 
Portanto,
XII –
OH
= 2.
OA
OH
=Φ
r
OH
= 2 , teremos que OH = 2. OA.
OA
OA Φ
=
Pela 2ª propriedade, vimos que
r
2
rΦ
.
Daí, temos que 2OA = rΦ ⇒ OA =
2
Substituindo AO na expressão OH = 2 OA, teremos:
Considerando que
OH = 2
rΦ
OH
⇒ OH = rΦ ⇒
=Φ.
r
2
Desta maneira provamos que
OH
= Φ.
r
120
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
CAPÍTULO V
RETÂNGULO ÁUREO OU RETÂNGULO DE OURO
Chama-se retângulo áureo qualquer retângulo com a seguinte propriedade: “Se de um
retângulo ABCD, suprimirmos um quadrado, como ABEF, o retângulo restante, CDEF, será
semelhante ao retângulo original.”
Considere um retângulo áureo ABCD, de lado AB = a e AD = a + b
Retirando o quadrado ABEF, como mostra a figura, teremos um outro retângulo
EFCD.
a
b
a
Figura 39: Retângulo Áureo 39
O retângulo que sobra, EFCD, é semelhante ao retângulo ABCD. Então, vale a
AD EF
proporção:
. Substituindo os valores de AB e AD, ED e EF, teremos:
=
AB ED
AD EF
a+b a
=
⇒
= . Daí, a 2 = ab + b 2 ⇒ a 2 − ab − b 2 = 0 .
AB ED
a
b
a + b a bΦ
= =
=Φ.
A solução desta equação em a é exatamente o número bΦ . Daí,
a
b
b
Isto significa que o retângulo de lados a + b e a é áureo, e o retângulo de lados a e b também
é um retângulo áureo.
Evidentemente o mesmo raciocínio se aplica para mostrar que também são áureos os
retângulos de lados b e a – b, a – b e 2b – a, etc., como mostra na figura 40, a seguir.
a
a
b
2b – a
a–b
Figura 40: Retângulo Áureo 40
39
40
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
121
Em outras palavras, dados os números positivos a e b, satisfazendo a relação
a+b a
= , formaremos a seqüência a + b, a, b, a2, a3, ..., sendo a 2 = a − b e
a
b
a3 = b − a2 = 2b − a , em geral an = an – 2 – an – 1.
Trata da seqüência a + b, a, b, a – b, 2b – a, 2a – 3b, 5b – 3a, 5a – 8b, 13b – 8a,....
Pois bem, o raciocínio anterior estabelece que quaisquer dois elementos consecutivos
desta seqüência, são os lados de um retângulo áureo.
Portanto, o processo anterior de retirar quadrados de retângulos áureos conduz a uma
seqüência infinita de retângulos áureos, com dimensões cada vez menores.
a
a
2
Figura 41: Construção do Retângulo Áureo 41
Constrói-se primeiramente AE = AB= a e em E trace EF perpendicular a AD. Marque
o ponto G, ponto médio do segmento AE e traçe o arco FD onde D está na reta AE e E é
interno ao segmento AD. Como FG é a hipotenusa do triangulo EFG temos que
a
FG = a +  
2
2
2
2
⇒ FG 2 =
Daí, AD = AG + GD =
5a 2
a 5
⇒ FG =
.
4
2
a a 5 a(1 + 5 )
+
=
= aΦ .
2
2
2
AD aΦ
=
= Φ , logo, o retângulo é áureo.
AB
a
Uma maneira mais simplificada de se construir o retângulo áureo a partir de um
quadrado, é dada pela construção abaixo:
Consideraremos inicialmente um quadrado ABCD. Marque os pontos médios E e F
dos lados AB e CD, respectivamente, e uma estes pontos. Trace a diagonal FB do retângulo
EBDF
Prolongando o lado CD e utilizando um compasso, trace um arco de raio FB e centro
em F. Chame de G o ponto de encontro do arco com o segmento prolongado.
Complete o retângulo BDGH e una ao quadrado ABCD gerando o retângulo AHGC.
Este é um retângulo áureo.
Portanto,
41
Figura feita pela autora no Gabri – Géomètre II
122
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Figura 42: Construção do retângulo áureo 42
Veja que se o lado AB = 1, teremros que FD =
1
e pelo teorema do Pitágoras temos
2
2
5
1
que FB =   + 12 ⇒ FB =
.
2
2
2
Como FB = FG, então FG =
5
.
2
Assim, o lado CG = CF + FG, ou seja, CG =
Logo,
1
5 1+ 5
+
=
=Φ.
2 2
2
CG 1Φ
=
= Φ , o que mostra que o retângulo é áureo.
AC
1
Podemos encontrar o retângulo com aproximações áureas em diversos lugares como o
Paternon construído na Acrópole de Atenas como um templo sagrado para o culto de Atenas
Paternos. Suas dimensões ajustam-se perfeitamente a um Retângulo Áureo, a altura da
fachada, do alto de seu tímpano até a parte inferior do pedestal embaixo das colunas, também
se divide numa Razão Áurea com a parte de cima das colunas (figura 43).
Figura 43: Partenon 43
42
http://www.matematicahoje.com.br/telas/mat_hoje/livro/oitava.asp?aux=B
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
123
Muitos artistas que viveram depois de Fídias usaram a proporção Áurea em seus
trabalhos. Da Vinci chamava esta de Divina Proporção e pressupõe que ele a usou em muitos
de seus trabalhos. No quadro Mona Lisa, por exemplo, acredita-se que há a proporção áurea
em várias situações.
Se construirmos um retângulo em torno de seu rosto, veremos que este se aproxima de
um retângulo Áureo. Podemos também subdividir este retângulo usando a linha dos olhos
para traçar uma reta horizontal e teremos novamente a proporção (figura 44).
Figura 44: Mona Lisa 44
Há a possibilidade do retângulo de ouro aparecer envolvendo a cabeça e parte do colo,
e do colo com parte do rosto, veja a figura 45.
Figura 45: Mona Lisa 45
43
Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070101.htm
Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070226.htm
45
Fonte: Cena do filme Donald no país da Matemática
44
124
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CAPÍTULO VI
ESPIRAL LOGARÍTMICA
A espiral logarítmica e a Razão Áurea caminham de mãos dadas.
Para obter a espiral a partir de triângulo áureo, usaremos um triângulo isósceles ABC
o
com ângulos da base de 72 e ângulo do ápice de 36° que é conhecido como triangulo áureo, o
que já foi demonstrado anteriormente no pentagrama.
A partir do triângulo áureo podemos desenhar uma espiral logarítmica. Para isto,
traçaremos uma bissetriz no ângulo B da base do triângulo encontrando AC em D, sendo D o
ponto que divide AC na razão áurea, e teremos outro triângulo áureo BCD. Neste faremos o
mesmo processo, e assim formaremos um número infinito de triângulos áureos. Este processo
converge para um ponto chamado de pólo, que é o pólo de uma espiral logarítmica passando
pelos vértices destes triângulos, observe a figura 46.
Figura 46: A espiral logarítmica e os triângulos áureos 46
Além disto, neste triângulo surge uma seqüência obedecendo a Seqüência de
Fibonacci, Fn = Fn−1 + Fn−2 . Tomando HG unitário, então GF = 1Φ , FE = 1Φ + 1 ,
ED = 2Φ + 1 , DC = 3Φ + 2 , CB = 5Φ + 3 , BA = 8Φ + 5 .
Já sabemos que o Retângulo Áureo forma outros retângulos áureos e, a partir daí,
podemos obter a espiral no retângulo áureo.
Para construir uma espiral inscrita no retângulo, iremos seguir os mesmos passos para
a construção do retângulo áureo. Tendo o retângulo dividido em infinitos outros retângulos
áureos, estaremos formando uma seqüência de quadrados dispostos em uma espiral
logarítmica, esta espiral é formada pelos arcos criados ao dividir o retângulo em outros cada
vez menores. Veja a construção abaixo (figura 47).
46
Fonte: HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985, página 166.
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
125
Considere o retângulo abaixo onde a razão entre a largura L e a altura H seja
justamente Φ . Esse é um retângulo áureo. Rebatendo um lado de altura H, obtemos um
L
quadrado e outro retângulo áureo, este de lados L1 e H1. Pois 1 = Φ . Repetindo o processo
H1
no segundo retângulo áureo, obtemos outro quadrado e outro retângulo, também áureo, sendo
L2
= Φ . Obtendo retângulos áureos cada vez menores que convergem para um ponto que
H2
chamamos de pólo da construção.
Figura 47: Construção da espiral inscrita no retângulo áureo 47
É fácil ver que esse pólo é o encontro de todas as diagonais maiores de todos os
retângulos áureos da construção. Os matemáticos deram nome a esse pólo, ele é chamado de
“olho de Deus”.
A curva que leva ao pólo aproxima-se de uma espiral logarítmica que René Descartes
chamava de “espiral equiangular”, pois traçando qualquer reta a partir do pólo ela corta a
curva sempre com o mesmo ângulo ( α ).
Dado um ponto O, a espiral equiangular é uma curva tal que a amplitude do ângulo α
formado pela tangente em qualquer dos seus pontos P com a reta OP é constante.
A espiral logarítmica é uma espiral cuja equação polar é dada por r = aeθ cot(α ) , onde a
é a distância da origem do referencial ao ponto inicial da espiral ( θ = 0 ) e α é o ângulo
constante de abertura da espiral e θ é uma variável independente variando de − ∞ a + ∞ , de
modo que a curva tenha comprimento ilimitado. Para o ângulo α = 90° , a curva formará uma
circunferência.
47
Fonte: http://www.fei.edu.br/~psergio/Projetos-de-Formatura-2007-1/Monografias-Projetos-I-2007-1/TCC-Fibonacci.doc
126
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Figura 48: Espiral equiangular 48
A espiral logarítmica é conhecida também como a espiral do crescimento ou a spira
mirabilis. Esta espiral é relacionada aos números de Fibonacci, à relação dourada, e aos
retângulos dourados, e chamada às vezes de espiral dourada. Este padrão de crescimento é
chamado de “lei da natureza”. A maioria dos cornos dos animais, as garras, os caracóis, entre
outros exemplos, também são, basicamente, espirais equiangulares.
Encontramos uma aproximação da espiral logarítmica em vários outros lugares da
natureza. De girassóis, conchas do mar e redemoinhos a furacões e galáxias espirais gigantes.
Os falcões usam essa propriedade quando atacam suas presas. Acredita-se que os falcõesperegrinos, entre as aves mais rápidas da Terra, sobrevoam em forma de uma espiral
logarítmica, mantendo a visão fixa a sua presa.
Figura 49: As galáxias 49
48
Fonte: http://www.atractor.pt/mat/conchas/texto1.htm
49
Fonte: http://www.cf-sebastiao-gama.rcts.pt/formacao/2003/pd1/trabalhos/nouro/nouro/apnouro.htm
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
127
Figura 50: Os náutilus 50
Figura 51: Chifres de carneiros 51
Além desta espiral, existe a espiral retangular.
0
Na figura 51, o segmento OA é unitário, OA = Φ = 1 , AB = Φ −1 , BC = Φ −2 ,
CD = Φ −3 e assim sucessivamente. O ângulo entre esses segmentos é de 90º, por isto a
chamamos de espiral retangular (figura 52).
Os segmentos vão diminuindo indefinidamente até o pólo, no ponto P.
Figura 52: Espiral retangular 52
Esta espiral possui propriedades tais como:
– Todos os pontos de dobra de número par recaem sobre OB e os de número ímpar
recaem sobre AC .
O ponto de dobra é o ponto onde a espiral faz um ângulo de 90º.
50
Fonte: http://blog.hiro.art.br/index.php?paged=2&s=avra
Fonte: http://cienciahoje.uol.com.br/controlPanel/materia/view/2573
52
Fonte: HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985, página 73.
51
128
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
O primeiro ponto de dobra é no ponto A, o segundo no ponto B, o terceiro no ponto C,
o quarto no ponto D, e assim sucessivamente.
De acordo com a figura 52, o primeiro ponto de dobra, A, está sobre AC , o segundo
ponto, B, recai sobre OB , o terceiro ponto de dobra, C, recai sobre AC , o quarto ponto de
dobra, D, recai sobre OB .
Portanto, se o número do ponto de dobra for par, recai sobre OB e se o número for
ímpar recai sobre AC .
– OB e AC são mutuamente perpendiculares.
Destaque os triângulos retângulos OAB e ABC na figura 52. Estes triângulos são
AO AB  1 Φ −1 
 . Daí, como BC ⊥ AB , temos que
,  =
semelhantes, pois são retângulos e
=
AB BC  Φ Φ −2 
OB ⊥ AC .
– o pólo da espiral é a intersecção de OB e AC .
Os pontos de dobra estão sobre OB e AC e estes pontos tendem ao ponto P, o qual é
a intersecção de OB e AC , daí podemos dizer que P é o pólo da espiral.
– cada novo segmento da espiral completa um triângulo cujos outros dois lados são
segmentos de OB e AC . Esses triângulos são todos semelhantes, sendo cada um deles a
metade do retângulo áureo.
Os triângulos formados são retos e para cada triângulo a razão entre os seus catetos é
igual a Φ -1. Portanto, os triângulos são semelhantes.
Se prolongar BC e subir uma perpendicular à OA , formaremos um retângulo áureo e
OB é a diagonal deste retângulo. Então, o triângulo OAB é a metade do retângulo áureo. O
mesmo acontece para os demais triângulos.
– O comprimento da espiral de A a P, na escala OA =1, é Φ .
O comprimento da espiral de A a P é igual a Φ -1 + Φ -2 + Φ -3 + Φ -4 + Φ -5 + ... = Φ ,
e esta é a propriedade “A soma de todas as potências com expoentes inteiros negativos e base
igual a Φ produz o próprio Φ ”, mostrada na página 4.
– A razão de OP por BP é igual Φ 2.
De fato, os triângulos OAP e BCP são semelhantes, então,
Dado que OA = 1 e BC = Φ −2 , teremos
OP OA
=
.
PB BC
OP
1
= −2 = Φ 2 .
PB Φ
Interessante perceber que a espiral retangular se encaixa na espiral logarítmica,
conforme a figura seguinte.
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
129
Figura 53: Espirais logarítmica e retangular 53
Jacob Bernoulli (1654-1705) chamou a esta curva admirada por ele, de Spira Mirabilis
(Espiral Maravilhosa). Ele até pediu que a sua forma e o lema que atribuiu a ela “Eadem
mutato resurgo” (embora mudado, ressurjo o mesmo), fossem gravados em seu túmulo. 54
O lema descreve uma propriedade fundamental exclusiva da espiral logarítmica, ou
seja, ela não altera seu formato à medida que seu tamanho aumenta. Esta característica é
conhecida como auto-similaridade.
53
54
Fonte: HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora UnB, Brasília, 1985, página 169.
Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 137.
130
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
CAPÍTULO VII
A NATUREZA E O NÚMERO DE OURO
Já observou como estão dispostas as folhas de algumas plantas ou até mesmo a
distribuição das pétalas de rosas?
A fitolaxia é um termo da botânica que inclui a disposição da folhas nos ramos das
plantas. O meristema apical é responsável pelo crescimento da planta e como estão no ápice e
se reproduzem por divisão, dão origem a novas células que formam os tecidos que por sua vez
fazem as plantas crescerem. Um meristema pode dar origem a um galho, a um ramo ou a uma
flor. Um galho dará origem a diversos outros galhos e ramos. Um ramo dará origem a
diversas folhas. E uma flor dará origem a diversas pétalas cercando uma porção circular onde
se distribuem as sementes.
Considere um ramo de uma planta qualquer que cresça verticalmente e que deste ramo
tenha brotado uma folha, como o da figura abaixo.
Figura 54: Disposição das folhas de um ramo55
O ramo continuará a crescer verticalmente e, acima da única folha, brotarão outras.
Mas, para que estas folhas brotem e não prejudiquem as outras, estas não podem nascer de
maneira regular, já que os arranjos, regulares e simétricos não são os ideais, pois
prejudicariam todo o crescimento da planta ao receber luz e água, fazendo sombra e
impedindo que a folha abaixo receba a água.
Para que o crescimento da planta não fique prejudicado há a divergência das folhas, ou
seja, a separação angular das bases de duas folhas sucessivas no talo, medida através de uma
espiral traçada da raiz da planta para o ponto de crescimento.
Em 1993 dois matemáticos franceses, Douady e Couder, demonstraram
matematicamente que este ângulo é 222º 29’ 34’’.
55
Fonte: http://www.forumpcs.com.br/coluna.php?b=209835
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
131
Figura 55: Ângulo formado entre as folhas do ramo 56
Cada nova folha é gerada pelo meristema fazendo um ângulo de 222º 29’ 34’’ com a
que fica abaixo. Mantendo sempre este ângulo com a folha que a antecede, o ramo que cresce
na vertical conseguirá fazer com que suas folhas capturem cada raio de sol e cada gota de
chuva. O ramo, após o nascimento da sexta folha, ficaria com o aspecto mostrado
esquematicamente, na figura abaixo e um exemplo é o girassol:
Figura 56: Disposição da folhas 57
Figura 57: Girassol 58
Se considerarmos p o número de voltas da espiral e q sendo o número de bases de
p
folhas pelas quais a espiral passou, excluindo a primeira, então
é uma fração característica
q
da planta, ou seja, a divergência das folhas. O numerador e denominador desta fração tendem
1 1 2 3 5 8
a ser números da seqüência de Fibonacci, , , , , , ,... e assim sucessivamente.
2 3 5 8 13 21
Várias plantas podem ser dispostas com este tipo de crescimento como as gramíneas
1
1
comuns que tem a fração igual a , as ciperáceas sendo , as frutíferas como as macieiras
2
3
2
3
5
que tem a fração igual a , tanchagens igual a , liliáceas com
.
5
8
13
56
Fonte: http://www.forumpcs.com.br/coluna.php?b=209835
Fonte: http://www.forumpcs.com.br/coluna.php?b=209835
58
Fonte: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#quote
57
132
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Figura 58: Liliáceas 59
De modo geral, podemos dizer que em muitas plantas os ramos e galhos crescem em
quantidades baseadas nos números da sucessão de Fibonacci. Esquematizando, teremos a
representação da seqüência de Fibonacci na figura abaixo:
Figura 59: A distribuição dos ramos e a Seqüência de Fibonacci 60
Estes números não ficam restritos só na disposição das folhas e galhos, aparecem
também no número de pétalas de certas flores como nos seguintes exemplos:
59
60
61
62
Figura 60: Íris com 3 pétalas 61
Figura 61: Jasmim Manga com 5 pétalas 62
Figura 62: Tasneira com 13 pétalas 63
Figura 63: Margarida com 34 pétalas 64
Fonte: http://floraisdiamantinos.blogspot.com/2007/07/alo-veramais-uma-beno-da-natureza.html
Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm
Fonte: http://www.buques.com.br/fotos_de_flores.html
Fonte: http://fotola.com/berylium/sidbond/document-sidbond41448ed857f0a.html
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
133
O número áureo, a seqüência de Fibonacci, e a espiral logarítmica estão presentes em
toda a natureza, sejam nas plantas, nos animais e no ser humano.
Esta bela curva, espiral equiangular, estudada pelos matemáticos há centenas de anos é
representada na natureza há milhares de séculos. Tomando como exemplo a concha,
observamos que as medidas dos segmentos que unem o centro da concha aos pontos da
concha aumentam, mas as amplitudes dos ângulos formados por esses segmentos e as
tangentes à concha mantêm-se, ou seja, as conchas seguem uma espiral equiangular ou
logarítmica.
É comum encontra-la nos flósculos das margaridas (figura 64), e mais visível ainda
nos girassóis (figura 65), também na Equinácea Púrpura (figura 66), popularmente conhecida
como purpurea ou flor de cone.
Figura 64: Margarida 65
Figura 65: Girassol 66
Figura 66: Equinácea 67
As sementes destas flores têm o formato da espiral equiangular. Elas se distribuem
regularmente, aparentemente em circunferências concêntricas e seguindo certa lei de
crescimento que faz com que o arranjo fique perfeitamente regular seja qual for seu tamanho.
Esquematicamente, o aspecto é parecido com o da figura abaixo:
Figura 67: Disposição das sementes de uma flor 68
63
Fonte: http://serra-da-adica.blogspot.com/2007/09/dittrichia-viscosa.html
Fonte: http://baixaki.ig.com.br/papel-de-parede/14305-Margarida.htm
65
Fonte: ampliação da foto disponível em http://baixaki.ig.com.br/papel-de-parede/14305-Margarida.htm
66
Fonte: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html
67
Fonte: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html
64
134
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Porém, se escolhermos um raio qualquer, uma linha reta que parta do centro em
direção ao extremo, veremos que não encontraremos sementes “alinhadas” sobre ela.
Observe cada etapa na figura 68, e verá que não há sementes alinhadas.
Figura 68: Etapas da distribuição das sementes 69
68
69
Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070402.htm
Cenas animação disponível em http://www.bpiropo.com.br/fpc20070402.htm
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
135
A distribuição destas sementes é feita de acordo com a espiral equiangular, também é
conhecida como “Espiral de Fibonacci”, pois o ângulo usado para dispor cada nova semente
foi justamente um arranjo baseado no ângulo de 222,492º ou seu replemento, 137,508º, o que
dá no mesmo que configura a Razão Áurea com os 360º da volta completa da circunferência.
Segue o esquema 70:
70
Cenas da animação disponível em http://www.bpiropo.com.br/fpc20070402.htm
136
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137
Em torno desta espiral existem infinitas outras espirais assim formando o flósculo das
flores. Observe o esquema 71:
71
Cenas da animação disponível em http://www.bpiropo.com.br/fpc20070402.htm
138
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E assim sucessivamente até preencher por completo, como mostra a figura abaixo.
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
139
Figura 69: Espirais formando o flósculo 72
Este mesmo processo ocorre em diversas outras plantas, assim como nas pinhas,
disposição das pétalas das rosas, romanescos e diversos outros. Por exemplo:
72
Cenas da animação disponível em http://www.bpiropo.com.br/fpc20070402.htm
140
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Figura 70: Pinha 73
Figura 71: Rosas 74
Figura 72: Romanesco 75
É interessante como a espiral equiangular não está presente somente nas plantas,
aparece também no corpo humano e nos animais, de modo geral, em toda a natureza.
Exemplo disto pode ser visto na orelha de ser humano, nos caramujos, nos chifres de
carneiros, e muitos outros.
73
Fonte: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html pinha
Fonte: http://www.magiadeinumeri.it/BIOLOGIA.htm
75
Fonte: http://www.laputanlogic.com/articles/2006/04/23-0207-5337.html
74
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
141
CAPÍTULO VIII
OS SÓLIDOS REGULARES E O NÚMERO Φ
Figura 73: Sólidos regulares 76
Um sólido, ou poliedro (do grego “pulúedros”, ou “aquele que tem muitas faces”) é
dito “regular” quando todas as suas faces são idênticas e formadas por polígonos regulares, ou
seja, que apresentam todos os lados e todos os ângulos internos iguais. O exemplo clássico é o
cubo, ou hexaedro, com suas seis faces em forma de quadrados.
Não há muitos poliedros regulares. Para ser exato há apenas cinco: o tetraedro (com
quatro faces formadas por triângulos eqüiláteros), o hexaedro ou cubo (com seis faces
formadas por quadrados), o octaedro (com oito faces formadas por triângulos eqüiláteros), o
dodecaedro (com doze faces formadas por pentágonos regulares) e o icosaedro (com vinte
faces formadas por triângulos eqüiláteros).
Estes poliedros regulares foram estudados por Platão quatrocentos anos antes de Cristo
e por isso são conhecidos como “sólidos platônicos”. Os cinco sólidos platônicos são
mostrados na figura seguinte.
Figura 74: Sólidos Platônicos 77
Estes poliedros também são conhecidos por representarem os cincos elementos da
natureza. Platão concebia o mundo como sendo constituído por quatro elementos básicos: a
Terra, o Fogo, o Ar e a Água, (figura 75), e estabelecia uma associação mística entre estes e
os sólidos. Portanto, associava o Tetraedro ao Fogo porque, segundo Platão, o átomo do fogo
teria a forma de um poliedro com 4 lados; o Cubo à Terra porque ele acreditava e afirmava
que os átomos de terra seriam cubos, permitindo ser colocados lado a lado, dando solidez; o
Octaedro ao Ar, pois o modelo de um átomo de ar para Platão era um poliedro com 8 faces; o
Icosaedro à Água, pois Platão defendia que a água seria constituída por icosaedros e, o
Dodecaedro representaria a imagem do Universo no seu todo porque para Platão o cosmos
seria constituído por átomos com a forma de dodecaedros. Em suas palavras “ o dodecaedro é
aquele que deus usou para ornamentar as constelações de todo o céu”. E por isto Salvador
Dali, pintor catalão conhecido pelo seu trabalho surrealista, inseriu um dodecaedro na obra
“Sacramento da Última Ceia”.
76
77
Fonte: http://www.seed.slb.com/pt/scictr/watch/fullerenes2/saved.htm
Fonte: http://www.revista.unam.mx/vol.6/num7/art68/art68-2a.htm
142
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Figura 75: Significado dos sólidos 78
Mas o que têm eles a ver com a Razão Áurea?
Podemos montar estes sólidos com retângulos áureos. Construção disponível no sítio
de Benito Piropo 79. Primeiro, montemos uma base, um “esqueleto” em torno dos quais
construiremos nossos poliedros.
A base será montada encaixando-se três retângulos Áureos idênticos, ou seja, três
retângulos cujos comprimentos dos lados mantenham a razão Áurea. Dois deles deverão ter
no centro uma fenda com comprimento igual ao lado menor e que se estende ao longo da
linha divisória paralela ao lado maior, como os retângulos que estão de amarelo e azul da
figura 76, a seguir. No terceiro, para permitir o encaixe, a fenda deve se estender até um dos
lados menores, como o retângulo em rosa da mesma figura.
Feito isto, tudo o que precisamos para ter a base tridimensional é encaixar os
retângulos como mostrado do lado direito da figura.
Figura 76: Construção da base dos poliedros 80
O primeiro sólido pode ser conseguido da seguinte forma use uma agulha para fazer
um pequeno furo junto a cada vértice dos três retângulos e, com uma linha passando pelos
furos, una cada um deles aos seus vizinhos mais próximos. Repare o resultado: sua linha se
estende em volta de toda a estrutura, formando arestas que, em conjunto, fazem exatamente
vinte triângulos eqüiláteros idênticos. Cobrindo a superfície dos triângulos com papel teremos
um icosaedro regular, um dos cinco sólidos platônicos.
78
Fonte: http://avrinc05.no.sapo.pt/index.htm
Construção disponível em http://www.bpiropo.com.br/fpc20070219.htm
80
Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070219.htm
79
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143
Figura 77: Construção do icosaedro 81
Para obter o segundo sólido platônico com a estrutura formada com os retângulos
Áureos, basta passar em cada vértice dos retângulos Áureos um plano perpendicular á linha
que une o vértice ao centro da figura. Estes planos passam em volta da estrutura e se
interceptarão. A interseção de cada dois destes planos corresponderá a uma aresta de um
sólido tridimensional, como mostra a figura 78:
Figura 78: Construção do dodecaedro 82
Analisando a figura acima, temos que estas arestas formam faces pentagonais
regulares, o conhecido pentágono regular, onde a razão Áurea se manifesta de forma mais
intensa, com os vértices dos retângulos situados em seus centros geométricos. O sólido
resultante terá, portanto doze faces, é o dodecaedro regular (os três retângulos juntos têm doze
vértices e em cada um deles passa um plano).
Reparando as figuras 77 e78, veremos que o icosaedro se inscreve no dodecaedro, com
os doze vértices do icosaedro coincidindo com os centros geométricos de cada face do
dodecaedro (note que o icosaedro tem vinte faces e doze vértices enquanto o dodecaedro tem
doze faces e vinte vértices). Se determinarmos os pontos centrais de cada uma das vinte faces
triangulares do icosaedro e os unirmos por segmentos de reta, estes segmentos formarão as
arestas de um dodecaedro inscrito no icosaedro. E assim sucessivamente. Sólidos deste tipo
chamam-se duais, ou seja, o dodecaedro é o sólido dual do icosaedro e este é o sólido dual
daquele.
81
82
Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070219.htm
Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070219.htm
144
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Examine a imagem da figura 79 e veja, no interior da figura, a mesma estrutura básica
montada com os três retângulos Áureos. No retângulo azul, note que ele está circundado por
quatro linhas azuis que passam por seus vértices. Elas formam um quadrado. Agora, repare os
outros dois retângulos Áureos, o amarelo e o de rosa. Tanto um quanto o outro estão
igualmente circundados por quadrados desenhados com linhas da mesma cor do retângulo e
que passam por seus vértices. Verá que o conjunto destas doze linhas coloridas (quatro
amarelas, quatro azuis e quatro rosas) constitui as arestas de um novo sólido regular de oito
faces, cada uma delas formada por um triângulo eqüilátero, este é o octaedro, figura 79 à
esquerda.
Figura 79: Construção do octaedro 83
Se reparar na figura acima, à direita, verá que no interior deste octaedro encontra-se
novamente o icosaedro, formado pela união de todos os vértices da estrutura base, com seus
vértices nos “pontos Áureos” de cada uma das arestas do octaedro.
Quanto ao cubo, podemos encontrá-lo inscrito no dodecaedro. Repare que no
dodecaedro à esquerda, na figura 80, temos oito pontos assinalados em vermelho, e tomados
dois a dois eles determinam diagonais dos pentágonos regulares que formam as faces do
icosaedro.
Sabendo que o ângulo interno de um pentágono é igual a 108º, podemos perceber que
o triângulo formado pela diagonal e pelos dois lados adjacentes que dela convergem (um
destes triângulos está destacado em verde na figura 80) é um triângulo Áureo obtusângulo e
que seus lados e a diagonal mantêm a relação Áurea.
Unindo os oito pontos vermelhos teremos o hexaedro, pois estes segmentos possuem o
mesmo comprimento e também observamos que as diagonais formam conjuntos de linhas
paralelas quatro a quatro e que formam ângulos retos.
83
Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070219.htm
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
145
Figura 80: Construindo o hexaedro 84
Daí, dentro do dodecaedro surge o hexaedro, ou cubo. Este não é um solido qualquer,
já que o lado deste, em particular, mantém a razão Áurea com a aresta do dodecaedro.
Já o tetraedro encontra-se dentro do hexaedro, figura 81. Escolha um vértice do
tetraedro e forme um triângulo com este e os outros dois da aresta oposta ao escolhido e assim
sucessivamente.
Figura 81: Tetraedro 85
Figura 82: Os sólidos reunidos 86
Podemos inscrever estes sólidos uns aos outros como a figura 82, acima.
Um sólido, porém não regular conhecido como “paralelepípedo” de Fibonacci é um
paralelepípedo de lados 1, Φ e ϕ , onde ϕ = Φ −1 .
84
Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070219.htm
Fonte: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi3DGeom.html
86
Fonte: http://www.edu.xunta.es/contidos/premios/p2004/b/poliedros/poliedros.html
85
146
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Figura 83: Paralelepípedo de Fibonacci 87
O seu volume é unitário e a área total de suas faces é 4 Φ , além disso, a sua diagonal é
igual a 2.
Observe que suas dimensões e as áreas das faces deste paralelepípedo estão em
progressão geométrica, Φ −1 ,1, Φ e quatro de suas faces são retângulos áureos.
Para calcular o volume usamos a expressão V = 1.Φ.Φ −1 . Daí, V =1.Φ −1.Φ ⇒ V =1 .
A
área
total
de
suas
faces
é
dada
por
S = 2(1.Φ + 1.Φ −1 + Φ −1.Φ ) daí,
S = 2(Φ + Φ −1 + 1) , como Φ −1 + 1 = Φ teremos que S = 2(Φ + Φ ) = 2(2Φ ) = 4Φ .
Esse sólido pode ser inscrito em uma esfera de raio 1.
Vamos mostrar que a medida do raio é igual a 1. Temos que o valor da diagonal do
paralelepípedo é dada por d = a 2 + b 2 + c 2 , em que a, b e c são as dimensões do mesmo, ou
( )
2
seja, d = 12 + Φ −1 + Φ 2 . Esta diagonal é igual ao diâmetro da esfera, logo o raio será igual
a metade desta diagonal.
Para prosseguirmos devemos lembrar que Φ = 1 + Φ −1 ⇒ Φ −1 = Φ − 1 e que
Φ 2 = Φ + 1 . Substituindo Φ −1 e Φ 2 na equação da diagonal do paralelepípedo teremos que:
d = 12 + ϕ 2 + Φ 2
d = 1 + (Φ − 1) 2 + Φ 2
d = 1 + Φ 2 − 2Φ + 1 + Φ 2
d = 2Φ 2 − 2Φ + 2
d = 2(Φ + 1) − 2Φ + 2
d = 2Φ + 2 − 2Φ + 2
d= 4
d =2
Portanto, a diagonal do paralelepípedo é igual a 2.
Sendo a diagonal do paralelepípedo igual ao diâmetro da esfera que é igual a 2, então
o raio é igual a 1, como queríamos demonstrar.
87
Fonte: http://www.seara.ufc.br/donafifi/fibonacci/fibonacci4.htm
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
147
A razão entre a área da superfície da esfera e a área das faces do paralelepípedo está
relacionada com a proporção áurea. A área da superfície da esfera é dada por S = 4πr 2 , sendo
r a medida do raio. Então, esta esfera tem área igual a 4π . Já sabemos que a área total do
paralelepípedo é 4 Φ .
4π π
= .
Portando, a razão entre as áreas da esfera e do paralelepípedo inscrito é
4Φ Φ
Isto é surpreendente, o encontro de dois números irracionais e de grande importância
na matemática.
148
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CAPÍTULO IX
O OURO NO SER HUMANO
No corpo humano, o número de ouro aparece não só nas orelhas, como também nas
falanges dos dedos, na razão entre o tamanho do braço e a mão; a medida do ombro à ponta
do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo; a altura do crânio e a medida da mandíbula
até o alto da cabeça; a medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até o chão; o
tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta, de acordo com a figura 85.
Figura 84: A orelha e a espiral 88
Figura 85: Segmento Áureo no corpo humano 89
Uma orelha perfeita seria aquela na qual se encaixaria em uma espiral logarítmica
como na figura 84.
Segundo Leonardo da Vinci, o corpo humano para ter beleza e harmonia deve
respeitar uma proporção, e como o número áureo representa esta beleza, então o corpo
humano deve seguir a mesma.
Para o homem ser perfeito a razão entre as usas medidas como a sua altura e a
distancia do seu umbigo ao chão deve ser aproximadamente Φ .
88
89
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/proporouro.htm
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/seg_aureo_corpo_humano.htm
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
149
Figura 86: Proporções no corpo humano 90
Além disso, pode-se encontrar as proporções áureas também no rosto humano.
Constatou-se que o rosto humano é baseado inteiramente em Φ. Em particular, a cabeça forma
um retângulo dourado, sendo o ponto do meio dos olhos, a seção áurea. A boca e o nariz são
posicionados em seções de ouro da distância entre os olhos e a parte inferior do queixo.
Figura 87: Proporção áurea no rosto 91
Muitos estudos demonstram que a regra de ouro está presente na harmonia do sorriso e
da dentição. O compasso da Proporção Áurea e seus blocos de esquemas pré-impressos
permitem descobrir em apenas alguns segundos o objetivo ideal teórico em relação a uma
situação real na boca. Informações interessantíssimas e muito úteis para a reconstrução
estética, prótese total, posicionamento-inclinação-eixo dos dentes, gengivectomia, e outros.
90
91
Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm
Fonte: http://www.magiadeinumeri.it/BIOLOGIA.htm
150
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Figura 88: Proporção áurea nos dentes 92
Os dentes vistos frontalmente, como a figura 88 acima, estão na proporção áurea um
em relação ao outro. Por exemplo, a largura do incisivo central está proporcional à largura do
incisivo lateral, assim como o incisivo lateral está proporcional ao canino, e o canino ao
primeiro pré-molar. O segmento “incisivo central até o primeiro pré-molar” se encontra na
proporção áurea em relação ao canto da boca. A altura do incisivo central está na proporção
áurea em relação à largura dos dois dentes centrais (retângulo de ouro).
Na face relaxada, veja a figura a 89, a linha dos lábios divide o terço inferior da face
nos segmentos da proporção áurea da ponta do nariz à linha dos lábios e da linha dos lábios
até o queixo.
Figura 89: Divisão áurea do queixo ao nariz 93
As “Marcas da Seção Áurea”, impressas em papel no sortimento de blocos fornecidos
no estojo, (figura 90), são muito úteis para registros da boca e para trabalhos sobre modelos.
Figura 90: Modelo com marcas da seção áurea 94
A Smile Line, uma empresa especializada em produtos odontológicos, redesenhou um
utensílio inicialmente concebido pelo Dr. Eddy Levin, cirurgião dentista londrino, o “Golden
Section Divider”, que permite assimilar e compreender “fisicamente” o conceito da seção
áurea.
92
Fonte: http://www.labordental.com.br/GOLDENSECTION.htm
93
Fonte: http://www.labordental.com.br/GOLDENSECTION.htm
94
Fonte: http://www.labordental.com.br/GOLDENSECTION.htm
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
151
Se o instrumento tiver estreita ou largamente aberto, o compasso “Proporção Áurea”
indica sempre dois segmentos, respeitando a “Regra de Ouro”. Fabricado em aço inoxidável
da mais alta qualidade e cuidadosamente montado, o compasso “Proporção Áurea” é uma
pequena maravilha em mecanismo de precisão.
Figura 91: Compasso áureo 95
Há estudos com pacientes totalmente edentados, feitos por Ana Cristina Perasso, que
necessitam de uma reabilitação protética que preencha os requisitos básicos. Uma solução
para isto foi o uso da proporção áurea contida no rosto juntamente com este compasso, na
confecção de próteses. Em sua dissertação de mestrado, “Análise da produção áurea na face
dos pacientes edentados visando a dimensão vertical de oclusão” oferece melhores detalhes.
Figura 92: exemplo do uso do compasso áureo na odontologia 96
Este compasso não é usado somente na odontologia (exemplo na figura 92). Com ele
podemos medir qualquer objeto a fim de verificar se este está ou não na extrema e média
razão, como nos exemplos da figura 93.
95
96
Fonte: http://www.labordental.com.br/GOLDENSECTION.htm
Fonte: http://www.mlahanas.de/Greeks/GoldenSection.htm
152
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Figura 93: Exemplos para o uso do compasso áureo 97
97
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/proporouro.htm
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
153
CAPÍTULO X
A ARTE E O NÚMERO DE OURO
O Renascimento produziu uma importante mudança de direção na história da Razão
Áurea e a partir de então, esse conceito deixou de ficar restrito à matemática, e passou a ser
encontrado nos fenômenos naturais, na arquitetura e nas artes.
Muitas das afirmações relativas ao emprego da Razão Áurea na pintura estão
diretamente relacionadas às propriedades estéticas do retângulo áureo.
Leonardo da Vinci nasceu em 15 de Abril de 1452, na pequena cidade de Vinci, perto
de Florença, centro intelectual e científico da Itália. O seu talento artístico cedo se revelou,
mostrando excepcional habilidade na geometria, na música e na expressão artística.
Reconhecendo suas habilidades, o seu pai, Ser Piero da Vinci, mostrou os desenhos do
filho a Andrea del Verrocchio. O grande mestre da renascença ficou encantado com o talento
de Leonardo e tornou-o seu aprendiz. Em 1472, com apenas vinte anos, Leonardo associa-se
ao núcleo de pintores de Florença.
Figura 94: Leonardo da Vinci 98
Não se sabe muito acerca da educação e formação do artista, no entanto, muitos
autores afirmam que o seu conhecimento não provém de fontes tradicionais, mas sim da
observação pessoal e da aplicação prática das suas idéias. Pintor, escultor, arquiteto e
engenheiro, Leonardo da Vinci foi o talento mais versátil da Itália do Renascimento. Os seus
desenhos, combinando uma precisão científica com um grande poder imaginativo, refletem a
enorme vastidão dos seus interesses, que iam desde a biologia, à fisiologia, à hidráulica, à
aeronáutica e à matemática.
Durante o apogeu do renascimento, Da Vinci, enquanto anatomista, preocupou-se com
os sistemas internos do corpo humano, e enquanto artista interessou-se pelos detalhes
externos da forma humana, estudando exaustivamente as suas proporções.
O segundo livro de “A Proporção Divina”, é um tratado sobre proporções e suas
aplicações na arquitetura e na estrutura do corpo humano. A seguinte imagem, (figura 95),
“Homem Vitruviano” resulta destes seus interesses e esta foi usada por Luca Pacioli na
ilustração do seu livro “De Divina Proportione”.
98
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Leonardo.htm
154
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Figura 95: O Homem Vitruviano 99
Segundo o arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio, no corpo humano, o ponto
central naturalmente é o umbigo, porque se um homem for colocado deitado de costas, com as
mãos e os pés estendidos e um compasso for centrado no seu umbigo, os dedos de suas mãos
e de seus pés irão tocar a circunferência do círculo descrito a partir desse ponto, e assim como
o corpo humano produz um contorno circular, uma figura quadrada também pode ser
encontrada a partir dele, pois se medirmos a distância das solas dos pés até o topo da cabeça e
depois aplicarmos essa medida aos braços esticados, veremos que a largura será a mesma que
a altura, como no caso de superfícies planas que são perfeitamente quadradas.
Os pensadores renascentistas consideraram esta passagem como “mais uma
demonstração da ligação entre a base orgânica e a geométrica da beleza”, e isto levou ao
conceito do “homem vitruviano”. A imagem “O Homem Vitruviano” pintada por Leonardo da
Vinci representa o corpo humano inserido na forma ideal do círculo e nas perfeitas proporções
do quadrado, ou seja, possui proporção e simetria aplicadas à concepção da beleza humana.
As proporções áureas aparecem entre: a medida da cintura até a cabeça e o tamanho do
tórax; a altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão, além de várias outras
proporções.
Os pintores do Renascimento, e em particular Da Vinci, recorreram a conceitos de
geometria projetiva para criar os seus quadros com um aspecto tridimensional. A obra prima
“A Última Ceia” é um bom exemplo disso.
99
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
155
Figura 96: “A Última Ceia” 1495-1498 100
O ponto de fuga está colocado no olho direito de Cristo, onde ele domina o primeiro
plano. Os seus próprios braços, ao longo das linhas da pirâmide visual, reforçam a
perspectiva.
A Última Ceia foi pintada entre os anos de 1495 e 1498, por encomenda do Duque
Ludovico Sforza para ornar uma das paredes do refeitório do Convento de Santa Maria das
Graças em Milão, Itália, e representa a cena narrada na Bíblia em que Jesus Cristo comunica
aos apóstolos que será traído por um deles.
Esta é considerada uma das pinturas mais valiosas do mundo. Como foi pintada sobre
a parede de um convento, jamais “pertenceu” a qualquer pessoa e seu preço não pode ser
avaliado.
Agora, repare na figura e na linha verde que a divide exatamente na proporção Áurea.
Note como ela passa justamente entre o tampo da mesa e os apóstolos e a postura de Cristo,
com os braços abertos, se inscreve quase exatamente em um triângulo Áureo obtusângulo.
Figura 97: As proporções áureas no quadro “A Última Ceia” 101
Da Vinci a serviço de Ludovico Sforza, desenvolveu vários projetos de engenharia
militar, realizou estudos hidráulicos sobre os canais da cidade, dedicou-se ao estudo da
anatomia, física, botânica, geologia e matemática. Nesse período, pintou algumas de suas
obras-primas como a primeira versão da “Virgem dos rochedos” (1483) e a “Última ceia”
(1495-1497).
A Virgem dos Rochedos, conhecida também como A Madona das Rochas, é
considerada uma das mais importantes obras do pintor. Ela é uma das primeiras telas que dá a
impressão de ter três dimensões, além de não haver traços nítidos separando as figuras do
desenho e possuir fundos misteriosos e enigmáticos.
Esta obra possui duas versões, uma no Louvre, em Paris e a outra na National Gallery,
em Londres. Estima-se que a versão do Louvre seja um dos primeiros trabalhos que Leonardo
produziu em Milão por volta de 1483 e 1486 e supõe-se que a pintura da National Gallery foi
concluída por volta de 1506.
Especialistas que estudam estas pinturas concluíram que a versão de Louvre foi feita
inteiramente pela mão de Leonardo, enquanto a versão da National Gallery pode ter sido um
“esforço conjunto” que ainda está sendo estudada.
A veracidade da data e a autenticidade das duas versões da “Virgem dos Rochedos”
causam polêmicas nas afirmações acerca da presença da Razão Áurea na pintura. Estas datas
100
101
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci
Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070226.htm
156
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
revelam se Da Vinci já tinha ou não o conhecimento do número áureo ao realizar esta obra.
Pois, a razão entre a altura e largura da pintura que supõe ter sido pintada primeiro é cerca de
1,64, e a da segunda pintura é de 1,58, ambas estão com estas razões próximas de Φ .
Leonardo Da Vinci encontrou Pacioli pela primeira vez em 1496, na Corte de Milão.
Luca Bartolomeo de Pacioli foi um monge franciscano e célebre matemático italiano e em
1470 escreveu a sua primeira obra de matemática na área de álgebra. O livro “Summa” tornou
Pacioli famoso, sendo convidado em 1497 para ensinar matemática na corte de Ludovico em
Milão. Um dos seus alunos e amigo foi Leonardo da Vinci. Em 1509 escreveu a sua segunda
obra mais importante, “De Divina Proportioni”, ilustrada por da Vinci, que tratava sobre
proporções artísticas. Só então, Leonardo foi apresentado à “divina proporção”. Isto indica
que Da Vinci teve conhecimento do número de ouro após dez anos da primeira versão de
“Virgem dos Rochedos” ter sido concluída
Portanto, a proporção do quadro tende a mostrar que esta é a perfeita harmonia em
suas dimensões, antes mesmo do grande pintor conhecê-la.
Figura 98: “Virgem dos Rochedos” 102
Por volta de 1504, começou a pintar um dos quadros mais famosos do mundo, “Mona
Lisa”, uma de suas obras na qual a arte da pintura atinge um de seus grandes momentos.
Provavelmente, o retrato de Madona Lisa Gherardini, mulher do rico cidadão de Veneza
Francesco del Giocondo que o encomendou ao pintor. Daí, o quadro também ser chamado “A
Gioconda”. Supõe-se que Leonardo tenha de fato começado a pintura como um retrato da
mulher do nobre, mas que depois a tenha tornado na imagem da idéia da beleza perfeita.
Leonardo Da Vinci sentia-se interessado pela matemática e usou inúmeros e conceitos
matemáticos em diversas invenções, em projetos de arquitetura e na pintura. A Mona Lisa é
um exemplo, com diversos retângulos áureos.
Podemos explorar esta proporção em várias outras partes do corpo. As próprias
dimensões do quadro formam um retângulo áureo.
102
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
157
Figura 99: Mona Lisa, 1505 103
No quadro Mona Lisa pode-se observar a proporção áurea em várias situações.
Note, na imagem abaixo, que se construirmos um retângulo em torno de seu rosto,
veremos que este é um retângulo de ouro e também entre os elementos do rosto os retângulos
Áureos enquadram a face e a testa, o lado direito da face com a linha que passa pelo nariz e o
olho e a posição da pupila. Note também o retângulo envolvendo todo o corpo, sendo dividido
na razão extrema e média separando o tronco e a cabeça.
Além disso, podemos traçar triângulos áureos por todo o quadro.
Figura 100: As proporções no quadro da Mona Lisa 104
Veja como tudo isto agrega uma sensação geral de harmonia e equilíbrio à pintura.
Mas, sobretudo, olhe novamente para a face da Gioconda, agora não mais pensando em
apreciar a pintura, mas sim a mulher. Ela parece mais uma mulher sem atributos físicos
103
104
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Leonardo2.htm
Fonte: www.fenkefeng.org/essaysm18004.html
158
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
extraordinários, uma mulher “comum”. Então, como explicar que este seja o retrato mais
famoso do mundo? Isto se dá a não ser pelo equilíbrio de suas linhas, pela genialidade do
pintor e por sua capacidade de exprimir emoções sobre uma tela, que na verdade, foi pintada
sobre madeira.
Outro exemplo da utilização de conceitos matemáticos por Leonardo da Vinci, é no
quadro: “A Anunciação”.
Figura 101: “ A Anunciação” 105
A tela, uma das primeiras pinturas conhecidas de Leonardo, foi produzida entre os
anos de 1472 e 1475. A “A Anunciação” representa a cena do Arcanjo Gabriel anunciando à
Virgem Maria que ela conceberia Jesus Cristo.
Decompondo a figura num quadrado e num retângulo, os resultados obtidos se
aproximam das proporções áureas. Curiosamente, esta divisão permite que o retângulo de
ouro enquadre as partes mais importantes da figura: o anjo e a jovem, se o quadrado for
construído no lado direito ou no lado esquerdo, respectivamente.
Figura:102: As proporções no quadro “A anunciação” 106
Repare nas quatro linhas traçadas em vermelho, azul, amarelo e verde, da figura 102.
Cada uma delas divide a tela exatamente nas proporções de ouro e todas tocam pontos da
figura que sobressaem por sua importância.
105
106
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Leonardo2.htm
Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070226.htm
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
159
A linha amarela passa exatamente sobre o muro que separa o jardim, em primeiro
plano, das árvores ao fundo. A verde passa sobre o tampo da pequena mesa de mármore em
frente à Virgem, que reproduz a tumba de Piero e Giovanni de Medici na Basílica de San
Lorenzo em Florença, Itália. Já as linhas verticais dividem a cena em duas partes que
destacam, respectivamente, o Arcanjo e a Virgem. Além disso, passam por linhas igualmente
salientes: o eixo de uma das árvores em segundo plano, junto ao Arcanjo, e a aresta da parede
por detrás da Virgem.
Sabendo-se do interesse que Leonardo tinha pela matemática e como a desfrutava com
o conceito da Razão Áurea, dificilmente isto pode ser considerado ao acaso. Porém, o quadro
possui uma “distribuição de massas”, ou seja, as posições relativas das principais figuras da
cena e sua localização em relação ao todo, passam uma sensação de harmonia e equilíbrio.
O número de ouro, Φ , também se encontra num trabalho inacabado de Da Vinci, São
Jerônimo, pintado por volta de 1483, que atualmente se encontra no museu do Vaticano.
Figura 103: São Jerônimo 107
A pintura de São Jerônimo é de 1483, muito antes da ida de Pacioli para Milão. Desde
então, diziam que um retângulo áureo se encaixa em volta da pintura quando sobreposto ao
desenho.
Outra obra de Da Vinci é “uma cabeça de ancião”, um esboço feito à lápis por volta de
1490. Esta representa o interesse que Leonardo tinha pela proporção áurea e tudo indica que
ele tenha usado estas proporções nesta obra. O retângulo no meio, à esquerda, por exemplo, é
aproximadamente um retângulo de ouro.
No desenho feito por Da Vinci representando um velho, provavelmente um autoretrato, o artista sobrepôs ao esboço um quadrado dividido em retângulos que se aproximam
do retângulo áureo.
107
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Leonardo2.htm
160
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Figura 104: “Uma cabeça de ancião” 108
Usando ou não a razão áurea, podemos ver que Leonardo Da Vinci devido ao seu
grande talento e o seu interesse pela matemática, pintou as suas obra de modo que
transmitissem a beleza e a harmonia.
Mas, não foi somente Da Vinci que usou a beleza por si só para representar a
perfeição.
Alessandro di Mariano Filipepi, mais conhecido como Sandro Botticelli (1445 –
1510), foi um pintor italiano da Escola Florentina. Sua vida foi narrada na obra Vite
(traduzida como "As Vidas dos Artistas"), de Giorgio Vasari. Nascido em Florença, foi
aprendiz de Andrea del Verrocchio entre 1467 e 1470, mesma época que Leonardo da Vinci.
Em 1470, abriu seu próprio estúdio independente.
Em “O Nascimento de Vênus”, Boticelli pinta Vênus sobre uma concha, emergindo da
espuma do mar, simbolizando, assim, o nascimento da beleza através do nu feminino. O
desenho delicado e rítmico, e o refinado emprego da cor, característicos em Boticelli,
alcançam desta forma, a perfeita expressão. Acredita-se que a proporção áurea foi usada na
obra “O Nascimento de Vênus”, quadro de Botticelli, em que Afrodite está na proporção
áurea.
Figura 105: “O Nascimento de Vênus” 109
O uso da proporção Áurea não fica restrito à pintura clássica. Também podemos
encontrá-la em “O Sacramento da Ultima Ceia”, do catalão Salvador Felipe Jacinto Dali
Domènech.
Salvador Felipe Jacinto Dali Domènech, Marquês de Pubol, um dos mais importantes
pintores contemporâneos (faleceu em 1989), mestre do surrealismo, é mais conhecido como
Salvador Dali. Sua obra “O Sacramento da Última Ceia” mostrada na figura abaixo não é a
108
109
Fonte: http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/810/81000304.pdf
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/O_Nascimento_de_V%C3%AAnus
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
161
mais conhecida, mas é o mais ilustrativo exemplo do uso da proporção Áurea e de símbolos
correlatos nas artes plásticas.
Figura 106: “O Sacramento da Última Ceia” 110
Repare nas linhas verde, branca e amarela que cortam o quadro, na figura 106. Todas
elas dividem a figura na razão Áurea conforme mostrado pelos segmentos azuis e vermelhos.
A linha verde passa exatamente sobre o tampo da mesa. As linhas, branca e amarela, passam
cada uma delas, exatamente sobre a cabeça dos apóstolos situados logo à direita e esquerda de
Jesus Cristo. A própria figura de Cristo, embora em posição diferente da pintada por
Leonardo, pois Dali pintou Cristo com os braços dobrados, se inscreve perfeitamente em um
triângulo Áureo obtusângulo.
Além disso, podemos observar que há um dodecaedro envolvendo a encenação, e
como sabemos, o dodecaedro é um sólido platônico que também tem as proporções áureas.
Alguns estudos alegam que as obras não foram feitas baseadas na razão áurea e que o
primeiro artista proeminente e teórico da arte a utilizar a razão foi, provavelmente, Paul
Sérusier. Ele nasceu em Paris em 1864, estudou filosofia e entrou para a escola de arte
Academie Julian.
Sérusier ouviu dizer sobre o número de ouro pela primeira vez, em uma de suas
visitas, entre 1868 e 1903, a um amigo e pintor holandês Jan Verkade, um noviço no mosteiro
beneditino de Beuron. Os monges pintores estavam seguindo teorias das grandes obras da
antiguidade que foram baseadas em entidades geométricas simples, como o círculo, o
triângulo eqüilátero e o hexágono. Com isso, Sérusier ficou fascinado pela matemática e se
interessou pela Razão Áurea, porém, mais para o lado filosófico do que para o prático, mas
utilizou as proporções áureas em algumas de suas obras.
Segundo Sérusier, a proporção áurea se propagou em vários círculos artísticos,
principalmente no período cubista. De fato, os cubistas Jacques Villon, seus irmãos Marcel
Raymond, Albert Gleizes e Francis Picabia, organizaram uma exposição em Paris chamada de
“Section d’Or”, “A Seção Áurea”.
Outro artista Jacque Lipchitz, usou a Proporção áurea em alguns de seus trabalhos e
escreveu “Naquele momento, eu estava muito interessado em teorias de proporções
matemáticas, como os outros cubistas, e tentei aplicá-la às minhas esculturas”.
Lipchitz ajudou Juan Gris, um dos mais famosos pintores e escultores cubistas
espanhóis, na construção da escultura “Arlequin”, mostrada na figura 107, na qual usaram o
triângulo de Kepler que se baseia na Razão Áurea.
110
Fonte: http://www.bpiropo.com.br/fpc20070226.htm
162
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Figura 107: “Arlequin” 111
Outro artista que usou a Razão Áurea foi Gino Severini, (l883-1966), por volta de
1920. Severini embora fosse um futurista, encontrou no cubismo a “noção de medida” e que
segundo ele “enquadrava na sua ambição de fazer, por meio da pintura, um objeto com a
mesma perfeição artística de um marceneiro fazendo móveis”. Esta busca pela perfeição fez
com que Severini usasse a Razão Áurea em suas pinturas, como a obra “Maternidade”.
Figura 108: “Maternidade” 112
Um dos defensores da aplicação da Proporção Áurea na arte e na arquitetura foi o
pintor e arquiteto Charles-Edouard Jeanneret-Gris, mais conhecido como Le Corbusier.
Nasceu em La Chaux-de-Fonds, na Suíça, onde estudou arte e gravuras. Seu pai era relojoeiro
e sua mãe pianista e professora de música que o incentivava na arte musical.
Inicialmente Le Corbusier desprezou o uso da proporção divina na arte, mas após a
publicação do livro “Esthétique des proportions dans la nature et dans lês arts” (A estética de
proporções na natureza e nas artes) de Matila Ghyka, que explora o número áureo, ritos e
111
112
Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 194.
Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 195.
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
163
ritmos pitagóricos, fez com que passasse a admirar a matemática na arte. A fascinação pela
beleza estética e pela Razão Áurea tinha duas origens, primeiro pelo interesse das formas e
estruturas por trás da natureza e segundo pela música onde podia apreciar uma harmonia
provocada por razões de números.
Le Corbusier, entre 1942 e 1948, desenvolveu um sistema de medição buscando uma
proporção padronizada, assim criou o sistema proporcional chamado “Modulor”, módulo de
ouro. Baseado na razão de ouro e nos números de Fibonacci e usando também as dimensões
médias humanas, digamos que o “O Modulor” fornecia “uma medida harmônica”.
Figura 109: O Modulor 113
O Modulor publicado em 1950, era um homem com altura em média de 1,75m, com
um de seus braços erguidos chegando à uma altura total de 2,16m, aproximadamente,
representado no item 1 da figura. Já em 1955, Le Corbusier publicou o Modulor 2, com
estatura de 1,83m de altura, item 3 da figura 109.
Podemos observar que a razão entre a altura do homem e a altura de sue umbigo foi
escolhida precisamente em uma Razão Áurea, e que a altura total que vai dos pés até o braço
levantado, também estava dividida na razão áurea. Estas razões estão interligadas com a
seqüência de Fibonacci, cada número sendo igual à soma dos dois anteriores a ele. Na versão
final do Modulor foram introduzidas duas escalas de dimensões de Fibonacci, dando o nome
de “série azul” e “série vermelha”, sendo as dimensões da primeira o dobro das dimensões da
segunda. Além disso, as divisões de cada escala estão baseadas em proporção dos números de
Fibonacci.
A série vermelha é estabelecida a partir do plexo solar (o plexo solar, também
conhecido como plexo celíaco, é um agrupamento autônomo de células nervosas no corpo
humano localizado atrás do estômago e embaixo do diafragma perto do tronco celíaco na
cavidade abdominal. Também é considerado pelo Hinduísmo como um ponto de energia
chamado Manipura Chakra), sendo que a série vermelha é a altura média do homem. Já a
série azul, é altura do homem com o braço levantado, que coincide com a adição dos três
113
Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm
164
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
termos principais da série vermelha. Pela combinação dos termos principais das duas séries
obtêm-se os valores de ocupação do corpo humano.
A princípio, Le Corbusier partiu da estatura média do homem para determinar os
valores numéricos de vários comprimentos. Os valores inferiores assim encontrados foram
para a série vermelha. Os valores exatos pela divisão harmônica foram depois arredondados
tendo-se assim obtidos os chamados valores de aplicação, tomados como base para o estudo
das alturas da bancadas, cadeiras, mesas, balcões, janelas, muros, portas, etc.
Para construirmos as séries, seguiremos os seguintes passos: para a série vermelha,
vamos considerar um segmento AB sendo a altura média do homem de 1,75m, com o braço
totalmente levantado sobre a cabeça. Divida o segmento AB pela metade encontrando M o
ponto médio de AB. Em seguida, construa dois triângulos retângulos no qual o lado menor é
1
igual à do segmento AB, gerando os triângulos ACM e MDB, (figura 110).
4
Figura 110: Construindo a série vermelha (a) 114
Agora, dividida AM e MB em média razão gerando o ponto F e H, respectivamente,
da seguinte maneira: com a ponta seca do compasso em C e abertura CA trace um arco que
corte a hipotenusa CM no ponto E. Em seguida coloque a ponta seca do compasso em M e
com abertura até onde o arco cortou a hipotenusa trace um outro arco que corte o lado AM em
F. Trace uma paralela ao lado CA pelo ponto F encontrando na hipotenusa o ponto E. Repita o
processo no segmento HB, e assim sucessivamente, criando vários segmentos áureos.
114
Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re4.php
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
165
Figura 111: Construindo a série vermelha (b) 115
Na série azul, iremos seguir a mesma construção da série vermelha, tomando AB a
altura média do homem com o braço totalmente levantado sobre a cabeça. Trace uma
perpendicular ao segmento AB passando por A e marque nela a metade de AB. Una os pontos
AB
AB 5
B e C, encontrando assim o triângulo ABC de lados AB,
e hipotenusa
.
2
2
Figura 112: Construindo a série azul (a) 116
Com a ponta seca do compasso em C e abertura CA trace um arco que corte a
hipotenusa CB no ponto E. Em seguida coloque a ponta seca do compasso em B e, com
abertura até onde o arco cortou a hipotenusa, trace um outro arco que corte o lado AB em D.
Trace uma paralela ao lado CA pelo ponto D encontrando na hipotenusa o ponto E, e obtenha
um novo triângulo BDE.
115
116
Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re4.php
Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re4.php
166
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Figura 113: Construindo a série azul (b) 117
Repita o processo e obterá um outro triângulo BFG e, assim sucessivamente, dividindo
todos os segmentos áureos resultantes em média razão.
Figura 114: Construindo a série azul (c) 118
As duas séries, azul e vermelha, se intercalam de forma que os pontos F, M, H, J, etc,
da série vermelha dividem os segmentos AD, DF, FH... da série azul pela metade, e os pontos
D, F, H... da série azul dividem os segmentos FM, MH, HJ...da série vermelha em média
razão.
117
118
Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re4.php
Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re4.php
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
167
Figura 115: Série vermelha e série azul 119
Compare as duas séries na figura abaixo. Elas representam o Modulor 2 que segundo
Le Corbusier, é a perfeita ocupação do homem no espaço. A série vermelha representa a
altura média do homem enquanto a série azul representa a altura do homem com o braço
levantado.
Figura 116: As séries no Modulor 120
Este estudo feito por Le Corbusier é utilizado em diversos projetos, seja na construção
de um edifício ou até mesmo de um mobiliário. Por exemplo, a unidade de habitação
Marseilles, feita por Lê Corbusier em 1946, a torre de Tatlin e muitos outros trabalhos
envolvem o Modulor. Observe as figuras a seguir.
119
120
Fonte: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re4.php
Fonte http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg/dg_4t.php
168
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Figura 117: Unidade de habitação, Marseilles, 1946 121
Figura 118: Um exemplo de um edifício espiral, por Le Corbusier 122
Figura 119: Torre de Tatlin 123
Figura 120: Residência em Paris projetada por Le Corbusier 124
Na figura 120, Lê Corbusier projetou dois retângulos áureos, sendo um deles
representando “o corpo inteiro da casa” e o outro na vertical representado à esquerda da
escada.
121
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Corbusier.htm
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Corbusier.htm
123
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Corbusier.htm
124
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Corbusier.htm
122
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
169
Também foram produzidos móveis com estas proporções. Por exemplo, uma cadeira
de trabalho, apresentada no 4º Congresso Internacional de Pesquisa em Design, no Rio de
Janeiro de 11 à 13 de outubro de 2007.
“Os elementos gráficos que constituem o projeto, assim como as suas dimensões,
estão baseados nas medidas encontradas nas proporções áureas criadas a partir da figura
inicial do quadrado de lado de 800 mm. O sistema com todas as partes do objeto criado foi
gerenciado com a técnica de coordenação modular. A técnica de coordenação modular na
construção dos elementos da cadeira de trabalho forma a sua estrutura e seu corpo de acordo
as dimensões especificadas na série adotada, a partir do seu maior valor”. 125
Figura 121: Projeto Modular. Vista Lateral 126
Figura 122: Maquete eletrônica da carteira de trabalho 127
125
Fonte: 4º Congresso internacional de Pesquisa em Design realizado no Rio de Janeiro em 2007, disponível em
http://www.anpedesign.org.br/artigos/pdf/Projeto_de_carteiras_de_trabalho_utilizando_as_proporcoes_%85.pdf
126
Fonte: http://www.anpedesign.org.br/artigos/pdf/Projeto_de_carteiras_de_trabalho_utilizando_as_proporcoes_%85.pdf
127
Fonte: http://www.anpedesign.org.br/artigos/pdf/Projeto_de_carteiras_de_trabalho_utilizando_as_proporcoes_%85.pd
170
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
CAPÍTULO XI
O NÚMERO ÁUREO NA MÚSICA
A Grécia, do período antigo até a era medieval, tinha no currículo a música como parte
da matemática, e os músicos da época dedicavam seus estudos não só à música como também
para a compreensão da matemática nos tons musicais. O filósofo alemão Gottfried Wilhelm
Leibnitz escreveu: “A música é um exercício aritmético secreto, e a pessoa que se delicia com
ela não percebe que está manipulando números”.
De acordo com o dicionário, a música é uma sucessão de sons agradáveis ao ouvido.
Também podemos dizer que música é “ritmo e som”, ou seja, é uma combinação de sons
executados em determinada cadência. Para que a música seja agradável, precisa de uma
harmonia entre os acordes e isto é obtido usando a matemática, nas razões entre os números,
obtidos através do grande filósofo e matemático Pitágoras.
Os sons constituem o que chamamos de “escala musical”. Eles são definidos a partir
de relações matemáticas que, quando combinados, podem produzir sons agradáveis. Tudo que
soa ou impressiona o sentido do ouvido é chamado de som.
As oscilações produzidas pela vibração, por exemplo, da corda de violão, propagam-se
pelo ar, sob a forma de ondas, e atingem nosso ouvido, que só perceberá se as ondas tiverem
de 20 oscilações por segundo até 20.000 oscilações por segundo. Dentro desta faixa dos sons
audíveis, aqueles que têm oscilações mais baixas variando de 20 a 200 oscilações por segundo
são chamados de graves, os que têm oscilações entre 200 a 5000 são chamados de médios e as
mais altas que variam de 5.000 a 20.000 oscilações são chamados de agudos.
Para detectar os sons, o ouvido possui um mecanismo bastante complexo, e o
interessante é que o elemento principal na detecção das oscilações dos sons é a "cóclea", uma
pequena estrutura em espiral que atua seletivamente, espiral que tem a mesma estrutura que
uma espiral logarítmica. Observe a figura 123.
Figura 123: Ouvido 128
Os sons utilizados para produção de música possuem determinadas características
físicas, no que se refere às suas oscilações. Baseado nas sete notas musicais, Dó, Ré, Mi, Fá,
Sol, Lá e Si, veremos que a Matemática tem forte influência na variação dos sons. Usando
uma corda esticada, como num violão, podemos vibrá-la livremente e ela emitirá um
determinado som, por exemplo, um Dó. Ao reduzirmos o comprimento desta corda ao meio
iremos variar o som produzido, e este passará a produzir o mesmo tom (Dó), porém uma
oitava acima. Uma oitava é um intervalo das 12 notas musicais (incluindo os sustenidos ou
bemóis), ascendente ou descendente, entre duas notas do mesmo nome (por exemplo: Dó) e
que corresponde a uma razão entre as respectivas freqüências igual a 2, isto é, a oitava justa
superior de um som é produzida por um número de vibrações que é exatamente o dobro do
som fundamental.
128
Fonte: http://www.audionasigrejas.org/artigos/microfones.htm
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
171
Figura 124: Disposição das notas musicais em uma oitava 129
De modo geral, se vibrar livremente a corda com um determinado valor de oscilações
por segundo, esta emitirá uma nota, e ao reduzir o comprimento desta corda à metade,
mantendo a mesma tensão, ela irá vibrar com o dobro das oscilações iniciais, e será produzido
a mesma nota, porém, uma oitava acima da nota anterior.
Se reduzirmos o comprimento para 2/3 do original, terá então a nota Sol, e se
reduzirmos o comprimento para 3/4 do original, teremos a nota Fá. Nestes dois casos obtemos
Sol e Fá, pois a corda esta emitindo um Dó no comprimento original. Como podemos
perceber, usando determinadas frações do tamanho original de uma corda, podemos obter as
notas naturais da escala musical.
Pitágoras foi o primeiro a estabelecer uma escala de sons adequados ao uso musical,
formando uma série a partir da fração de 2/3, ou seja, na música corresponde ao intervalo
musical chamado de “quinta”. Usando uma sucessão de “quintas”, ele definiu as doze notas
musicais, sendo sete naturais, Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá e Si, e mais cinco notas acidentes, Dó#,
Ré#, Fá#, Sol#, e Lá#, cujo símbolo # é chamado de sustenido.
A escala com intervalos acusticamente perfeitos definida por Pitágoras foi usada por
muitos séculos. Com o Renascimento, novas idéias surgiram nas Artes em geral, e na Música
em particular, e os compositores começaram a inovar a teoria musical imposta até aquela
época, devido à necessidade de transpor as melodias para outras tonalidades. Com a escala
musical definida por Pitágoras, isso era impraticável, pois os intervalos só podiam ser usados
numa única tonalidade. Em outras palavras, se mudasse a tonalidade de uma melodia, os
intervalos entre as notas passariam a soarem desafinados.
Para que permitisse a transposição de um tom para outro, foi criada a “escala de
temperamento igual”, de Andréas Werkmeister, em 1691. Hoje, esta escala é chamada de
“escala temperada”, possuindo também doze notas (sete “naturais” e cinco “acidentes”), mas
em vez de preservar os intervalos fracionários de 2/3, 3/4, etc., as notas foram levemente
ajustadas, pois Werkmeister tomou o comprimento inteiro e dividiu-o exponencialmente em
doze partes, baseado na raiz duodécima de 2. Isso fez com que a relação entre qualquer nota e
sua vizinha anterior fosse sempre igual à raiz duodécima de 2 (aproximadamente 1,0594631),
o que permitiu, então, a execução de qualquer música em qualquer tonalidade. De modo geral,
podemos dizer que a escala temperada é uma progressão geométrica de razão
aproximadamente igual a 1,0594631.
Veja na figura 125, a seqüência com 13 termos dessa progressão geométrica que
representa a seqüência das notas da escala musical igualmente temperada, pois, 12 são seus
intervalos musicais compondo uma oitava. Por exemplo, o número 2 sobre o número
1,0594631 corresponde ao primeiro intervalo. O décimo terceiro termo já pertence à próxima
oitava, ou seja, inicia novamente a seqüência das notas musicais com o dobro da freqüência
anterior.
129
Fonte: http://www.profcardy.com/cardicas/musical.php?&width=1024
172
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Figura 125: Progressão geométrica de razão 1,0594631 130
A primeira oitava das notas musicais vai de Dó = 16,352Hz à Si = 30,868Hz. Assim,
se tomarmos a nota Dó como 16,352 Hz e formos multiplicando sucessivamente pelo número
1,0594631 vamos obter todas as freqüências das notas musicais da escala musical temperada.
Veja a construção da primeira oitava abaixo.
Dó= 16,352 Hz
Dó# = 16,352 x 1,0594631 = 17,325 Hz
Ré = 17,325 x 1,0594631 = 18,3545 Hz
Ré# = 18,3545 x 1,0594631 = 19,445 Hz
Mi = 19,445 x 1,0594631 = 20,602 Hz
Fá = 20,620 x 1,0594631 = 21,827 Hz
Fá# = 21,827 x 1,059461 = 23,125 Hz
Sol = 23,125 x 1,0594631 = 24,500 Hz
Sol# = 24,500 x 1,0594631 = 25,957 Hz
Lá = 25,957 x 1,0594631 = 27,500 Hz
Lá# = 27,500 x 1,0594631 = 29,135 Hz
Si = 29,135 x 1,0594631 = 30,868 Hz
Dó = 30,868 x 1,0594631 = 32,704 Hz
Tabela 2: Freqüência da notas musicais na primeira oitava
Se escolhermos uma nota, por exemplo, a nota Lá da primeira oitava, teremos uma
freqüência de 27,5Hz, na quarta oitava teremos uma freqüência de 220 Hz. Quando tivermos
percorrido mais uma oitava, a sua freqüência na quinta será de 440 Hz. Observe a escala da
figura 126.
55 Hz
220 Hz
110 Hz
Figura 126: Freqüência da nota Lá
440 Hz
880 Hz
131
Para obter a freqüência de uma nota na oitava acima, basta multiplicá-la por
12
 1
(1,0594631) , ou seja,  212  = 2 , por isto a freqüência da nota na oitava acima é o dobro




da freqüência da nota na oitava anterior. Segue a tabela 3 do exemplo anterior:
12
Nota
Lá
Lá#
Si
Dó
Dó#
Freqüência em Hz
220,0000
233,0818
246,9416
261,6255
277,1826
Nota
Ré
Ré#
Mi
Fá
Fá#
Freqüência em Hz
293,6647
311,1269
329,6276
349,2282
369,9944
Nota
Sol
Sol#
Lá
Freqüência em Hz
391,9954
415,3047
440,0000
Tabela 3: Freqüências das notas musicais
130
131
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/pgmuitoespecial.htm
Figura adaptada pela autora usando uma imagem disponível em http://br.geocities.com/pk_000000000/mus/teclado/2.htm
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
173
Podemos ilustrar este exemplo na figura abaixo, representando a escala desta oitava,
em que a freqüência da nota Lá é 220Hz e na oitava acima é 440Hz. Podemos ver que a razão
entre as oitavas é igual a 2.
Figura 127: Escala musical 132
Estas figuras mostram a representação da escala musical temperada feita pelo
professor Luiz Netto graduado em Matemática pela Faculdade de Filosofia Ciências e Letras
de Santo André, em São Paulo, e também formado em Música.
A figura 128 mostra como cresce as freqüências das notas musicais, ou seja, o número
de oscilações por segundo, de um som emitido por qualquer instrumento musical, em notação
polar. Percorremos a partir da nota Dó no gráfico em sentido anti-horário e para cada nota
temos um crescimento do valor da freqüência de um modo exponencial, dado pela expressão
kθ
 1
f = f i . 212  , onde f é a freqüência da nota, fi é o valor da freqüência inicial musical na




escala temperada, k é uma constante adotada para que todos os valores de uma oitava sejam
mostrados no desenvolvimento de 2π radianos e θ é o ângulo associado ao valor de r,
considerando 0 < θ < 2π .
Construindo a escala musical temperada de 12 intervalos, através da representação em
coordenadas polares teremos que cada ângulo corresponde a 30° ou
132
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/calculointervaos.htm
π
6
rad .
174
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Figura 128: Gráfico das freqüências das notas musicais 133
Observe que estão indicados para cada nota dois números que representam o valor das
freqüências destas notas distanciadas de uma oitava, ou seja, a freqüência das notas de mesmo
“nome” é o dobro da outra, percorrendo θ = 2π . O comportamento gráfico que a freqüência
(em Hz) de cada nota musical possui ao mudar de tom, é dado pela multiplicação da
freqüência por 1,0594631 e daí, o raio varia de acordo com a equação
 1
r =  2 12 




kθ
= 1,0594631k θ .
Figura 129: Raio da espiral 134
Abaixo podemos ver a espiral logarítmica, obtida em uma oitava (de Dó à Dó) e
também os termos da progressão geométrica em cada nota de uma oitava.
133
134
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/pgmuitoespecial.htm
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/repres_polar_esc_mus_temp.htm
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
175
Figura 130: Espira logarítmica em uma oitava 135
A tabela abaixo indica o ângulo de inclinação do vetor na espiral, para cada termo da
progressão geométrica.
rx
Ângulo
rx
Ângulo
(1,0594631)0 = 1
(1,0594631)1 = 1,0594631
(1,0594631)2 = 1,1224621
(1,0594631)3 = 1,1892071
(1,0594631)4 = 1,2599211
(1,0594631)5 = 1,3348399
(1,0594631)6 = 1,41421361
0°
(1,0594631)7 = 1,4983071
(1,0594631)8 = 1,5874011
(1,0594631)9 = 1,6817929
(1,0594631)10 = 1,7818042
(1,0594631)11 = 1,8877558
(1,0594631)12 = 2,0000000
210°
30°
60°
90°
120°
150°
240°
270°
300°
330°
360°
180°
Tabela 4: Variação do raio de acordo com o ângulo
Mas, o que tudo isto tem a ver com a razão áurea?
Nas figuras acima podemos observar a espiral logarítmica, que tem relação com o
número áureo e, além disso, podemos expressar a equação da escala musical temperada na
base áurea.
Na escala temperada temos que para r = 2,
135
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/repres_polar_esc_mus_temp.htm
176
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
 1 
r =  2 12 




kθ
12
2
kθ
= 21
kθ
=1
12
k θ = 12
k=
=2
sendo θ = 2π
12
⇒ k = 1,9098593
2π
1,9098593θ
 1 
= 1,05946311,9098593θ
Portanto, r =  2 12 




Para colocar esta equação da escala musical temperada de base 1,0594631 na base
áurea, ou seja, na base Φ , vamos considerar θ tal que 0 < θ < 2π , e m uma constante, de
modo que Φ mθ = 2 . Resolvendo a equação para m = 1, teremos:
Φθ = 2
log Φθ = log 2
θ . log Φ = log 2
θ .0,208978 = 0,30103
θ = 1,440483
Fazendo m θ = 1,440483, podemos calcular o valor para m, quando θ = 2π .
θ = 2π
m.2π = 1,440483
m = 0,2292599
Então, r = Φ 0, 2292599θ
Daí, r = 1,05946311,9098593θ = Φ 0, 2292599θ
Junto do número áureo, vem a seqüência de Fibonacci, que está presente na música e
também associado ao piano. Na primeira oitava temos os números 0, 1, 2, 3, 5 e 8, na segunda
oitava temos 13 e 21, na terceira oitava temos o 34 e o próximo número da seqüência de
Fibonacci é o 55 que está na quinta oitava e assim sucessivamente.
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
177
Figura: 131: Números de Fibonacci na escala musical 136
Os números de Fibonacci produzem efeitos na música que são os sons com intervalos
musicais mais agradáveis que aparecem na sexta maior. Sexta maior é a distância das notas
em 4 tons e meio ou 9 semitons. Por exemplo, podemos obter uma sexta maior por uma
combinação de Dó e Lá, sendo a freqüência de Dó aproximadamente 264Hz e a de Lá de
440 5
440Hz. A razão entre estas duas freqüências,
= , é uma razão entre dois números de
264 3
Fibonacci. Temos também que o som é agradável na sexta menor, ou seja, na distância em 4
tons ou 8 semitons. Por exemplo, considerando um Dó com freqüência aproximada de 528Hz
528 8
e um Mi com freqüência de 330Hz, a razão entre estas freqüências,
= , que é outra
330 5
razão entre dois números de Fibonacci, que é bem próxima do número Φ . A sexta maior e a
menor nos dão estas combinações que se aproximam de Φ e isto nos dá uma harmonia
agradável. Em geral, na contagem de notas e pulsos frequentemente aparecem relações com a
matemática que vêm sendo estudadas atualmente.
Recentemente em Michigan, em 1995, o matemático John F. Putz, sabendo a
possibilidade do uso da Razão Áurea na música, analisou a música de Mozart nos vinte e nove
movimentos de suas sonatas para piano. Estas sonatas geralmente são divididas em duas
partes: a Exposição e o Desenvolvimento e Recapitulação. Na primeira, o tema musical é
introduzido e na segunda, em que o tema principal é desenvolvido e recapitulado, estas peças
musicais são divididas em compassos. Putz examinou as razões entre os números dos
compassos nas duas seções das sonatas.
Nestes estudos, Putz obteve resultados favoráveis, pois na Sonata Nº 1 em Dó maior, a
primeira parte que é a Exposição, consiste em 38 compassos e na segunda a do
62
Desenvolvimento e Recapitulação, possui 62 compassos, a razão
= 1,63 é próxima de Φ .
38
Assim, comprova que a sonata não foi feita baseada na razão áurea e apesar de ter um
resultado sonoro agradável tudo indica que quanto mais perto esta razão estiver do número
ouro, mais bela será a sonata.
Um compositor que provavelmente usou a Razão Áurea de forma proposital foi o
húngaro Béla Bartók, um pianista que misturava o clássico com o folclore. O musicólogo
Ernö Lendvai analisou a música de Bartók e concluiu que a principal característica de sua
técnica é a “obediência” às leis da “Seção Áurea” em cada movimento. Exemplo disso é um
movimento da fuga de “Música para cordas, percussão e celesta” em que 89 compassos dos
movimentos são divididos em duas partes, uma com 55 compassos e a outra com 34
compassos. Esta divisão foi feira no mais alto, em termos do volume da sonoridade. Veja na
figura:
136
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/sons_fibonacci.htm
178
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Figura 132: Divisão dos 89 compassos em duas partes 137
Dentro destas divisões foram feitas outras, uma marcada pela colocação ou retirada de
surdinas, ou seja, a diminuição do som dos instrumentos, e outra na mudança de textura. A
primeira divisão (com 55 compassos) foi dividida em duas partes, a primeira com 34
compassos e a segunda com 21 compassos, onde as cordas removem surdinas. Já na segunda
divisão dos 89 compassos, contendo 34 compassos, foram divididos em 13 e 21 compassos, e
as cordas substituem surdinas. A figura abaixo expõe as divisões desses compassos.
Figura 133: Divisão dos 55 compassos e dos 34 compassos 138
Continuando a divisão dos compassos teremos que nesta última, os 34 compassos em
que as cordas removem surdinas, ficaram divididos em 21 compassos sendo o tema e na outra
divisão em que as cordas substituem surdinas, os 21 compassos foram divididos em 13 e 8
compassos. A figura 134 retrata todo o procedimento:
Figura 134: Divisão dos 34 compassos e dos 21 compassos 139
137
Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 214.
Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 214.
139
Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 214.
138
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
179
Todos os números dos compassos são números da seqüência de Fibonacci, com as
razões próximas da Razão Áurea e como sabemos a seqüência converge para Φ . Não é só
nesta obra que encontramos a seqüência de Fibonacci, ela também aparece na peça de piano
solo Reflets dans l’eau (reflexos na água), a mesma semelhança nos esboços sinfônicos La
Mer (O Mar), na peça para piano Jardins sous la pluie (Jardins sob a chuva), todas do
compositor francês Claude Debussy. Ele comenta a obra Jardins sous la pluie em uma carta
enviada ao seu editor Jacque Durand, nela ressalta o uso de um compasso que faltava na
composição e escreveu: “Contudo, ele é necessário, no que diz respeito ao número; o numero
divino”. Tudo indica que Debussy se referia à razão áurea e o “número divino” tinha um papel
importante.
Visto anteriormente que as freqüências das notas musicais caminham em torno de uma
equação exponencial e analisando a espiral de freqüências de uma oitava, podemos ter uma
relação entre os números de Fibonacci e a espiral, ou melhor teremos uma espiral de
Fibonacci em que as linhas poligonais da figura abaixo guardam uma relação métrica que se
relaciona com o número de ouro, ou relação áurea, Φ .
A envoltória dessas linhas é uma espiral cuja equação é r = Φθ , 0 ≤ θ ≤ 2π , na forma
Polar. Todos os sucessivos triângulos obtidos são triângulos semelhantes, portanto seus
respectivos ângulos correspondentes são iguais entre si.
Figura 135: Espiral logarítmica formada por triângulos 140
No primeiro triângulo consideramos θ = 1 radiano, calculamos o seu valor em graus,
180
π 180°
⇒ x=
≅ 57° .
temos que =
1
3,14
x
Como ângulo de inclinação vale aproximadamente 57°, aplicando relações
trigonométricas temos que os outros ângulos são iguais a 38º e 85°.
140
Cenas da animação disponível em http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm44/espiralogaritmica.htm
180
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Figura 136: Construção da espiral 141
O raio, da espiral é dada pela expressão r = Φθ , onde θ = 1 rad. Daí, r = Φ ou
podemos dizer, r = 1,618 aproximadamente. Os outros são conseqüências do produto do valor
da primeira seguidamente.
Para calcular o comprimento da linha z, calcularemos as medidas dos catetos do
triângulo retângulo pela relação trigonométrica e Teorema de Pitágoras.
Calculando a:
a = r cos 57°
a = 1,618. 0,5403023
a = 0,8742091
Figura 136: Triângulo retângulo (a) 142
Calculando b:
r 2 = a2 + b2
1,618 2 = 0,87420912 + b 2
2,617924 = 0,764313 + b 2
b 2 = 1,8536109
b = 1,3614738
Figura 137: Triângulo retângulo (b) 143
Calculando z:
d = 1 − 0,8742191 = 0,1257909
z 2 = b2 + d 2
z 2 = 1,3614738 2 + 0,1257909 2
z 2 = 1,8694342
z = 1,3672725
Figura 138: Triângulo retângulo (c) 144
141
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/linhas_poligonais_fibonaccianas.htm
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/linhas_poligonais_fibonaccianas.htm
143
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/linhas_poligonais_fibonaccianas.htm
144
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/linhas_poligonais_fibonaccianas.htm
142
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
181
Portanto a primeira linha poligonal de Fibonacci é aproximadamente 1,37. Para
calcular as demais linhas, basta saber o valor do próximo raio da espiral e usar o Teorema de
Pitágoras.
Figura 139: Linhas Poligonais de Fibonacci 145
De maneira geral, podemos representar a espira logarítmica e a espiral de Fibonacci
em um mesmo plano.
Figura 140: Exponencial Fibonacciana 146
A estrutura é a mesma da concha do náutilo, (observe as espirais da figura 141), e
podemos concluir que espiral logarítmica está presente não só na musica como também na
natureza.
145
146
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/linhas_poligonais_fibonaccianas.htm
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/linhas_poligonais_fibonaccianas.htm
182
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
Figura 141: Comparando as estruturas das espirais logarítmicas 147
Além disso, encontramos a mesma curva no violino, um instrumento musical que
chama a atenção por sua beleza tanto no som que ele emite quanto na sua aparência.
Alguns violinos famosos foram feitos por Antonio Stradivari, (1644-1737) que é o
nome mais conhecido da luteria (arte de fabricar instrumentos musicais). Ele trabalhou numa
oficina de Cremona, na Itália, e revolucionou a produção de violinos, violas e violoncelos.
Um dos vários segredos da beleza estética dos violinos de Stradivari reside em que o seu
construtor desenhava-os utilizando Seção Áurea, que representa um elemento de equilíbrio
estético. O arco plano na base é centrado no ponto da Seção Áurea, a partir da linha do centro.
Desenhos originais de Stradivari, na figura abaixo, mostram que ele se preocupava em
dispor geometricamente e em posições determinadas pela Razão Áurea, o lugar dos ouvidos
ou das aberturas acústicas, os “efes”, estes orifícios que deixam os sons amplificados pelo
corpo do instrumento atingir o espaço externo.
Figura 142: Desenho de Stradivari 148
As outras partes do violino assim como as aberturas acústicas, também estão nas
proporções áureas. Como a razão entre o tamanho do braço e o comprimento total do
instrumento, bem como a voluta que obedece a mesma proporção que as conchas de nautilus,
na forma de uma espiral logarítmica.
147
148
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/calculointervaos.htm
Fonte: LIVIO, M., Razão áurea: a história de Fi, um número surpreendente, 2ª ed., Rio de Janeiro Record, 2007, página 209.
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
183
Figura 143: As proporções no violino 149
Portanto, vimos que número de ouro está presente na música de modo geral, seja nas
escalas musicais, na divisão dos compassos, nas famosas sinfonias como a Sinfonia nº 5 e a
Sinfonia nº 9 de Ludwig van Beethoven e em outras diversas obras, também na estrutura do
violino. Outro exemplo interessante, registrado na Revista Batera em um artigo sobre o
baterista de jazz Max Roach, é que em seus solos curtos, aparecem tal número, se considerar
as relações que aparecem entre tempos de bumbo e caixa.
“A música é ao mesmo tempo um sentimento e uma ciência. Ela exige da parte
daqueles que cultivam, interpretes ou compositores, uma inspiração natural que só se
adquirem através de longos estudos e profundas meditações. A reunião do saber e da
inspiração constitui a arte.” Berlioz.
“O homem que dedilha Bach ou Beethoven dedilha sobre logaritmos.” Frase do Prof.
Luiz Barco.
149
Fonte: http://members.tripod.com/caraipora/proporouro.htm
184
FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Física na Escola, v.5, n.2, 2004.
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• HUNTLEY, H. E., A divina proporção - Um ensaio sobre a beleza na matemática, Editora
UnB, Brasília, 1985.
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Record, 2007.
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Setembro de 2006, pp. 151-159.
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• Sites pesquisados
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http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re4.php
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