O SOFTWARE RÉGUA E COMPASSO: POSSIBILIDADES DE
CONSTRUÇÃO DE CONCEITOS GEOMÉTRICOS
Jozeildo José da Silva
Filomena Maria Gonçalves da Silva Cordeiro Moita
Universidade Estadual da Paraíba, Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática, Brasil
[email protected], [email protected]
RESUMO
Este artigo retrata o uso das tecnologias da informação no ambiente escolar e
sua inserção no processo ensino-aprendizagem da matemática, dando ênfase a
geometria dinâmica que permite um ensino pautado na construção e manipulação
dos elementos geométricos. Para isso, utilizamos como ferramenta o software
educacional Régua e Compasso, que possui licença GPL, sendo um software
gratuito e que funciona nos dois sistemas operacionais mais utilizados, Microsoft
Windows e Linux, indicado para uso em escolas públicas. No decorrer do artigo,
argumentamos sobre a possibilidade de contribuição para a construção de
conceitos geométricos através dos recursos presentes neste software.
Palavras-chave: matemática, geometria dinâmica, régua e compasso.
ABSTRACT
This article depicts the use of information technology in the school environment
and their integration in the teaching-learning of mathematics, emphasizing the
dynamics geometry that allows teaching based on the construction and
manipulation of geometric elements. For this, we use educational software as a
tool Compass and Ruler, which has GPL license, being a free software that works
in both operating systems most used Microsoft Windows and Linux, for use in
public schools. Throughout the article, we argue about the possibility of contribution
to the construction of geometrical concepts through the features present in this
software.
Keywords: mathematics, dynamics geometry, compass and ruler
1
Introdução
A cada dia, notamos que as novas tecnologias estão cada vez mais presentes entre as
pessoas, principalmente o uso do computador. Porém, seria um exagero afirmar que todos os
recantos do mundo possui uma sociedade que apresenta uma cultura pautada nas tecnologias
da informação para facilitar suas atividades cotidianas. Por outro lado, observando na cultura
de países que dominam o uso dessa tecnologia, observa-se que existe um perfil de
desenvolvimento econômico e social superior ao dos países em que a cultura tecnológica
inexiste ou é pouco presente.
Com essa visão, a escola, observando as mudanças ocasionadas pelo uso das tecnologias
e tendo o papel social de formar gerações aptas a enfrentar os desafios impostos pela
sociedade deve reconhecer que os alunos, desde as anos iniciais de ingresso no âmbito
escolar devem estar situados nessa cultura tecnológica, para que, como cidadãos sejam, como
produto do processo educacional, sujeitos ativos para o desenvolvimento tecnológico da
sociedade em que vivem.
Assim, “as pessoas precisam ser inseridas em uma cultura pautada numa reeducação em
relação ao ato de organizar a informação e disseminar conhecimentos” (LÈVY, 1993). Por isso,
é preciso que a sociedade acompanhe esses avanços e essas novas formas de agir e de
pensar; ou seja, a sociedade não pode ficar leiga aos avanços tecnológicos pautado na relação
homem x máquina, que tem origem nas próprias ações e necessidades do homem.
Em si tratando de ensino, adentrando na matemática e especificamente na geometria,
temos observado ao longo dos anos que nesse campo de estudo, os alunos possuem muita
dificuldade em formular conceitos e aplicá-los em problemas. Partindo desse pressuposto
iremos, ao longo do artigo, retratar o computador como recurso didático metodológico através
do uso do software “Régua e Compasso” que será retratado a seguir sua contribuição para o
ensino de geometria pautada na geometria dinâmica que permite ao aluno investigar
regularidades, fazer construções geométricas e explorar seus elementos. Enfim, o software
permite uma aprendizagem que possibilita a formação de um aluno mais ativo, participativo e
interativo no processo.
2
Escola, sociedade e Tecnologia
O ambiente escolar é, cada vez mais, recheado de crianças e adolescentes que apresentam
problemas de aprendizagem, principalmente em matemática e isso ocorre muitas vezes pela
falta de interesse e atenção aos conteúdos que estão sendo explorados, por outro lado, a
escola pode estar oferecendo um ensino que não corresponda com suas expectativas. Durante
as aulas, é normal observarmos que os alunos apresentem conversas paralelas sobre outros
assuntos que não sejam ligados aos conteúdos escolares, tais como: jogos eletrônicos, orkut,
chats, manchetes da internet, softwares, etc.
Será que a falta de interesse apresentada pelos alunos pode estar interligada a falta de
relação entre escola e sociedade? Esse é um questionamento que surge do fato de que as
tecnologias da informação através do uso do computador já são fatos presentes em seu
cotidiano.
Papert (2008, p. 52) caracteriza certas ações realizadas pela escola como algo “errado” e
comenta sobre o que ele acredita ser “certo” para uma eficaz relação entre a escola e o mundo
da informatização; e acredita que se os professores estiverem capacitados para a exploração
do uso da informática como método educativo, poderão compreender o processo de mudança
na escola como sendo um desenvolvimento e, por tanto, estarão aptos a entender os
processos de mudanças no comportamento das crianças.
O fato de a escola ignorar as mudanças ocorridas na maneira de educar faz com que os
alunos frutos dessa educação sejam sujeitos desatualizados, pois, para Moita (2007), vivemos
numa sociedade audiovisual eletrônica, que comporta um currículo cultural, ou seja, um
conjunto mais ou menos organizado de informações, valores, via produtos culturais (neste
caso, audiovisuais), que atravessam o cotidiano das pessoas e interferem em suas formas de
ver, de sentir, de pensar, de aprender.
3
Os softwares de geometria dinâmica e sua repercussão no ensino
A utilização de softwares dinâmicos apresenta-se como uma importante metodologia para o
ensino de geometria, este ambiente computacional permite aos alunos construírem figuras,
realizarem investigações sobre propriedades e conceitos matemáticos, manipulando o objeto e
seus elementos dinamicamente na tela do computador, além de identificarem especialmente as
características das figuras geométricas.
Em consonância as idéias de Zulatto (2002), a geometria dinâmica oferece uma nova
proposta que visa explorar os mesmos conceitos da geometria clássica, porém, através de um
software interativo. Assim, é possível disponibilizar representações gráficas de objetos
geométricos que aproximam o objeto material da tela do computador (desenho) ao objeto
teórico (figura), favorecendo o desenvolvimento de uma leitura geométrica dos desenhos por
parte do aprendiz, contornando, assim, uma das dificuldades do ensino da Geometria.
Entretanto, Borges Neto e Santana (2000) afirmam que um simples contato com a
tecnologia não garante uma aprendizagem satisfatória do aluno, destacando a importância do
planejamento cuidadoso das atividades e de professores bem preparados para atuar como
mediadores na aprendizagem e que sejam cientes da natureza das atividades baseadas em
tecnologia.
Além disso, a geometria vem sendo, em alguns casos, pouco trabalhada pelos professores,
esse fato ocorre, muitas vezes, pela falta de domínio deste campo matemático, sendo
priorizados os campos algébricos e aritméticos. Outro fato que colabora para isto é a geometria
ser confundida com o ensino de medidas, neste caso, os alunos praticamente não estudam
conceitos geométricos. Para Pires, Curi e Campos (2000), os conceitos geométricos são
importantes porque, por meio deles, o sujeito da aprendizagem desenvolve um tipo especial de
pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o
mundo em que vive.
Os softwares de geometria dinâmica possibilitam construções geométricas que também
podem ser feitos com os materiais concretos habituais, porém através dos recursos presentes
nesses softwares essas construções são realizadas com um tempo significantemente menor.
No que se refere a exploração do software, o aluno pode formular sua própria conjectura e
tentar verificas se são válidas. Isso é possível graças ao recurso “arrastar” presentes nesses
softwares que permite a simulação de diferentes casos da figura, verificando, portanto os casos
possíveis de configuração dessa figura geométrica.
Para Gravina (1996) existem duas possibilidades se explorar o software com os alunos;
uma delas seria processo de construção feito a partir das orientações do professor ou até
mesmo a partir de sua criatividade, uma segunda abordagem seria o professor entregar figuras
prontas para que os alunos possam explorar suas propriedades através da experimentação.
Um exemplo de atividade que pode ser citado é quando se entrega aos alunos uma
construção pronta representando um ângulo com uma bissetriz, neste caso, os alunos
poderiam aumentar ou diminuir esse ângulo, assim poderão ter mais segurança na formulação
do conceito de que a bissetriz de um ângulo é a reta que cruza seu vértice, dividindo-o em dois
ângulos de mesma medida ou mesmo de que a bissetriz de um ângulo é a reta que divide o
ângulo na metade.
Figura 1 – Bissetriz do ângulo AÔB”
Analisando a grande contribuição em utilizar softwares como metodologia de ensino e
tendo em vista algumas problemáticas em torno do ensino geométrico, escolhemos argumentar
sobre o software Régua e Compasso e sua possibilidade de contribuição para o ensino da
geometria. Este é um software de geometria dinâmica, que transforma a tela do computador
num ambiente interativo, onde o aluno pode construir e manipular os desenhos geométricos,
como se estivesse usando os instrumentos régua e compasso.
4
O software Régua e Compasso e o ensino da geometria
O software Régua e Compasso, em inglês C.a.R, uma abreviação de Compass and Ruler, que
significa Compasso e Régua, é um software alemão, cujo nome original é Z.u.L. "Zirkel und
Lineal" desenvolvido pelo professor René Grothmann da Universidade Católica de Berlim, na
Alemanha, cuja versão original no site http://zirkel.sourceforge.net/ .
O software está disponível em varias línguas, inclusive possui versão em português,
funciona nos sistemas operacionais Microsoft Windows e Linux, ideal para escolas públicas,
pois é gratuito e possui licença GPL (General Public License) e pode ser baixado acessando
http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/index.html .
Para Carvalho (2008), o software contém ferramentas para construções geométricas
(planas) com régua e compasso e com muita simplicidade consegue-se obter construções
geométricas, ela acrescenta que com apenas alguns cliques, pode-se marcar pontos, traçar
retas e circunferências, transportar distâncias, tirar paralelas e perpendiculares. Todos os
diagramas típicos de um texto de geometria plana podem ser feitos com precisão e rapidez
utilizando apenas o rato.
Por tanto, é observado que, contrariamente aos desenhos feitos com régua e compasso no
“mundo real”, as construções geométricas virtuais produzidas com o software Régua e
Compasso são dinâmicas: elas se movem sobre o comando do aluno, além disso, os pontos
geométricos iniciais de uma construção podem ser arrastados com o mouse mantendo-se as
relações matemáticas que vigoram entre eles e os demais objetos. Com isso, é permitido o
estudo de uma construção sob diferentes configurações de pontos, sem que seja necessário
realizar uma nova construção. Esse é um dos pontos fortes dos programas de Geometria
Dinâmica.
4.1 Os recursos presentes no software régua e compasso
O software “Régua e Compasso” possui várias ferramentas úteis para a construção e
exploração de elementos geométricos, porém mostraremos algumas ferramentas mais básicas
para a realização de construções e explorações.
Ponto – selecionando esta ferramenta e clicando na área de trabalho do software,
com o botão esquerdo do mouse, cria-se um ponto livre, móvel. Com ela é possível determinar
pontos fixos clicando com o botão direito do mouse sobre o ponto e marcando a opção “fixo”.
Reta – constrói-se uma reta, marcando-se dois pontos.
Segmento de Reta – Constrói-se um segmento de reta, marcando-se dois pontos
Semi-reta – a semi-reta é construída do mesmo modo que a reta e o segmento de
reta
Reta paralela – essa construção é feita clicando em uma reta, segmento de reta ou
semi-reta e depois em uma área livre.
Reta perpendicular – constrói-se clicando em uma reta e em um ponto.
Ponto Médio – é obtido clicando-se em dois pontos.
Círculo – marcando-se dois pontos A e B ou um segmento AB, sua construção é
feita clicando-se no ponto A e depois no ponto B, obtendo-se um círculo com centro em A,
passando por B. Essa circunferência tem raio móvel.
Círculo com raio fixo – marca-se um ponto (centro da circunferência), a seguir
marca-se outro ponto e digita-se a medida desejada para o raio, em uma janela que se abre
automaticamente.
Ângulo – marca-se o primeiro ponto, em seguida, o vértice do engulo e, por fim, o
último ponto.
Além das ferramentas mostradas o software dispõe de outras ferramentas com várias
utilidades na construção de elementos geométricos.
4.2 O recurso “arrastar” e sua contribuição para a verificação de conjecturas
O arrastar é uma das principais características positivas do software Régua e Compasso que,
segundo Cowper (1994) abre novas possibilidades para o ensino de geometria, baseado na
exploração, possibilitando que os conceitos básicos se tornem mais acessíveis para o aluno.
“Ao arrastar um objeto, pode-se observar todos os casos da figura possíveis para um mesmo
conjunto de figuras com a mesma propriedade”. (HENRIQUES, 1999, p. 53)
Uma questão importante levantada pelo recurso do arrastar é a possibilidade de verificar
conjecturas. Por exemplo, para um quadrilátero ser considerado um quadrado é necessário que
possua quatro lados e quatro ângulos congruentes (figura 2), porém na geometria dinâmica
isso só é verificado usando o recurso “arrastar”, pois se a partir da manipulação da figura, os
ângulos ou lados não se mostrarem congruentes, essa figura não poderá ser considerada um
quadrado, mesmo que antes do uso do recurso “arrastar” ela fosse considerada (figura 3).
Construção inicial
Construção após arrastar um dos vértices
Figura 2 – demonstração do recurso “arrastar” em figura geométrica regular
Construção inicial
Construção após arrastar o vértice B
Figura 3 – demonstração do recurso “arrastar” em figura geométrica irregular
Essa possibilidade de se verificar essa propriedade da figura é possível devido às
propriedades invariantes que ocorrem nas transformações possibilitadas pelo recurso arrastar
tratadas por Cowper (2004, p. 174), segundo ele, “estas relações são: paralelismo;
ortogonalidade; proporcionalidade (proporção de comprimentos), [dependendo da configuração
do software]; simetria pontual (rotacional); simetria axial (reflexivo); incidência (em alguns
casos)”.
Durante a fase de conjectura, o arrastar pode ser dividido em três modalidades de
estratégia para o desenvolvimento de atividades: arrastar sem um propósito definido
(“wandering draggin”), onde é possível encontrar ao acaso regularidades e configurações
interessantes; arrastar para testar (“dragging test”) onde se procura chegar a alguma hipótese
previamente levantada; e lugar geométrico pelo arrastr (“lieu muet dragging”) que significa que,
ao preservar algumas regularidades de uma figura, um certo lugar geométrico C é construído
empiricamente ao arrastar um ponto P (Oliveiro et al, 1998).
Vejamos um exemplo em que tentaremos verificar as propriedades presentes em um
quadrilátero formado a partir da união dos pontos médios MNOP de um quadrilátero qualquer
ABCD.
Nessa atividade, os alunos poderão optar pela estratégia de “arrastar sem propósito
definido”, arrastar os vértices do quadrilátero ABCD, para procurar formular alguma conjectura.
(figura 5)
Figura 5 – manipulação usando o recurso arrastar
A partir daí podem levantar a hipótese de que MNOP representa um paralelogramo e
usando os recursos de retas paralelas presente no software podem verificar se este
quadrilátero possui dois pares de lados paralelos. (Figura 6)
Figura 6 – uso de retas paralelas para verificar conjecturas
Os alunos, podem também usar o recurso para medir seus lados e perceber se com a
manipulação da figura os lados opostos mantêm as mesmas medidas, atualizadas
simultaneamente. (figura 7).
Figura 8 – verificação de conjecturas a partir de medidas dos lados de um quadrilátero
5
A pesquisa
A pesquisa se caracteriza como um estudo de caso e foi realizada numa escola pública
municipal de Orobó, interior de Pernambuco que possui 1 laboratório de informática com 10
computadores. O público alvo foi constituído por 8 alunos do 7º ano (6ª série) do Ensino
Fundamental com faixa etária entre os 10 e 13 anos de idade organizados em duplas,
nomeadas por “A”, “B”, “C” e “D”, cuja amostra se deu de forma aleatória.
Os alunos colaboradores participaram de 5 encontros/aulas iniciais com duração média de
1 hora cada um, em que foi abordada a apresentação e a utilização dos recursos presentes no
software. Após essa etapa, foram propostos mais 3 momentos/aulas com 1 atividade cada.
Todas as atividades com elementos geométricos pré-construídos, pois o objetivo do estudo não
foi a construção geométrica e sim a observação do comportamento dos alunos para verificar
como eles se apropriam dos conceitos geométricos a partir do software. Nessas atividades os
alunos estavam livres para consultar materiais como livro de matemática e caderno de
anotações.
Figura 9 – Atividade 1, envolvendo quadriláteros
A atividade 1, envolvendo quadriláteros é composta por três quadriláteros, sendo um
quadrilátero irregular (letra “a”), um quadrado (letra “b”) e um retângulo (letra “c”). Pela simples
observação os alunos das duplas “A” e “D” consideraram que os quadriláteros apresentam
indícios que podem conduzir a classificá-los como semelhantes e regulares. Porém apresentam
propriedades distintas após os alunos medirem seus lado e ângulos e arrastar seus vértices.
Nesta atividade os alunos tiveram a oportunidade de comparar os quadriláteros, formular suas
conjecturas e associá-las as propriedades apresentadas a partir da exploração de seus
elementos constituintes (lados, pontos, etc.).
Figura 10 – Atividade 2, envolvendo polígonos regulares
Na atividade 2, as 4 duplas perceberam que polígonos regulares possuem lados e ângulos
congruentes. É importante também destacar que antes de realizar as atividades, os alunos
tiveram que fazer as medidas dos lados e ângulos para que pudessem levantar hipóteses e
conclusões, já que, inicialmente, elas não estavam expostas neste hexágono.
Figura 11 – Atividade 3, triângulo já explorado pelo recurso arrastar
Na atividade 3, os alunos da dupla “B”, de início, se mostraram acreditar que o triângulo se
caracterizava como eqüilátero. Porém, ao realizar as medições de seus lados e ângulos, e
seguir a orientação da atividade puderam ter a possibilidade de perceber mudanças nas
propriedades desse triângulo e, de acordo com as definições classificá-los como isósceles, pelo
fato de que ele possui dois lados e ângulos congruentes e mesmo que movendo seus vértices
suas características permanecem a mesma.
6
Considerações
A partir do artigo é notável perceber que a escola precisa ter um novo olhar para o ensino e
tentar aproximá-lo dos avanços ocasionados pelas tecnologias se valendo de recursos
tecnológicos enquanto métodos didáticos de ensino. Para os professores de matemática, ao
expor conteúdos envolvendo polígonos sugerimos que sejam oferecidas oportunidades para
que os alunos possam manipular, explorar e verificar propriedades de elementos geométricos,
ao invés de apenas levantar conclusões a partir da observação “estática” de seus elementos
constituintes.
Durante a pesquisa foi possível perceber a contribuição que o software “Régua e
Compasso” pode oferecer ao ensino da geometria, pois permite ao alunos a investigação de
conjeturas a partir da exploração de elementos geométricos, contribuindo com a formulação de
conceitos por meio da manipulação desses elementos.
Vale ressaltar que o software apesar de contribuir para a exploração da geometria dinâmica
e enriquecer o ensino de geometria, também possui algumas limitações como, por exemplo, a
representação de uma raiz quadrada ou potência que não se encontram disponível no
software.
Assim, pela pouca abordagem nas escolas do Brasil, consideramos que a geometria
dinâmica necessita ter maior foco enquanto parte integrante do currículo de matemática nas
escolas, por oferecer ao aluno oportunidades de aprender pela exploração, ao invés de
aprender apenas pela observação. Esse é um dos pontos fortes da geometria dinâmica.
Referências
BORGES NETO, H.; SANTANA, J. R. Resolução de problemas mediadas por
instrumentos no ensino de geometria com uso do computador,
disponível em:
www.multimeios.ufc.br/arquivos/pc/congressos/congressos-resolucao-de-problemas-medidaspor-instrumento. 2000.
CARVALHO, Maria José. O Que é o C.a.R.? Universidade Católica Portuguesa. Portugal.
Disponível em <http://carmate.weebly.com/o-que-e-o-car.html > acesso em 23 de outubro de
2008.
COWPER, W. Exploring drag-mode geometry. In: Discovering geometry with a computer
– Using Cabri Géomètre. Heinz Shumann and David Green. Ed. Shartwell-Brat, 1994.
GRAVINA, M. A. Geometria dinâmica: uma nova abordagem para o aprendizado de
geometria. In: Simpósio brasileiro de Informática na Educação,7., 1996. Belo Horizonte,
Anaisd Belo Horizonte, 1996
HENRIQUES, A. Ensino e aprendizagem da geometria métrica. (Dissertação: Mestrado
em Educação Matemática) – Universidade Estadual Paulista – Rio Claro, 1999.
LÈVY, P. As tecnologias da inteligência: o futuro do pensamento na era da informática.
Rio de Janeiro: Editora 34. 1993.
MOITA, F. Games: contexto cultural e curricular de “saberes de experiências feitas”. In:
SILVA, E; MOITA, F e SOUZA, P. Jogos eletrônicos: construindo novas trilhas. EDUEP:
Campina Grande, 2007.
OLIVEIRO, F. ARZARELLO, F. MICHELETTI, C; ROBUTTI, O. Dragging in Cabri and
modalities of transition from conjectures to profs in geometry. PME. Stellenboch. South
Africa, 1998.
PAPERT, Seymour.
A máquina das crianças: repensando a escola na era da
informática. Porto Alegre: Artes Médicas, 2008.
PIRES, C. M. C., CURI, E., CAMPOS, T. M. M. Espaço e forma: a construção de noções
geométricas pelas crianças das quatro séries iniciais do ensino fundamental. São Paulo,
PROEM. 2000.
ZULATTO, R. B. A. Professores de Matemática que Utilizam Softwares de Geometria
Dinâmica: Suas Características e Perspectivas. Dissertação de Mestrado, Instituto de
Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2002.