Lista Revisão UFRJ – ARRANCADA FINAL
1) Considere a figura, onde estão sobrepostos os quadrados OX1Z1Y1 , OX 2 Z 2Y2 , ...., OX n Z nYn ,
formados por pequenos segmentos medindo 1 cm cada um. Sejam An e Pn a área e o perímetro,
respectivamente, do n-ésimo quadrado.
Considere a seqüência
( B1 , B2 ,..., Bn ) , definida por
A
Bn  n . Calcule a soma
Pn
dos 40 primeiros termos
dessa seqüência, isto é,
B1  B2  ...  B40 .
2) Considere f uma função polinomial de primeiro grau tal que f(f(x)) = 9x + 8, para todo x real.
Essa função é crescente e (2, 5, 8, ..., 44) é uma progressão aritmética de razão 3. Calcule o
valor numérico de f(2) + f(5) + f(8) + ... + f(44).
3) Calcule o valor do número natural n que satisfaz a equação:
log10 (0,1)  log10 (0,1)2  log10 (0,1)3  ...  log10 (0,1) n = - 15
1 0 
 x
X

4) Considere as matrizes A e X abaixo: A = 
e

 y
 2 3
 
Chama-se autovalor de A qualquer valor real de  que faz com que a equação matricial
AX   X tenha soluções não nulas para X. Determine os autovalores de A.
5) Na figura a seguir, temos um cubo ABCDEFGH de aresta a = 6 cm. Os pontos I, J, K, L, M e N
são pontos médios das arestas a que pertencem. Determine o volume da pirâmide de base
hexagonal IJKLMN e vértice H.
1
Lista Revisão UFRJ – ARRANCADA FINAL
6) A circunferência abaixo tem raio 1, o arco AB mede 70º e o arco BC mede 40º. Calcule a área
da região limitada pelas cordas AB , AC e pelo arco BC.
7) As três provas de um vestibular devem ser realizadas na primeira semana do ano. Calcule de
quantos modos é possível escolher os dias das provas de modo que não haja provas em dias
consecutivos.
8) Observe a figura que representa o projeto de uma escada com 6 m de comprimento, 2 m de
largura. Cada degrau tem 25 cm de altura e x cm de largura, sendo x um inteiro múltiplo de 40.
Esta escada pode ser construída com formas diferentes porque as larguras dos degraus podem
variar. Apenas com essas condições, calcule o número de formas distintas que essa escada pode
ter.
9) As alturas de um triângulo medem 12, 15 e 20. Calcule o maior ângulo interno desse triângulo.
10) Sobre o segmento AB, que mede 12 cm, construímos três triângulos eqüiláteros: ACP, DNP
e BEM. Se AP = PN = x, calcule o valor de x, em cm, para que a soma das áreas dos três
triângulos seja mínima.
E
C
A
D
P
2
N
B
Lista Revisão UFRJ – ARRANCADA FINAL
11) (1º) Resolva a equação: x4  5x  6  0
(2º) Mostre que, se a e b são números reais e se não são ambos nulos, então as raízes da
equação x4  ax  b  0 não podem ser todas reais.
12) Seja p um número real positivo. Se sen(2  ) = 2p e sen  = 3p, 0 <  <  /2, calcule o valor
de p.
13) Um holofote situado na posição (-5,0) ilumina uma região elíptica de contorno x² + 4y² = 5,
projetando sua sombra numa parede representada pela reta x = 3, conforme ilustra a figura
abaixo.
Considerando o metro a unidade dos eixos, calcule o comprimento da sombra projetada.
14) Considere a superfície esférica E de equação x2  y 2  z 2  2 x  2 z  4  0 e o plano P de
equação x  2 y  z  12  0 . Determine o ponto de E mais próximo de P.
Numa urna há:
- uma bola numerada com o número 1;
- duas bolas com o número 2;
- três bolas com o número 3, e assim por diante, até n bolas com o número n.
Uma bola é retirada ao acaso desta urna. Admitindo-se que todas as bolas têm a mesma
probabilidade de serem escolhidas, qual é, em função de n, a probabilidade de que o número da
bola retirada seja par?
15)
3
Lista Revisão UFRJ – ARRANCADA FINAL
16) A figura dada abaixo representa dois cones cujas bases são seções planas em uma esfera.
As geratrizes de um cone são os prolongamentos das geratrizes do outro e os raios das seções
medem 1 cm e 4 cm, sendo 5 cm a medida da distância entre os planos paralelos que as
contém.
5 cm
Calcule a área da superfície da esfera.
17) A função a seguir expressa, em função do tempo t (em anos), aproximadamente, a
população, em milhões de habitantes, de um pequeno país, a partir de 1950 (t = 0). Um esboço
do gráfico dessa função, para 0  t  80 , é dado na figura.
De acordo com esse modelo matemático, calcule em que ano a população atingiu 12 milhões de
habitantes. (Use as aproximações log3 2 = 0,6 e log3 5 = 1,4).
4
Lista Revisão UFRJ – ARRANCADA FINAL
18) A tabela abaixo indica os preços e os diâmetros de bolinhos que têm forma esférica.
a) Suponha que João comeu apenas um bolinho grande e Mariana comeu exatamente cinco
pequenos. Calcule a percentagem do volume que João comeu a mais do que Mariana.
b) Foram arrecadados 40 reais na venda de 25 unidades de bolinhos.Calcule a quantidade
vendida de cada tipo, sabendo que o número de bolinhos grandes foi o maior possível.
19) As engrenagens E1 e E2 , de raios 3cm e 8cm, respectivamente, estão em contato na origem
do plano de Argand-Gauss representado na figura abaixo (o eixo real passa pelo centro das
engrenagens) . O giro da engrenagem E1 , no sentido horário e com velocidade constante,
acarreta um movimento circular uniforme da engrenagem E2 . No início do movimento, os pontos
A e B pertencentes, respectivamente, às engrenagens E1 e E2 , estão juntos na origem do
sistema. Quando o ponto A coincide, pela primeira vez, com o afixo de um complexo z de
5
argumento principal ,
o ponto B coincide com o afixo de um complexo w.
6
E2
E1
Sabendo que a velocidade angular dos pontos A e B são inversamente proporcionais aos raios de
E1 e E2 , determine a forma algébrica do complexo w.
20) Uma loja pratica uma taxa de juros composta de 2% ao mês em suas vendas a prazo, sendo
que as prestações mensais cobradas são sempre iguais, com a primeira delas no ato da compra.
Determine o valor P de cada prestação, em função do número n de prestações a serem pagas,
para um produto cujo preço a vista é R$1.000,00.
5