COLÉGIO ETIP
NIVELAMENTO BÁSICO DE MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
INTEGRADO À INFORMÁTICA
PROFESSOR RUBENS SOARES
SANTO ANDRÉ 2012
MEDIDAS DE SUPERFÍCIES (ÁREA):
No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de
unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a
unidade imediatamente inferior:
MEDIDAS DE VOLUMES:
Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal,
devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a
unidade imediatamente inferior.
MEDIDAS DE CAPACIDADE ( LITROS):
Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal,
devemos lembrar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a
unidade imediatamente inferior.
MEDIDAS DE MASSA:
Transformação de Unidades. Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a
unidade imediatamente inferior.
MEDIDAS DE DISTÂNCIAS ( COMPRIMENTO)
Transformação de Unidades
MEDIDAS DE TEMPO
Múltiplos e Submúltiplos do Segundo
Quadro de unidades Múltiplos:
Minutos
hora
dia
min
h
d
60 s
60 min = 3.600 s
24 h = 1.440 min = 86.400s
São submúltiplos do segundo:
Décimo de segundo
Centésimo de segundo
Milésimo de segundo
Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o
sistema de medidas de tempo não é decimal.
Observe:
Exercícios de Medidas de Comprimento
1) Complete a tabela fazendo as transformações:
3 km=
m
3,5 m=
12 m =
dm
7,21m=
4 cm=
mm
2) Quanto vale em metros:
a) 3,6 km + 450 m
b) 6,8 hm - 0,34 dam
c) 16 dm + 54,6 cm + 200 mm
d) 2,4 km + 82 hm + 12,5 dam
e) 82,5 hm + 6 hm
cm
cm
Exercícios de Medidas de Capacidade
1) Sabendo que 1Kl tem 1000 l, quanto kl tem:
a) 37 l =
b) 3750 l =
c) 44185 l =
2) Transforme as medidas, escrevendo-as na tabela abaixo:
a) 0,936 kl em dl
b) 7,8 hl em l
c) 502 ml em l
Quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro
kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
3) Complete a tabela com os valores equivalentes em litros:
Quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro
kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
Exercícios de Medidas de Massa
1) Leia a medida em grama e monte a tabela eabaixo:
Quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
Kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
a) 9 5, 1 2 0 6
b) 0, 4 9 2
c) 1 2 3 5, 5
d) 1 3
2) Efetue as seguintes transformações:
a) 2,5 mg em g
b) 9,56 dg em mg
c) 0,054 hg em cg
Exercícios de Medidas de Superfície
Efetue as seguintes transformações:
a) 5 m² em dm²
b) 12 km² em dam²
c) 13,34 dam² em m²
d) 457 dm² em m²
e) 655 dam² em km²
Exercícios de Medidas de Tempo
a) Uma hora tem quantos segundos?
b) Um dia tem quantos segundos?
c) Uma semana tem quantas horas?
d) Quantos minutos são 3h45min?
h) Quantos segundos têm 35 min?
i) Quantos segundos têm 2h53min?
j) Quantos minutos têm 12 horas?
Exercícios de Medidas de Volume
Dê a representação simplificada das seguintes medidas:
a) doze centímetros cúbicos.
b) três metros cúbicos e quinze decímetros cúbicos.
c) seis centímetros cúbicos e doze milímetros cúbicos.
d) quinze hectômetros cúbicos e cem metros cúbicos.
Efetue as seguintes transformações
a) 6m³ em dm³ d) 0,95 dm³ em mm³
e) 500 dam³ em m³
f) 8,132 km³ em hm³
b) 50 cm³ em mm³
c) 3,632 m³ em mm³
Como se lê uma fração
As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ...
um meio
dois quintos
um terço
quatro
sétimos
um quarto
sete oitavos
um quinto
quinze nonos
um sexto
um décimo
um sétimo
um
centésimo
um oitavo
um milésimo
um nono
oito
milésimos
Classificação das frações
Fração própria: o numerador é menor que o denominador:
Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.
Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador.
Frações equivalentes
Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.
Exemplo:
são equivalentes
Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o
denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.
Exemplo: obter frações equivalentes à fração
Portanto as frações
.
são algumas das frações equivalentes a
.
Simplificação de frações
Uma fração equivalente a
, com termos menores, é
obtida dividindo-se ambos os termos da fração
que a fração
A fração
é uma fração simplificada de
. A fração
foi
pelo fator comum 3. Dizemos
.
não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração
irredutível. A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem
nenhum fator comum
Números fracionários
Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a
sentença abaixo verdadeira?
5.X=1
Substituindo X, temos:
X por 0 temos: 5.0 = 0
X por 1 temos: 5.1 = 5.
Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos
o produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números.
Assim, surgem os números fracionários.
Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.
Portanto, uma fração
(n diferente de zero) e todas frações equivalentes a
ela representam o mesmo número fracionário
.
Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X =
, pois
.
Adição e subtração de números fracionários
Temos que analisar dois casos:
1º) denominadores iguais
Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os
numeradores e conservar o denominador.
Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os
numeradores e conservar o denominador.
Observe os exemplos:
2º) denominadores diferentes
Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter
frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores
das frações. Exemplo: somar as frações
.
Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.
(10:5).4 = 8
(10:2).5 = 25
Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e
depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador,
ou seja, utilizamos o caso 1.
Multiplicação e divisão de números fracionários
Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador
por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos
exemplos abaixo:
Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração
pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:
Potenciação e radiciação de números fracionários
Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um
determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a
esse expoente, conforme os exemplos abaixo:
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário,
estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o
exemplo abaixo:
Radiciação
Potenciação de Radicais
Observando as potencias, temos que:
De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar
o radicando àquele expoente. Exemplos:
Divisão de Radicais
Segundo as propriedades dos radicais, temos que:
De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o
índice e dividimos os radicais: Exemplos:
:
=
Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e
depois efetue a operação. Exemplos:
Racionalização de denominadores
Considere a fração:
que seu denominador é um número irracional.
Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por
obtendo uma fração equivalente:
Observe que a fração equivalente
,
possui um denominador racional.
A essa transformação, damos o nome de racionalização de denomindores.
A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um
fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um
ou mais radicais em seu denominador.
Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos
desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante,
de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.
Principais casos de racionalização:
1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos:
é o fator racionalizante de
, pois
.
=
=a
2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos:
é o fator racionalizante de
é o fator racionalizante de
é o fator racionalizante de
é o fator racionalizante de
Potência com expoente racional
Observe as seguintes igualdades:
ou
Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em
um radical.
De modo geral, definimos:
, com a R,m,n, N, a >0, n>0, m>0
Podemos também transformar um radical com expoente fracionário:
Propriedade das potências com expoentes racionais
As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para
os expoentes inteiros.
Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais,
temos que:
Exemplo:
Equações de primeiro grau
(com uma variável)
Introdução
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de
igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer
"igual". Exemplos:
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0
Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)
x - 5 < 3 (Não é igualdade)
(não é sentença aberta, nem igualdade)
A equação geral do primeiro grau:
ax+b = 0
onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples:
subtraindo b dos dois lados, obtemos:
ax = -b
dividindo agora por a (dos dois lados), temos:
Considera a equação 2x - 8 = 3x -10
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa "
desconhecida".
Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade
denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser
escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a
diferente de zero.
Equações de 2º grau
Definições
Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:
ax2 + bx + c = 0; a, b, c IR e
Exemplo:
2
• x - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6.
2
• 6x - x - 1 = 0 é uma equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1.
2
• 7x - x = 0
é uma equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0.
2
• x - 36 = 0
é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.
Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma
reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de
coeficientes.
a é sempre o coeficiente de x²;
b é sempre o coeficiente de x,
c é o coeficiente ou termo independente.
Equação completas e Incompletas
Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero.
Exemplos:
x² - 9x + 20 = 0 e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.
Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou
ainda quando ambos são iguais a zero.
Exemplos:
•
x² - 36 = 0
(b = 0)
•
x² - 10x =
0
(c = 0)
•
4x² = 0
(b = c = 0)
Discriminante
Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra
grega (delta).
Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:
De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:
1º Caso: O discriminante é positivo
O valor de
representadas:
.
é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim
Exemplo:
• Para quais valores de k a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais
e desiguais?
•
Solução
Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter
Logo, os valores de k devem ser menores que 3.
2º Caso: O discriminante é nulo
O valor de
representadas:
é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim
Exemplo:
• Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0
possua raízes iguais.
Solução
Para que a equação admita raízes iguais é necessário que
.
Logo, o valor de p é 3.
3º Caso: O discriminante é negativo
.
O valor de
não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As
raízes da equação são número complexos.
Exemplo:
• Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite
nenhuma raiz real?
Solução
Para que a equação não tenha raiz real devemos ter
Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.
Resumindo
Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos:
Para
, a equação tem duas raízes reais diferentes.
Para
, a equação tem duas raízes reais iguais.
Para
, a equação não tem raízes reais.
Aplicações do Teorema de Pitágoras
Exemplo 1:
Sendo a, b e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo,
indica, justificando, aqueles que são retângulos:
a) a = 6; b = 7 e c = 13; b) a = 6; b = 10 e c = 8.
Resolução:
"Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o Teorema de
Pitágoras então pode-se concluir que o triângulo é retângulo".
Então teremos que verificar para cada alínea se as medidas dos lados dos
triângulos satisfazem ou não o Teorema de Pitágoras.
a)
Logo o triângulo não é retângulo porque não satisfaz o Teorema de Pitágoras.
b)
Logo o triângulo é retângulo porque satisfaz o Teorema de Pitágoras.
Exemplo 2:
Calcula o valor de x em cada um dos triângulos retângulos:
a)
b)
Resolução:
a) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
Exemplo 3:
Calcula as áreas das seguintes figuras.
a)
b)
Resolução:
a)
b)
Exemplo 4:
a) Qual era a altura do poste?
Resolução:
h=4+5=9
Resposta: A altura do poste era de 9 m.
Exemplo 5:
b) Qual é a distância percorrida pelo berlinde.
Resolução:
Resposta:
A
distância
percorrida
265 cm = 2,65 m.
pelo
berlinde
é
de:
EXERCÍCIOS:
1) Os lados de um triângulo medem 10 cm, 24 cm e 26 cm, pode-se afirmar
que esse triângulo é retângulo?
Justifique a resposta.
2) O Rui antes de ir para a Escola passa pela casa da Teresa, percorrendo o
caminho indicado na figura ao lado. Que distância percorreria a menos se fosse
diretamente para a Escola?
3) A TV de plasma do Rui mede 112 cm de comprimento e a respectiva
diagonal mede 175 cm. Qual é a altura do aparelho?
4) O comprimento da diagonal do quadrado de perímetro 24 cm é: