MA13 – Exercícios das Unidades 14 e 15
2014
Lista 9
Geometria, Coleção Profmat, SBM.
Problemas selecionados da seção 6.3, pág. 275 em diante.
1) Seja ABCD um quadrado e E um ponto sobre o lado CD tal que AE = AB + CE .
ˆ B = 2 ⋅ FA
ˆD .
Sendo F o ponto médio do lado CD prove que EA
2) Os três mosqueteiros, Athos, Porthos e Aramis, discutiram, certo dia em uma
taverna. Após a briga, cada um seguiu seu caminho em direções que formavam 120 o
uma com a outra. Suas velocidades eram 10km/h, 20km/h e 40km/h, respectivamente.
Mostre que, em qualquer instante após a briga, as posições dos mosqueteiros eram
vértices de um triângulo retângulo.
3) Um hexágono convexo tem três lados consecutivos medindo a e os outros três
medindo b. Sabendo que tal hexágono está inscrito em um círculo de raio r pede-se:
a) Calcular r em função de a e b.
b) Calcular a área do hexágono em função de a e b.
4) Prove que em todo paralelogramo, a soma dos quadrados dos lados é igual à soma
dos quadrados das diagonais.
5) No triângulo ABC, p é o semiperímetro e R o raio do círculo circunscrito. Prove
que
sin A + sin B + sin C =
p
R
6) Seja ABC um triângulo tal que ABˆ C = 2 ⋅ ACˆ B . Mostre que b 2 = ac + c 2 .
7) Os lados de um triângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que o ângulo
maior excede o menor em 90o calcule a razão entre o maior e o menor lado do
triângulo.
8) Um triângulo ABC é tal que AB = 13 , AC = 14 e BC = 15 . Um círculo de raio R
tem centro sobre o lado BC e tangencia os lados AB e AC. Calcule o valor de R.
9) Seja ABC um triângulo de lados 4, 5 e 6. Escolhemos um ponto D sobre um dos
lados do triângulo e baixamos perpendiculares DP e DQ sobre os outros dois lados de
ABC. Calcule o menor comprimento possível do segmento PQ.
Problemas Suplementares
10) Qual é a natureza do triângulo de lados 19, 21 e 29?
11) Os lados de um triângulo medem 5, 7 e 8. Calcule o cosseno do maior ângulo.
12) Em um quadrante AOB de centro O e raio 1 o ponto M do arco AB é tal que a sua
distância ao raio OB é a metade da sua distância ao ponto A. Calcule MA.
13) Um trapézio isósceles tem bases de 4cm e 2cm e altura igual a 3cm. Determine o
cosseno do ângulo entre as diagonais.
14) Descreva um processo para calcular o raio da circunferência circunscrita a um
triângulo cujos lados são conhecidos.
15) Os lados de um triângulo medem 5, 7 e 8. Calcule a altura relativa ao maior lado.
16) Em um triângulo ABC mostre que o comprimento da mediana relativa ao vértice
Aé m=
1
2(b 2 + c 2 ) − a 2 .
2
17) Em um triângulo ABC mostre que o comprimento da bissetriz interna relativa ao
vértice A é β =
2
bcp ( p − a ) onde p é o semiperímetro do triângulo.
b+c