COLÉGIO IMPERATRIZ LEOPOLDINA
Aluno(a): ___________________________________________________ Nº: _____ Classe: 8ºAno/Turma___
São Paulo, _________________________________________.
Professor(a): Ana Rosa /Mariângela
PROJETO DE RECUPERAÇÃO FINAL DE MATEMÁTICA – 8 º ANO
PRODUTOS NOTÁVEIS
1) Quadrado de um binômio
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
( a – b )2 = a2 – 2ab + b2
2) Produto da soma pela diferença
( a + b ) ( a – b ) = a2 – b2
3) Cubo de um binômio
( a + b )3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
( a – b )3 = a3 – 3a 2b + 3ab2 – b3
1-) Aplicando as regras de produtos notáveis,desenvolva:
a-) ( 2 + 5x )2=
b-) ( 3a – 2b )2=
c-) ( 5a + 7 ) . ( 5a – 7 )=
d-) ( 3a2 – 1 )2=
e-) ( -6 – a )2=
f-) ( -y – 5x )2=
g-) ( x + yz ) . ( x – yz )=
h-) ( x – 1 )3=
i-) ( 2a + 3 )3=
j-) ( a + 2b )3=
k-) ( 2x – 3y )3=
l-) ( x + 1 )3=
m-) ( 3x + 2 ) . ( 3x – 2 )=
n-) ( a2 – 5 ) . ( a2 + 5 )=
Lembre-se que as potências de expoentes pares iguais e
bases opostas são iguais
Exemplo : (- x – y )2 = ( x + y )2
2-) Calcule o valor da expressão ( 5x – 6y )2 + 60xy para x= 1 e y= -1
3-) Calcule as expressões usando as regras dos produtos notáveis :
.
a) ( x + 5 )2 – x ( x + 10 ) =
b) ( x + 3 )( x – 3) – x2 =
c) ( x – y) 2 + ( x – y) ( x + y ) – ( x + y )2 =
d) ( a + b )3 - 3ab ( a + b ) – b3 =
e) (2a + 1)3 – 6a(2a + 1)=
f) ( x + y)(x – y) + ( x + y)2 – 2xy =
g) x (3x - 2) + (2x – 1 ) 2=
h) ( a – b )3 – 3ab (b - a ) =
i) y (3y - 2) + (3y – 1 ) 2=
j) ( 4a – b )3 – 3ab (4b - a ) =
4-) Sendo A = x + 5 e B = x2 - 10, e C = 9x, calcule o valor da expressão A2 – B + C .
5 -) Se a2 + b2 = 35 e ab = 5 , calcule o valor de ( a - b )2 .
6-) Sendo A = x - 4 e B = x2 + 9, e C = 8x, calcule o valor da expressão A2 – B + C .
7-) Se a2 + b2 = 26 e ab = 15 , calcule o valor de ( a + b )2
8-) Sendo A = x - 5 e B = x2 + 15, e C = 3x, calcule o valor da expressão A2 + B - C .
9 -) Se x2 + y2 = 65 e xy = 15, calcule o valor de ( x + y )2 .
FATORAÇÃO
1) Fator Comum
2) Agrupamento
ax + ay = a (x+y)
ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x+ y ) = (x+ y )(a+b)
3) Diferença de dois quadrados
x2 – y2 = (x + y)(x – y)
4) Trinômio quadrado perfeito
x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
x2 – 2xy + y2 = (x – y)2
5) Soma e diferença de cubos
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Exercícios
1-) Fatore as seguintes expressões.
a) a2 + 4a=
b) x2 – 1=
c) 3a2 + 3ab + 2a + 2b=
d) 4x2 – 6x=
e) 3a2b+ 6ab2 – 9ab=
f) a2 – 25=
g) 6abx – 2x – 9ab + 3=
h-) x ( y – 1 ) + y ( y – 1 )=
2-) Fatore completamente as expressões,observando o modelo :
(2x + 1)2 – 16 = [(2x + 1) + 4] [(2x + 1) – 4
= (2x + 1 + 4)(2x + 1 – 4)
=(2x + 5)(2x – 3)
a) ( x – y )2 – 25=
b) a2 – ( b – c )2 =
c) ( x + 5 )2 – 9 =
d) (2x + y )2 – ( 2y – x )2 =
e) 4 – ( a – 1 )2 =
Continue fatorando conforme o exemplo :
5p2 – 5q2 = 5 ( p2 – q2 )
=5 ( p + q )( p – q )
f) 3x2 – 75=
g) a3 – ab2=
h) x4 – 16=
i) 5x2 – 5 y2 =
j) 4m2 – 100 n2 =
l) 9x 2 - 36 y 2 =
m) 8a2 - 8b2 =
3) Fatore os seguintes trinômios quadrados perfeitos :
a) x2 + 4x + 4
b) 16a2 – 8a + 1
c) m2 + n2 + 2mn
d) 4y2 + 12xy + 9x2
e)
4 2 4
1
x +
x+
9
21
49
4) Fatore os binômios :
a) 8a3 + 1
b) x3 - 27
c) 27a3 + 8y3
d) 1 – x3
e) m3 + 64
FRAÇÕES ALGÉBRICAS - São frações que possuem variáveis no denominador.
Adição e subtração de frações algébricas
Para somarmos e subtrairmos frações algébricas, utilizamos as mesmas regras das frações
numéricas.
- denominadores iguais – somamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o
denominador comum.
3 − 5c
12c + 3 − 5c 7c + 3
12c
+
=
=
Ex.:
a
a
a
a
- denominadores diferentes – encontramos o m.m.c. , adicionamos ou subtraímos os
numeradores e simplificamos o resultado quando for possível.
x −1
10 − 3( x −1) 10 − 3x + 3 13 − 3 x
5
Ex.:
−
=
=
=
3x
2x
6x
6x
6x
Multiplicação de frações algébricas
Multiplicamos frações algébricas da mesma maneira que multiplicamos números fracionários.
A C
A.C
.
=
B D
B.C
Exs.: a)
3a a
3a 2
=
.
5 x 2 y 10 xy
b)
x + y x − y ( x + y) ( x − y) x 2 − y 2
.
=
=
7a
m
7 am
7am
Nos casos em que o numerador e o denominador têm fatores comuns, podemos simplificar
antes de efetuar a multiplicação.
Exs.:
a +1 3m
3m
a 8x
8a
=
.
b)
.
=
a)
2x
5x 7
35
a +1
2x
Divisão de frações algébricas
Para dividir, basta multiplicar a primeira fração pela inversa da segunda.
A C
A D
:
=
.
B D
B C
Ex :
3a 2
3a 7 a 21a 2
=
=
:
.
5 x 7a 5 x 2
10 x
b)
a
a
m
a x +1
:
.
=
=
x +1 x +1
x +1 m
m
Potenciação de frações algébricas
Para elevarmos uma fração algébrica a uma potência , elevamos o numerador e o denominador
à potência indicada.
3
(3x) 3
27 x 3
 3x 
=
Ex.:  3  =
( 2a 3 ) 3
8a 9
 2a 
1) Calcule as somas :
a)
3
a+2
+
=
a
a−2
b)
3x + 1
x +1
−
=
2x − 2
x −1
c)
b + 2a 2
2a
−
=
ab + a b + 1
d)
x−2
2
4 x − 12
+
+ 2
=
x+2
x−2
x −4
e)
2b 2
a
b
+ 2
+
=
2
a −b a −b
a+b
2) Calcule os produtos :
a)
3 x 2 2a 2 y 3
=
.
.
8a y
x
b)
m2 − n2
3
=
.
6
m−n
c)
x 2 + x 3x + 6
.
=
x +1 x2 −4
d)
3a − 3b
5a
.
=
2
2
a − 2ab + b
e)
4 x 2 −9 2 x 2 + 3 x
.
=
4 x 2 +12 x 4 x + 6
2
3) Calcule os quocientes :
a)
a + ab 2 + 2b
:
=
3x
x2
b)
m 2 − m m 2 −1
=
:
3m + 3
m
c)
4x 2
:
x 2 + 2 xy + y 2
a2 −x2
xy
=
d)
a−x
x
8x
=
x − y2
2
x+5
e) 22 x =
x − 25
3x
4) Calcule as potências :
3
 − a3 
a)  2  =
 5b 
2
 − 3x 2 y 
 =
b) 
3

 a
2
 a 
c) 
 =
 a −1
2
 2a 
d) 
 =
a+b
3
 a −1
e) 
 =
 3a 
5) Calcule simplificando :
a)
a 2 + a a 2 − a b 2 −1
=
.
.
b 2+ b b2 −b a 2 − 1
b)
a +c
x
=
.
2
3x
a −c
2
 a + b a −b  4ab
 :
c) 
=
−
 a − b a +b  a + b
m−n 
m−n n

d) 1 +
=
 : 1 −
−
m+n 
m+n m


5 − x   5x − x 2
 : 1 −
e)  x +
1 + 5 x  
1+ 5 x


 =

Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
1) Resolva os sistemas pelo método que achar mais conveniente :
x+ y
x − y
 2 + 3 = 3
a) 
x + y = 5

2
e)
f)
b)
1
 x
x + y = 3


 4 =− 2
 x − y
c)
5 y + 10
 2x
+ 6=

g)  3
2
2( x − 3) = y + 4
d)
x + 5
 y =1


 2 = 1
1 − y 1 + x
x
 =5
2) Dois números x e y são tais que  y
x − 3y = 4

h)
, calcule x2 + xy .
3) A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro do menor, menos 1. Quais são
os números?
x + y = 8
4) Dois números x e y são tais que 
x − y = 4
, calcule x 2 – xy .
5) A soma de dois números é 110. O maior deles é igual ao triplo do menor.mais 18 unidades.
Determinar os dois números.
6) O preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira e duas canetas juntas custam
30. Qual o preço da caneta e da lapiseira?
7) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 46 animais e 164 pés. Quantas são as
galinhas e os coelhos?