23º Congresso Brasileiro de Engenharia Sanitária e Ambiental
ANÁLISE DE MODELOS DE AJUSTE EXPONENCIAL PARA PREVISÃO DE
CONSUMO DE CURTÍSSIMO PRAZO COMO APOIO NO PLANEJAMENTO DA
OPERAÇÃO DE UM SISTEMA DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA
Breno Trautwein Jr.(*)
Engenheiro Civil (UFPR), Pós graduado em Processamento de Dados (FAE/CDE) e Automação de Sistemas
(PUC-PR), Mestre em Engenharia da Produção (PUC-PR), Engenheiro de Operações da Companhia de
Saneamento do Paraná (SANEPAR).
Guilherme Ernani Vieira
Engenheiro de Controle e Automação Industrial (UFSC) Mestre em Engenharia Mecânica (UFSC), Doutor em
Engenharia Mecânica (University of Maryland System, U.M.S., Estados Unidos), Professor Adjunto da
Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUC-PR).
Endereço(*): Rua Engenheiro Rebouças 1139 - Rebouças – Curitiba - Paraná - CEP: 20000-000 - Brasil - Tel:
+55 (41) 330-7052 - Fax: +55 (41) 330-7070 - e-mail: [email protected]
RESUMO
Técnicas de previsão de consumo de água têm sido muito utilizadas em projetos de implantação e ampliação
de redes de abastecimento de água. Entretanto, quase não se fala sobre previsão de consumo de água em
curtíssimo prazo, mesmo embora este tipo de informação possa trazer um importante apoio ao processo de
operação de Sistemas de Abastecimento de Água em empresas de saneamento. Isto ocorre principalmente
devido às dificuldades em se obter dados confiáveis. Com a introdução de sistemas de supervisão e controle
automatizados, estas dificuldades foram praticamente eliminadas, abrindo espaço para a aplicação de técnicas
de previsão que otimizem e orientem o processo de planejamento da distribuição de água. Neste artigo, o
método ajuste exponencial é avaliado em uma aplicação de previsão de consumo de água em curtíssimo prazo.
Os resultados preliminares mostram as potencialidades e eficiência do método, analisado neste artigo, para
previsão de consumo com base em dados históricos.
PALAVRAS-CHAVE: Previsão de consumo, séries temporais, ajuste exponencial.
1. INTRODUÇÃO
Na operação de Sistemas de Abastecimento de Água (SAA), um dos fatores críticos do abastecimento é a
manutenção do equilíbrio entre a oferta e o consumo de água aos usuários. A manutenção deste equilíbrio é
feita através de ações operacionais, muitas delas, aplicando conceitos e ferramentas de previsão aplicadas ao
consumo.
A previsão do consumo é imprescindível em vários processos dentro de uma empresa de saneamento. Os
principais processos são: área de projetos de novos sistemas e de ampliação de sistemas existentes; área de
produção (captação, tratamento, reservação e distribuição) de água.
Nos processos de produção e de distribuição, durante a operação diária de um SAA, a previsão do consumo é
feita com base em dados históricos de demanda, nem sempre confiáveis, da área de abastecimento do sistema
em estudo e na experiência prática dos técnicos envolvidos.
Esta previsão, de apoio à operação diária de um SAA, geralmente é feita para curtos períodos de tempo a
frente (hora em hora para planejamento normal da operação, ou em intervalos menores em situações de
rompimentos de adutoras, quebras de equipamentos, panes elétricas).
Na última década, a busca por uma melhoria operacional tanto em relação aos processos quanto em relação
aos custos operacionais provocou um crescimento dos investimentos em automação e em sistemas
informatizados de supervisão. Estes sistemas de supervisão, aliado a disponibilidade de software e hardware a
custos acessíveis, permitem que a previsão de consumo possa ser feita de forma mais eficiente aproveitando os
dados dos sistemas informatizados (mais confiáveis) através de ferramentas de previsão automatizadas.
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Dentro deste contexto, este artigo apresenta os fundamentos do método de ajuste exponencial aplicados à
previsão de séries temporais vinculadas ao consumo de água da cidade de Curitiba, Paraná (Companhia de
Saneamento do Paraná - SANEPAR), integrando dados de consumo dos sistemas de supervisão e controle
(SSC).
Um dos problemas principais da ciência é a previsão (“dado o passado, como posso prever o futuro?”). A
análise de séries temporais é uma área de pesquisa relevante em diversos campos do conhecimento,
principalmente nas áreas de engenharia e economia. A principal motivação para pesquisas sobre séries
temporais é providenciar uma previsão quando o modelo matemático de um fenômeno é complexo,
desconhecido ou incompleto. Uma série temporal consiste de medidas ou observações previamente obtidas de
um fenômeno que são realizadas seqüencialmente sob um intervalo de tempo. Se estas observações
consecutivas são dependentes uma da outra, então é possível conseguir-se uma previsão ou identificação do
sistema.
As etapas abordadas, neste artigo, para a previsão da série temporal (similares a metodologias adotadas em
procedimentos de identificação de sistemas) incluem a obtenção de: (i) um conjunto de dados de vazão de
água em uma área de abastecimento; (ii) uma classe de modelos candidatos (estrutura do modelo matemático);
(iii) um critério para verificação da aproximação entre os dados reais e o modelo matemático (somatório do
erro absoluto médio); e (iv) de rotinas para a validação dos modelos matemáticos resultantes (Ljung, 1987).
As próximas seções do artigo são organizadas da seguinte forma. Na seção 2 se encontra o objetivo desta
pesquisa. Uma breve revisão bibliográfica sobre previsão no setor de saneamento é apresentada na seção 3.
Uma descrição das características do método de ajuste exponencial e dos modelos de previsão elaborados é
apresentada na seção 4. Na seção 5 são analisados os estudos de caso de previsão para uma zona de pressão
determinada. As conclusões e perspectivas de trabalhos futuros são apresentadas na seção 6.
2. OBJETIVO
Este artigo visa aplicar o método de ajuste exponencial e avaliar sua eficiência em prever o consumo de água
de uma certa região, ou seja, zona de pressão (ZP) da cidade de Curitiba em curtíssimo prazo (ou previsão
imediata).
Busca também, através de uma revisão bibliografia sobre previsão de consumo no setor de saneamento,
mostrar a evolução das pesquisas nesta área a partir da década de oitenta e as tendências atuais destas
pesquisas.
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Historicamente, os métodos de previsão mais comuns dentro do setor de saneamento se baseiam em modelos
de regressão múltipla e modelos autoregressivos. Mais recentemente com o avanço das pesquisas em
Inteligência Artificial (IA) começaram a surgir pesquisas com aplicação de técnicas de IA em modelos de
previsão de consumo, notadamente as redes neurais artificiais (RNA). Na bibliografia especifica sobre
projetos de sistemas de abastecimento de água a previsão do consumo é feita com base no número de ligações
de água previstas e em dados de crescimento demográfico disponíveis, através de metodologias de cálculo já
consagradas (Maurice et al, 1971; Walski et al, 2003).
Dentro das técnicas de regressão, Perry (1981), Kher e Shorosian (1986), Smith (1988), Rhoades e Walski
(1991), utilizam modelos baseados em regressão linear e modelos auto-regressivos para previsão do consumo.
Perry (1981) aplica o modelo de regressão para previsão do dia seguinte 24 horas à frente utilizando como
variáveis a temperatura e dados de consumo passados procurando avaliar e ajustar o consumo com objetivo de
otimizar o uso de estações elevatórias de água e reduzir os custos de energia elétrica.
Kher e Shorosian (1986) comparam modelos regressivos para previsões de consumo mensais considerando ou
não o efeito do ruído existente nas variáveis utilizadas. As variáveis consideradas no estudo são: histórico de
consumo mensal, renda familiar, tarifa da água, precipitação média mensal, temperatura média mensal e
evapotranspiração efetiva de cada mês considerado.
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Smith (1988) desenvolve um modelo autoregressivo para previsão diária de consumo através de séries
temporais. O modelo considera inicialmente as componentes de estação do ano e dia da semana e permite
incluir variáveis explicativas como tarifa da água, número de ligações, características sócio-econômicas, e tipo
de consumo (residencial, comercial, industrial).
Rhoades e Walski (1991) aplicam um modelo de regressão múltipla para previsão de consumo mensal
considerando as variáveis de temperatura, população, e precipitação pluviométrica para planejamento do SAA
da cidade de Austin no estado do Texas (EUA).
A partir da década de 90, Crommelynk et al (1992), Stark et al (2000), Jain e Ormsebee (2002), Silva (2003),
e Falkemberg et al (2003) desenvolvem modelos de previsão baseados em técnicas de inteligência artificial.
Crommelynk et al (1992), conclui que as RNA são equivalentes, pelos resultados obtidos, aos métodos
estatísticos, mas permitem uma adaptabilidade maior e podem trabalhar com menos variáveis que os modelos
de regressão tradicionais.
Stark et al (2000) utilizam RNA para previsão de consumo do dia seguinte e dez dias a frente com base em
consumo médio diário de um período de 27 meses considerando as variáveis explicativas; temperatura média
diária, precipitação pluviométrica, dias úteis e finais de semana, estação do ano e histórico de consumo
horário.
Jain e Ormsebee (2002) comparam métodos tradicionais de previsão (regressão e séries temporais) com
métodos de IA (redes neurais artificiais e sistemas especialistas) para previsão de consumo diário de água em
SAA para previsões médio prazo. Os resultados mostram que os métodos de IA para previsão de consumo em
curto prazo apresentam melhores resultados que os métodos tradicionais.
Silva (2003) aplica RNA para previsão de consumo horário em SAA e conclui que a previsão de consumo de
curto prazo utilizando modelos de RNA mostra vantagens sobre métodos estatísticos tradicionais por
necessitar um número menor de dados históricos.
Falkemberg et al (2003) desenvolvem modelos de RNA e de Regressão Múltipla para previsão de consumo
vinte e quatro horas à frente considerando influências do dia da semana, da hora do dia e consumo passado,
recomendando modelos de previsão múltiplos para diferentes perfis de consumo e diferentes horas do dia.
Observa-se pela bibliografia consultada que os modelos de previsão de consumo utilizados, dentro do setor de
saneamento, utilizam diversos métodos e abordagens em função do horizonte do planejamento a ser
elaborado.
Para horizontes de planejamento de meses ou anos, os métodos de regressão são os mais usados. A medida em
que os horizontes de planejamento diminuem os métodos de regressão começam a perder eficiência em
relação a métodos auto-regressivos e aos métodos que utilizam técnicas de IA.
O método de previsão de ajuste exponencial (AJE) tem sido muito usado em outros setores industriais e tem
apresentado bons resultados na área industrial para previsões de curto prazo com base em dados históricos de
consumo (HANKE et al, 2001; MARTINS e LAUGENI, 2002; ALBRIGHT et al, 2003). Contudo, não foi
encontrada referência de aplicação do método de AJE no setor de saneamento.
Neste contexto, o presente artigo explora o potencial de aplicação do AJE para previsões de curtíssimo prazo
dentro do setor de saneamento.
4. MATERIAIS E MÉTODOS
Este trabalho analisa três métodos de AJE visando prever o comportamento do consumo em sistemas de
distribuição de água no curtíssimo prazo. A definição de um modelo preliminar para previsão de curtíssimo
prazo do consumo de uma ZP considera como entradas apenas o histórico de consumo da ZP estudada.
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A pesquisa segue as seguintes etapas:
Definição dos dados: etapa de definição dos dados relevantes à pesquisa e da forma de coleta e tratamento
destes dados;
Definição de modelos: etapa de definição do ferramental necessário para obtenção de resultados;
Resultados: etapa de análise dos resultados obtidos na etapa anterior; e
Conclusões: etapa de apresentação dos resultados finais da pesquisa.
Para uma melhor avaliação dos modelos de ajuste exponencial foram consideradas:
Três diferentes métodos de ajuste exponencial (Simples, Holt, e Winter);
Três amostras de dados com diferentes períodos de dados históricos para a ZP estudada (dois dias, quatro
dias, e oito dias).
Foram desenvolvidos e avaliados três modelos básicos para cada método de ajuste exponencial (Simples, Holt
e Winter) e a partir destes três modelos foram aplicadas as três diferentes amostras de dados, totalizando nove
modelos de previsão.
Os dados forma obtidos a partir do SSC existente no CCO que armazena os dados históricos em uma base de
dados SQL 1 . Estes dados são extraídos da base SQL para planilhas eletrônicas, através de rotinas
computacionais específicas que incorporam a programação de cálculo dos modelos de AJE utilizados.
Na seqüência serão detalhados os métodos de AJE aplicados e os critérios de seleção utilizados na avaliação
destes modelos.
Ajuste Exponencial Simples
No método Simples, a previsão Ŷ(t) é calculada a partir da última previsão realizada no período (t-1)
adicionada ou subtraída de um coeficiente α (peso) que multiplica o consumo real (Y) e a previsão no período
Ŷ(t–1), de acordo com a equação 1 (MARTINS e LAUGENI, 2002):
^
^
^
^
^
Y ( t ) = Y ( t −1) + α (Y ( t −1) − Y (t −1) ) ou
equação (1)
Y ( t ) = Y ( t −1) + α (erro ( t −1) )
sendo que α normalmente varia de 0 a 1 (geralmente 0,1 ou 0,3) e é um valor de ponderação projetado para
permitir que Ŷ(t) aproxime uma média móvel simples através em um período de tempo arbitrário. Em outras
palavras, deseja-se minimizar o erro entre a demanda histórica e a respectiva previsão. Em geral, são usados
valores pequenos para α quando a demanda e estável e valores grandes quando a demanda e flutuante.
Ajuste Exponencial de Holt
No método de Holt, a previsão Ŷ(t) considera que a série em estudo apresenta uma tendência e incorpora uma
componente de tendência T e um segundo coeficiente, β, aplicado no ajuste da tendência. A previsão no
período (t) é calculada a partir da equação 2 (ALBRIGHT et al, 2002).
^
^
Y ( t ) = α Yt −1 + (1 − α )(Y ( t −1) + Tt −1 )
equação (2)
^
(Y ( t −1) + Tt −1 )
onde o termo
representa a correção da previsão considerando a componente de tendência (T).
A componente T pode ser calculada pela expressão:
^
T( t ) = β (Y ( t ) − Y( t −1) ) + (1 − β )T( t −1)
1
equação (3)
SQL – linguagem para criar, atualizar e consultar bancos de dados relacionais
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que resulta na expressão final:
^
^
Y ( t + k ) = Y ( t ) + k T( t )
equação (4)
onde k representa o número de períodos a frente que se quer prever.
Ajuste Exponencial de Winter
No método de Winter, a previsão Ŷ(t) considera que a série em estudo apresenta uma um comportamento de
sazonalidade além da componente da tendência incorporando um componente de sazonalidade S, um terceiro
coeficiente γ, e um indicativo de sazonalidade M que representa o intervalo em que ocorre a sazonalidade
(M=4 para sazonalidade a cada quatro períodos de dados, M=12 para sazonalidade a cada 12 períodos de
dados, e assim por diante).
A previsão dentro do método é calculada a partir da expressão a seguir (HANKE et al, 2001):
Y( t −1)
^
Y (t ) = α
S (T − M )
^
+ (1 − α ) (Y ( t −1) + T( t −1) )
equação (5)
onde a componente de tendência (T) é calculada como na equação 3, e a componente de sazonalidade (S) é
calculada pela expressão:
S (t ) = γ
Y( t )
^
Y (t )
+ (1 − γ ) S ( t − M )
equação (6)
que resulta na expressão final:
^
^
Y ( t + k ) = (Y ( t ) + kT( t ) ) S t −k − M )
equação (7)
Critérios de seleção dos modelos
Os modelos foram avaliados de acordo com critérios de desempenho considerando o Mean Square Error
(MSE) e o Tracking Signal (TS).
O MSE é um critério que estima a variância dos erros de previsão e é obtido pela equação 8.
MSE =
1 n 2
∑ Et
n t =1
equação (8)
O TS usado para acompanhar o desempenho do modelo ao longo do tempo e sinalizar a necessidade de
revisão do modelo. O TS é calculado conforme a equação 9:
TS t =
bias t
MADt
equação (9)
onde o termo biast é a média dos erros (bias) desde o início da previsão até o tempo t, que é usada para
verificar se o modelo de previsão apresenta um erro sistemático. O bias é calculado usando:
n
bias = ∑ Et
equação (1)0
t =1
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E o termo MADt representa o desvio padrão absoluto médio (MAD ou MAE) desde o início da previsão até o
tempo t e é obtido pela média dos valores absolutos do erro dentro do período estudado e determina a
amplitude do erro de previsão, conforme as equações 11 e 12.
At = Et
MAD =
equação (11)
n
1
∑ At
n t =1
equação (12)
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO
O enfoque deste artigo é a previsão da vazão usando dados de uma semana de consumo em uma ZP coletados
a um período de amostragem de 15 minutos – o que certamente caracteriza uma previsão de curtíssimo prazo.
A ZP estudada tem como características: população de 23.000 habitantes, consumo médio diário de 60 l/s.
As amostras utilizadas nas simulações correspondem a uma semana de dados coletados pela SANEPAR
através do SSC.
Nos modelos de AJE foram utilizadas diferentes tamanhos de amostra como entradas e na saída do sistema
x̂ (t+1), isto é, foi realizada uma previsão um passo a frente para a saída real do sistema x(t+1).
Na seqüência estão apresentadas duas tabelas e três gráficos que resumem os resultados obtidos na aplicação
do método de AJE para previsão do consumo de água em curtíssimo prazo.
A tabela 1 apresenta os resultados obtidos para os nove modelos de AJE avaliados. Pode-se observar que os
modelos com oito dias de dados históricos tiveram um melhor desempenho nos três métodos de AJE
utilizados. Sendo que o modelo de AJE Simples apresentou o melhor resultado dentro do critério de seleção
adotado (MSE).
Tabela 1 – Avaliação dos modelos de
ajuste exponencial
MÉTODO
nº dados
SIMPLES
2 dias
4 dias
4,5408
1,8003
8 dias
1,5539
2 dias
4 dias
4,5408
1,8003
8 dias
1,6087
2 dias
4 dias
2,0678
2,1108
8 dias
2,0572
HOLT
WINTER
MSE
A tabela 2 apresenta os coeficientes de ajuste obtidos para a melhor solução de cada um dos nove modelos. O
melhor modelo apresentou um coeficiente ∝ de 0,8838 confirmando que a demanda, na área estudada, tem
uma característica flutuante.
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Tabela 2 – Coeficientes de ajuste exponencial dos modelos
de AJE
MÉTODO
nº dados
SIMPLES
2 dias
4 dias
1,0000
1,0000
8 dias
0,8838
2 dias
4 dias
0,5264
1,0000
1,0000
8 dias
0,0043
0,9113
2 dias
4 dias
1,0000
0,8505
0,1823
0,3616
0,3909
-
8 dias
0,9118
0,2607
-
HOLT
WINTER
alfa
beta
gama
na
na
na
na
na
na
na
na
na
Os gráficos nas figuras 1, 2 e 3 apresentam os resultados comparativos entre os três melhores modelos,
considerando os resultados do MSE (Tabela 1).
O gráfico da figura 1, compara graficamente os valores de previsão obtidos pelo melhor modelo de cada
método com os valores reais de consumo e mostra que os métodos Simples e Holt seguem uma mesma
tendência e que o método de Winter possui uma aderência maior dos valores previstos (Ŷ) em relação aos
valores reais (Y). Os três métodos apresentam um bom desempenho entre os valores previstos e os valores
reais.
Figura 1 – Comparação entre o consumo real e o consumo previsto
Análise dos modelos de Ajuste Exponencial Simples, Holt e Winter
melhores modelos: 8 dias - consumo real x consumo previsto
80
valores observados
rec. SIMPLES 8 dias
rec. HOLT
8 dias
rec. WINTER
8 dias
78
76
74
consumos(l/s)
72
70
68
66
64
62
60
58
56
54
52
50
1
3
5
7
9
11
13
15
períodos
17
19
21
23
25
27
29
O gráfico da figura 2 compara graficamente os valores de tracking signal dos nove modelos e mostra que os
modelos de oito dias possuem um desempenho superior aos modelos de dois e quatro dias nos primeiros
quinze períodos de avaliação, e que a medida em que são feitas mais previsões estes modelos perdem
desempenho. Pode-se verificar também que os modelos para quatro dias apresentam um comportamento
superior aos de oito dias a partir do décimo quinto período.
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O gráfico da figura 3 compara graficamente os valores dos erros de previsão dos três melhores modelos e
mostra que no método de Winter o erro tem um comportamento mais estável em relação aos métodos Simples
e Holt.
Figura 2 - Comparação do Tracking Signal (TS) dos modelos avaliados
Análise dos modelos de Ajuste Exponencial através do Tracking Signal
histórico de 2,4 e 8 dias
8
6
rec. SIMPLES 2 dias
rec. HOLT
2 dias
rec. WINTER
2 dias
rec. SIMPLES 4 dias
rec. HOLT
4 dias
rec. WINTER
4 dias
rec. SIMPLES 8 dias
rec. HOLT
8 dias
rec. WINTER
8 dias
Tracking Signal
4
2
-
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
(2)
(4)
(6)
períodos
real - previsto (l/s)
Figura 3 - Comparação dos erros de previsão entre os melhores modelos (MSE)
3,00
2,70
2,40
2,10
1,80
1,50
1,20
0,90
0,60
0,30
(0,30)
(0,60)
(0,90)
(1,20)
(1,50)
(1,80)
(2,10)
(2,40)
(2,70)
(3,00)
Análise dos modelos de Ajuste Exponencial Simples, Holt e Winter
melhores modelos: 8 dias - análise dos erros
valores observados
rec. SIMPLES 8 dias
rec. HOLT
8 dias
rec. WINTER
8 dias
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
períodos
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6. CONCLUSÃO E TRABALHOS FUTUROS
Este artigo avalia o uso de três técnicas do método de ajuste exponencial aplicados ao problema de previsão
de consumo de água em curtíssimo prazo.
Os resultados preliminares desta avaliação mostram a eficiência da metodologia de identificação proposta.
Para o sistema estudado, o método de ajuste exponencial simples com amostra histórica de dados de oito dias
apresentou melhores resultados considerando o critério de MSE. Avaliando os modelos pelo critério de
tracking signal observa-se que os três modelos apresentaram desempenhos similares.
Estes resultados demonstram que a previsão de consumo utilizando o método de ajuste exponencial é uma
técnica promissora para solucionar estes tipos de problemas, pois não exige uma grande quantidade de dados
históricos, os modelos são bastante precisos, a formulação e entendimento pelo usuário é relativamente fácil, e
exige pouco tempo computacional.
Entre os trabalhos futuros vinculados a este trabalho destacam-se: avaliação do AJE em diferentes
configurações de ZP com diferentes perfis de consumo; comparação do método de AJE com outros métodos
quantitativos como Regressão Linear e modelos auto-regressivos (Box&Jenkins).
Observou-se na pesquisa bibliográfica que nos últimos anos o uso de ferramentas de IA para previsão dentro
do setor de saneamento, notadamente na produção e distribuição de água, tem crescido e mostrado que estas
ferramentas também tem um desempenho promissor. Os trabalhos de Silva (2003), Trautwein (2004) e
Falkenberg (2005), por exemplo, abrem caminho para a continuidade de pesquisas no uso destas ferramentas.
Vale ressaltar que independentemente do método de previsão utilizado, a parametrização do consumo de água
requer uma profunda compreensão do uso da água. Os modelos de previsão não devem substituir o
conhecimento e a experiência existentes do fenômeno estudado.
Outra questão importante é que a qualidade dos dados na aplicação de modelos de previsão depende
fortemente da coleta destes dados e da qualidade da base de dados onde esta análise se apóia. Em outras
palavras, a base de qualquer estudo, caracterização e previsão de consumo passa pela obtenção de dados
confiáveis, conhecimento sobre as características operacionais do sistema sob investigação e pesquisas de
campo.
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