DEPARTAMENTO ....: ENGENHARIA
CURSO............................: PRODUÇÃO
DISCIPLINA.................: ENGENHARIA ECONÔMICA / MATEMÁTICA FINANCEIRA
PROFESSORES...........: WILLIAM FRANCINI
PERÍODO ......................: NOITE
SEMESTRE/ANO:
2º/2008
Aula 7
CONTEÚDO RESUMIDO DA AULA
7.
Equivalência de Capitais a Juros Compostos Valor atual de um fluxo de capitais. Taxa Interna de Retorno. Aplicações à
análise de alternativas de pagamentos e investimentos. Uso da HP – 12C
Fonte: Adaptado de HAZZAN, S. E POMPEO, J.N. Matemática Financeira, 6ª Edição, Ed. Saraiva, São Paulo, 2007; Vieira
Sobrinho, J. D., Matemática Financeira, Ed. Atlas, 7ª. Ed.; MILONE, G. Matemática Financeira. Ed. Thomson, São Paulo, 2006.
PILÃO, N. e HUMMEL, P. Matemática Financeira e Engenharia Econômica, 2ª Edição, Ed. Thomson, São Paulo, 2006.
Introdução
O conceito de equivalência permite transformar formas e valores de pagamentos e recebimentos em outros
equivalentes e efetuar comparações entre alternativas.
Equivalência de dois Capitais
Consideremos dois capitais, x e y, separados por n períodos de tempo, o primeiro na data 0 e o segundo na data n.
Dizemos que x e y são equivalentes a uma taxa de juros compostos (i) se:
x(1 + i)n = y, ou seja,
x = y / (1 + i)n
Em outras palavras, x é equivalente a y se, ao aplicarmos x até a data n, o montante obtido for igual a y.
Exemplo 1
A uma taxa de juros compostos de 2% a.m., $ 1.500.000,00, daqui a três meses, equivalem a quanto hoje?
Resposta
Sendo x o capital hoje, devemos ter: x (1,02)3 = 1.500.000; x = 1.413.483,50.
Valor Atual de Um Conjunto de Capitais
Consideremos os capitais A0, A1, A2, ... , An, nas datas 0, 1, 2, ... , n, respectivamente. Denominamos de valor atual,
na data 0, desse conjunto, a um taxa de juros i, a soma dos valores equivalentes desses capitais na data 0.
Chamando de A o valor atual, teremos:
A = A0 + A1 / (1 + i)1 + A2 / (1 + i)2 + A3 / (1 + i)3 + ... + An / (1 + i)n
Ou, usando o símbolo de somatório:
n
A =
∑ Aj / (1 + i)j
j=0
A equivalência, analogamente, também se aplica a juros simples.
Equivalência nas capitalizações simples e composta
Capitalização
Montante
Simples
M = 1 + in
(MILONE, p. 135)
Valor Atual
A = 1 / 1 + in
n
A = 1 / (1 + i)n = (1 + i) - n
M = (1 + i)
Composta
Nas expressões acima, os fatores recebem as seguintes denominações:
(1 + in) e (1 + i)n : fator de capitalização
1 / 1 + in e 1 / (1 + i)n = (1 + i) - n : fator de descapitalização ou fator de valor atual
A equivalência de capitais a juros compostos goza da propriedade transitiva: se A1 e A2 são equivalentes a A3, então
eles são equivalentes entre si.
Exemplo 2
No regime de capitalização simples e à taxa de 5% a.m., os capitais indicados no fluxo de caixa a seguir são
equivalentes entre si na data focal f = 6?
9.230.77
0
10.434,78 11.428,57
3
5
E
6
13.200,00
8
15.000,00
11
Se os capitais são equivalentes, então em f = 6 eles têm o mesmo valor. Vamos verificar:
9.230,77 x (1 + 0,05 x 6) = 10.434,78 x (1 + 0,05 x 3) = 11.428,57 x (1 + 0,05 x 1) = 13.200 / 1 + 0,05 x 2 =
15.000 / 1 + 0,05 x 5 = 12.000,00
Exemplo 3
Quanto deveria ser aplicado a juros compostos e à taxa de 3% a.m. sete meses atrás para ter hoje $ 5.000,00?
A = 1 / (1 + i)n = 1 / (1 + 0,03)7 = 1 / (1,229874)
Logo, 5.000 / 1,229874 = 4.065,46
ou
A = 5.000 (1 + 0,03) – 7 = 5.000 (0,813092) = 4.065,46
Exemplo 4
Uma empresa prevê o pagamento de $ 2.000,00 daqui a um mês, $3.000,00 daqui a dois meses e $ 5.000,00 daqui a
três meses. Quanto deverá aplicar hoje, a juros compostos à taxa de 1,5% a.m., para fazer frente a essas despesas,
sobrando saldo nulo após o último pagamento?
Resposta
2.000
3.000
5.000
2
0
1
2
3
O valor que deverá ser aplicado hoje é, por definição, o valor atual desse conjunto.
A = 2.000 / (1,015) + 3.000 / (1,015)2 + 5.000 / (1,015)3 = 9.664,01
Na HP 12c, é possível resolver usando-se as teclas de fluxo de caixa (cash flow) CF0 e CFj (grafadas em azul),
devendo o fluxo de caixa inicial da data 0 ser gravado em CF0 e os demais fluxos das datas 1, 2, 3, 4... em CFj.
A taxa é na própria tecla i, e o valor atual do conjunto é calculado na tecla NPV - Net Present Value, que corresponde
a Valor Presente Líquido, ou VPL (grafada em amarelo).
Destaque-se que quando um mesmo valor repete-se sucessivamente, é possível armazenar o fluxo na tecla CFj e, em
seguida, o número de vezes que esse fluxo apareceu, na tecla Nj, também grafada em azul.
Exemplo 5
Uma loja vende um conjunto de sofás por $ 500,00 de entrada, mais três prestações mensais de $ 800,00 cada uma. Se
um comprador consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 1,2% a.m., quanto deverá dispor hoje para poder efetuar a
compra?
Resposta
A = 500 + 800 / (1,012) + 800 / (1,012)2 + 800 / (1,012)3 = 2.843,53
Obs.: resolva com a HP 12c ou outra calculadora financeira.
Conjunto de Capitais Equivalentes
Dizemos que dois diferentes conjuntos de capitais, cujos fluxos podem ocorrer em diferentes datas e em diferentes
números de períodos, quando os valores atuais de ambos forem iguais.
Assim, denominando de A1 e A2 os valores atuais desses dois conjuntos, devemos ter A1 = A2.
Exemplo 6
Uma loja vende uma geladeira nas seguintes condições: entrada de $1.000,00 mais uma parcela de $ 1.200,00, após
um mês.
Um cliente propõe pagar uma entrada de $ 600,00 mais duas prestações mensais e iguais, vencendo a primeira um
mês após a compra. Se a loja financia a uma taxa de juros de 3% a.m., qual o valor de cada parcela, de modo que as
duas formas de pagamento sejam equivalentes?
A1 = 1.000 + 1200 / 1,03
A2 = 600 + A / (1,03)1 + A / (1,03)2
Como A1 = A2, teremos:
1.000 + 1200 / 1,03 = 600 + A / (1,03)1 + A / (1,03)2
400 + 1165,05 = A / (1,03)1 + A / (1,03)2
3
1565,05 = (A x 1 / 1,03) + (A x 1 / (1,03)2)
1565,05 = 0,970874A + 0,94259A
1,913470A = 1565,05
A = 817,91
Ou seja, o valor de cada prestação deverá ser de $ 817,91.
Exemplo 7 (Hazzan e Pompeo, p. 110)
Calcular o valor atual dos seguintes conjuntos de capitais
Exercícios (Hazzan e Pompeo, p. 111-113)
1) Uma nota promissória, cujo valor nominal é de $ 5.000,00, vence daqui a um mês. O devedor propõe a troca
por outra nota promissória, a vencer daqui a três meses. Qual deve ser o valor nominal da nova nota
promissória para que os capitais sejam equivalentes, à taxa de juros compostos de 2% a.m.?
2) Uma pessoa tem uma dívida de $ 60.000,00 que vence daqui a dois meses e outra de $ 80.000,00 daqui a três
meses. Quanto deverá aplicar hoje, à taxa de juros compostos de 2% a.m., para fazer frente a essas dívidas,
restando ao final um saldo igual a zero?
3) Resolva o problema anterior considerando as taxas:
a) 2,2%
b) 1,8%
4) Uma empresa prevê pagamentos mensais de $ 250.000,00 daqui a um, dois e três meses. Quanto deverá
aplicar hoje, no mínimo, à taxa de juros compostos de 1,6% a.m., para fazer frente a esses pagamentos?
5) Um aparelho de TV é vendido à vista por $ 5.500,00, ou por 20% de entrada mais duas parcelas mensais e
iguais. Sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 3 % a.m., qual o valor de cada parcela para que as duas
formas de pagamento sejam equivalentes?
6) Resolva o problema anterior supondo que haja três pagamentos mensais, excluindo a entrada.
7) Um terno é vendido em uma loja por $ 1.000,00 de entrada mais uma parcela de $ 500,00, após um mês. Um
comprador propõe dar $ 250,00 de entrada. Nessas condições , qual o valor da parcela mensal para que as duas
formas de pagamento sejam equivalentes, sabendo-se que a loja opera a uma taxa de juros compostos de 4%
a.m.?
8) Um equipamento é vendido à vista por $ 3.000,00, podendo também ser financiado da seguinte forma:
• entrada: 30%
• duas parcelas mensais, sendo a segunda igual ao dobro da primeira e vencendo a primeira dois meses após a
compra.
Se a loja opera a uma taxa de juros compostos de 4% a.m., qual o valor de cada prestação?
9) Um conjunto de sofás é vendido à vista por $ 4.500,00, ou, a prazo, em três prestações mensais sem entrada,
sendo a segunda igual ao dobro da primeira e a terceira o triplo da primeira. Obtenha o valor da segunda
prestação, sabendo-se que a loja opera a uma taxa de juros compostos de 5% a.m.
4
Análise de Alternativas de Pagamento pelo Valor Atual
Quando nos defrontamos com diferentes alternativas para o pagamento de um bem ou serviço, devemos trazer os
valores monetários em valores atuais, ou seja, para uma mesma base de cálculo. Isto pode ser feito utilizando a taxa de
juros compostos à qual podemos aplicar o dinheiro. Após calcular o valor atual de cada alternativa, a que produzir o
menor valor atual (menor custo) é a melhor opção.
Exemplo 8
Uma casa é vendida à vista por $ 318.000,00, ou, a prazo, por $ 90.000,00 de entrada mais três prestações mensais
iguais de $ 80.000,00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a entrada. Qual a melhor alternativa de pagamento
para um comprador que consegue aplicar seu dinheiro à taxa de juros de 3% a.m.?
A1 = 318.000
A2 = 90.000 + 80.000 / (1,03) + 80.000 / (1,03)2 + 80.000 / (1,03)3 = 316.288,91
Como A2 < A1, a melhor alternativa é o pagamento a prazo.
Obs.: resolva a questão na financeira.
Exemplo 9 (Hazzan e Pompeo, p. 116)
Uma empresa pode utilizar um de dois tipos de equipamentos para realizar certa operação. O tipo A custa $ 30.000,00,
tem vida útil de três anos (com valor nulo após a via útil) e custo anual de manutenção de $ 5.000,00, ao final de cada
ano.
O tipo B custa $ 50.000,00, tem vida útil de seis anos (com valor nulo após a via útil) e custo anual de manutenção de
$ 4.500,00, ao final de cada ano.
Usando um horizonte de planejamento de seis anos e considerando que, após três anos, seja possível adquirir outro
equipamento do tipo A nas mesmas condições já mencionadas, qual dos dois tipos é preferível para empresa, sabendose que ela consegue aplicar seu dinheiro a uma taxa real composta de 6% a.a.?
Obs.: suponha que todos os valores estimados estejam em valores reais, ou seja, sem o efeito da inflação.
Resposta
Expressando o tempo em anos temos os seguintes custos para cada equipamento:
Ano
0
1
2
3
4
5
6
Equipamento A
30.000
5.000
5.000
5.000 + 30.000 = 35.000
5.000
5.000
5.000
Equipamento B
50.000
4.500
4.500
4.500
4.500
4.500
4.500
O valor atual dos custos do equipamento A vale: AA = 79.775,20
O valor atual dos custos do equipamento B vale: AB = 72.127,96
Como AB < AA, concluímos que o equipamento B é mais vantajoso para a empresa.
5
Exercícios (Hazzan e Pompeo, p. 117)
10) Um terreno encontra-se à venda segundo dois planos de pagamentos:
• Plano A: um único pagamento de $ 50.000,00 daqui a 12 meses.
• Plano B: uma entrada de $ 10.000,00 mais uma parcela de $ 33.000,00 daqui a seis meses.
Qual o melhor plano para o comprador, sabendo-se que a taxa de juros compostos que o comprador consegue
aplicar seu dinheiro é de 3% a.m.?
11) No exercício anterior, se a taxa de juros fosse de 2% a.m. e a entrada do plano B fosse de $ 5.000,00, qual
deveria ser o valor de uma terceira parcela com vencimento a 12 meses, de tal maneira que os planos fossem
equivalentes?
12) Uma loja oferece um microcomputador com duas alternativas para o pagamento:
•
•
Alternativa 1: $ 1.000,00 de entrada mais duas parcelas mensais de $ 3.000,00 cada uma.
Alternativa 2: sem entrada, quatro parcelas mensais de $ 1.250,00 cada uma, mais uma quita parcela de $
2.000,00, cinco meses após a compra.
Se a taxa de juros compostos que o comprador consegue aplicar seu dinheiro for de 2% a.m., qual a melhor
alternativa para ele?
13) Um aparelho de som é vendido por um preço P em três parcelas mensais iguais, sem acréscimo, sendo a
primeira dada como entrada. Se o pagamento for feito à vista, haverá um desconto de 3% sobre P. Qual a
melhor alternativa para o comprador, se a taxa de juros para aplicação for de 1,5%?
14) Qual a melhor alternativa para o comprador: pagar $ 1.200,00 daqui a 45 dias ou três parcelas de $ 400.000,00
cada uma, em 30, 45 e 60 dias da compra, se a taxa de juros compostos para aplicação for de 1,4%?
15) Um terreno é colocado à venda por $ 400.000,00 à vista, ou, a prazo, com 20% de entrada mais duas parcelas
trimestrais de $ 164.000,00 cada. Se o comprador aplica seus recursos à taxa de 2% a.m., qual sua melhor
alternativa?
16) Uma empresa tem a opção de alugar um computador por $ 500,00 por ano, durante cinco anos (com
pagamento ao final de cada ano), ou comprar o mesmo computador por $ 2.100,00.
Após cinco anos o computador não terá valor algum. Supondo que os dados estejam em valores reais e que a
empresa aplique seus recursos à taxa real de 10% a.a., o que é melhor para a empresa, alugar ou comprar?
Métodos de Avaliação de Fluxos de Caixa (Vieira Sobrinho, p. 167: 175)
Entre os métodos mais conhecidos destacam-se o do valor presente líquido (VPL) e o da taxa interna de retorno (TIR),
amplamente utilizados nas análises de aplicações financeiras e de projetos de investimentos.
Valor Presente Líquido
O VPL é uma técnica de análise de fluxos de caixa que consiste em calcular o valor presente de uma série de
pagamentos ou recebimentos iguais ou não a uma taxa conhecida, e deduzir deste o valor do fluxo inicial (valor do
empréstimo, do financiamento ou do investimento), ou seja:
n
VPL = ∑ FCj / (1 + i)j - FC0 = FC1 / (1 + i)1 + FC2 / (1 + i)2 + FC3 / (1 + i)3 + ... + FCn / (1 + i)n - FC0
j=1
6
em que FCj representa os valores dos fluxos de caixa de ordem “j”, sendo j = 1, 2, 3, ... , n; FCo representa o fluxo
inicial de e “i” a taxa de juros da operação financeira ou a taxa de retorno do projeto de investimentos.
Exemplo 10
Uma empresa transportadora está analisando a conveniência da compra de um caminhão no valor de $ 103 mil.
Segundo os técnicos dessa empresa, a utilização desse veículo nos próximos cinco anos deverá gerar receitas líquidas
estimadas em $ 30, $ 35, $ 32, $ 28 e $ 20 mil, respectivamente. Sabendo-se que no final 5º período espera-se vender
este caminhão por $ 17 mil, verificar qual a decisão da empresa para taxas de retorno, fixadas em 15% e 18% ao ano.
0
30
35
32
28
37
103 Obs.: fluxo no 5º ano: preço de venda + receita do ano = 17 + 20 = 37
a) Solução para Taxa de retorno de 15% ao ano
VPL = 30 / (1 + 0,15)1 + 35 / (1 + 0,15)2 + 32 / (1 + 0,15)3 + 28 / (1 + 0,15)4 + 37 / (1 + 0,15)5 - 103,00
VPL = 26,09 + 26,47 + 21,04 + 16,01 + 18, 40 - 103,00
VPL = 108,01 - 103,00 = 5,01
Como o valor presente líquido é positivo, isso significa que a taxa efetiva de retorno é superior à taxa mínima fixada
em 15%. Portanto, o investimento deverá ser feito.
b) Solução para Taxa de retorno de 18% ao ano
VPL = 30 / (1 + 0,18)1 + 35 / (1 + 0,18)2 + 32 / (1 + 0,18)3 + 28 / (1 + 0,18)4 + 37 / (1 + 0,18)5 - 103,00
VPL = 25,42 + 25,14 + 19,48 + 14,44 + 16,17 - 103,00
VPL = 100,65 - 103,00 = - 2,35
Como neste caso o valor presente líquido é negativo, o investimento não deverá ser feito, visto que a taxa efetiva de
retorno é menor que 18%, esta a taxa mínima requerida.
Taxa Interna de Retorno
É a taxa que equaliza o valor presente de um ou mais pagamentos (saídas de caixa) com o valor presente de um ou
mais recebimentos (entradas de caixa). Como normalmente temos um fluxo de caixa inicial (no momento “zero”) que
representa o valor do investimento, ou do empréstimo ou do financiamento, e diversos fluxos futuros de caixa
7
representando os valores das receitas, ou das prestações, a equação que nos dá a taxa interna de retorno (TIR) pode ser
escrita como segue:
n
FC0 = ∑ FCj / (1 + i)j = FC1 / (1 + i)1 + FC2 / (1 + i)2 + FC3 / (1 + i)3 + ... + FCn / (1 + i)n
j=1
e de onde se deduz que:
n
FC0 - ∑ FCj / (1 + i)j = 0
j=1
Exemplo 11
Determinar a taxa interna de retorno correspondente a um empréstimo de $ 1.000,00 a ser liquidado em três
pagamentos mensais de $ 300,00, $ 500,00 e $ 400,00.
A solução desse problema implica resolver a seguinte equação:
1.000 = 300,00 / (1 + i)1 + 500,00 / (1 + i)2 + 400,00 / (1 + i)3
onde i é denominado taxa interna de retorno. A solução dessa equação pode ser obtida pelo processo iterativo, isto é,
por “tentativa e erro”. Assim, vamos admitir inicialmente uma taxa qualquer que julgamos próxima da taxa procurada.
Digamos, 6%. Com base nessa taxa, vamos calcular o valor presente dos três pagamentos.
P = 300,00 / (1 + 0,06)1 + 500,00 / (1 + 0,06)2 + 400,00 / (1 + 0,06)3 = 1.063,86.
Como o valor presente desses pagamentos é maior que $ 1.000,00, deduz-se logo que a TIR é maior que 6%. Vejamos
para 11%, por exemplo:
P = 300,00 / (1 + 0,11)1 + 500,00 / (1 + 0,11)2 + 400,00 / (1 + 0,11)3 = 968,56
Portanto a TIR é uma taxa situada entre 6% e 11%. A partir daqui, como temos duas taxas de referência, o mais
indicado é utilizarmos o processo de interpolação linear, que consiste em fazer uma regra de três simples, descrita
como: (a) a diferença entre os dois fatores tomados como referência está para (é proporcional) a diferença entre suas
respectivas taxas, assim como
(b) a diferença entre um dos fatores tomado como referência e o fator dado pelo problema está para a diferença entre
as suas taxas respectivas.
(a) 1.063,86 – 968,56 : (6% - 11%)
(b) 1.000,00 – 968,56 : (x - 11%)
em que x é a taxa interna de retorno procurada. A partir daí, podemos escrever:
(a) 95,30 : ( - 5%)
(b) 31,44 : (x - 11%)
8
Então
x - 11% = 31,44 x (- 5%) / 95,30
x - 11% = -1,65%
x = 11% - 1,65% = 9,35%
Vamos verificar o valor presente para essa taxa:
P = 300,00 / (1 + 0,0935)1 + 500,00 / (1 + 0,0935)2 + 400,00 / (1 + 0,0935)3 = 998,42
A taxa procurada é um pouco menor que essa. A solução é proceder a nova interpolação, tomando como base a taxa
anterior, como segue.
(a) 998,42 – 968,56 : (9,35% - 11%)
(b) 1.000,00 – 998,42 : (x - 9,35%)
x - 9,35% = 1,58 x (- 1,65%) / 29,86 = - 0,09%
x = 9,35% - 0,09% = 9,26%
P = 300,00 / (1 + 0,0926)1 + 500,00 / (1 + 0,0926)2 + 400,00 / (1 + 0,0926)3 = 1.000,09
Rigorosamente, a taxa ainda não é essa. É pouco superior. Uma nova interpolação entre 9,26% e 9,35%, nos dará
9,265%. E calculando-se o valor presente dos três pagamentos, a essa taxa, obteremos o valor de $ 999,99, com uma
diferença de apenas $ 0,01. Portanto, podemos aceitar essa taxa como a taxa interna de retorno do nosso problema.
Obs.: além do processo de interpolação linear descrito, também é muito utilizado o método iterativo de Newton-Raphson, que
permite uma convergência mais rápida à taxa desejada. Entretanto, esse processo exige a utilização de derivadas. Sobre esse
método ver: FARO, Clóvis de. Matemática Financeira, 9ª Ed. São Paulo, Atlas, 1985, Cap. 6.
Análise pela TIR e pelo VPL (MILONE, p. 249:250)
A análise combinada pela TIR e pelo VPL sugere que um investimento no instante em que é avaliado, deve atender a
duas condições básicas: (1) ser taxa de retorno maior que a taxa de mercado e (2) propiciar retorno positivo. Em
síntese, não se deve investir em negócios que ofereçam taxas menores que as de mercado, e muito menos naqueles que
prometem prejuízo.
Exemplo 12
Caetano dispõe de $ 35.000,00: ele está encantado por um empreendimento que promete $ 7.000,00 no primeiro ano, $ 9.000,00
no segundo, $ 11.000,00 no terceiro, $ 13.000,00 no quarto e $ 15.000,00 no quinto; o problema é que também lhe ofereceram um
título de valor nominal igual a $ 53.000,00 e vencimento em três anos; e mais, pelo bem, pelo mal, seu dinheiro está aplicado a
15% a.a. Convém a ele migrar para um desses outros investimentos ou é melhor ficar na dele?
O fluxo de caixa do empreendimento é
35.000
7.000
9.000
11.000
13.000
15.000
9
Nesse caso, o polinômio que define a TIR é:
-35.000,00 + 7.000,00 x (1 + i)-1 + 9.000, 00 .000,00 x (1 + i)-2 + 11.000,00 x (1 + i)-3 + 13.000,00 x (1 + i)-4 + 15.000,00
x (1 + i)-5 = 0
A função pré-programada na HP12c que determina a TIR é assim acionada: coloca-se o primeiro valor do fluxo de
caixa e digita-se g FC0 ; entra-se os demais valores e digita-se sucessivamente g FCj ; caso um mesmo dado se repita
várias vezes, evita-se sua redigitação mediante a tecla Nj , que indica o número de repetições de dado valor.
Completada a entrada de dados, aciona-se f IRR ou f NPV.
No caso em pauta nosso TIR (ou IRR) será 15,02% a.a.
No caso do título, tem-se simplesmente
53.000,00 = 35.000 x (1+i)3 = (53/35)1/3 = 14,83%
Ordenando-se as taxas, tem-se:
itítulo = 14,83% a.a < iaplicação = 15%a.a. < iprojeto = 15,02% a.a.
Adaptado de PILÃO, N. e HUMMEL, P. Matemática Financeira e Engenharia Econômica, 2ª Edição, Ed.
Thomson, São Paulo, 2006.
O Triângulo da Equivalência
FATORES DO QUE
(TENHO
QUERO)
P
P
F
F
P
P
F
F
PMT
PMT
PMT
F
P M T
F
PMT
10
Existem situações especiais em que se torna possível a utilização de fórmulas específicas, que possibilitam deslocar de
uma única vez séries inteiras de pagamentos e/ou recebimentos, sem que tenhamos de nos valer várias vezes das
fórmulas fundamentais.
As fórmulas e o triângulo da equivalência.
(P
F)in
P)in
(F
F = P(1 + i) n
P = F / (1 + i) n
Fórmula Fundamental de Juros Compostos
P)in
(PMT
P = PMT 1 – [1 / ( 1 + i)n]
PMT =
F = PMT
i
1 – [1 / ( 1 + i)n]
i
(PMT
F) n
PMT)in
(P
F)in
[ ( 1 + i)n] – 1
i
(F
F) n
PMT =
PMT)in
i
[ ( 1 + i)n – 1]
11
Aplicações do Método de Valor Atual (VA) ou Valor Presente Líquido
PILÃO, N. e HUMMEL, P. Matemática Financeira e Engenharia Econômica, 2ª Edição, Ed. Thomson, São Paulo,
2006, p. 107.
Exemplo 13 –
Suponha que uma empresa que possua uma Taxa de Expectativa (TMA) de 5% ao mês esteja pensando e abrir uma
loja para venda direta de seus produtos aos consumidores, que para esse fim existam duas oportunidades - abrir um
loja na rua ou um aloja no shopping e que, para tanto, levantou as variáveis envolvidas com cada uma das opções cujos
custos e receitas associados podem ser expressos como seguem:
Itens
Loja de rua
Loja de shopping
Investimentos iniciais
Tempo de utilização
Valor residual e de mercado
Receitas mensais
Custos mensais
$230.000,00
5 anos
$50.000,00
$35.000,00
$24.000,00
$270.000,00
5 anos
$130.000,00
$50.000,00
$36.000,00
Para o exemplo proposto, temos duas opções:
OPÇÃO 1 : ABRIR LOJA DE RUA
$ 50.000
$ 35.000
0
1
2
3
i = 5% a.m.
$ 24.000
59
58
60
OPÇÃO 2 : ABRIR LOJA DE SHOPPING
$ 130.000
$ 50.000
0
1
2
3
i = 5% a.m.
$ 36.000
59
58
60
Pelo método do VA - Valor Atual – vamos deslocar todos os valores envolvidos no fluxo de caixa para a data 0
fazendo us da TMA, o que significa, na prática, extrair dos valores que não se encontram na data 0 os juros nele
embutidos. PR exemplo, o valor de $ 130.000,00 referente ao Valor Residual (que por enquanto estamos considerando
como o valor de venda do bem ao final da vida útil), na data 0, corresponde a 130.000:
(S -> P)60 , o que será o
5%
equivalente a
+ $ 6.959,62. Assim sendo, Valor Atual das duas opções existentes para a TMA de 5% será:
VA(loja de rua) = - 230.000,00 + 11.000,00 + (PMT
P) 60 + 50.000,00 (F
5%
P) 60
5%
12
VA(loja de rua) = - 230.000,00 + 208.222,18 + 2.676,78
VA(loja de shopping) = - 270.000,00 + 14.000,00 + (PMT
VA(loja de shopping) = - 270.000,00 + 265.010,05 + 6.959,61
- $19.101,04
P) 60 + 130.000,00 (F
5%
P) 60
5%
+ $1.969,67
Os resultados de VAs obtidos de - $19.101,04 para a Loja de Rua e + $1.969,67 para a Loja de Shopping representam, na
prática, que embora se obtenha lucro com a “Loja de Rua”, ela não oferece aos investidores a remuneração mínima aceitável – a
TMA, ou seja, ela oferece um “ganho” de (-) $19.101,04 em dinheiro de hoje, isto é, em dinheiro na data 0, aquém da
expectativa – o sinal negativo significa que os custos suplantaram as receitas em $19.101,04 quando sujeitos à TMA da
empresa, que é de 5% ao mês, não se configurando um investimento interessante.
Por sua vez, a “Loja de Shopping” oferece aos investidores uma a remuneração em dinheiro de hoje, isto é, em dinheiro na data 0,
de (+) $1.969,67 além da expectativa – o sinal positivo significa que as receitas suplantaram os custos em $1.969,67 quando
sujeitos à TMA da empresa, que é de 5% ao mês, ou ainda que este investimento paga além dos 5% ao mês desejados mais
$1.969,67 em dinheiro de hoje. configurando-se um investimento interessante, que poderá ser aceito.
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