Aplicações: Desbalanceamento Rotativo, Excitação da Base, Isolamento de Vibrações
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Aplicações:
Desbalanceamento Rotativo
Excitação da Base
Isolamento de Vibrações
1 INTRODUÇÃO
A vibração pode ser um fenômeno desejável ou indesejável.
Em certos situações, como no caso de britadoras, transporte automático de peças por movimento
vibratório, certos eletrodomésticos, etc., a vibração é desejável.
Entretanto, na maioria dos casos, a vibração é um fenômeno indesejável, sendo causa de quebra de peças,
geradora de ruídos, transmissora de forças às fundações das máquinas, etc. Nesse caso, procuramos
minimizar os seus efeitos através do isolamento de vibrações, que consiste na colocação de uma
suspensão (molas e amortecedores) entre a máquina e o solo. Tal suspensão pode ser ativa ou passiva.
Dizemos que a suspensão é ativa quando a vibração é gerada pelo próprio sistema mecânico e, nesse caso,
desejamos reduzir a vibração transmitida por ele para a base (fundação). É o caso, por exemplo, de
prensas mecânicas que geram vibrações e as transmitem, através do solo, para as demais máquinas nas
proximidades. Por outro lado, dizemos que a suspensão é passiva quando a vibração é gerada no meio
ambiente e desejamos reduzir a vibração vinda da base para o sistema mecânico. É o caso, por exemplo,
das vibrações geradas pelas irregularidades da estrada e que são transmitidas à carroceria de um
automóvel.
2 VIBRAÇÃO DEVIDA AO DESBALANCEAMENTO ROTATIVO
Se o centro de massa de um corpo rígido em rotação não coincidir com o centro de rotação, dizemos que o
sistema está desbalanceado. A fig. 1 mostra uma máquina de massa total M, a qual inclui a massa
desbalanceada m, situada a uma distância r (chamada excentricidade) do centro de rotação. Ao produto
mr denominamos desbalanceamento. A máquina está montada sobre uma suspensão ativa composta por
uma mola k e um amortecedor c. Consideremos que as partes rotativas (que compõem o rotor) giram com
velocidade angular ω rad/s. Sabemos, da Física, que será gerada uma força centrífuga f0 com ponto de
aplicação na massa m e módulo mω2r. Tal força gira com o rotor, apontando radialmente para fora.
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Na presente análise, vamos considerar o movimento apenas no sentido vertical, restringindo o movimento
horizontal através de “paredes” verticais fictícias, conforme mostrado na figura. Tal consideração
assegura um grau de liberdade ao sistema.
Fig. 1
A força centrífuga desbalanceadora
(1)
f0 = mω2r
pode ser decomposta em uma componente horizontal, f0cosωt, que é equilibrada pela reação da parede
vertical, e em uma componente vertical
(2)
f(t) = mω2r senωt
que fará o sistema vibrar na direção vertical. Comparando com o estudo feito anteriormente, concluímos
tratar-se também de um forçamento harmônico, sendo que agora o valor da amplitude do forçamento é
conhecido e dado pela eq. (1). Assim sendo, podemos aproveitar os resultados anteriores, simplesmente
substituindo f0 por mω2r. Vimos que o fator de amplificação e o ângulo de fase são dados,
respectivamente, por:
X
1
FA =
=
(3)
2 2
f0
(1 − ν ) + (2ςν)2
k
φ = arctg( −
(4)
2ςν
)
1 − ν2
Substituindo f0 por mω2r na eq. (3) e tendo em conta que k = Mωn2, chegamos facilmente à expressão do
fator de amplificação para o caso do desbalanceamento rotativo:
(5)
FA =
MX
=
mr
ν2
(1 − ν 2 ) 2 + (2ςν) 2
cujo gráfico é mostrado na fig. 2 para vários valores de ζ. Podemos tirar observações interessantes do
gráfico, algumas delas semelhantes às obtidas para o caso já examinado anteriormente:
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Fig. 2
(1) Fatores de amortecimento mais fortes tendem a diminuir o fator de amplificação e, em conseqüência,
a amplitude da vibração, principalmente para ν < 3.
(2) Já para ν ≥ 3, quase nenhum proveito obtemos usando amortecedores mais fortes; isso é importante
do ponto de vista prático: de nada adianta usarmos fortes amortecimentos com o objetivo de reduzir
a amplitude da vibração quando o sistema operar com ν ≥ 3, pois, nessa faixa, as curvas praticamente
coincidem.
(3) Quando ν = 1 ocorre o chamado fenômeno da ressonância, no qual a freqüência da excitação iguala a
freqüência natural do sistema e grandes amplitudes se observam. Normalmente, é uma situação
indesejável, pois grandes amplitudes de vibração levam a altos níveis de tensão que podem conduzir ao
colapso do material. Fazendo ν = 1 na eq. (5), obtemos o valor da amplitude na ressonância:
(6)
Xres =
mr
2ςM
Já a substituição de ν = 1 na eq. (4) permite que obtenhamos o valor do ângulo de fase na
ressonância:
(7)
φ = π/2
(4) Por outro lado, podemos notar que os valores máximos de amplitude ocorrem, agora, um pouco à
direita de ν = 1 e cada vez mais à direita, à medida que cresce o valor de ζ. Isso pode ser facilmente
demonstrado usando a teoria dos máximos e mínimos, caso em que podemos provar que o valor
máximo da amplitude se encontra na abcissa
(8)
ν=
1
1 − 2ς 2
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No que diz respeito ao ângulo de fase, a eq. (4) permanece a mesma, logo também resta imutável o seu
gráfico (ver fig. 3).
Fig. 3
3 EXCITAÇÃO DA BASE
Enfocaremos, agora, uma outra situação de forçamento harmônico também muito importante na prática: a
vibração decorrente de uma excitação da base. Um exemplo clássico desse tipo de forçamento ocorre
com um automóvel de massa m e suspensão composta por molas de rigidez total k e amortecedores de
coeficiente de amortecimento total c, o qual se desloca com velocidade constante v sobre uma estrada
cujo perfil y(x) possa ser considerado como senoidal, conforme ilustra a fig. 4 (a):
Fig. 4
Nessas condições, estamos modelando o veículo como um sistema m-k-c de um só grau de liberdade e o
terreno ondulado como a função senoidal
(9)
y(x) = A sen
2πx
L
onde A é a amplitude da onda senoidal do terreno e L é o comprimento dessa onda senoidal. O movimento
do veículo ao longo do perfil y(x) resulta em um movimento vertical y(t) da roda. Considerando que a
velocidade do carro é constante, podemos escrever
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(10)
5
x = vt
e o movimento vertical y(t) pode então ser expresso como
(11)
y(t) = A sen
2πvt
L
Consideremos, agora, o diagrama de corpo livre da fig. 4 (b). Nesse diagrama, z é a coordenada que
descreve o movimento vertical da massa m do carro. Aplicando a 2a Lei de Newton obtemos
.
(12)
.
..
− c(z − y) − k(z − y) = m z
donde chegamos a
..
.
.
m z + c z + kz = c y + ky
(13)
Aqui também podemos calcular a resposta permanente usando a expressão obtida anteriormente, apenas
substituindo o módulo da força, f0, pelo módulo da amplitude do deslocamento da base, A :
(14)
zss(t) = A |G(iω)| sen(ωt + φ)
Na eq. (14), |G(iω)| é o módulo da função de transferência senoidal, φ é o ângulo de fase e ω é a
freqüência da excitação, dada por
2πv
ω=
L
Vamos, então, simplesmente calcular |G(iω)| e φ para o presente caso.
Aplicando a transformação de Laplace à eq. (13):
(ms2 + cs + k)Z(s) = (cs+k)Y(s)
donde tiramos a função de transferência G(s) = Z(s)/Y(s):
(15)
G(s) =
cs + k
2
ms + cs + k
Podemos mostrar que, agora, o fator de amplificação, que é a relação entre a amplitude da vibração, Z, e
a amplitude da excitação, A, é dado por
(16)
FA =
Z
=
A
1 + (2ςν) 2
(1 − ν 2 ) 2 + (2ςν) 2
e que o ângulo de fase é dado por
(17)
φ = arctg( −
2ςν3
1 − ν 2 + (2ςν)2
)
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Os gráficos das eqs. (16) e (17) estão ilustrados, respectivamente, nas figs. 5 e 6:
Fig. 5
Fig. 6
Examinando a fig. 5, podemos extrair dela algumas conclusões importantes:
(1) Fatores de amortecimento mais fortes tendem a diminuir o fator de amplificação e, em conseqüência,
a amplitude da vibração, principalmente nas vizinhanças de ν = 1.
(2) Todas as curvas, independentemente do valor de ζ, passam pelo ponto ( 2 , 1). Portanto, para ν > 2 ,
nenhum proveito obtemos usando amortecedores mais fortes, pois, ao contrário, verifica-se uma
troca de posição das curvas. Isso é importante do ponto de vista prático: à direita de ν = 2 , o uso de
fortes amortecimentos tende a amplificar (ao invés de reduzir) a amplitude da vibração.
(3) Quando ν = 1 ocorre o chamado fenômeno da ressonância, no qual a freqüência da excitação iguala a
freqüência natural do sistema e grandes amplitudes se observam. Normalmente, é uma situação
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7
indesejável, pois grandes amplitudes de vibração levam a altos níveis de tensão que podem conduzir ao
colapso do material. Fazendo ν = 1 na eq. (16), obtemos o valor da amplitude na ressonância:
(18)
X=
A 1 + 4ς 2
2ς
Já a substituição de ν = 1 na eq. (17) permite obter o valor do ângulo de fase na ressonância:
(19)
φ = arctg(-1/2ζ)
(4) Podemos também notar que os valores máximos de amplitude ocorrem um pouco à esquerda de ν = 1 e
cada vez mais à esquerda à medida que cresce o valor de ζ. As abcissas onde ocorrem tais máximos
podem ser obtidas através da aplicação da teoria de máximos e mínimos, à semelhança do que foi
feito anteriormente para os casos de excitação da massa por força harmônica e de desbalanceamento
rotativo.
Já o exame da fig. 6, referente ao ângulo de fase, permite notar que, para ν < 1, φ tende para zero,
enquanto que para ν > 1 ele tende para -π/2.
4 ISOLAMENTO DE VIBRAÇÕES
O isolamento de vibrações é um processo pelo qual os efeitos da vibração são minimizados, já que é
impossível eliminá-los. Conforme a suspensão (que desempenha o papel de isolador) seja ativa ou passiva,
ela reduzirá, respectivamente, a amplitude da força transmitida do sistema para a base (fig. 7a), ou a
amplitude do movimento transmitido da base para o sistema (fig. 7b).
Fig. 7
O isolador de vibrações, obviamente, é um conjunto de molas (rigidez equivalente k) e amortecedores
(coeficiente de amortecimento equivalente c).
A medida do isolamento de vibrações é feita através de um parâmetro denominado transmissibilidade. A
transmissibilidade, simbolizada por TR, é definida de acordo com o tipo de suspensão. Assim:
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• suspensão ativa:
(20)
TR =
amplitude da força transmitida
amplitude da força de excitação
• suspensão passiva:
(21)
TR =
amplitude domovimento transmitido
amplitude do movimento de excitação
Para o cálculo da TR, no caso da suspensão ativa, vamos considerar o sistema da fig. 8:
Fig. 8
cuja modelo matemático já foi obtido anteriormente, como sendo
..
.
m x + c x + kx = f(t) = f0 sen ωt
Aplicando a transformada de Laplace:
(22)
(ms2 + cs + k)X(s) = F(s)
Por outro lado, a força transmitida à estrutura fixa é dada pela soma vetorial da força transmitida
através da mola e da força transmitida através do amortecedor, ou seja:
.
ftr(t) = c x + kx
Aplicando a transformada de Laplace:
(23)
Ftr (s) = (cs + k)X(s)
Eliminando X(s) nas eqs. (22) e (23), chegamos à função de transferência
(24)
G(s) =
Ftr (s)
cs + k
=
2
F(s)
ms + cs + k
8
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Comparando as eqs. (24) e (16), vemos que as mesmas são idênticas, logo podemos aproveitar o
desenvolvimento já feito para concluir que, no caso da suspensão ativa:
TR =
(25)
1 + (2ςν)2
(1 − ν2 )2 + (2ςν)2
Por outro lado, para o caso da suspensão passiva, a TR é facilmente identificada simplesmente pelo exame
das eqs. (21) e (16), o que nos conduz à mesma expressão (25) para a TR. Portanto, podemos concluir que a
TR, para ambos os tipos de suspensão, é dada pela eq. (25).
EXERCÍCIOS
1
Observa-se que a vibração livre de uma haste vertical engastada cai de uma amplitude inicial de
20 mm à metade desse valor em 10 ciclos. Calcular a amplitude da resposta permanente na
ressonância quando a base da viga é excitada pelo deslocamento horizontal harmônico da figura,
dado em m.
Solução
1 X0
1
20
ln
δ = ln
=
= 0,0693
n Xn
10 10
ς=
Na ressonância : ν = 1 ⇒ FA =
δ
2
4π + δ
X
=
A
2
=
0,0693
2
4π + 0,06932
1 + (2ςν )2
(1 − ν )
2 2
+ (2ςν )2
=
= 0,011
1 + (2ς )2
2ς
=
1 + (2x0,011)2
2x0,011
= 45,466
Logo : X = 0,001x 45,466 = 4,5466x10 -2 m = 45,466 mm
2
Um motor elétrico, de massa 25 kg, está montado sobre a extremidade de uma viga horizontal em
balanço. Em vibração livre, a razão entre duas amplitudes consecutivas quaisquer é 2:1. Calcular a
transmissibilidade quando o motor estiver operando em uma rotação tal que ω = 5ωn.
Resp.: 0,062
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3
10
Um motor elétrico aciona um equipamento mecânico a uma velocidade de 1750 rpm. O sistema está
montado sobre calços de borracha os quais apresentaram uma deflexão estática de 5 mm quando
da montagem. Determinar o percentual de força transmitida à fundação se o fator de
amortecimento do sistema for 0,25.
Solução
ωn =
g
δ est
=
9,81
= 44,29 rad / s
0,005
1750x2π
= 183,26 rad/s
60
ω
183,26
ν=
=
= 4,137
44,29
ωn
ω=
TR =
Logo :
4
1 + (2ςν )2
(1 − ν )
2 2
+ (2ςν )2
=
1 + (2x0,25x 4,137 )2
(1 − 4,137 )
2 2
+ (2x0,25x 4,137 )2
= 0,1414
TR = 14,14 %
Um equipamento eletromecânico está montado sobre um conjunto de isoladores de borracha. O
sistema, cuja freqüência natural é 500 rpm, exibe, na ressonância, um fator de amplificação igual
a 5. A partir de qual freqüência a transmissibilidade de força é reduzida a 50%?
Resp.: 879 rpm
5
A figura mostra a resposta em freqüência do movimento vertical do piso nas proximidades de uma
prensa. Estimar o fator de amortecimento ζ e calcular a transmissibilidade a 1800 rpm.
Resp.: ζ = 0,0625
TR = 0,133
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6
11
Um bloco de massa 35 kg está ligado a um suporte através de uma mola de rigidez 1,4 x 106 N/m e
um amortecedor de coeficiente de amortecimento 1,8 x 103 Ns/m. O suporte se movimenta com
deslocamento harmônico de amplitude 10 mm e freqüência 35 Hz. Calcular a amplitude da
resposta permanente do bloco.
Resp.: 29,4 mm
7
A figura mostra um modelo simplificado da suspensão de um veículo que trafega sobre uma
estrada cujo perfil pode ser admitido como y(x) = A sen(2πx/L) em metros, onde A = 0,01 m é a
amplitude do perfil senoidal e L = 2,5 m é o comprimento de um ciclo. Calcular a amplitude da
vibração do veículo.
Resp.: 0,687 mm
8
Um motor elétrico gira a 1750 rpm e deve ser montado sobre suportes de borracha. Há
disponibilidade de dois tipos de suportes: os do tipo A possuem deflexão estática de 5 mm e os do
tipo B, 8 mm. Qual tipo é o mais adequado no que diz respeito ao isolamento de vibrações?
Considerar que ambos os tipos apresentam um fator de amortecimento de 0,2.