Vibrações Mecânicas
2º EE
2º Semestre de 2015
1) Faça um esquema que mostre com razoável precisão, isto é, mostrando pelo menos os nós e como
são as derivadas nas extremidades para as seguintes situações, que devem sempre ser considerar
que o elemento vibratório é unidimensional, homogêneo e com seção transversal uniforme e está
em vibração transversal, para as situações enumeradas a seguir. a) o primeiro modo normal de um
arame flexível com uma extremidade fixa; b) o segundo modo normal de uma viga biengastada; c)
o primeiro modo de uma viga livre­livre; d) o terceiro modo normal para um arame flexível com as
duas extremidades fixas. Para todos os casos, escreva as condições de contorno aplicadas a cada ex­
tremidade. (Valor 2.0 pontos)
2) Na figura ao lado, os cilindros
tem a mesma massa e giram sem
deslizar sobre o piso. Sobre o ci­
lindro esquerdo age uma força har­
mônica com amplitude igual a 6 N e com frequência
igual a 280 Hz. Calcule a maior distância possível entre os
centros das massas e qual a maior velocidade angular que ocorre no sistema. Os cilindros têm massa
igual a 1,5 kg, a rigidez das duas molas é igual a 3,0 KN/m, e o amortecedor central, que é único,
tem coeficiente de amortecimento igual a 0,15 kg/s. Não esqueça de contabilizar a inércia rotacio­
nal na solução do problema! (Valor 4.0 pontos)
3) A figura ao lado mostra uma vista superior de

m
m
um sistema que é usado como parte de um regula­
dor de velocidade mecânico de um equipamento
antigo. O disco central tem diâmetro igual a 100 mm está conectado aos
cabos flexíveis com comprimento igual a 900 mm, na extremidade dos quais estão conectadas as
massas concentradas, iguais a 0,25 kg. O sistema é construído de tal forma que as massas nas extre­
midades dos cabos só podem mover­se na direção radial. Podemos considerar que, nas velocidades
normais de operação, a vibração longitudinal dos cabos é desprezível. Lembre­se que a aceleração
2
para manter uma partícula em uma trajetória circular é igual ω R , onde R é o raio da trajetória e
ω é a velocidade angular da partícula. Os fios são feitos aço com massa específica igual a
7.700 kg/m³, e tem diâmetro igual a 1,5 mm. Verifique se há algum perigo de ocorrer ressonância
entre a velocidade de rotação e algum harmônico da vibração lateral do cabo. (Esta questão é muito
fácil.) (Valor 4 pontos)
ω=2 π f
√
ωn=
k
,
m
1
f=τ
ω n=
√
1
2
T = m ẋ ,
2
kt
,
J0
1
2
T = J 0 θ̇ ,
2
ω d = √1−ζ ωn ,
x (t )=X e−ζ ω t cos ( ω d t−φ ) , X =
n
Prof. Ramiro Willmersdorf
2
ζ=
√ x ω + x˙
2
0
2
n
0
2
1
2
U= κx ,
2
c
,
cc
c c=2 m ωn
2
1
U= F x
2
δst =
F0
k
k t=
GJ
l
1
2
J 0 = mR
2
+2 x 0 ẋ 0 ζ ωn
x˙ +ζ ω n x 0
, ωd =√ 1−ζ 2 ω n , φ=arctan 0
ωd
x 0 ωd
(
)
01/06/2015
Vibrações Mecânicas
X
1
=
δst √ (1−r 2 )2 +(2 ζ r)2
2º EE
x1
1
δ= ln
,
n
xn+1
2
( )
Z rs (i ω)=−ω mrs +i ω crs +k rs
−1
[ ]
a b
c d
=
[
1
d −b
a d −b c −c a
Prof. Ramiro Willmersdorf
δ=
2πζ
√1−ζ 2
Z(i ω ) X =F 0
] √
E
c= ρ
√
G
c= ρ
2º Semestre de 2015
, δ=2 π ζ para ζ ≪1
−1
X=Z (i ω) F 0
α tan α=β
[
Z (iω)=
α=
ωl
c
Z 11 (i ω) Z 12 (i ω)
Z 12(i ω) Z 22 (i ω)
β=
m
M
β=
]
J barra
I0
01/06/2015