geometria
e medidas
O experimento
Experimento
Qual é o cone com maior volume?
Objetivos da unidade
1. Dado um círculo de cartolina, investigar qual seria o cone
com maior volume que se poderia montar;
2. Explorar a maximização e minimização de funções.
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Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
O experimento
Qual é o cone
com maior
volume?
Sinopse
Reunidos em grupos, os alunos construirão seis cones diferentes usando
o mesmo material inicial (um círculo de cartolina com 8 cm de raio)
e tentarão organizá-los em ordem de volume. Feito isso, calcularão seus
volumes a partir de suas medidas e tentarão descobrir como o cone
deveria ser montado para que se obtivesse o maior volume possível.
Conteúdos
Geometria Espacial – Aplicação: Problema de Otimização.
Objetivos
1. Dado um círculo de cartolina, investigar qual seria o cone com maior
volume que se poderia montar;
2. Explorar a maximização e minimização de funções.
Duração
Uma aula dupla.


Material relacionado
Experimento: Caixa de Papel;
Experimento: Qual é o prisma de maior volume?
Introdução
A otimização de embalagens, peças e
recipientes é um processo frequente em
indústrias de maneira geral. Normalmente,
o que se quer é obter o maior volume consumindo uma quantidade fixa de material
ou obter um certo volume usando a menor
quantidade de material possível.
Nesse experimento faremos algo parecido. Com um certo material inicial, círculos
de cartolina, os alunos vão construir vários
cones e, a partir deles e de algumas análises,
poderão, experimentalmente, levantar
hipóteses de como o sólido deveria ser
construído para que tivesse o maior volume
possível.
Qual é o cone com maior volume?
O Experimento
2/9
O Experimento
O problema
Material necessário






Cartolina;
Compasso;
Régua;
Tesoura;
Transferidor;
Fita adesiva.
ºº Sugerimos o uso
de calculadora.
Dado um círculo de cartolina, é possível
construir cones recortando-se fatias com
vértices no centro do círculo (chamadas
setores circulares de ângulo θ),×conforme
V
mostram as figuras 2 e 3.
Qual a medida do ângulo θ,×
para
V que
o volume do cone construído seja o maior
possível.
Θ
fig. 2
fig. 1
fig. 3
Qual é o cone com maior volume?
O Experimento 3 / 9
Neste experimento, os alunos tentarão
solucionar esse problema trabalhando em
grupos. Haverá duas etapas:
Na primeira, estão envolvidas a cons
trução de alguns cones e a organização
aproximada de seus volumes, segundo
a intuição do grupo que os construíram.
Já na segunda etapa, os alunos calcularão
os volumes dos cones a partir de suas
medidas e levantarão hipóteses sobre
o ângulo da fatia que deveria ser retirada
para que ele tivesse o maior volume possível.

etapa
Construção dos cones
Divida a classe em grupos e dê uma cartolina
para cada um. O ideal é que se construam
pelo menos 6 cones por grupo e, por isso,
sugerimos que eles sejam compostos por 3
pessoas, ficando cada aluno encarregado
da montagem de 2 cones.
Oriente seus alunos a realizarem os
seguintes procedimentos:


Em uma cartolina, traçar 6 circunferências
com raio de 8 cm, marcando os
centros, e depois recortar os círculos
correspondentes;
Em cada círculo, desenhar uma fatia
com vértice no centro, anotar o seu ângulo
1
no setor circular restante e recortá-la, como
na figura 2. Fazer fatias com ângulos
diferentes em cada círculo;
Agora, com cada setor circular restante
(os que estão sem as fatias), montar
um cone, como na figura 3. Os alunos
precisarão de uma fita adesiva.
Incentive os alunos a fazerem fatias de
ângulos variados. Quanto mais dados
diferentes eles tiverem, melhor será o gráfico
que vocês farão no Fechamento deste
Experimento.
Feito isso, peça aos alunos de cada
grupo para que, intuitivamente, organizem
os cones em ordem decrescente de volume,
numerando-os de 1 a 6. Essa numeração será
usada na tabela da etapa seguinte.
1
!!
Professor, o ângulo da
fatia a ser retirada para
que o cone tenha o maior
volume possível é, aproxi
madamente, 66◦ . Por isso,
incentive alguns grupos
a fazer algumas fatias com
ângulos próximos desse.
Qual é o cone com maior volume?
4
2
3
5
6
fig. 4
O Experimento 4 / 9
etapa
Cálculo dos volumes
!!
2
O zero da régua não
coincide com seu início.
Para evitar erros, peça
a seus alunos para que
façam a medida com
cuidado.
Nessa etapa, os alunos deverão calcular
os volumes dos cones construídos. Como
VCone =
1
3
fig. 6 Medição da altura do cone.
× ABase × H,
onde ABase é a área da base do cone e H
sua altura, eles terão que medir, de maneira
aproximada, o raio da base e a altura de cada
cone.
Uma maneira de fazer essas medidas está
mostrada nas figuras a seguir.
Explique essa maneira de medir os raios
e alturas, e depois peça para que preencham
uma tabela como a seguinte:
Cone
Ângulo
Altura
Raio
Volume
da fatia
1
!!
Professor, certifique-se
de que seus alunos estão
dividindo o diâmetro
por dois para encontrar
o raio.
2
ºº Professor, alerte os alunos
a tomar cuidado para não
deformar os cones na hora
de coletar esses dados.
3
4
5
6
fig. 5 Medição do diâmetro da base do cone.
tabela 1 Será utilizada para o registro
dos dados dos cones.
Depois que os alunos preencherem suas
tabelas, cada grupo saberá exatamente qual
foi o cone de maior volume que construiu.
Contudo, eles podem não ter concluído qual
o melhor (maior em volume) cone entre todos
Qual é o cone com maior volume?
O Experimento 5 / 9
os que podem ser construídos pelo método
utilizado. Isso será feito no Fechamento
deste Experimento.
Antes de ir para o Fechamento, pergunte
se eles sabem como calcular o ângulo que
a fatia retirada deveria ter para conseguir
maximizar o volume do cone. Observe
se alguns alunos conseguem pensar em
maximização de função.
Fechamento
Depois que os grupos concluírem o preenchi
mento das tabelas, faça um gráfico na lousa
do volume do cone em função do ângulo da
fatia retirada (θ × V ), socializando os dados
experimentais dos diversos grupos da classe.
Ele deverá ter aproximadamente a seguinte
forma:
ºº Professor, para fazer esse
gráfico, existem alguns
ângulos que são mais
interessantes que outros.
Utilize sua habilidade
para coletar da classe
esses valores que fazem
o gráfico tomar sua forma
(veja figura 9).
fig. 7
Este gráfico sugere que o volume do cone é
máximo quando o ângulo da fatia retirada
está entre 55◦ e 75◦.
Modelagem do problema
Para compreendermos como o volume
varia em função do ângulo da fatia retirada,
vamos estabelecer uma expressão precisa.
Para isto será necessário :
Qual é o cone com maior volume?
O Experimento 6 / 9
º Lembre se que em nosso
experimento R = 8 cm .
1. Escrever o raio da base do cone formado
em função de θ:× V
H
Pelas figuras 2 e 3, vemos que o comprimento do setor circular sem a fatia é igual
ao comprimento da circunferência da base
do cone. Assim, sendo R o raio do setor
circular e r o raio da base do cone, temos:
2πR =⇒ 360
2πr =⇒ 360 − θ


360 − θ
R·
2πR
= 2πr
360




360
360−
−θθ
rr =
= RR··
360
360
R
r
!
360 − θ
Note que
é um
360
número menor do que 1,
que corresponde à porção
do disco utilizado para o
cone em relação ao disco
total.
2. Escrever a altura do cone formado em função
de θ:× V
Analisando a figura 8, vemos que os
segmentos que representam a altura, o raio
da base e a geratriz do cone formam um
triângulo retângulo. Desse modo, lembrando
que a geratriz tem comprimento R, temos,
pelo Teorema de Pitágoras:
Qual é o cone com maior volume?
fig. 8
R2 = r2 + H2
H2 = R 2 − r 2
H2
= R 2 − R2 ·
H2
= R2 ·
H = R·



360 − θ 2
360
2 


1−

360−θ
360
360 − θ
1−
360
2
3. Finalmente expressar o volume do cone
formado em função de θ:× V
VCone =
1
3
· ABase · H
VCone =
1
3
· π · r2 · H
O Experimento
7/9

VCone (θ) =
1
3
VCone (θ) =
πR3
· πR2
3

360 − θ
360

360 − θ
·
360
2   
 

360 − θ 2
· R· 1−
360
2 


360 − θ 2
· 1−
360
Desse modo, encontramos a função que
relaciona o volume do cone com o ângulo da
fatia retirada do círculo inicial. Ela permitirá
calcular o volume para qualquer valor de
e poderá
ser usada para verificar todos
θ×
V
os cálculos de volume efetuados com as
medidas experimentais. Peça aos alunos
que escolham um dos cones para fazer essa
verificação.
Plotando o gráfico dessa função, obtemos
a curva abaixo:
º No aNEXO é fornecido
um eixo cartesiano já
em uma escala compatível
com os valores deste
experimento. Os grupos
podem utilizála para
construírem o gráfico
ao lado.
���
���
��
�
�°
��°
���°
���°
���°
���°
do ângulo θ ×
essa
V função tem um ponto
de máximo. No entanto, você pode propor
um desafio:
Questão para os alunos
Quem consegue obter o valor do ângulo que
a fatia deve ter para que o cone tenha o maior
volume possível?
Para tanto os alunos deverão observar
o gráfico e testar valores para θ,×
com
V ajuda
de uma calculadora. A solução é θ ≈ 66, 06◦
e V ≈ 206, 37 cm3 .
Porém, é interessante que você comente
com eles sobre a existência de métodos para
esse tipo de cálculo.
Aproveite a oportunidade para
incentivá-los a seguir os estudos num curso
superior.
º Professor, a explicação
algébrica de como calcular
os 66◦ encontrase
no Guia DO PrOfESSOr.
Se achar interessante,
dê uma olhada!
���°
fig. 9
Como esta função não é do segundo grau,
seus alunos provavelmente não saberão
como calcular exatamente para qual valor
Qual é o cone com maior volume?
O Experimento
8/9
Ficha técnica
Autor
Sueli Irene R. Costa
Projeto gráfico
Preface Design
Coordenação de Redação
Rita Santos Guimarães
Ilustrador
Lucas Ogasawara de Oliveira
Redação
Felipe Mascagna Bittencourt
Lima
Fotógrafo
Augusto Fidalgo Yamamoto
Revisores
Matemática
Antônio Carlos Patrocínio
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
José Tadeu Jorge
Vice-Reitor
Fernando Ferreira da Costa
Grupo Gestor
de Projetos Educacionais
(ggpe – unicamp)
Coordenador
Fernando Arantes
Gerente Executiva
Miriam C. C. de Oliveira
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
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Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação