utad . . . . . Bioengenharia, Eng.a Biomédica . . . . . 2009–2010 . . . . . análise matemática I . . . . . 1
Univ. de Trás-os-Montes e Alto Douro
Bioengenharia
Eng.a Biomédica
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Problemas extraordinários para Análise Matemática I
Sobre séries numéricas: todos os problemas que estão nas provas do ano lectivo precedente.
1. De entre todos os rectângulos com perı́metro constante P , qual é o que tem área máxima?
2. Num sistema de coordenadas rectangulares Oxy, considere as curvas C1 e C2 definidas por
C1 :
1
y − 2 = (x − 1)2 ;
4
C2 :
(x − 1)2 + (y − 3)2 = 4.
(a) Represente C1 e C2 num referencial rectangular Oxy.
(b) Identifique, no plano Oxy, a região caracterizada pela condição
1
y − 2 > (x − 1)2
4
∧
(x − 1)2 + (y − 3)2 6 4.
(c) Escreva um integral que represente o valor numérico da área definida pela região descrita
pela condição precedente.
(d) Escreva um integral que represente o valor numérico do volume do sólido obtido por
rotação, em torno do eixo Ox, da região
1
y − 2 6 (x − 1)2
4
3. Seja x ∈ R \ {0}. Considere a série
∧
(x − 1)2 + (y − 3)2 6 4.
¶n
+∞ µ
X
x−3
n=1
x
.
(a) Justifique que se trata de uma série geométrica.
(b) Identifique o conjunto dos valores de x para os quais a série é convergente.
(c) Para x = 2, calcule a soma da série.
4. Num referencial rectangular Oxy, esboce a hipérbole equilátera cujos vértices são os pontos
(2, 1) e (1, −5).
(Neste tipo de problemas deve usar régua não-graduada e compasso.)
5. Num referencial Oxy, esboce a curva de equação 4x2 + 8x + y 2 + 6y + 9 = 0.
Compare a equação reduzida da curva proposta com a fórmula fundamental da trigonometria
e estabeleça as relações funcionais
x = f (α) ∧ y = g(α),
α ∈ [0, 2π[.
6. Num sistema rectangular Oxy, considere a região cartesiana G caracterizada pela condição
(x + 1)2 + (y − 1)2 > 2
∧
(x + 2)2 + (y − 2)2 6 8.
(a) Represente G num referencial rectangular Oxy.
(b) Caracterize G em coordenadas polares.
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Z
7. Calcule:
(a)
x cos2
sin x
¡R x sin t
t
1
Z
dt
¢ dx;
(b)
sec2 x
dx.
tan2 x
8. Seja g uma função real de variável real tal que g(x) = (x − 1)(x − 2)(x + 3).
(a) Calcule o valor numérico da área limitada pelas curvas de equações
x = −1,
x = 3,
y = 0,
y = |g(x)|.
(b) Sendo T a região descrita na alı́nea precedente, calcule o valor numérico do volume do
sólido gerado por rotação de T em torno do eixo Ox.

se
x 6 −1,
 0,
arcsin¡ x, ¢ se −1 < x < 1,
9. Seja β uma constante real. A função f : R −→ R, f (x) =

β sin π2 x , se
x > 1,
é contı́nua no ponto de abcissa 1.
(a) Calcule o valor de β.
(b) Identifique o domı́nio de continuidade de f .
(c) Identifique o contra-domı́nio de f .
(d) Apresente um esboço do gráfico de f num sistema rectangular Oxy.
10. Considere as funções reais de variável real caracterizadas pelas relações
g(x) = arccos(1 − x + x2 );
f (x) = arcsin(1 − 3x);
h(x) = arcsin(ln(x2 − 1)).
(a) Identifique o domı́nio de cada função.
(b) Proponha um gráfico — o mais verosı́mil possı́vel — para cada uma das funções.
(Note: não pode usar as expressões designatórias das derivadas arcsin(·), arccos(·)... uma vez
que ainda não foram dadas a conhecer em aula.)
11. Reanalise os problemas 82 – 84 do caderno de problemas para as aulas t-práticas.
12. Seja f uma função contı́nua em R. Considere a função F definida por
( 1 Rx
f (t) dt, se x 6= 0;
x 0
F (x) =
f (0),
se x = 0.
Prove que F é contı́nua em R e diferenciável em R \ {0}.
13. Resolva o problema 156(a) do caderno de problemas para as aulas t-práticas.
Calcule a primitiva da função:
(a)
f (x) = ln x;
(b)
g(x) = ln2 x.
14. As funções seno hiperbólico e co-seno hiperbólico, denotadas por sinh(·) e cosh(·), definem-se
por
ex − e−x
ex + e−x
sinh(x) :=
,
cosh(x) :=
.
2
2
(a) Esboce os gráficos das funções sinh(x) e cosh(x).
(b) Mostre que
d
(sinh x)
dx
= cosh x.
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