ESTÁTICA – DEC 3674
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4 Estática das estruturas espaciais1
4.1 Componentes Retangulares de uma Força Espacial.
Vamos discutir os problemas que envolvem as três dimensões do espaço. Consideremos uma
força F atuante na origem O de um sistema de coordenadas retangulares x, y e z, conforme
mostra a figura abaixo (figura (a)). A força F pode ser decomposta em uma componente
vertical Fy e uma componente horizontal Fh (figura (b)) dentro do plano OBAC.
y
y
B
B
Fy
A
θy
F
z
x
O
φ
Fy
A
θy
F
x
O
y
B
O
Fz
Fh
z
C
C
z
x
Fx
D
φ
Fh
E
C
As correspondentes componentes escalares são:
Fy = F cosθ y
Fh = F senθ y
(16)
Mas Fh pode ser decomposta em duas componentes retangulares Fx, e Fz segundo os eixos x
e z, respectivamente (figura (c)). Obtemos, então, as seguintes expressões para as
componentes escalares correspondentes:
Fx = Fh cosφ = F senθ y cosφ
Fz = Fh senφ = F senθ y senφ
(17)
A força F foi decomposta em três componentes vetoriais retangulares Fx, Fy, e Fz, orientadas
segundo os três eixos coordenados. Aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos OAB e
OCD da Figura acima, escrevemos
F 2 = ( OA ) = ( OB ) + ( BA ) = Fy2 + Fh2
2
2
2
Fh2 = ( OC ) = ( OD ) + ( CD ) = Fx2 + Fz2
2
1
2
2
Mecânica vetorial para engenheiros - Ferdinand P. Beer e E. Russell Johnston, Jr.; McGraw-Hill, 1976
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Ou seja, F 2 = Fy2 + Fh2 = Fy2 + Fx2 + Fz2 e a relação a intensidade de F e suas correspondentes
componentes escalares retangulares é:
F = Fx2 + Fy2 + Fz2
intensidade da força.
(18)
Esta relação entre a força E e suas três componentes Fx, Fy e Fz, é visualizada mais
facilmente através da figura abaixo.
y
y
y
Fy
Fy
Fy
B
A
F
O
B
θy
θx
Fx D
x
E
A
Fx D
O
Fz
z
F
B
x
O
Fz
C
z
Fx = F cosθ x
Fy = F cosθ y
F
Fz
E
C
Fz = F cosθ z
z
E
θz
A
Fx D
x
C
(19)
Os três ângulos θx, θy, e θz, definem a direção da força F. Os co-senos de θx, θy, e θz, são
conhecidos como os co-senos diretores da força F.
Usando os vetores unitários i, j e k, orientados
segundo os eixos x, y e z, respectivamente podemos
exprimir F na forma:
F = Fx i + Fy j + Fz k
(20)
onde as componentes escalares Fx, Fy e Fz são:
Fx = F cosθ x ,
Fy = F cosθ y e
Fz = F cosθ z .
(21)
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Exemplo 1. Uma força de 1000 N forma ângulos de 60°, 45° e 120°, respectivamente, com os
eixos x, y e z. Determinar as componentes Fx, Fy e Fz, da força.
Fx = F cosθ x ,
Fy = F cosθ y
e
Fz = F cosθ z
Fx = F cos θx = 1000 x 0,5 = 500 N
Fy = F cos θy = 1000 x 0,707 = 707 N
Fz = F cos θz = 1000 x (-0,5) = -500 N
F = Fx i + Fy j + Fz k
F (N) = 500 i + 707 j – 500 k
Como no caso de problemas bidimensionais, o sinal positivo indica que a componente tem
mesmo sentido do eixo correspondente e o sinal negativo indica que ela tem sentido oposto.
F = F cosθ x i + F cosθ y j + F cosθ z k
Sendo
= F ( cosθ x i + cosθ y j + cosθ z k )
= F. λ
λ = cosθ x i + cosθ y j + cosθ z k = 1
um vetor unitário com componentes λx = cosθ x
(22)
λ y = cosθ y
λz = cosθ z
(23)
Devemos observar que os valores dos três ângulos θx, θy e θz, não são independentes. A
soma dos quadrados das componentes de λ é igual ao quadrado de sua intensidade.
λ = λx2 + λ y2 +λz2 =1
ou
cos 2θ x + cos 2θ y + cos 2θ z = 1
(24)
Quando são dadas as componentes de uma força F, Fx, Fy e Fz, a intensidade da força é
obtida por F = Fx2 + Fy2 + Fz2 e os co-senos diretores (eq. 19) também podem ser obtidos
conforme a expressão abaixo:
cos θ x cos θ y cos θ z 1
=
=
=
Fx
Fy
Fz
F
(25)
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Exemplo 2. Urna força F tem as componentes Fx = 200 N, Fy = -300 N e Fz = 600 N.
Determinar a intensidade F e os ângulos θx, θy e θz, que ela forma com os eixos coordenados.
a) equação (18)
b) de (25)
F = Fx2 + Fy2 + Fz2 =700N
cosθ x cosθ y cosθ z 1
=
=
=
F
F
F
F
θx = 73,4°
θy = 115,4°
cosθ x cosθ y cosθ z
1
=
=
=
−300
200
600
700
e θz = = 31,0°
4.2 Adição de Forças Concorrentes no Espaço
A resultante R de duas ou mais forças no espaço é dada pela soma de suas componentes
retangulares. Os métodos gráficos e trigonométricos não são geralmente práticos no caso de
forças no espaço. O melhor método é análogo ao usado para as forças coplanares.
R = ΣF
decompomos cada força em suas componentes retangulares e escrevemos
Rx i + Ry j + Rz k = Σ ( Fx i + Fy j + Fz k ) = Σ ( Fx ) i + Σ ( Fy ) j + Σ ( Fz ) k
da qual se segue que
Rx = ΣFx
Ry = ΣFy
Rz = ΣFz
(31)
A intensidade da resultante R e os ângulos θx, θy e θz (formados com os eixos coordenados)
são obtidos:
R = Rx2 + Ry2 + Rz2
(32)
cosθ x cosθ y cosθ z 1
=
=
=
Rx
Ry
Rz
R
(33)
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Exercício 01
O cabo de sustentação de uma torre está fixado em A. A
tração no cabo é de 2.500 kgf. Determinar (a) as
componentes Fx, Fy e Fz da força atuante sobre escora, (b)
os ângulos θx, θy e θz que definem a direção e o sentido da
força.
a) Componentes da força. A linha de ação da força atuante sobre o vínculo A passa por A e B
e está orientada de A para B. As componentes do vetor AB que tenham a mesma direção da
força são:
dx = -30 m
dy = 60 m
A distância de A e B é
dz = 22,5 m
d = d x2 + d y2 + d z2 = 70,7 m
Introduzindo os vetores unitários i, j e k, segundo os eixos
coordenados, e o vetor unitário λ ao longo de AB,
escrevemos
AB = -(30 m) i +
(60 m) j +
(22,5 m) k
= (70,7 m) λ
(1)
F=
Fy j +
Fz k
= (2.500 kgf) λ
(2)
Fx i +
Expressando a proporcionalidade dos coeficientes dos vetores unitários em (1) e (2), temos
Fy
Fx
Fz
2500 kgf
=
=
=
70, 7 m
−30 m 60 m 22,5 m
e obtemos
Fx = -1060 kgf
Fy = +2120 kgf
Fz = +794 kgf
b) Direção da Força. Relembrando que as componentes do vetor unitário λ são
respectivamente iguais aos co-senos diretores de F (eq. 22):
λ = cosθ x i + cosθ y j + cosθ z k = 1
F = -(1060 kgf) i + (2120 kgf) j + (794 kgf) k = (2500 kgf) λ
(22)
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Expressando a proporcionalidade dos coeficientes dos vetores unitários nas duas equações
anteriores, temos
cosθ y cosθ z
cosθ x
1
=
=
=
−1060 +2120 +794 2500
θx = 180° - 64,9º = 115,1°, θy = 32,0° e θz = 71,5°
Este resultado pode também ser obtido pelo uso das proporções que envolvem as
componentes do vetor AB ao invés das referentes às componentes de F.
Exercício 02
A fim de remover um caminhão acidentado, dois
cabos são atados ao caminhão em A e puxados
por dois guinchos B e C como é mostrado.
Determinar a resultante das forças exercidas
sobre o caminhão pelos dois cabos, sabendo-se
que a tração no cabo AB é 2.000 kgf e no AC de
1.500 kgf.
Solução. As forças exercidas por cada cabo sobre o caminhão são decompostas nas
componentes x, y e z. Primeiro determinamos as componentes e intensidades dos vetores AB
e AC, medindo-os do caminhão em direção aos guinchos.
Cabo AB (De A para B)
dx = -26 m
dy = +25 m
d, = +20 m
d = 41,2 m
Cabo AC (De A para C)
dx = -26 m
dy= +31 m
dz = -25 m
d = 47,5 m
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Denominando por i, j e k os vetores unitários segundo os eixos coordenados e por λAB o vetor
unitário segundo AB, escrevemos
AB = -(26 m) i
+(25 m) j
+ (20 m) k
= (41,2 m) λAB
TAB = Fx i
+ Fy j
+ Fz k
= (2.000 kgf) λAB
e encontramos as componentes de TAC pelas proporções
TAC = - (1.260 kgf) i + (1.212 kgf) j + (970 kgf) k
Determinando por λAB o vetor unitário segundo AC, escrevemos de modo análogo
AC = -(26 m) i
+(31 m) j
- (25 m) k
= (47,5 m) λAC
TAC = Fx i
+ Fy j
+ Fz k
= (1500 kgf) λAC
e encontramos as componentes de TAC pelas proporções. Temos pois
TAB = - (820 kgf) i + (978 kgf) j + (788 kgf) k
A resultante R das forças exercidas pelos dois cabos é:
R = TAB + TAC = -(2.080 kgf) i + (2.190 kgf) j + (182 kgf) k
A intensidade R da resultante é
R = Rx2 + Ry2 + Rz2 = √ ((-2.080)2 + (2.190)2 + (182)2) = 3.030 kgf
e
λR
= cosθx i
+ cosθy j
+ cosθz k =
R
= -(2.080 kgf) i
+ (2.190 kgf) j
+ (182 kgf) k
cosθ x cosθ y cosθ z 1
=
=
=
Rx
Ry
Rz
R
e pelas proporções
cosθ y
cosθ x
cosθ z
1
=
=
=
−2080 kgf +2190 kgf +182 kgf +3030 kgf
θx = 180° - 46,6º = 133,4°, θy = 43,7° e θz = 86,6°