Faculdade do Guarujá__________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
Capítulo
8
Probabilidade
Desenvolvimento:
8.1 – Introdução.
8.2 – Experimento aleatório.
8.3 – Espaço Amostral
8.4 – Eventos
8.5 – Probabilidade
8.6 – Exercícios
8.7 – Eventos Complementares
8.8 – Eventos Independentes
8.9 – Eventos Mutuamente Exclusivos
8.10 – Teorema de Bayes
8.11 – Resumo
8.12 – Exercícios
8.13 – Distribuição Normal
8.1 – Introdução
Empregamos mais comumente o termo probabilidade quando estamos diante de
certa observação contínua do comportamento de um fenômeno qualquer e, este, leva-nos
à formulação de sua teoria sobre as variações deste comportamento, ou mesmo quando
estamos com certo grau de incerteza naquilo que pode ocorrer ou que ocorreu no
presente, passado e futuro.
Historicamente, esta teoria surgiu por volta do século XVII, baseada principalmente
nos jogos de azar, muito em voga na época, como a roleta e as cartas.
Em termos matemáticos, classificamos como um modelo não deterministico, ou
simplesmente probabilístico. Isto porque estes modelos, quando existem, não nos
permitem estabelecer a priori os resultados de uma experiência, mas fornece-nos
condições de prever, com certo grau de segurança, seus possíveis resultados.
Basicamente, a avaliação de um evento qualquer está calcada em duas escolas de
pensamento. Uma considerada clássica ou Objetiva e a outra Personalista ou Subjetiva. A
primeira parte do princípio básico de que suas regras e cálculos devem ser aplicadas a
eventos cujos comportamentos de certos fenômenos podem ocorrer infinitas vezes, mas
sempre sob as mesmas condições. Já a segunda acha que a ocorrência de certas
probabilidades está vinculada pelo grau de credibilidade que cada analista atribui à
ocorrência deste evento. A diferença básica entre as duas escolas é que na última,
podemos ter diferentes “probabilidades” para um mesmo evento. Limitar-nos-emos, em
nossos estudos, aos conceitos da Escola Clássica.
Portanto, a “probabilidade” pertence ao campo da matemática. Na estatística, seu
estudo se justifica devido ao fato de a maioria dos fenômenos são de natureza aleatória
ou probabilística, essencial para o cálculo e estudo da “Estatística Inferencial”.
8.2 – Experimento aleatório.
Vejamos a seguinte afirmação: ”É provável que meu time ganhe a partida hoje”.
O que pode acontecer?
a) meu time ganhar
C8-1
Faculdade do Guarujá__________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
b) meu time perder
c) meu time empatar
O resultado final depende do acaso. Fenômenos como este são chamados “fenômenos
aleatórios” ou “experimentos aleatórios”.
8.3 – Espaço Amostral :
A cada experimento correspondem, em geral, vários resultados possíveis. Por
exemplo:
a) ao lançarmos uma moeda: “cara ou coroa” (2 resultados)
b) ao lançarmos um dado: “1,2,3,4,5 e 6” (6 resultados)
Como o objeto de nosso estudo é os experimentos e eles admitem mais do que um
resultado, faz sentir definir o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento.
Ao conjunto desses resultados possíveis damos o nome de Espaço Amostral,
representado pela letra S
S da moeda: {cara ou coroa}
S do dado: {1,2,3,4,5 e 6}
Cada elemento de S recebe o nome de ponto amostral
8.4 – Eventos:
Chamamos de “Evento” qualquer subconjunto do espaço amostral S de um
experimento aleatório.
Exemplo:
lançamento de um dado: S={1,2,3,4,5 e 6}, A={2,4,6} ⊂ S; logo A é um evento de S
Um evento é sempre definido por uma sentença. Assim, no exemplo acima: “obter
um número par na face superior”.
Normalmente um evento representamos por uma letra maiúscula, exceto S
8.5 – Probabilidade:
Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, e todos os
elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, S é um conjunto equiprovável.
Assim, o processo clássico define o sucesso da ocorrência de um experimento qualquer A
como sendo um quociente em que o numerador é o número de casos favoráveis ao
evento A e o denominador é o número de casos possíveis (S), desde que igualmente
equiprováveis.
Logo,
P( A ) =
n( A )
n(S )
Onde,
n(A) = número de casos favoráveis ao evento A;
n(S) = número de casos possíveis.
Exemplo 1:
Lançamento de uma moeda
Evento A: “obter cara”
S: {Ca, Co} ⇒ n(S) = 2
S: {Ca}
⇒ n(A) = 1
C8-2
Faculdade do Guarujá__________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
Logo: P(A) = 1 / 2 = 0,5 ou 50%
Exemplo 2:
Lançamento de um dado
Evento A: “obter um nº par na face superior”
S: {1,2,3,4,5,6} ⇒ n(S) = 6
S: {2,4,6}
⇒ n(A) = 3
Logo: P(A) = 3 / 6 = 0,5 ou 50%
8.6 – Exercícios:
1) Lançado um dado, qual a probabilidade de obter 4 na face superior?.
R.: 16,67%
2) Qual a probabilidade de sair o ás de ouros quando retiramos uma carta de um
baralho de 52 cartas?
R.: 1,92%
3) Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de um baralho
de 52 cartas?
R.: 7,69%
8.7 – Eventos Complementares:
Um evento pode ocorrer ou não. Chamamos de p a probabilidade que ele ocorra
(sucesso) e q a probabilidade que ele não ocorra (insucesso), logo para um mesmo
evento existe a relação:
P+q=1
Exemplo:
Lançado um dado, qual a probabilidade de não sair o nº 4?
P ⇒ sucesso ⇒ P(A) = 1/6, logo q = 1 – 1/6 = 5/6
8.8 – Eventos Independentes:
Dois eventos são independentes quando a realização ou a não-realização de um
dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.
Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do
resultado obtido pelo outro.
Se dois eventos são independentes, a probabilidade que eles se realizem
concomitantemente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos.
Palavra chave: “e”
Logo:
P = P1 x P2
Exemplo:
A probabilidade de ao lançarmos dois dados, obtermos o nº 1 no 1º e o nº
5 no 2º dado, é de:
C8-3
Faculdade do Guarujá__________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
P1 = 1/6
P2 = 1/6
P = 1/6 x 1/6
P = 1/36
Exercícios:
1) Qual a probabilidade de dois baralhos de 52 cartas cada, retiram-se,
simultaneamente, uma carta do 1º baralho e uma carta do 2º, sendo um rei do 1º e
um 5 de paus do 2º.
R.: 0,15%
2) De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual
a probabilidade de a 1º carta ser o ás de paus e a 2º ser rei de paus?
R.: 0,04%
8.9 – Eventos Mutuamente Exclusivos:
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização
de um exclui a realização do outro. Palavra chave: “ou”
Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e “tirar coroa” são
mutuamente exclusivos, já que, ao realizar um deles, o outro não se realiza.
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se
realize é igual à soma das probabilidades de que cada um se realize.
Logo:
P = P1 + P2
Exemplo:
Lançado um dado, a probabilidade de se tirar 3 ou 5 é:
P1 = 1/6
P2 = 1/6
P = 1/6 + 1/6
P = 1/3
Exercícios:
1) Qual a probabilidade de sair uma figura quando retiramos uma carta de um baralho
de 52 cartas?
Prei = 4/52 = 1/13; Pdamas = 4/52 = 1/13; Pvalete = 4/52 = 1/13
Como são mutuamente exclusivos:
P = 1/13 + 1/13 + 1/13 = 3/13
R.: 23,08%
2) São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos ao mesmo tempo, uma carta do
primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de tirarmos uma
dama e um rei, não necessariamente nesta ordem?
C8-4
Faculdade do Guarujá__________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
Probabilidade de tirarmos uma dama do 1º baralho: (4/52) e um rei do 2º: (4/52)
P1 = 4/52 x 4/52 = 1/13 x 1/13 = 1/169
Probabilidade de tirarmos um rei do 1º baralho: (4/52) e uma dama do 2º: (4/52)
P2 = 4/52 x 4/52 = 1/13 x 1/13 = 1/169
Como esses dois eventos são mutuamente exclusivos, temos:
P = 1/169 + 1/169 ⇒ 2/169 ⇒ 1,18%
8.10 – Teorema de Bayes
Refere-se a determinação da probabilidade de um evento condicional A1, dado que
o evento B1 tenha ocorrido.
Sua característica é a aplicação em eventos seqüenciais.
Fórmula:
B
P ( Ai ).P i 
A
 Ai 
P i  = n
 Bi 

 Bi 
∑
 P( Ai ).P Ai 
i =1
Exemplo:
Numa fábrica existem 3 máquinas destinadas a produção de parafusos. A 1a.
Máquina produz 1000 / d, a 2a. 4000 e a 3a. 5000. A porcentagem de parafusos
defeituosos são 4%, 5% e 1% respectivamente. Ao final do dia encontrou-se um parafuso
defeituoso. Qual a probabilidade de ele ter sido produzido em cada uma dessas
máquinas?
Sejam:
A = Evento de ser o parafuso produzido pela 1º máquina.
B = Evento de ser o parafuso produzido pela 2º máquina.
C = Evento de ser o parafuso produzido pela 3º máquina.
X = Evento de ser o parafuso defeituoso
Então:
P(A) = 1000/10000 = 0,10
P(B) = 4000/10000 = 0,40
P(C) = 5000/10000 = 0,50
P(X/A) = 0,04
P(X/B) = 0,05
P(X/C) = 0,01
P(A/X) = {[ 0,10 x 0,40] ÷ [(0,10 x 0,04)+(0,4 x 0,05) + (0,5 x 0,01)]} = 0,14
C8-5
Faculdade do Guarujá__________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
P(B/X) = {[ 0,02] ÷ [(0,10 x 0,04)+(0,4 x 0,05) + (0,5 x 0,01)]} = 0,69
P(C/X) = {[ 0,05] ÷ [(0,10 x 0,04)+(0,4 x 0,05) + (0,5 x 0,01)]} = 0,17
8.11 – Resumo
QUADRO-SÍNTESE
Palavra-chave para o
conceito
Termo
Operacionalização
Experimento aleatório
Resultado imprevisível
-
Espaço amostral
Resultados possíveis
S
Eventos
Sub-conjunto de S
Probabilidade
Possibilidade de obter êxito
Eventos Complementares
Sucesso / insucesso
Eventos Independentes
Simultâneo
P = P1 x P2
Eventos Mutuamente
Exclusivos
ou
P = P1 + P2
Teorema de Bayes
Condicional
Qquer letra maiúscula do
alfabeto: A, B, C, D...
P( A) =
n ( A)
n( S )
p+q=1
P( Ai ).P Bi 
A
 Ai 
P i  = n
 Bi 

 Bi  
∑
 P( Ai ).P Ai 
i =1
Fonte: CRESPO, Antonio A. Estatística Fácil. 15a. Edição. São Paulo: Atlas, 1997. (Cap 09)
C8-6
Faculdade do Guarujá__________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
8.12 – Exercícios
1. Determine a probabilidade de cada evento:
a) Um número par aparece no lançamento de um dado
b) Uma figura aparece ao se extrair uma carta de um baralho.
c) Uma carta de ouro aparece ao se extrair uma carta de um baralho
d) Uma só coroa aparece no lançamento de três moedas.
2. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números: 1 2,3... 49,50.
Determine a probabilidade de:
a) o número ser divisível por 5.
b) o número terminar em 3
c) o número ser divisível por 6 ou por 8
d) o número ser divisível por 4 e por 6
3. Dois dados são lançados simultaneamente. Determine a probabilidade de:
a) a soma ser menor que 4.
b) a soma ser 9.
c) o primeiro resultado ser maior que o segundo
d) a soma ser menor ou igual a 5.
4. Uma moeda é lançada duas vezes. Calcule a probabilidade de:
a) não ocorrer cara nenhuma vez.
b) obter-se cara na primeira ou na segunda jogada.
5. Um inteiro entre 3 e 11 será escolhido ao acaso.
a) qual a probabilidade que este número seja ímpar. ?
b) qual a probabilidade que este número seja ímpar e divisível por 3?
6. Uma carta é retirada ao acaso de um baralho. Qual a probabilidade de que a carta
retirada seja uma dama ou uma carta de copas?
7. No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de se obter um par de pontos
iguais. ?
8. Em lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retiradas aleatoriamente 2 peças,
calcule:
a) a probabilidade de ambas serem defeituosas
b) a probabilidade de ambas não serem defeituosas
c) a probabilidade de ao menos uma ser defeituosa.
9. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o número 6 ou um número
ímpar?
10. Duas cartas são retiradas ao acaso de um baralho. Calcule a probabilidade de se
obterem:
C8-7
Faculdade do Guarujá__________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
a) dois valetes
b) um valete e uma dama
11. Um casal planeja ter três filhos. Determine a probabilidade de nascerem:
a) três homens
b) dois homens e uma mulher
12. Uma moeda é lançada três vezes. Calcule a probabilidade de obtermos:
a) três caras
e) pelo menos uma cara
b) duas coroas e uma cara
f) no máximo uma cara
c) uma cara somente
d) nenhuma cara
13. Numa fábrica existem 3 máquinas destinadas a produção de parafusos. A 1a. Máquina
produz 2000 / d, a 2a. 8000 e a 3a. 10000. A porcentagem de parafusos defeituosos são
2%, 3% e 5% respectivamente. Ao final do dia encontrou-se um parafuso defeituoso. Qual
a probabilidade de ele ter sido produzido em cada uma dessas máquinas?
14. Sejam quatro urnas com bolas coloridas, contendo 10 bolas cada uma, assim
distribuídas:
Urna
A
B
C
D
Vermelha Branca Azul Total
1
6
3
10
6
2
2
10
8
1
1
10
0
6
4
10
Escolhe-se arbitrariamente uma das urnas e extraiu-se uma bola. Se a bola é vermelha,
qual a probabilidade de ter sido extraído da urna A ? B ? C ? D ?
15. Num Mercado, três corretoras A, B e C são responsáveis por 20%, 50% e 30% do
volume total de contratos negociados, respectivamente. Do volume de cada corretora,
20%, 5% e 2%, respectivamente, são contratos futuros em dólares. Um contrato é
escolhido ao acaso e este é futuro em dólares. Qual a probabilidade de ter sido negociado
pela corretora A ? E pela corretora C ?
16. Três máquinas produzem determinado tipo de peça. A máquina A produz 40% do
total, apresentando 25 de defeitos; a Máquina B produz 35% do total, apresentando 1,5%
de defeitos e, finalmente, a máquina C apresenta 1,4% de defeitos. Do total da produção
mensal foi tirada uma peça e verificou-se que era defeituosa. Qual a probabilidade de que
essa peça tenha sido produzida nas máquinas A, B, e C?
Respostas:
1
2
3
4
5
6
a
1/2
1/5
1/2
1/4
3/7
4/13
b
3/13
1/10
1/9
½
1/7
c
1/4
6/25
5/12
d
3/8
2/25
5/18
e
09
10
11
12
13
14
a
b
2/3
1/221 4/663
1/8
3/8
1/8
3/8
P(a/x) = 0,07
c
d
e
f
3/8
1/8
7/8
1/2
P(b/x) = 0,40
P(c/x) = 0,53
C8-8
Faculdade do Guarujá__________________________________________________
7
8
1/6
1/11
15
16
14/33
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
P(a/x) = 0,56 P(b/x) = 0,84
P(a/x) = 0,48 P(b/x) = 0,31 P(c/x) = 0,21
8.13 – Distribuição Normal
A distribuição normal é a mais importante das distribuições de probabilidades.
Conhecida como a “curva em forma de sino”, a distribuição normal tem sua origem
associada aos erros de mensuração. É sabido que, quando se efetuam repetidas
mensurações de determinada grandeza com um aparelho equilibrado, não se chega ao
mesmo resultado todas as vezes; obtém-se, ao contrário, um conjunto de valores que
oscilam, de modo aproximadamente simétrico, em torno do verdadeiro valor. Construindose o histograma desses valores, obtém-se uma figura com forma aproximadamente
simétrica. Gauss deduziu matematicamente a distribuição normal como distribuição de
probabilidade dos erros de observação, denominando-a então “lei normal dos erros”.
Inicialmente se supunha que todos os fenômenos da vida real devessem ajustar-se
a uma curva em forma de sino; em caso contrário, suspeitava-se de alguma anormalidade
no processo de coleta de dados. Daí a designação de curva normal.
A observação cuidadosa subseqüente mostrou, entretanto, que essa pretensa
universalidade da curva, ou distribuição normal, não correspondia à realidade. De fato,
não são poucos os exemplos de fenômenos da vida real representados por distribuições
não normais, curvas assimétricas, por exemplo. Mesmo assim, a distribuição normal
desempenha papel preponderante na estatística, e os processos de inferência nela
baseados têm larga aplicação.
A distribuição normal tem sua função de densidade de probabilidade dada por
f(x) =
1
σ 2π
 (x − µ)2 

exp−
2σ 2 



−∞ < x < ∞
Como pode-se observar através da equação acima, a distribuição normal inclui os
parâmetros µ e σ, os quais possuem os seguintes significados:
µ : posição central da distribuição (média, µx), que doravante vamos chamar de X
C8-9
Faculdade do Guarujá__________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
σ : dispersão da distribuição (desvio padrão, σx), que doravante vamos chamar de
S
A figura 2 ilustra uma curva normal típica, com seus parâmetros descritos graficamente.
f(x)
S
X: média
S: desvio padrão
X
x
Figura 2 - Curva normal típica
9.13.1 – Propriedades da distribuição normal
Para uma mesma média X e diferentes desvios padrão S, a distribuição que
tem maior desvio padrão se apresenta mais achatada, acusando maior dispersão em
torno da média. A que tem menor desvio padrão apresenta “pico” mais acentuado e maior
concentração em torno da média. A figura 3 compara três curvas normais, com mesma
média, porém com desvios padrão diferentes. A curva A se apresenta mais dispersa que
a curva B, que por sua vez se apresenta mais dispersa que a curva C. Neste caso, SA >
SB > SC.
Distribuições normais com o mesmo desvio padrão e médias diferentes
possuem a mesma dispersão, mas diferem quanto à localização. Quanto maior a média,
mais à direita está a curva. A figura 4 ilustra o fato, onde a curva A possui média maior
que a curva B ( X A > X B).
C8-10
Faculdade do Guarujá__________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
C
B
A
µ
Figura 3 - Distribuições normais com mesma média e desvios padrão diferentes
B
µB
A
µA
Figura 4 - Distribuições normais com mesmo desvio padrão e médias diferentes
Como descrito anteriormente, a probabilidade de uma variável assumir valores
entre a e b é igual à área sob a curva entre esse dois pontos. A determinação destas
probabilidades é realizada matematicamente através da integração da função de
densidade de probabilidade entre os pontos a e b de interesse. No caso da normal, a
integral não pode ser calculada exatamente, e a probabilidade entre dois pontos só pode
ser obtida aproximadamente, por métodos numéricos. Esta tarefa é facilitada através do
uso da distribuição normal padrão definida a seguir.
No caso da distribuição normal, algumas dessas áreas com os pontos a e b função
da média X e do desvio padrão S são bastante difundidos, e estão representadas na
figura 5, que conservamos a nomenclatura original trabalhando com µ e σ
C8-11
Faculdade do Guarujá__________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
99.73 %
95.46 %
68.26 %
µ-3σ
µ-2σ
µ-σ
µ
µ+σ
µ+2σ
µ+3σ
Figura 5 - Probabilidades da distribuição normal
68,26% => 1 desvio
95,46% => 2 desvios
99,73% => 3 desvios
Portanto, 68,26% dos valores populacionais caem entre os limites definidos como média
mais ou menos um desvio padrão ( X ± 1S); 95,46% dos valores caem entre média mais
ou menos dois desvios padrão ( X ± 2S); e 99,73% dos valores caem entre média mais ou
menos três desvios padrão ( X ± 3S).
9.13.2 – A distribuição normal padrão
A distribuição normal particular com média 0 e desvio padrão 1 é chamada de distribuição
normal padrão, e costuma ser denotada por Z.
A variável aleatória definida por
Z=
X−µ
σ
terá uma distribuição N(0,1). Esta transformação é ilustrada pela figura 6.
C8-12
Faculdade do Guarujá__________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
X
µ-3σ
µ-2σ
µ-σ
µ
µ+σ
µ+2σ
µ+3σ
X-µ
σ
Z
-3
-2
-1
0
1
2
3
Figura 6 - Transformação
Vamos a um exemplo:
Em um concurso público para escriturários a média do teste foi de 125 pontos e o desvio
padrão 48. Qual a porcentagem de candidatos com resultados, dentro de uma distribuição
normal, de:
a) entre 125 e 138
b) entre 120 e 125
c) abaixo de 120
d) acima de 138
e) entre 138 e 140
Como resolver problemas de distribuição normal?
Em 1º lugar: vamos transformar todos esses pedidos em uma linguagem própria do
nosso capitulo que ora estudamos:
a) p(125 < Xi < 138)
b) p(120 < Xi < 125)
c) p(Xi < 120)
d) p(Xi > 138)
e) p(138 < Xi < 140)
C8-13
Faculdade do Guarujá__________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
Em 2º. Lugar: vamos fazer um desenho para cada item pedido: (mesmo fora de escala faça seu desenho)
Já sabemos que da fórmula Z =
X−µ
σ
X é o nosso Xi, µ é a nossa média e σ é o desvio
padrão.
3º. Lugar: Identificando nossos dados do pedido “a”:
1. Xi = 138
2. Média = 125
3. S = 48
4º. Lugar: Aplicando a fórmula Z.
Z = 138 – 125
48
= 0,27
Com esse número entraremos na tabela da curva normal reduzida, que se encontra na última
página de nossa aula, e dela extrair uma parte.
Nosso objetivo é saber quanto vale em termos de área ou porcentagem um Z = 0,27
z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,00
0,00000
0,03983
0,07926
0,11791
0,15542
0,01
0,00399
0,04380
0,08317
0,12172
0,15910
0,02
0,00798
0,04776
0,08706
0,12552
0,16276
0,03
0,01197
0,05172
0,09095
0,12930
0,16640
0,04
0,01595
0,05567
0,09483
0,13307
0,17003
0,05
0,01994
0,05962
0,09871
0,13683
0,17364
0,06
0,02392
0,06356
0,10257
0,14058
0,17724
0,07
0,02790
0,06749
0,10642
0,14431
0,18082
0,08
0,03188
0,07142
0,11026
0,14803
0,18439
0,09
0,03586
0,07535
0,11409
0,15173
0,18793
Penso que deu para perceber claramente como achamos para um Z = 0,27 uma área de 0,10642
ou 10,64%. Isso quer dizer: “em uma distribuição normal com média = 125 e com desvio padrão =
48, a área comprendida entre 125 e 138 pontos é de 10,64%. Esta área está em vermelho.
Vamos ao pedido “b”:
p(120 < Xi < 125)
C8-14
Faculdade do Guarujá__________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
Z = (120 – 125) ÷ 48 → 0,10, na tabela → 0,0398 ou 03,98% (em vermelho)
z
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,00
0,00000
0,03983
0,07926
0,11791
0,15542
0,01
0,00399
0,04380
0,08317
0,12172
0,15910
0,02
0,00798
0,04776
0,08706
0,12552
0,16276
0,03
0,01197
0,05172
0,09095
0,12930
0,16640
0,04
0,01595
0,05567
0,09483
0,13307
0,17003
0,05
0,01994
0,05962
0,09871
0,13683
0,17364
0,06
0,02392
0,06356
0,10257
0,14058
0,17724
0,07
0,02790
0,06749
0,10642
0,14431
0,18082
0,08
0,03188
0,07142
0,11026
0,14803
0,18439
0,09
0,03586
0,07535
0,11409
0,15173
0,18793
Vamos ao pedido “c”:
p(Xi < 120)
Lembre-se:
a) a média divide a curva em duas partes iguais:
50% e 50%
b) a tabela fornece a área do Xi até a média (isto é
importante)
120 a 125, já sei que a área é de 3,98%, entretanto desejamos a área abaixo de 120...
Logo devemos fazer a seguinte conta: 50% – 3,98% = 46,02%.
Vamos ao pedido “d”:
acima de 138
C8-15
Faculdade do Guarujá__________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
Se eu sei que a área entre 138 a 125 é de 10,64%, logo:
50% – 10,64% = 39,36%
Vamos ao pedido “e”:
p(138 < Xi < 140)
Z1 = (140 – 125) ÷ 48 → 0,31, na tabela = 0,1217 ou
12,17%
Z2 = (138 – 125) ÷ 48 → 0,27, na tabela = 0,1064 ou 10,64%
a tabela fornece a área do Xi até a média (isto é importante)
A resposta será a diferença entre ambos: 1,53%
Área subtendida pela Curva Normal Reduzida
z
0,0
0,00
0,00000
0,01
0,00399
0,02
0,00798
0,03
0,01197
0,04
0,01595
0,05
0,01994
0,06
0,02392
0,07
0,02790
0,08
0,03188
0,09
0,03586
C8-16
Faculdade do Guarujá__________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0,03983
0,07926
0,11791
0,15542
0,19146
0,22575
0,25804
0,28814
0,31594
0,34134
0,36433
0,38493
0,40320
0,41924
0,43319
0,44520
0,45543
0,46407
0,47128
0,47725
0,48214
0,48610
0,48928
0,49180
0,49379
0,49534
0,49653
0,49744
0,49813
0,49865
0,49903
0,49931
0,49952
0,49966
0,49977
0,49984
0,49989
0,49993
> 0,49995
0,04380
0,08317
0,12172
0,15910
0,19497
0,22907
0,26115
0,29103
0,31859
0,34375
0,36650
0,38686
0,40490
0,42073
0,43448
0,44630
0,45637
0,46485
0,47193
0,47778
0,48257
0,48645
0,48956
0,49202
0,49396
0,49547
0,49664
0,49752
0,49819
0,49869
0,49906
0,49934
0,49953
0,49968
0,49978
0,49985
0,49990
0,49993
etc ...
0,04776
0,08706
0,12552
0,16276
0,19847
0,23237
0,26424
0,29389
0,32121
0,34614
0,36864
0,38877
0,40658
0,42220
0,43574
0,44738
0,45728
0,46562
0,47257
0,47831
0,48300
0,48679
0,48983
0,49224
0,49413
0,49560
0,49674
0,49760
0,49825
0,49874
0,49910
0,49936
0,49955
0,49969
0,49978
0,49985
0,49990
0,49993
0,05172
0,09095
0,12930
0,16640
0,20194
0,23565
0,26730
0,29673
0,32381
0,34849
0,37076
0,39065
0,40824
0,42364
0,43699
0,44845
0,45818
0,46638
0,47320
0,47882
0,48341
0,48713
0,49010
0,49245
0,49430
0,49573
0,49683
0,49767
0,49831
0,49878
0,49913
0,49938
0,49957
0,49970
0,49979
0,49986
0,49990
0,49994
0,05567
0,09483
0,13307
0,17003
0,20540
0,23891
0,27035
0,29955
0,32639
0,35083
0,37286
0,39251
0,40988
0,42507
0,43822
0,44950
0,45907
0,46712
0,47381
0,47932
0,48382
0,48745
0,49036
0,49266
0,49446
0,49585
0,49693
0,49774
0,49836
0,49882
0,49916
0,49940
0,49958
0,49971
0,49980
0,49986
0,49991
0,49994
0,05962
0,09871
0,13683
0,17364
0,20884
0,24215
0,27337
0,30234
0,32894
0,35314
0,37493
0,39435
0,41149
0,42647
0,43943
0,45053
0,45994
0,46784
0,47441
0,47982
0,48422
0,48778
0,49061
0,49286
0,49461
0,49598
0,49702
0,49781
0,49841
0,49886
0,49918
0,49942
0,49960
0,49972
0,49981
0,49987
0,49991
0,49994
0,06356
0,10257
0,14058
0,17724
0,21226
0,24537
0,27637
0,30511
0,33147
0,35543
0,37698
0,39617
0,41308
0,42785
0,44062
0,45154
0,46080
0,46856
0,47500
0,48030
0,48461
0,48809
0,49086
0,49305
0,49477
0,49609
0,49711
0,49788
0,49846
0,49889
0,49921
0,49944
0,49961
0,49973
0,49981
0,49987
0,49992
0,49994
0,06749
0,10642
0,14431
0,18082
0,21566
0,24857
0,27935
0,30785
0,33398
0,35769
0,37900
0,39796
0,41466
0,42922
0,44179
0,45254
0,46164
0,46926
0,47558
0,48077
0,48500
0,48840
0,49111
0,49324
0,49492
0,49621
0,49720
0,49795
0,49851
0,49893
0,49924
0,49946
0,49962
0,49974
0,49982
0,49988
0,49992
0,49995
0,07142
0,11026
0,14803
0,18439
0,21904
0,25175
0,28230
0,31057
0,33646
0,35993
0,38100
0,39973
0,41621
0,43056
0,44295
0,45352
0,46246
0,46995
0,47615
0,48124
0,48537
0,48870
0,49134
0,49343
0,49506
0,49632
0,49728
0,49801
0,49856
0,49896
0,49926
0,49948
0,49964
0,49975
0,49983
0,49988
0,49992
0,49995
0,07535
0,11409
0,15173
0,18793
0,22240
0,25490
0,28524
0,31327
0,33891
0,36214
0,38298
0,40147
0,41774
0,43189
0,44408
0,45449
0,46327
0,47062
0,47670
0,48169
0,48574
0,48899
0,49158
0,49361
0,49520
0,49643
0,49736
0,49807
0,49861
0,49900
0,49929
0,49950
0,49965
0,49976
0,49983
0,49989
0,49992
0,49995
Fonte: http://netsim.fm.usp.br/dim/mpt164/1999/download.htm
Exercícios “Curva Normal”
1) Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3 kg e desvio padrão
5,5 kg. Determine o número de estudantes que pesam:
a. entre 60 e 70 kg;
b. mais que 63,2 kg;
c. menos que 68 kg.
2) A duração de certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio padrão de 40 dias.
Sabendo-se que a duração é normalmente distribuída, calcule a probabilidade de esse
componente durar:
a. entre 700 e 1000 dias;
b. mais de 800 dias;
c. menos de 750 dias.
C8-17
Faculdade do Guarujá__________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
3) Determinado veículo a álcool apresenta consumo médio por km rodado de 142 ml, com desvio
padrão de 12 ml. Calcular as seguintes probabilidades:
a. um carro gastar de 120 a 130 ml;
b. um, carro gastar mais de 145 ml;
c. um carro gastar menos de 140 ml.
4) Determinada máquina de empacotar arroz está regulada para um peso unitário líquido de 5 kg
com desvio-padrão de 200 g. Embalagens com peso líquido inferior ao regulado são reembaladas
até estarem dentro das especificações. Calcular:
a. qual a porcentagem de embalagens que é recusada pelo controle de qualidade?
b. Numa produção mensal de 32000 unidades, qual será o número de embalagens recusado pelo
controle de qualidade?
5) Sabe-se que a duração de vida útil de determinado tipo de lâmpadas se distribui normalmente
com média de 100 horas e desvio-padrão de 210 horas. Certa empresa resolveu, por intermédio
do departamento de relações industriais, montar uma árvore de natal. Na montagem desta
utilizaram 400 lâmpadas, as quais ficariam acesas ininterruptamente por determinado período de
tempo. Pergunta-se:
a. quantas lâmpadas queimarão antes de completar 620 hs ?
b. quantas lâmpadas vão durar entre 790 e 1210 horas?
6) Certa empresa necessita, para sua linha de montagem, de determinado tipo de arruelas. Estas
arruelas devem estar normalmente distribuídas com média de 0,502 mm e desvio-padrão de 0,005
mm de diâmetro. A finalidade, para a qual estas arruelas são necessárias, permite uma tolerância
máxima da medida média mais ou menos um desvio-padrão. Caso isso ocorra, a linha de
montagem rejeita as peças. Qual a quantidade de peças que pode ser rejeitada em um lote de
10000 arruelas?
7) Certa peça de reposição para veículos automotores tem duração média de 15.000 km com
desvio-padrão de 1000 km, dependendo das condições de uso, e distribuem-se normalmente. Se
for oferecida para esta peça uma garantia de 13.000 km, quantas peças deveriam ser substituídas
antes de completar-se a garantia? Sabe-se que a venda anual dessas peças é de 23.00 unidades.
8) Utilizando os dados do exercício anterior responda: Qual deveria ser a garantia dada pelo
fabricante desta peça para que apenas 1% delas fosse substituído?
9) Em uma distribuição normal, 29,12% dos elementos são superiores a 38 e 12,71% inferiores a
23. Encontrar a média e a variância da distribuição.
C8-18