A potência com um expoente irracional
Matemaníaco
10 de Dezembro de 2006
Observação: Esta apresentação é intuitiva e não rigorosa, e foi feita tendo
em conta o nível de conhecimentos de Matemática de quem colocou a questão
quando a colocou.
Conjuntos numéricos
N = {Números naturais}
Z = {Números inteiros relativos}
Q = {Números racionais}
R = {Números reais}
O conjunto dos números irracionais
Sempre que eu falar em fracção, subentende-se que o denominador é diferente
de 0 1 Os números irracionais não são mais do que os números reais que não
pertencem a Q ou seja, que não são racionais. Os números racionais são aqueles
que se podem escrever como a razão (ou quociente, ou fracção) de dois números
inteiros. Assim, os irracionais são os que não é possível escrever como fracção
de dois números inteiros. Por exemplo, 2 é racional porque 2 = 21 , −10 tambem
3
é porque −10 = −20
2 , 0.75 tambem é porque 0.75 = 4
√
Então, e exemplos de números irracionais? Por exemplo 2 é irracional,
porque
√
não existem dois números inteiros cujo quociente dê exactamente 2. Então é
fácil perceber que nenhum número real é simultaneamente racional e irracional!
A potência de expoente racional
Por exemplo, como se define 70.5 ?
Resposta: é o número positivo que ao quadrado dá 7, porque
2
70.5 = 70.5×2 = 71 = 7
ou seja,
70.5 =
√
7
e quanto é 73.5 ?
73.5 = 70.5×7 = 70.5
1 Porque
7
=
√ 7
7
a divisão não está definida em 0, ou seja, não se pode dividir por zero.
1
2
Se desenvolvermos um bocadinho este raciocínio2 , chegamos à conclusão que
√
p
a q = q ap
Por exemplo
1003
2006
40.2006 = 4 10000 = 4 5000 =
√
5000
41003
A potência de expoente irracional
Os números irracionais, em particular são reais. E todo o número real é o limite
de pelo menos uma sucessão de números racionais. Por exemplo, o racional 13 é
o limite da sucessão de numeros racionais
0, 0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, 0.33333...
O irracional π é o limite da sucessão3
3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159...
Para definir uma
potência com expoente irracional, utilizam-se estas sequências.
√
Por exemplo 3 2 é o limite da sucessão:
31 , 31.4 , 31.41 , 31.414 , 31.4142 , ...
Para ter um valor aproximado da potência, usa-se um termo desta sucessão.
√
3
2
≈ 31.4142
√ √2
A base não precisa de ser um número inteiro! Por exemplo 2 é o limite da
sucessão:
11 , 1.41.4 , 1.411.41 , 1.4141.414 , 1.41421.4142 , ...
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Sent: Sunday, December 10, 2006 3:17 AM
Subject: Irracionais
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Olá,
Como se define um número elevado a um irracional?
Qualquer racional será também irracional?
Agradeço a atenção dispensada,
xxxxx
2 Pode
3 Não,
fazê-lo como exercício
π não é 3.14! π é aproximadamente 3.14
3
4
4 Mesmo quando se usa uma calculadora, a calculadora não nos apresenta um valor exacto,
mas sim um valor aproximado porque todos os números representáveis numa calculadora são
racionais. O método utilizado pela calculadora não é este, mas este é intuitivo e mostra como
funciona a definição de potência de expoente irracional.