Arranjo e Combinação
Arranjo
Um Arranjo de ordem k de uma n-upla, 0 ≤ k ≤ n , é uma k-upla cujos elementos são escolhidos dentre os elementos
da n-upla original em uma ordem arbitrária.
Ex.1:
O conjunto de todos os arranjos de ordem 2 de ( 1, 2, 3 ) é A 2 = { (1,2 ), (2,1), (3,1), (1, 3), (2, 3), (3, 2) } .
O número de Arranjos de ordem k de uma n-upla, de cotas distintas duas a duas, será representado por A kn e pelo
Princípio Multiplicativo vale:
A kn = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1)
n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1) ⋅ (n − k ) ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
(n − k ) ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
n
!
⇔ A kn =
(n − k )!
⇔ A kn =
Ex.2: Determine o número de senhas de 4 dígitos distintos que podem ser formadas utilizando os algarismos da base 10.
Solução:
4
A10
=
10 !
10!
=
= 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 5.040
(10 − 4)! 6!
Obs.: Repare que a Permutação é um caso particular do Arranjo, no qual o número de elementos escolhidos para permutar é
igual ao número de elementos do conjunto, ou seja,
A nn =
n!
n!
= = n ! = Pn , n ∈ IN.
(n − n )! 0!
Combinação
Uma Combinação de ordem k de uma n-upla, 0 ≤ k ≤ n , é um conjunto de k elementos cujos elementos são
escolhidos dentre as cotas da n-upla original.
Ex.3:
O conjunto de todas as combinações de ordem 2 de ( 1, 2, 3 ) é C 2 = {{1, 2 }, { 2, 3 }{3,1}} .
Obs.
Note que na combinação formaremos um conjunto com k elementos da n-upla original, enquanto que no arranjo
formaremos uma k-upla com os elementos da n-upla original, ou seja, na combinação apenas escolhemos os k elementos
enquanto que no arranjo além da escolha temos que permutar os elementos escolhidos.
Esta é a diferença entre Arranjo ou Permutação e a Combinação, quando a ordem for importante usaremos Arranjo
ou Permutação e quando a ordem dos elementos não importar usaremos Combinação.
Então o número de Combinações de ordem k de uma n-upla será representado por C kn e pelo Princípio
Multiplicativo vale:
C kn =
n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1)
k ⋅ (k − 1) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
⇔ C kn =
A kn
k!
⇔ C kn =
n!
(n − k )!⋅ k !
Ex.4:
Determine o número de subconjuntos de 4 elementos de um conjunto de 10 elementos.
Solução:
4
C10
=
10 !
10!
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7
=
=
= 210
4 !⋅ (10 − 4)! 4 !⋅ 6 ! 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
Ex.5: (AFA 1999) Quatro pontos não-coplanares determinam, exatamente, quantos planos?
(A)
(B)
(C)
(D)
1
2
3
4.
Solução:
Três pontos não-coplanares determinam um único plano, assim cada subconjunto de três pontos dos quatro dados
determinam um único plano, então
4!
4!
C 34 =
=
=4
3!⋅ (4 − 3)! 3!⋅1!
Opção (D)
Ex.6:
(AFA 1999) Em uma reunião social, cada participante cumprimenta todos os outros uma única vez. Se houve um total de
36 cumprimentos, o número de participantes da reunião é
(A) 7.
(B) 8.
(C) 9.
(D) 10.
Solução:
Sendo n o número de participantes, o número de cumprimentos é o número de pares de participantes que podem ser
formados que é o número de subconjuntos de dois elementos formados pelos participantes da reunião, assim
C 2n = 36 ⇔
Opção (C)
⎧n = 9
n!
⎪
⇒n=9
= 36 ⇔ n ⋅ (n − 1) = 72 ⇔ n 2 − n − 72 = 0 ⇔ ⎨ou
2 !⋅ (n − 2)!
⎪n = −8
⎩
.
Ex.7:
(AFA 2002) Numa demonstração de pára-quedismo, durante a queda livre, participam 10 pára-quedistas. Em certo
momento, 7 deles devem dar as mãos e formar um círculo. De quantas formas distintas eles poderão ser escolhidos e
dispostos nesse círculo?
(A) 120
(B) 720
(C) 86400
(D) 151200.
Solução:
10 ! 7 !
7
C10
⋅ PC 7 =
⋅ = 120 ⋅ 720 = 86.400
7 !⋅ 3! 7
Opção (C)
Ex.8:
(UFRJ 2000) Uma estante de biblioteca tem 16 livros: 11 exemplares do livro Combinatória é fácil e 5 exemplares de
Combinatória não é difícil.Considere que os livros com mesmo título sejam indistinguíveis. Determine de quantas maneiras
diferentes podemos dispor os 16 livros na estante de modo que dois exemplares de Combinatória não é difícil nunca estejam
juntos.
Solução:
Como os livros de mesmo título são indistinguíveis, primeiramente dispomos os 11 exemplares do livro Combinatória é
fácil em uma configuração qualquer, repara que como os livros são indistinguíveis isto só pode ser feito de uma única
maneira, feito isto estes 11 livros criam 12 espaços que devem ser ocupados pelos 5 exemplares de Combinatória não é
difícil então basta escolher 5 lugares dentre os 12 disponíveis, assim teremos:
12 ! 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8
5
1 ⋅ C12
= 1⋅
=
= 792
7 !⋅ 5!
5!