Instituto Politécnico de Bragança
Escola Superior de Educação
___________________________________________________________________________
Curso de Professores do Ensino Básico – Variante de Português, História e Ciências Sociais
Disciplina: Matemática
Data: _______________
Ficha de trabalho: 6
•
Conteúdos: produto cartesiano de dois conjuntos, noção de relação binária;
representação de relações binárias; propriedades das relações binárias
1. Considere os seguintes conjuntos:
M = {Filipe, Pedro, Paulo}
F = {Ana, Raquel}
1.1. Determine o produto cartesiano entre M e F.
2. Utilizando os conjuntos E e F a seguir definidos, verifique se o produto cartesiano é
comutativo, ou seja, E × F = F × E.
E = {a, b}
F = {c, d, e}
3. Considere um prédio de quatro pisos com dois apartamentos por piso. Sabendo que cada
apartamento pode ter a porta “numerada” pelas letras A, B, determine o conjunto formado
por todas as possíveis indicações dos apartamentos, utilizando pares ordenados.
4. Seja E = {1, 2, 3, 4}. Determine o produto cartesiano E × E.
5. Considere definida em I = {Sofia, Josefa, Ana, Ivo, Isidro} a relação ℛ traduzida por:
“x tem mais letras do que y”.
5.1. Represente ℛ através de um conjunto de pares ordenados.
5.2. Represente ℛ através de um diagrama sagital.
5.3. Classifique, justificando, a relação ℛ quanto à reflexividade, à simetria e à transitividade.
6. Considere definidas no conjunto S = {9, 14, 15, 32} as relações ℛ e ℱ dadas por:
x ℛ y ⇔ x + y > 27
ℱ: x é menor do que y
6.1. Represente cada uma das relações num diagrama sagital.
6.2. Classifique, justificando,
(a) ℛ relativamente à simetria e à transitividade.
(b) ℱ relativamente à reflexividade e à transitividade.
___________________________________________
Matemática
Carla Alves (Equiparada a Assistente do 2º Triénio)
1/3
7. Considere o seguinte conjunto
A = {2, 3, 4, 5, 8, 9}
e as relações
ℒ : “x é igual a y”
ℛ : “x é múltiplo de y”
7.1. Represente cada uma das relações apresentadas através de um conjunto de pares ordenados.
7.2. Classifique, justificando, cada uma das relações quanto à reflexividade, à simetria, à
transitividade e à dicotomia.
7.3. Das relações anteriores indique as que são de equivalência, de ordem parcial, de ordem total.
8. Considere o seguinte conjunto
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
e as relações
ℌ : “x é metade de y”
ℐ : “x é o dobro de y”
8.1. Represente cada uma das relações apresentadas através de um conjunto de pares ordenados.
8.2. Classifique, justificando, cada uma das relações quanto à reflexividade, à simetria, à
transitividade e à dicotomia.
9. Considere o seguinte conjunto
A = {2, 3, 4, 5, 10, 15, 20}
e as relações
ℬ : “x divide y”
ℳ : “x é divisível por y”
9.1. Represente cada uma das relações apresentadas através de um conjunto de pares ordenados.
9.2. Classifique, justificando, cada uma das relações quanto à reflexividade, à simetria, à
transitividade e à dicotomia.
9.3. Das relações anteriores indique as que são de equivalência, de ordem parcial, de ordem total.
10. Considere a relação a ℱ definida no conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} tal que
x ℱ y ⇔ 2x + y < 8
10.1. Represente ℱ por um diagrama.
10.2. Verifique se ℱ é uma relação de equivalência.
11. Considere a relação a N definida no conjunto A = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} tal que
x N y ⇔ y ≤ x2
11.1. Represente N por um conjunto de pares ordenados.
11.2. Verifique se N é uma relação de equivalência.
12. Considere a relação a D definida no conjunto A = {-2, -1, 0, 1, 2} tal que
x D y ⇔ x = y2
12.1. Represente D por um conjunto de pares ordenados.
12.2. Represente D por um diagrama.
12.3. Verifique se D é uma relação de equivalência.
___________________________________________
Matemática
Carla Alves (Equiparada a Assistente do 2º Triénio)
2/3
13. Considere a relação W definida no conjunto T = {x ∈ ℕ: 1 ≤ x < 4} tal que
x W y ⇔ x + y é múltiplo de 3
13.1. Represente a relação através de um diagrama sagital.
13.2. Classifique, justificando a relação quanto à reflexividade, à simetria, à transitividade e à
dicotomia.
13.3. A relação W é uma relação de equivalência? Justifique.
14. No conjunto
M = {Fev, Mar, Abr, Mai}
Estabeleceu-se a relação
x ℳ y : x tem tantos dias como y, com x, y ∈ M.
14.1. Represente ℳ por um diagrama.
14.2. Mostre que ℳ é uma relação de equivalência.
14.3. Represente em extensão e em compreensão cada uma das classes de equivalência da relação
ℳ.
15. Considere a relação ℋ definida em A = {0, 1, 2, 3} tal que
(x, y) ∈ ℋ ⇔ x – y é múltiplo de 2.
15.1. Mostre que ℋ é uma relação de equivalência.
15.2. Represente em extensão e em compreensão cada uma das classes de equivalência da relação
ℋ.
15.3. Determine o conjunto quociente.
16. Considere a relação W definida em B = {0, 1, 2, 3} tal que
(x, y) ∈ W ⇔ x + y é múltiplo de 3.
Verifique se W é uma relação de equivalência.
17. Considere a relação ℬ definida em C = {0, 1, 2, 3, 4, 5} tal que
(x, y) ∈ ℬ ⇔ x – y é múltiplo de 5.
17.1. Mostre que ℬ é uma relação de equivalência.
17.2. Represente em extensão e em compreensão cada uma das classes de equivalência da relação
ℬ.
17.3. Determine o conjunto quociente.
___________________________________________
Matemática
Carla Alves (Equiparada a Assistente do 2º Triénio)
3/3