Capı́tulo 8
Continuidade
8.1
Discussão informal e intuitiva sobre continuidade
Considere os seguintes exemplos:
{
1
1
f (x) = x3 + x2 + 5
2
2
g(x) =
1
4 − x2 , para x ≤ 2
2
x + 2,
para x > 2
22
6
20
18
5
16
4
14
12
y3
10
8
2
6
4
–2
–1
1
0
1
x
2
3
–2
0
–1
1
2
x
3
4
A principal caracterı́stica geométrica que distingue o primeiro gráfico do segundo é que o primeiro tem um traçado
contı́nuo (com isso queremos dizer, intuitivamente, que podemos traçar este gráfico “sem tirar o lápis do papel”),
enquanto que no segundo há um salto, ou seja, há uma “descontinuidade” ou “ quebra” no traçado do gráfico para
x = 2.
O objetivo desta seção é definir, matematicamente, o que entendemos por continuidade.
Voltando aos exemplos acima, no primeiro gráfico observamos que, para qualquer ponto x0 escolhido, quando x se
aproxima de x0 , quer pela direita, quer pela esquerda, os valores correspondentes da função f (x), se aproximam de
f (x0 ).
Como já vimos, esta afirmação se traduz matematicamente pela expressão lim f (x) = f (x0 ). Esta propriedade
8
6
x→x0
5
não vale qualquer que seja a função f . No segundo exemplo,
quando x se aproxima de 2 pela esquerda, g(x) se aproxima
de 2, que é igual ao valor da função g calculada no ponto
x = 2. No entanto, quando x se aproxima de 2 por valores maiores que 2 (pela direita), g(x) se aproxima de 4,
que é diferente de g(2). Observe nos diagramas ao lado a
ilustração destas afirmações.
Execute as animações correspondentes na versão eletrônica para outros pontos x0 e observe que a condição
lim f (x) = f (x0 ) continua valendo, qualquer que seja x0 no primeiro caso, e que esta condição falha somente
6
4
4
3
2
2
–2
–1
0
–2
1
1
2
–2
–1
0
1
2
3
4
x→x0
no ponto x0 = 2, no segundo.
Assim, a caracterı́stica geométrica de não haver “quebras” ou “interrupções” em um determinado ponto (x0 , f (x0 ))
no traçado da curva que representa o gráfico de uma função f , isto é, o fato de o gráfico de f ser representado por
uma curva contı́nua em um certo intervalo (a,b), pode ser descrito afirmando-se que “quanto mais próximo x estiver
de x0 , mais próximo f (x) estará de f (x0 )”, o que, como já vimos, significa dizer em linguagem matemática que
lim f (x) = f (x0 ), qualquer que seja o ponto x0 no intervalo (a, b).
x→x0
Estas observações conduzem, naturalmente à definição a seguir.
8.2
Definição de continuidade
Dizemos que uma função f é contı́nua em um ponto x0 se:
(i) Existe f (x0 )
112
Cap. 8. Continuidade
(ii) Existe o lim f (x)
x→x0
(iii) lim f (x) = f (x0 )
x→x0
A condição (i) nos diz que o ponto x0 é um ponto do domı́nio de f. Portanto, podemos resumir a definição de
continuidade dizendo que f é contı́nua em um ponto de seu domı́nio se lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Esta definição se refere à continuidade de uma função em um ponto, mas o conceito de continuidade começa a ficar
realmente interessante quando estudamos as funções que são contı́nuas em todos os pontos de algum intervalo. Assim,
se f é contı́nua em x0 , qualquer que seja o ponto x0 em um certo intervalo (a, b), dizemos que f é contı́nua em (a, b).
Do mesmo modo podemos definir as funções que são contı́nuas em toda a reta.
No caso de um intervalo fechado [a, b], dizemos que f é contı́nua em [a, b] se
(i) f é contı́nua em (a,b)
(ii) lim+ f (x) = f (a)
x→a
(iii) lim− f (x) = f (b).
x→b
Da mesma maneira, a função f será contı́nua na união de intervalos se as três condições acima forem válidas para
cada um dos intervalos considerados.
Funções contı́nuas em intervalos são usualmente consideradas como especialmente “bem comportadas”. Na realidade, continuidade é a primeira condição a ser exigida para que uma função seja considerada “razoavelmente bem
comportada”. Neste sentido, funções contı́nuas são definidas, intuitivamente, como aquelas cujos gráficos podem ser
traçados sem “tirarmos o lápis do papel”.
Examinando a função y = x sen( x1 ) ao lado, vemos
que a descrição intuitiva de continuidade é um pouco
otimista (por quê?) e que por isso devemos, além
de usar a nossa intuição, por melhor que ela seja,
sempre apoiar as nossas conclusões em definições
matemáticas precisas ou em resultados já demonstrados a partir dessas definições.
0.8
0.6
0.4
0.2
–2
0
–1
1
x
2
–0.2
Existem muitos resultados importantes envolvendo funções que são contı́nuas em intervalos. Estes teoremas, em
geral, são muito mais difı́ceis de demonstrar rigorosamente (veja seção: Propriedades Especiais das Funções Contı́nuas)
do que os resultados enunciados a seguir, que lidam com continuidade em um único ponto.
A maioria destes últimos resultados decorre, imediatamente, das regras operatórias envolvendo limites. No entanto,
existe um teorema simples que faz a ligação entre continuidade em um ponto e o comportamento da função num certo
intervalo. (Veja Propriedade da Manutenção do Sinal para Funções Contı́nuas).
Exercı́cio 1
1. Usando a definição de função contı́nua e as propriedades operatórias de limite vistas no Cap. 6, prove que a
soma e o produto de funções contı́nuas são funções contı́nuas.
2. Se g(x0 ) ̸= 0, prove que
f
g
é contı́nua em x = x0 (veja próxima seção).
3. Decida se a função g definida como sendo 1 para os valores de x maiores ou iguais a zero e −1 para os valores
de x menores que zero é contı́nua em x = 0.
Exemplo 1: Polinômios Pelo Exercı́cio 1, as funções polinomiais são contı́nuas em toda reta real, isto é, estas
funções são contı́nuas em qualquer ponto x ∈ R.
W.Bianchini, A.R.Santos
8.3
113
Funções racionais e tipos de descontinuidade
Se p(x) e q(x) são polinômios, então as regras para limite e a continuidade dos polinômios implicam que
lim
x→x0
lim p(x)
p(x0 )
p(x)
x→x0
=
=
,
q(x)
lim q(x)
q(x0 )
x→x0
desde que q(x0 ) ̸= 0.
p(x)
é contı́nua em todos os pontos de seu domı́nio, isto é, estas funções
q(x)
são contı́nuas em todos os pontos da reta, exceto em seus pólos. Nestes casos, dizemos que a função racional não é
contı́nua ou é descontı́nua naquele ponto.
Existem diversos tipos de descontinuidades. Os exemplos a seguir abordam este problema.
Assim, toda função racional f (x) =
Exemplo 1: Descontinuidade removı́vel
2
−4
Considere a função g(x) = xx−2
. Abaixo, com a ajuda do Maple, traçamos o gráfico desta função.
6
5
>
g:=x->(x^2-4)/(x-2);
4
x2 − 4
x−2
plot(g(x),x=-2..4);
g := x →
>
3
2
1
–2
–1
0
1
2
x
3
4
Embora o ponto x = 2 seja um pólo da função g, isto é, embora g não esteja definida em x = 2, o gráfico sugere
que o lim g(x) = 4. Repare que o Maple ignora o fato de a função g não estar definida em x = 2 e traça o seu gráfico
x→2
como uma linha contı́nua.
O diagrama ao lado ressalta o fato de que, embora
g não esteja definida em x = 2, o limite nesse ponto
existe e é igual a 4.
6.
5.
4.
3.
2.
1.
0 1. 2. 3. 4.
6.
5.
4.
3.
2.
1.
0 1. 2. 3. 4.
6.
5.
4.
3.
2.
1.
0 1. 2. 3. 4.
6.
5.
4.
3.
2.
1.
0 1. 2. 3. 4.
6.
5.
4.
3.
2.
1.
0 1. 2. 3. 4.
6.
5.
4.
3.
2.
1.
0 1. 2. 3. 4.
Entender o que leva o Maple a ignorar que g não está definida em x = 2 e traçar o gráfico dessa função como
uma linha contı́nua, nos fornece uma pista bastante boa sobre o comportamento caracterı́stico desta função nas
proximidades deste ponto.
2
−4
Observe que na fração xx−2
, x − 2 é um fator tanto do denominador quanto do numerador, pois x2 − 4 = (x −
2) (x + 2). Antes de traçar o gráfico dessa função o Maple simplifica a expressão que a define e obtém
x2 − 4
= x + 2.
x−2
−4
Repare que a simplificação acima é válida desde que x ̸= 2. As funções xx−2
e x + 2 coincidem em todos os pontos
da reta real, exceto em x = 2, onde a primeira função não está definida.
2
−4
, obtido com a ajuda do Maple, e as observações anteriores sugerem que existe uma função
O gráfico de g(x) = xx−2
contı́nua h, definida em toda a reta real, tal que h(x) = g(x) em todos os pontos do domı́nio de g, isto é, h coincide
com g em toda a reta, exceto no ponto x = 2. A função h pode ser definida da seguinte maneira
{
g(x) = x + 2 , se x ̸= 2
h(x) = 4 = lim g(x) , se x = 2
2
x→2
Observe que o Maple traçou o gráfico desta função h, e não da função g original.
114
Cap. 8. Continuidade
Dizemos, nesse caso, que a função g tem uma descontinuidade removı́vel em x = 2. Este tipo de descontinuidade
ocorre quando existe o limite da função no ponto em questão, mas, ou a função não está definida, ou o seu valor é
diferente do limite neste ponto. Podemos, então, “remover” essa descontinuidade definindo, a partir de g, uma nova
função cujo valor no ponto em questão seja igual ao limite da função nesse mesmo ponto, como fizemos.
Exemplo 2: Descontinuidade infinita
2
+1
Considere agora a função p(x) = xx−1
. Esta função se comporta, nas proximidades do pólo, de uma maneira
completamente diferente da função g estudada no exemplo anterior. Observe o gráfico de p, traçado com a ajuda do
Maple.
10
8
>
p:=x->(x^2+1)/(x-1);
>
x2 + 1
x−1
plot(p(x),x=-5..5,y=-5..10);
6
y
4
p := x →
2
–4
–2
2 x
4
–2
–4
Repare que neste exemplo o numerador e o denominador não têm fatores comuns, mas, como o grau do numerador
é maior que o grau do denominador, podemos efetuar a divisão e escrever p(x) na forma
p(x) = (x + 1) +
2
.
x−1
Assim, podemos ver claramente que quando x → 1+ , p(x) → +∞, e quando x → 1− , p(x) → −∞. Neste caso
dizemos que p apresenta uma descontinuidade infinita em x = 1. Observe estas afirmações ilustradas nos diagramas a
seguir.
–4
–2
20
20
10
10
0
2 x
4
–4
–2
0
–10
–10
–20
–20
2 x
4
Conclusões
Considere uma função racional geral f (x) =
p(x)
q(x)
e um ponto x = x0 tal que q(x0 ) = 0.
Os exemplos anteriores nos ajudam a concluir que existem duas possibilidades a serem consideradas:
(i) Se p(x0 ) ̸= 0, então f tem uma descontinuidade infinita em x = x0 .
(ii) Se p(x0 ) = 0, f pode ter uma descontinuidade removı́vel em x = x0 .
Além destes tipos de descontinuidade, existe ainda um outro tipo, que é ilustrado no seguinte exemplo:
Exemplo 3: Descontinuidade essencial de salto
W.Bianchini, A.R.Santos
115
4
Considere
{ a função
4 − x2
se x ≤ 2
f (x) =
.
Nesse caso, notax−1
se x > 2
mos que, embora a função seja definida no ponto 2, não
existe lim f (x), pois lim f (x) = 0 e lim f (x) = 1.
x→2−
x→2
3
2
1
x→2+
Veja os gráficos ao lado, que evidenciam este fato. Observe que, nesse caso, como os limites laterais existem, são finitos mas diferentes, não importa qual seja o
valor de f (2), a função sempre apresentará uma descontinuidade nesse ponto. Por esse motivo, dizemos que a
função f apresenta, nesse ponto, uma descontinuidade
essencial de salto. (Esta terminologia enfatiza o fato
de o gráfico da função apresentar neste um ponto um
“salto” ou “pulo” finito.)
–2
–1
0
1
2
x
3
4
1
2
3
4
4
3
2
1
–2
–1
0
Exemplo 4: Usando o Maple para estudar a continuidade de uma função
Neste exemplo, mostramos como usar o Maple para estudar a continuidade de uma função em um ponto.
2 x7 − 4 x5 + 2
Vamos verificar se a função f (x) = 3
é contı́nua no ponto x = 1. Caso a função seja descontı́nua
x − x2 + x − 1
nesse ponto, vamos classificar o tipo de descontinuidade e, se possı́vel, definir uma função g , contı́nua em x = 1, que
coincida com f em todos os pontos exceto em x = 1. Começamos por definir e traçar o gráfico desta função com a
ajuda do Maple.
4
>
f:=x->(2*x^7-4*x^5+2)/(x^3-x^2+x-1);
>
2 x7 − 4 x5 + 2
x3 − x2 + x − 1
plot(f(x),x=-2..2,y=-5..5);
f := x →
y
2
–2
–1
0
1
x
2
–2
–4
Chamando de p e q, respectivamente, o numerador e o denominador desta função e fatorando numerador e denominador, temos que
>
p:=numer(f(x)):
>
q:=denom(f(x)):
>
factor(p);
2 (x − 1) (x3 + x2 + 1) (x3 − x − 1)
>
factor(q);
(x − 1) (x2 + 1)
Assim o numerador p(x) = 2 x7 −4 x5 +2 = 2 (x−1) (x3 −x−1) (x3 +x2 +1) e o denominador q(x) = x3 −x2 +x−1 =
(x − 1) (x2 + 1) apresentam (x − 1) como fator comum e, portanto, f (x) têm uma descontinuidade removı́vel em x = 1
(como sugeria o gráfico, traçado com a ajuda do Maple!).
Definamos, então, a função g cancelando este fator comum e a seguir, calculamos lim g(x) e g(1).
x→1
>
g:=normal(p/q);
g := 2
>
x6 + x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1
x2 + 1
g:=unapply(g,x);
g := x → 2
x6 + x5 − x4 − x3 − x2 − x − 1
x2 + 1
116
Cap. 8. Continuidade
>
g(1);
>
limit(g(x),x=1);
−3
−3
Como lim g(x) = g(1), temos que g é contı́nua em x = 1 e, além disso, g(x) = f (x), para todo x ̸= 1.
x→1
8.4
Composição de funções e continuidade
Freqüentemente nos deparamos com funções cujas expressões nos parecem “complicadas”, mas que na verdade são o
que chamamos de composição de funções. O problema abaixo ilustra, por meio de um exemplo simples, a composição
de funções.
Problema
Considere um quadrado cujo lado tem x cm de comprimento. Sua área A, então, é uma função de x cuja expressão
analı́tica é dada por A = A(x) = x2 . Suponha, agora, que o comprimento do lado varie com o tempo t, dado em
segundos, e seja, portanto, uma função de t. Por exemplo, x = x(t) = 5 t + 1. Assim, a área A do quadrado também
varia com o tempo, ou seja, A = A(x ) = A(x (t)) = (5 t + 1)2 .
A função A(x(t)) = (5 t+1)2 é o que chamamos de função composta formada pela composição da função quadrática
A(x) = x2 com a função linear x(t) = 5 t + 1.
Definição
De um modo geral, dadas as funções y = f (x) e y = g(x), a função composta h = g ◦ f é definida por
h(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)).
Repare que esta definição só faz sentido se a imagem de f estiver contida no domı́nio de g.
Repare também que, em geral, g ◦ f ̸= f ◦ g, como acontece no exemplo abaixo.
Exemplo 1
√
Considere as funções g(x) = 3 x2 + 2 e f (x) = x. Então:
√
√
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g( x) = 3( x)2 + 2 = 3 x + 2,
√
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (3 x2 + 2) = 3 x2 + 2.
Claramente, g ◦ f ̸= f ◦ g, neste caso.
Usando o Maple, podemos compor funções utilizando o sı́mbolo @ . Assim, podemos fazer as composições do
exemplo anterior da seguinte maneira:
>
f:=x->x^(1/2);
√
f := x → x
>
g:=x->3*x^2+2;
g := x → 3 x2 + 2
>
(g@f)(x);
3x + 2
>
(f@g)(x);
√
3 x2 + 2
Exercı́cio 3 Determine o maior domı́nio onde as funções desse exemplo estão definidas.
8.4.1
Continuidade da função composta
A composta de duas funções contı́nuas é uma função contı́nua. Mais precisamente, se f é contı́nua em x0 e g é contı́nua
em f (x0 ), então, g ◦ f é contı́nua em x0 . Assim, podemos escrever
lim g(f (x)) = g(f (x0 )) = g( lim f (x)).
x→x0
x→x0
W.Bianchini, A.R.Santos
117
A demonstração deste fato decorre do uso apropriado da definição de limite e é deixada como exercı́cio.
Exercı́cio 4 Prove que se lim g(x) = L e L > 0, então lim
x→a
√
x→a
g(x) =
√
L.
1
1
Exercı́cio 5 Se n é um inteiro positivo e se a > 0 para valores pares de n, então lim x( n ) = a( n ) . Se n é ı́mpar
x→a
o resultado vale qualquer que seja o número a ∈ R.
Exemplo 2 Considere as funções f (x) =
x+| x |
2
{
e g(x) =
x
x2
função f o g é contı́nua em toda a reta real.
Primeiro definimos f e g e calculamos a composta f o g:
>
f:=x->(x+abs(x))/2;
f := x →
>
x<0
. Vamos mostrar, usando o Maple, que a
x≥0
1
1
x + |x|
2
2
g:=x->piecewise(x<0,x,x>=0,x^2);
g := x → piecewise(x < 0, x, 0 ≤ x, x2 )
>
(f@g)(x);
>
simplify(%);
{
{
1
1
x, x < 0
−x, x ≤ 0
)+ ( 2
)
( 2
x , 0≤x
x , 0<x
2
2
{
0,
x≤0
x2 , 0 < x
A seguir, traçamos o seu gráfico:
>
plot((f@g)(x),x=-2..2,axes=boxed);
4
3
2
1
0
–1
0
x
1
2
Na realidade, se tivéssemos observado que tanto f como g são funções contı́nuas em toda a reta real, usando o
resultado que enunciamos acima sobre continuidade da função composta poderı́amos ter concluı́do de imediato, sem
precisar calcular explicitamente f o g, que esta última função é contı́nua em toda a reta real. Para comprovarmos
facilmente que as funções f e g são contı́nuas em toda a reta, basta observarmos seus gráficos a seguir (o de f à
esquerda e o de g à direita) e observar que estas funções são contı́nuas em x = 0, sendo, portanto, contı́nuas em toda
a reta. (Por quê?)
4
2
1.8
3
1.6
1.4
2
1.2
1
1
0.8
0.6
–2
0.4
–1
0
1
x
2
–1
0.2
0
–2
–1
0
x
1
2
Exercı́cio 4 Em cada um dos ı́tens abaixo, determine para quais valores de x as funções compostas g ◦ f e f ◦ g
são contı́nuas:
118
Cap. 8. Continuidade
{
x + |x|
x x<0
e g(x) =
x2 x ≥ 0
2
{
{
1 |x| ≤ 1
2 − x2
(b) f (x) =
e g(x) =
0 |x| > 1
2
(a) f (x) =
8.5
|x| ≤ 2
|x| > 2
Propriedades especiais das funções contı́nuas
Apresentamos, a seguir, algumas propriedades especiais de funções contı́nuas que são usadas freqüentemente em cálculo.
Embora essas propriedades pareçam óbvias quando interpretadas geometricamente, suas demonstrações rigorosas são
muito mais difı́ceis do que sua interpretação geométrica leva a crer.
Bernard Bolzano (1781-1848), matemático alemão, foi um dos primeiros a reconhecer que essas propriedades sobre
funções contı́nuas, que parecem “óbvias”, necessitavam de uma demonstração matemática rigorosa. Suas observações
sobre continuidade foram publicadas em 1850 em um importante livro para a época, chamado Paradoxien des Unandlichen.
As demonstrações das propriedades que enunciamos e exemplificamos a seguir se encontram no anexo desse texto.
8.5.1
Teorema de Bolzano
Se f é uma função contı́nua sobre um intervalo fechado [a, b] e f (a) e f (b) têm sinais contrários, então, existe pelo
menos um ponto c ∈ (a, b), tal que, f (c) = 0.
Essa propriedade foi demonstrada como um teorema e publicada por Bolzano em 1817 e é conhecida, agora, como
Teorema de Bolzano. Veja este teorema ilustrado no seguinte gráfico:
f(b)
a
c
b
f(a)
Essa propriedade é muito usada para garantir a existência de raı́zes de uma equação da forma f (x) = 0 em um
dado intervalo. (Veja projeto Encontrando as raı́zes de uma equação: Método da Bisseção)
8.5.2
Propriedade da manutenção do sinal para funções contı́nuas
A demonstração do teorema de Bolzano é baseada em outra propriedade evidente, do ponto de vista geométrico, das
funções contı́nuas:
Seja f uma função contı́nua em um ponto c e suponha que f (c) ̸= 0. Então, existe uma vizinhança de c, isto é, um
intervalo aberto I da forma (c − δ, c + δ), com δ > 0, tal que f (x) tem o mesmo sinal de f (c), para todo ponto x ∈ I.
Veja a interpretação geométrica dessa propriedade ilustrada a seguir:
f(c)
c- δ c c+δ
Esse teorema, ao contrário dos outros, é facilmente demonstrado usando-se a definição formal de limites:
Demonstração Vamos supor, primeiramente, que f (c) > 0.
Sabemos que, por hipótese, f é contı́nua em c. Queremos demonstrar que existe um intervalo I, do tipo (c−δ, c+δ),
com δ > 0 tal que f (x) > 0 qualquer que seja x pertencente a este intervalo. Esta última afirmação é equivalente a
dizer que existe um número δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x que satisfaça a desigualdade | x − c | < δ.
W.Bianchini, A.R.Santos
119
Como f é contı́nua em c, sabemos que lim f (x) = f (c), ou seja, dado ε > 0, existe um δ > 0 tal que | f (x) − f (c) | <
x→c
ε para todo x que satisfaça | x − c | < δ.
Seja ε = f (c) > 0. Então, pela definição de limite, sabemos que existe um δ > 0 tal que | f (x) − f (c) | < f (c) para
todo x no intervalo (c − δ, c + δ).
Mas | f (x) − f (c) | < f (c) ⇒ 0 < f (x) < 2 f (c), isto é, existe um número positivo δ tal que f (x) > 0 para todo x
no intervalo (c − δ, c + δ), como querı́amos demonstrar.
No caso em que f (c) < 0, basta, na demonstração acima, escolher ε = −f (c) > 0.
8.5.3
Teorema do valor intermediário
Uma conseqüência imediata do teorema de Bolzano é o teorema do valor intermediário para funções contı́nuas
enunciado a seguir:
Seja f uma função contı́nua definida em [a, b]. Escolha pontos arbitrários m e n em [a, b], tal que f (m) < f (n).
Então, f assume todos os valores entre f (m) e f (n), isto é, se k é um número tal que f (m) < k < f (n), então, existe
pelo menos um número c ∈ (m, n), tal que, f (c) = k.
Vamos ilustrar algebricamente este teorema. Considere a função f(x) = x2 − 5 definida no intervalo [3, 4]. Como
esta função é contı́nua neste intervalo e além disso f (3) = 4 e f (4) = 11, o teorema acima garante que, qualquer que
seja o número k, escolhido entre 4 e 11, existe um número x, entre 3 e 4, tal que f (x) = k , isto é, a equação x2 − 5 = k
tem solução, qualquer que seja o número k entre 4 e 11.
Geometricamente, o Teorema do Valor Intermediário afirma que se f é contı́nua em algum intervalo fechado
contendo os pontos m e n e que se escolhemos um número k, no eixo y, entre f (m) e f (n), a reta horizontal que passa
por k deve cortar o gráfico de f em algum ponto (c, f (c)) cuja coordenada c é um ponto entre m e n. Veja o gráfico
a seguir e na versão eletrônica, com a ajuda do Maple, veja a animação que ilustra o significado geométrico desse
teorema.
f(n)
K
f(m)
m
c
n
Esta é uma outra maneira de dizer que o gráfico de f não tem “saltos” nem “buracos” e sugere, uma vez mais, a
noção intuitiva de que o gráfico de uma função contı́nua pode ser traçado sem “tirar o lápis do papel”.
8
Agora, considere a função h definida como
{ 2
x −x+2
se
1<x≤4
h(x) =
.
−1
se
x=1
Observe, ao lado, o gráfico desta função:
6
4
2
0
–1
h(a)= –1
a
1
b
2
x
3
4
–2
Observe que h não é contı́nua em a = 1 e que, qualquer que seja k ∈ (−1, 2), não existe nenhum c ∈ (1, 4), tal
que h(c) = k. A continuidade nos extremos do intervalo é uma condição necessária para que valha o teorema do valor
intermediário. O exemplo acima mostra que esta condição é essencial, também, para que o teorema de Bolzano seja
válido.
Exercı́cio 5 Considere a função f (x) = x2 . Use o teorema acima para provar que existe um número c entre 1 e
2 tal que f (c) = 2, isto é, prove que existe um número real c, entre 1 e 2, cujo quadrado é dois e, portanto, existe a
raiz quadrada de 2.
120
8.6
Cap. 8. Continuidade
Problemas propostos
1. Tomando como base o gráfico da função f , dado a seguir,
(a) Determine os pontos de descontinuidade de f .
(b) Para cada um dos pontos determinados no item anterior, classifique o tipo de descontinuidade apresentada.
4
3
y2
1
–4
–3
–2
–1
0
–1
1
2
x
3
4
–2
–3
–4
2. Uma peça de metal cilı́ndrica deve ter uma seção reta com 30 cm de diâmetro e, o erro permitido na área desta
seção não deve ultrapassar 5 cm2 . Quão cuidadosamente se deve medir o diâmetro para que a peça fabricada
esteja dentro das especificações técnicas requeridas.
3. Em cada um dos itens abaixo, determine o maior domı́nio de continuidade da função f , isto é, determine o maior
conjunto possı́vel onde a função seja contı́nua. Para cada ponto x0 onde a função f não seja contı́nua, decida se
é possı́vel atribuir um valor a f (x0 ) que torne a função contı́nua em x0 .
{
x + 1, x < 1
|x2 −1|
1−x
(a) f (x) = 1−x
(d)
f
(x)
=
(g)
f
(x)
=
2
x2 −1
3 − x, x > 1
x
1−x
(e) f (x) = √4−x
(b) f (x) = (2−x)
2
2
{
2
+x−2
−x , x < 0
(c) f (x) = xx2 +2
(f) f (x) =
x−3
x2 , x > 0
4. (a) A função f (x) = [[ x1 ]], onde o [[x]] denota o maior inteiro menor ou igual a x, é contı́nua no ponto zero?
(b) Seja f (x) = 0 se x é um número racional e f (x) = 1 se x é um número irracional. Prove que f é descontı́nua
para todo número real.
(c) Seja f (x) = 0 se x é um número racional e f (x) = x2 se x é um número irracional. Prove que f é contı́nua
somente no ponto zero.
(d) Para cada número real a, defina uma função que seja contı́nua em a e descontı́nua em todos os outros
pontos da reta.
(e) Mostre que se f é contı́nua em [a, b], é possı́vel definir uma função g, contı́nua em toda a reta, tal que
g(x) = f (x), para todo x no intervalo [a, b].
(f) Dê um exemplo de uma função f contı́nua em (a, b) que não pode ser estendida continuamente a toda reta,
isto é, dê um exemplo que mostre que nem sempre é possı́vel definir uma função g, contı́nua em toda a reta,
que coincida com f no intervalo (a, b).
5. (a) Mostre que se f é uma função contı́nua em um intervalo (a, b), então a função g = | f (x) | também é contı́nua
neste intervalo.
(b) Dê exemplo de uma função f descontı́nua em (a, b), mas tal que | f | seja contı́nua em todos os pontos deste
intervalo.
6. (a) Seja f (x) = 1 + x2 . Determine g tal que f (g(x)) = 1 + x2 − 2 x3 + x4 .
√
√
(b) Seja g(x) = 1 + x . Determine f tal que f (g(x)) = 3 + 2 x + x
7. (a) Se f (x) =
(b) Seja h(x)
x−3
x+1 , calcule g(x) = f (f (x)). Encontre o
= 1−x
1+x . Calcule h(h(x)) e especifique seu
domı́nio de f e o domı́nio de g.
domı́nio.
8. Considere a função f que a cada número real x associa um par ordenado da forma (x, −x) e a função g que a
cada par ordenado da forma (x, −x) associa a sua coordenada que é positiva. Seja h(x) = g(f (x)).
(a) Determine o domı́nio e a imagem da função h.
(b) Determine uma expressão analı́tica para a função h e esboce o seu gráfico.
W.Bianchini, A.R.Santos
121
9. Uma fábrica produz peças especiais de metal. O processo de fabricação é composto de duas etapas. Na primeira
delas um cronômetro controla a quantidade de metal derretido que é vertido no molde. Depois que o metal
esfria, a peça bruta é polida
( para se)obter o acabamento final. Esse processo pode ser descrito por duas funções:
1
f (t) = 2, 41 t e g(m) = m 1 − m . A função f (t) fornece a massa da peça bruta como uma função do tempo
2
em que o metal derretido é vertido no molde. A função g(m) fornece a massa da peça acabada em função da
massa da peça bruta. O tempo é medido em minutos e a massa em quilogramas. Decida por quanto tempo o
metal derretido deve ser vertido no molde, para que a peça acabada tenha uma massa de 1 kg, com erro máximo
de 2 g.
10. Aplique o Teorema do Valor Intermediário para provar que a equação x3 − 4 x + 1 = 0 tem três raı́zes reais
distintas e localize os intervalos onde elas ocorrem.
11. (a) Aplique o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que todo número positivo a tem uma raiz quadrada.
(b) Aplique o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que se n é um inteiro positivo e se a é um número
real positivo, então existe exatamente um número positivo b tal que bn = a. O número b é a raiz de ordem
n do número positivo a.
(c) Use a teoria de limites e o Teorema do Valor Intermediário para provar que todo polinômio de grau ı́mpar
tem pelo menos uma raiz real.
12. Um ponto fixo de uma função f é um número c do seu domı́nio tal que f (c) = c. (A função f não muda o valor
do ponto c, que permanece fixo, daı́ o nome ponto fixo).
(a) Esboce o gráfico de uma função contı́nua f cujo domı́nio e imagem seja o intervalo [0, 1]. Localize o seu
ponto fixo.
(b) Tente esboçar o gráfico de uma função contı́nua f cujo domı́nio e a imagem seja o intervalo [0, 1], que não
tenha nenhum ponto fixo. Qual é o obstáculo?
(c) Use o Teorema do Valor Intermediário para demonstrar que qualquer função contı́nua cujo domı́nio e a
imagem seja o intervalo [0, 1] tem necessariamente um ponto fixo.
8.7
Exercı́cios adicionais
1. Decida se as funções abaixo são contı́nuas ou descontı́nuas em x = a. No caso de serem descontı́nuas, classifique
as descontinuidades.
{ 5
{ √y+5−√y
, x ̸= 4
, y > 0, a = 0
x−4
y
(a) f (x) =
,a=4
(e) f (y) =
1,
x=4
1,
y=0
2
+x+6
(f) f (x) = x + 1 − |x + 1|, a = −1
(b) g(x) = x x+3
, x ̸= −3 , a = −3
{2x + 3, x ≤ 1
{ −1 , x < 0
(g) f (x) = 8 − 3 x , 1 < x < 2
x = 0, a = 0
(c) f (x) = 0 ,
x + 3,
2≤x
x,
0<x
(d) h(x) =
x−3
|x−3| ,
x ̸= 3, a = 3
2. Determine α e β para que a função abaixo seja contı́nua em x = 1 e x = 4.
{x,
f (x) =
x≤1
αx + β, 1 < x < 4 .
−2 x ,
4≤x
3. Determine se as funções a seguir são contı́nuas ou descontı́nuas em cada um dos intervalos indicados :
{
x + 3 , x ̸= 2 e x ̸= −2
(a) f (x) =
, (0, 4]; (−2, 2); (−∞, −2]; (2,+ ∞ ); (−4, 4).
2,
x = 2 e x = −2
{
1
√
, x ̸= 3
3+2 x−x2
, (−1, 3); [−1, 3]; [−1, 3); (−1, 3].
(b) f (x) =
0,
x=3
(c) f (x) =
(d) g(x) =
2
x+5
√
, (3,7); [−6, 4]; ( −∞, 0); (−5, +∞).
9−x2
4−x ,
( −∞, −3); (−3, 3); [−3, 3]; [−3, 3); [3,4); (3,4]; [4,+ ∞ ); (4,+ ∞).
122
Cap. 8. Continuidade
4. Determine o maior domı́nio de continuidade das funções abaixo:
√
√
√
1
1
+ x+2
+ 3 x − 2.
(c) h(z) = z − z 2 − z − 2.
(a) g(x) = x−1
√
(b) f (u) = √4 1u−1 − 1 − u2 .
5. Suponha que g(x) seja uma função contı́nua em [−2, 3], e que, além disso, g(−2) = 12 , g(−1) = −1, g(0) = 2,
g(1) = 2, g(2) = −2 e g(3) = 4. Qual é o número mı́nimo de zeros que da função g(x ) no intervalo considerado?
8.8
Para você meditar: O problema do andarilho
Uma trilha vai da base de uma montanha até o topo. Um andarilho começa a subir a trilha às 6 horas da manhã e
chega ao topo às 6 horas da tarde do mesmo dia. Durante o percurso ele pode parar, voltar atrás, correr, fazer o que
quiser, desde que chegue ao topo às 6 horas da tarde do mesmo dia.
Na manhã seguinte ele começa a descer a trilha às 6 horas da manhã do modo como ele quer e chega à base
exatamente às 6 horas da tarde do mesmo dia.
Prove que existe pelo menos um lugar na trilha pelo qual ele passa na mesma hora de cada dia.
8.9
8.9.1
Projetos
Encontrando as raı́zes de uma equação
O problema de calcular as raı́zes de uma equação sempre foi objeto de estudo da matemática ao longo dos séculos. Já
era conhecida, na antiga Babilônia, a fórmula para o cálculo das raı́zes exatas de uma equação geral do segundo grau.
No século XVI, matemáticos italianos descobriram fórmulas para o cálculo de soluções exatas de equações polinomiais
do terceiro e do quarto grau. Essas fórmulas são muito complicadas e por isso são raramente usadas nos dias de hoje.
No século XVII, um matemático norueguês, Niels Abel (1802-1829), que, apesar de sua curta vida, contribuiu com
vários resultados notáveis e importantes para o desenvolvimento da matemática, provou que não existe uma fórmula
geral para o cálculo das raı́zes exatas de uma equação polinomial de grau maior ou igual a 5. Nesses casos, e mesmo
em casos mais simples, muitas vezes é necessário recorrer a métodos numéricos para calcular aproximações para as
raı́zes reais de uma dada equação.
Existem vários métodos recursivos ou iterativos (do latim iterare = repetir, fazer de novo) para calcular aproximações numéricas para as raı́zes reais de uma equação.
Esses métodos consistem em, partindo de uma estimativa inicial, repetir o mesmo procedimento várias vezes,
usando-se a cada vez como estimativa o resultado obtido na vez anterior, isto é, na última iteração feita, até se
alcançar a precisão desejada. Abaixo descrevemos um desses métodos. Outros métodos deste tipo serão descritos no
decorrer desse texto.
Método da Bisseção
Este método consiste em encontrar por inspeção dois pontos x0 e x1 tais que f (x0 ) e f (x1 ) tenham sinais contrários.
Se f (x0 ) = 0 ou f (x1 ) = 0 você encontrou a raiz procurada. Caso contrário, existe pelo menos uma raiz de f (x) = 0,
entre x0 e x1 .
1. Para que tipo de funções esta última afirmação é verdadeira?
2. Que teorema garante este resultado?
1
Seja x2 = x0 +x
. Somente três casos podem acontecer: se f (x2 ) = 0, a raiz procurada é igual a x2 ; caso contrário,
2
ou f (x2 ) e f (x1 ) têm sinais contrários e a raiz está entre x2 e x1 ou f (x2 ) e f (x0 ) têm sinais contrários e a raiz está
entre x2 e x0 . Em qualquer dos casos a raiz pertence a um intervalo cujo comprimento é a metade do comprimento
do intervalo anterior.
Repetindo-se o mesmo procedimento, encontra-se uma aproximação para a raiz da equação com a precisão desejada.
1. Por que este método é chamado método da bisseção?
2. Para que funções esse método funciona e que teorema garante a sua validade?
3. Como você pode estimar o erro cometido na enésima aproximação da raiz?
4. Quando devemos parar o procedimento acima?
W.Bianchini, A.R.Santos
123
5. Prove que a equação x5 − 5 x2 + 3 = 0 tem pelo menos uma raiz real no intervalo [−3, −2] e use o método acima
para calcular essa raiz com erro menor que 0,01.
6. Use o método acima para determinar aproximações para as raı́zes reais da equação x3 − 2 x2 + 4 x + 12 = 0 com
erro menor que 0,001.
7. Uma árvore de 20 metros de altura está a 4 metros de um muro de 2 metros de altura. Após uma ventania, a
árvore se quebra a uma altura de x metros. A árvore cai de tal maneira que, quando a sua extremidade toca
o solo, do outro lado do muro, seu tronco apenas toca a parte superior do muro, sem derrubá-lo. Determine o
valor de x.
Sugestão: Com o auxı́lio de triângulos semelhantes e do Teorema de Pitágoras, mostre que x é a raiz de uma
equação do terceiro grau. Use o método acima para encontrar aproximações para as raı́zes da equação que você
encontrou e decida qual dessas raı́zes é a solução do problema.
8.9.2
Generalizando o método dos babilônios para estimar a raiz quadrada de um
número positivo
Como conseqüência do Teorema do Valor Intermediário, podemos demonstrar que, qualquer que seja o número real
positivo a e n inteiro positivo, existe um número real b tal que bn = a , isto é, existe um número b que é a raiz enésima
de a. (Veja Problema 7, na seção Problemas Propostos).
Os antigos babilônios desenvolveram um processo eficaz para gerar uma seqüência de aproximações cada vez
melhores para a raiz quadrada de qualquer número positivo a √
que descrevemos a seguir.
Suponha que se conheça uma aproximação
inicial
x
para
a . Por exemplo, x = 3 e x = 4 são, respectivamente,
0
√
aproximações por falta e por excesso para 13. √
√
√
Se x0 > 0 é uma aproximação por falta para a, então é claro que x0 < a ⇒ √1a < x10 e daı́ a < xa0 . Portanto,
√
√
podemos concluir que xa0 é uma aproximação por excesso para a. Conseqüentemente, vale a desigualdade x0 < a
√
< xa0 ou, equivalentemente, a ∈ (x0 , xa0 ).
√
√
√
Da mesma maneira, se x0 é uma aproximação por excesso para a, temos a < x0 ⇒ x10 < √1a , e daı́, xa0 < a.
√
√
√
Então, xa0 < a < x0 ou, equivalentemente, a ∈ ( xa0 , x0 ). Logo, em qualquer dos dois casos a estará sempre entre
x0 e xa0 .
x+ a
x
Assim, usando a mesma idéia do Método
da Bisseção, o ponto
deve
√
√ médio x1 = 2 do intervalo considerado
√
ser uma nova e melhor aproximação para a. Repare que se x1 < a, temos, como anteriormente, que a ∈ (x1 , xa1 ),e
√
√
se x1 > a, vale que a ∈ ( xa1 , x1 ). Podemos, portanto, repetir esse procedimento tantas vezes quanto desejarmos
de modo a melhorar, a cada passo, a precisão do resultado obtido.
1. A partir de uma estimativa inicial x0 e usando a fórmula iterativa
xn =
xn−1 +
2
a
xn−1
,
deduzida pelos babilônios, calcule a raiz quadrada aproximada para
√
13 com 11 casas decimais exatas.
2. O que acontece se iniciarmos o processo com uma estimativa inicial x0 negativa?
xn−1 +
3. Use a fórmula iterativa xn =
a
(xn−1 )2
2
1
para obter uma aproximação de 12( 3 ) com 8 casas decimais exatas.
xn−1 +
(x
a
)(k−1)
n−1
4. Estude a eficiência do algoritmo xn =
para obter aproximações para a raiz k-ésima (k > 3) de
2
um número positivo a. (Para justificar por que o algoritmo acima funciona para obter aproximações cada vez
melhores para as raı́zes quadráticas e cúbicas de um número positivo a e não funciona para k > 3 veja o projeto
Tangentes, Órbitas e Caos do Cap. 20 .